四边形——2026年中考数学复习

四边形——2026年中考数学复习 一、选择题 1．（2025·贵州）如图，小红想将一张矩形纸片沿剪下后得到一个，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·内蒙古自治区）如图，是一个矩形草坪，对角线，相交于点，是边的中点，连接，且，，则该草坪的面积为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广元）如图，在平行四边形中，，对角线，交于点O，点P是的中点，连接，点E是的中点，连接，则的长是（　　） A．1 B． C．2 D．4 4．（2025·广州）如图，菱形的面积为10，点E，F，G，H分别为，，，的中点，则四边形的面积为（　　） A． B．5 C．4 D．8 5．（2025·大庆） 如图，在矩形中，，动点P从点A开始沿边以的速度向点B运动，动点H从点B开始沿边以的速度向点A运动，动点Q从点C开始沿边以的速度向点D运动．点P，点H和点Q同时出发，当其中一点到达终点时，另两点也随之停止运动．设动点的运动时间为，当时，t的值为（　　） A． B．4 C． D． 6．（2025·河南）如图，在菱形ABCD中，，点在边BC上，连接AE，将沿AE折叠，若点 落在BC延长线上的点处，则CF的长为（　　） A．2 B． C． D． 7．（2025·重庆市）如图，正方形的边长为2，点E是边的中点，连接，将沿直线翻折到正方形所在的平面内，得，延长交于点G．和的平分线相交于点H，连接，则的面积为（　　） A． B． C． D． 8．（2024·陕西）如图，正方形的顶点G在正方形的边上，与交于点H，若，，则的长为（　　） A．2 B．3 C． D． 9．（2025·东营）如图1，在矩形中，，是边上的一个动点，，交于点，设，，图2是点从点运动到点的过程中，关于的函数图象，则的长为（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 10．（2025·东营）如图，在中，，，点D在边上（与点B，C不重合），四边形为正方形，过点F作，交的延长线于点G，连接，交于点Q．下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的序号是（　　）． A．①②④ B．①②③ C．①②③④ D．②③④ 二、填空题 11．（2025·乐山）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC＝BD；③∠ADC＝90°．则正确的组合是 　 　 （只需填一种组合即可）． 12．（2025·青海） 如图， 在菱形ABCD中， ， E， F分别为AB， BC的中点， 且. 则菱形 ABCD的面积为　 　. 13．（2025·齐齐哈尔）如图，在□ABCD中，BC=2AB=8，.连接AC，分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径作弧，两弧交于点E，F，作直线EF，交AD于点M，交BC于点N，若点N恰为BC的中点，则AC的长为　 　. 14．（2025·新疆维吾尔自治区）如图，在▱ABCD中．∠BCD的平分线交AB于点E，若AD＝2，则BE＝ 　 　 ． 15．（2025·福建）如图，菱形ABCD的对角线相交于点O，EF过点O 且与边AB， CD 分别相交于点 E，F.若 则△AOE 与△DOF 的面积之和为　 　. 16．（2025·兰州） 如图，在菱形ABCD中，AE⊥BC，垂足为E，交BD于点F，BE＝CE．若，则AF＝ 　 　 ． 三、解答题 17．（2024·德阳）如图，在菱形中，，对角线与相交于点O，点F为的中点，连接与相交于点E，连接并延长交于点G. （1）证明：； （2）证明：. 18．（2024·长春）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，O是边AB的中点，∠AOD＝∠BOC．求证：四边形ABCD是矩形． 19．（2025·德阳）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF，要修建两条直路AF、BE，AF与BE相交于点O(两个门E、F的大小忽略不计). （1）请问这两条路是否等长?它们有什么位置关系，说明理由； （2）同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形OBCF地上再修一条2.5米长的直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在已经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由. 20．（2025·泸州）如图，在水平地面上有两座建筑物，其中．从之间的点（在同一水平线上）测得点，点的仰角分别为和，从点测得点的仰角为． （1）求的度数； （2）求建筑物的高度（计算过程和结果中的数据不取近似值）． 21．（2025·扬州）如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别相交于点E，F． （1）求证：四边形AFCE是菱形； （2）若AB＝3，BC＝5，CE平分∠ACD，求DE的长． 22．（2024·甘南）某学校数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究： （1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别是AB，AD上的两点，连接DE，CF，且DE⊥CF，猜想并计算的值； （2）如图2，在矩形ABCD中，∠DBC＝30°，点E是AD上的一点，连接CE，BD，且CE⊥BD，求的值； （3）如图3，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，点E为AB上一点，连接DE，过点C作DE的垂线交ED的延长线于点G，交AD的延长线于点F，求证：DE•AB＝CF•AD． 1 学科网（北京）股份有限公司 答案 1．B 【解析】解：因为四边形是平行四边形，所以 ，与是同位角，所以 2．C 【解析】解：∵四边形是一个矩形 ， ∴点O是AC的中点， ∵是边的中点， ∴OH是的中位线， ∴AB=2OH=40m， ∴ 该草坪的面积为 ：AD×AB=30×40=1200（m2） 3．C 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OB=OD， ∵点E是DP的中点， ∴OE是△DPB的中位线， ∴OE=PB， ∵点P是的中点， ∴PB=AB=4， ∴OE=2. 4．B 【解析】解：连接AC，BD ∵四边形ABCD为菱形，且面积为10 ∴ ∵E，F分别为AB，BC的中点 ∴EF是△ABC的中位线 ∴ 同理可得： ∴EF∥GH，EF=GH，EF⊥FG ∴四边形EFGH为矩形 ∴ 5．D 【解析】 解：作QEAB于点E，如图， ∵四边形ABCD是矩形， ∴四边形BCQE是矩形， ∴CQ=BE， 由题意得AP=t，BH=2t，CQ=4t， ∴PH=20-AP-BH=20-3t， ∵QP=QH， QE⊥AB， ∴PE=HE=PH=10- ∴BE=AB-AP-PE=20-t-(10-)=10+ ∵CQ=BE， ∴4t=10+ 解得 6．D 【解析】解：如图所示， 由折叠知， 四边形ABCD是菱形 7．A 【解析】解：如图，连接， ， 四边形是正方形， ，， 点E是边的中点， ， 将沿直线翻折得， ，， ， ， ， ， 设，则， 根据勾股定理可得， 即， 解得， ， 和的平分线相交于点H， 点到的距离相等， ， 8．B 【解析】解：∵四边形ABCD和四边形CEFG均为正方形， ∴AD=CD=AB=6，GF=CG=CE=2， ∠D=∠CGF=90°， 又∵点G在边CD上， ∴DG=CD-CG=4，∠DGF=180°-∠CGF=90°， 又∵∠AHD=∠FHG， ∴△ADH∽△FGH， ∴， ∴DH=3GH，即DG=4GH， ∴GH=， ∴DH=DG-GH=4-1=3. 9．A 【解析】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， 整理得：， 由图象可得点从点运动到点的过程中： 关于的函数图象为抛物线，且顶点坐标为， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为， ∴， ∴ 10．C 【解析】解：①∵∠G=∠C=∠FAD=90°， ∴∠CAD=∠AFG. ∵AD=AF， ∴△FGA△ACD， ∴AC=FG，故①正确； ②∵FG=AC=BC，FG//BC，∠C=90°， ∴四边形CBFG为矩形，故②正确； ③∵CB=CA，∠C=∠CBF=90°， ∴∠ABC=∠ABF=45°，故③正确； ④∵∠FQE=∠DQB=∠ADC，∠E=∠C=90°， ∴△ACD∽△FEQ， ∴AC：AD=EF：FQ， ∴AD·AF=AD2=FQ·AC，故④正确； 11．①③ 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∠ADC＝90° ∴四边形ABCD是矩形，OB=OD ∵ AC⊥BD ∴ 在中， ∴ ∴AB=AD ∴四边形ABCD是正方形 12．12 【解析】解：∵E、F分别为AB、BC中点 ∴EF= ∵EF=2 ∴AC=4 ∴ 13． 【解析】解：连接AN， 由作图可知，MN 垂直平分AC， ∴AN=CN. ∵点N恰为BC的中点， ∴BC= 2BN=2CN ， ∵BC=2AB= 8， ∴BN=CN=AB=4， ∴ BN= AN= AB=CN=4， ∴ABN是等边三角形，∠CAN=∠ACN ， ∴BAN=ABC=ANB = 60 ， ∵CAN +ACN=ANB ， ∴CAN=ACN =ANB = 30 ， ∴BAC=BAN +CAN = 90 ， ∴AC=. 14．2 【解析】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AD=2 ∴AB∥CD，AD=BC=2 ∴∠DCE=∠CEB ∵∠BCD的平分线交AB于点E ∴∠DCE=∠BCE ∴∠BCE=∠BEC ∴BE=BC=2 15．1 【解析】解： ∵四边形ABCD是菱形， ∴DO=BO=1，CD∥AB， ∴∠ODF=∠OBE，∠OFD=∠OEB， ∴△DOF≌△BOE（AAS）， ∴△DOF的面积=△BOE的面积， ∴△AOE与△DOF的面积之和=△BOA的面积= 1 16．4 【解析】解：连接AC，CF， ∵AE⊥BC，BE=CE， ∴AE垂直平分BC， ∴AB=AC， ∵四边形ABCD为菱形， ∴BC= AB=4， ∴ABC是等边三角形， ∴∠ABC =60° ， ∴∠BAE= ∠FBC =30° ， ∵BE=AB=×4=2， ∴AE=BE=×2=6，EF ∴AF=AE-EF=6-2=4. 17．（1）证明：四边形是菱形， ，， ， 是等边三角形， 点F为的中点， ， ， . （2）证明：是等边三角形，，， ， 是等边三角形， ， 在和中， ， . 18．证明：是边AB的中点， ， 在和中， (ASA)， ， ， ∴∠A+∠B=180°， ， 四边形ABCD是平行四边形， 又， 四边形ABCD是矩形. 19．（1）∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=AB，∠BAE=∠ADF=90°. ∵DE=CF， ∴AE=DF. ∴△BAE≌△ADF. ∴BE=AF. ∴∠DAF=∠ABE. 又∵∠ABE+∠AEB=90°， ∴∠DAF+∠AEB=90°. ∴AF⊥BE. 所以这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直. （2）∵AD=4，AE=3，∴DF=3. ∴BE=5. 又∵在Rt△ABE中有BE·AO=AB·AE， ∴5AO=4×3. ①如果另一端点P在路段OB上， 则在Rt△OPF中， 此种情况不成立． ②如果另一端点在花园边界BC上时，设，则在Rt中， 有，．， 能修建成这样的一条直路． 20．（1）解：如图所示，过点C作于H，则， 由题意得，， ∴，， ∴； （2）解：如图所示，过点E作于T，则， ∴， ∴； 在中，， 在中，， ， 在中，， ∴， 在中，； ∵， ∴四边形是矩形， ∴ ， ∴； 答：建筑物的高度为 21．（1）证明：∵EF是AC的垂直平分线， ∴EA＝EC，FA＝FC，OA＝OC，∠AOE＝∠COF＝90°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD， ∴∠OAE＝∠OCF， 在△OAE和△OCF中， ， ∴△OAE≌△OCF（ASA）， ∴EA＝FC， ∴EA＝EC＝FA＝FC， ∴四边形AFCE是菱形； （2）解：过点B作BP⊥AC于点P，在AP上截取PQ＝PA，连接BQ，如图所示： 设PA＝x，∠ACB＝α， ∵四边形ABCD是平行四边形，且AB＝3，BC＝5， ∴AD＝BC＝5，AB∥CD，OA＝OCAC ∵四边形AFCE是菱形， ∴∠ACB＝∠ACE＝α，AE＝CF，EF⊥AC， ∵CE平分∠ACD， ∴∠ACE＝∠DCE＝α， ∴∠ACD＝2α， ∵AB∥CD， ∴∠BAC＝∠ACD＝2α， ∵BP⊥AC，PQ＝PA＝x， ∴BP是AQ的垂直平分线， ∴BQ＝AB＝3， ∴∠BQA＝∠BAC＝2α， ∵∠BQA是△QBC的外角， ∴∠BQA＝∠QBC+∠ACB， ∴2α＝∠QBC+α， ∴∠QBC＝α， ∴∠QBC＝∠ACB＝α， ∴BQ＝CQ＝3， ∴CP＝CQ+PQ＝3+x， 在Rt△ABP和Rt△CBP中，由勾股定理得：BP2＝AB2﹣AP2＝BC2﹣CP2， ∴32﹣x2＝52﹣（3+x）2， 解得：x， ∴AP＝x，CP＝3+x， ∴AC＝AP+PC， ∴OCAC， ∴BP， ∵EF⊥AC，BP⊥AC， ∴EF∥BP， ∴△OCF∽△PCB， ∴， ∴CP•OF＝OC•BP， ∴， ∴OF， 在Rt△OCF中，由勾股定理得：CF， ∴AE＝CF， ∴DE＝AD﹣AE． 22．（1）解：如图1，设DE与CF交于点G， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD， ∵DE⊥CF， ∴∠DGF＝90°， ∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°， ∴∠CFD＝∠AED， 在△AED和△DFC中， ， ∴△AED≌△DFC（AAS）， ∴DE＝CF， ∴＝1； （2）解：如图2，设DB与CE交于点G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝∠EDC＝∠BCD＝90°， ∵∠DBC＝30°， ∴∠CDG＝60°， ∵CE⊥BD， ∴∠DGC＝90°， ∴∠DCE＝30°， ∴CE＝CD， ∴ （3）证明：如图3，过点C作CH⊥AF交AF的延长线于点H， ∵CG⊥EG， ∴∠G＝∠H＝∠A＝∠B＝90°， ∴四边形ABCH为矩形， ∴AB＝CH，∠FCH+∠CFH＝∠DFG+∠FDG＝90°， ∴∠FCH＝∠FDG＝∠ADE，∠A＝∠H＝90°， ∴△DEA∽△CFH， ∴ ∴ ∴DE•AB＝CF•AD． $