秒解14 见正方形中的垂线，想十字型全等-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

图2 由(1)知，EF=2AC :G是CD的中点，F是BC的中点， F AC=BD, ∴.EF=FG. ·四边形EFGH是平行四边形， .四边形EFGH是菱形 (3)解：E,F,G,H分别是AB,BC,CD,DA 的中点， HE/BD ME-RD.EF/AC.EF-AC HE⊥EF,∴.AC⊥BD. .HE=5,EF=8, .BD=2HE=10,AC=2EF=16, Snm24C.BD=2×16x10=80, 1 3.（1)证明：如图1，连接BD .E,H分别是AB,AD的中点， ÷EH/BD,EH=BD 2 同理FG/BD,FG=2BD, .EH∥FG,EH=FG. .四边形EFGH是平行四边形 参考答案 图1 (2)证明：如图1，连接AC, 由(1)知，EH∥BD,∴.△AEH∽△ABD. 又E为AB边的中点， AE 1 SAAEH 1 1 ·D=、·。4’64144MB0· 45aa,5ao= 1 同理SARFE Mc= 1 ADAC: ∴.S2=S1-S AAEH-S△BFE-SACCF-S△DHc=S1- (SAAmp+Sacng -（(8aa+8ar)=S 1.1 434S=251,即S,=2S2 1 21 (3)解：如图2，四边形PQMN即为所求.（画 出一种即可) 图2 秒解14见正方形中的垂线， 想十字型全等 1.310 如图，过点N作NF⊥AD,垂足为F, -79- 初中数学几何辅助线秒解 连接AE,NE,AE与MN交于点H. A B 由题意，可知∠D=∠AHM=90°， .△AHM∽△ADE, .∠AMN=∠AED. 在△NFM和△ADE中， [∠AMN=∠AED, ∠NFM=∠D, NF=AD, ∴.△NFM≌△ADE(AAS), ∴.FM=DE=CD-CE=3(cm) 在Rt△MNF中，FN=9cm, 根据勾股定理，得MN=√FN2+FM?=√9+81 3√10(cm). 2.（1)证明：，四边形ABCD是正方形， .AB=BC,∠ABC=∠C=90°， ∴.∠ABQ+∠QBC=90°. :BQ⊥AP, .∴.∠PAB+∠ABQ=90°， ∴.∠PAB=∠QBC. 在△ABP和△BCQ中， ∠PAB=∠QBC, AB=BC, ∠ABP=∠BCQ, .△ABP≌△BCQ(ASA). -80- (2)证明：如图1，过点M作MG⊥CD于点G, 图1 则四边形AMGD是矩形， .MG=AD,∠MGN=90°. :四边形ABCD是正方形， .∠ABP=90°，AB=BC=AD, ∴.MG=AB,∠ABP=∠MGN. 又，MN⊥AP,.∠AEM=90°， .∴.∠AME+∠BAP=90° 又.∠NMG+∠AME=90°， ∴.∠NMG=∠BAP, .△ABP≌△MGN(ASA), ∴.AP=MN. (3)解：EF=EM+FN.理由如下： 如图2，过点P作PH∥AB交MN于点H,交 BD于点K,过点M作MG⊥CD于点G .AM∥PH, D .∠MAE=∠EPH. .E为AP的中点， ∴AE=EP. 图2 又.：∠AEM=∠PEH, .△AME≌△PHE(ASA), ∴.ME=EH,AM=PH. 易得四边形AMGD是矩形， .∴.AM=DG,∴.DG=PH. .·∠CBD=45°，∠BPK=90°， .∠PBK=∠BKP=45°， .BP=PK. 由(2)知，△ABP≌△MGN, .BP=NG, ..PK=NG, .HK=DN. 又.HK∥DN, .∠HKF=∠NDF 又.∠HFK=∠NFD, .△HKF≌△NDF(AAS), .HF=NF, .EF=EH+HF=EM+FN. 秒解15见角含半角，想旋转型全等 1.EF=DF+BE如图，延长CB到点G,使BG= DF,连接AG 在△ADF和△ABG中， G 60 (AB=AD, B ∠ABG=∠D, BG=DF, ∴.△ADF≌△ABG(SAS), .∴.AG=AF,∠GAB=∠DAF. .·∠EAF=60°，∠BAD=120°， ∴.∠BAE+∠DAF=60°， .∠GAE=∠GAB+∠BAE=60°，.∠GAE= ∠FAE. ..AE=AE, 参考答案 .△AGE≌△AFE(SAS), .GE=EF,∴.EF=DF+BE. 2.解：如图，将△ADN绕点A顺时针旋转90°， 得到△ABG,连接GM, B E 则△ADN≌△ABG,∴.BG=DN,∠ABG= ∠ADN=45°，∠BAG=∠NAD. .∠EAF=45°， .∠DAN+∠BAM=45°， ∴.∠GAM=∠BAG+∠BAM=45°， ∴.∠GAM=∠NAM. AM=AM, .∴.△GAM≌△NAM(SAS), ∴.GM=MN. ·∠ABG=∠ABM=45°， ∴.∠GBM=90°， 在Rt△BCM中，BG+BM2=GM2, ∴.DW2+BM2=MW2 .AB=AD=6,∠BAD=90°， ∴.BD=√2AB=62 设MN=Y.BM=2√2， .DN=62-22-y=4w2-y, .(42-y)2+(22)2=y2, 解得y-32w-52 2 -81-专题四边形相关的辅助线 秒解14！ 见正方形中的垂线， 想十字型全等睡 一眼看懂· 辅助线秒解导图 见到什么幻》】 想到什么》】 得到什么》】】 过点D作DF⊥AE, 交AB于点F 想十字型 △DAF≌△ABE; DF-AE 全等 B E B E 过，点E作EO LBC于，点Q 见正方形中 AE D 的垂线 ①△EQF≌△BCP; 在正方形ABCD ②BP=EF 中，EF⊥BP D 想十字型 BQ FC 全等 过点C作CQ∥FE, 交AD于点Q AEO D ①平行四边形EFCQ; ②△CDQ≌△BCP; B FC ③CQ=BP=EF B F( 。一学就会。 辅助线秒解三步法 G D 白典例如图，在正方形ABCD中，E,F,G,H分别是边AB,CD, AD,BC上的点，EF⊥GH,当EF=10时，GH= 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 G 过线段端点作 D △EMF≌△GNH,EF=GH 正方形中 G 正方形的边的 有两条互 垂线，构造两 10 相垂直的 E 个直角三角形 线段 并证明全等 B HN 在正方形ABCD中，EF⊥GH 作EM⊥CD于点M, GW⊥BC于点N -37- 初中敏学？几何铺助线秒解 艺满分秒解 ⊙解析：如图，作EM⊥CD于点M,GN⊥BC于点N,交EF于点P. .·四边形ABCD是正方形，.四边形ADME和四边形AGNB均为矩形， .AD=EM,GN=AB. .·四边形ABCD为正方形，.AD=AB,∴.EM=GN. .·EF⊥GH,EM⊥GN. 0 ∴.∠FEM+∠EPG=90°，∠HGN+∠EPG=90°， B ∴.∠FEM=∠HGN,∴.△EFM≌△GHN(ASA),∴.GH=EF=10. 【答案】10 P,名师点睛见到正方形中的垂线，就作正方形的边的垂线，构造十字型全等三角形. 参考答案见P79 练就对· 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.如图，将边长为9cm的正方形纸片ABCD折叠，使得点A落在边 CD上的点E处，折痕为MW.若CE的长为6cm,则MN的长为 cm B 且综合提升 2.在正方形ABCD中，P是边BC上一动点（不与点B,C重合），连接AP (1)如图1，过点B作BQ⊥AP,分别交AP,CD于点O,Q.求证：△ABP≌ △BCQ. (2)如图2，E是AP的上一点，过点E作MN⊥AP,分别交AB,CD于点M, N.求证：AP=MN, (3)如图3，在（2)的基础上，若E为AP中点，连接BD交MN于点F.试 猜想线段FN,EF,EM之间的数量关系，并说明理由. 图1 图2 图3 -38-