秒解11 见多个中点，想中位线-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

.∠ACD=60°， ..∠ACD+∠CED=60°+118°=178°. 3.A如图，连接BP,取BP E 的中点G,连接EG,FG G .PE⊥AB,PF⊥BC, .∠BEP=∠BFP=90°， :.EC=CF-BG-1BP, .∴.∠BEG=∠EBG,∠BFG=∠FBG, ∴.∠EGF=∠BEG+∠EBG+∠BFG+∠FBG= 2(∠EBG+∠FBG)=2∠ABC=2X45°=90°， ∴.△EGF为等腰直角三角形， .EF=√EG2+FG2= 2BP)2+(2BP)2= BP. 2 ∴.当且仅当BP⊥AC时，BP取最小值，此时 EF的值也最小N 1 ∠C=60°，.∠PBC=30°，.PC=。BC=3, .BP=√BC2-CP2=33, .BP的最小值为3√3，此时，EF取得最小值， ®小值为X3- 2 4.A如图，取AB的中点E,连接OD,OE,DE, M B 参考答案 则A证-B=1 OD≤OE+DE,∴.当O,D,E三点共线时，点 D到点O的距离最大 .∠MON=90°，.△AOB是直角三角形 E是AB的中点，AB=2,0E=2AB=1 ,四边形ABCD是矩形，∴.∠EAD=90°， .△ADE是直角三角形 由勾股定理，得DE=√AD+AE=√2. .OD的最大值为OE+DE=1+√2. 5.（1)证明：如图，连接DF. A E AD是BC边上的高，.△ABD是直角三角形 又CF是AB边上的中线， 1 ,DF=BF=。AB. DC=BF,..DC=DF. DE⊥CF,∴.E是CF的中点 (2)解：由(1)知，DF=BF,∴.∠FDB=∠B=30. DC=DF, 六LDCF=LDFC=2FDB=15, 专题五 四边形相关的辅助线 秒解11见多个中点，想中位线 1.B如图，连接CM.当CM⊥AB时，CM的值 -75- 初中数学几何辅助线秒解 最小（垂线段最短），此时DE有最小值 在Rt△ABC中，AC=6,BC=8, .AB=√JAC2+BC2=√62+82=10. 又：24c.Bc=2B.cm, 即时x6x8=×10:cHc1-4 D,E分别为CN,MN的中点， DE=宁cm=×登号，即nE的最小位 2.B如图，延长AC,BE,相交于点F. .AE平分∠BAC,∴.∠BAE=∠FAE. .AE⊥BE,∴.∠AEB=∠AEF=90. 又AE=AE,∴.△ABE≌△AFE(ASA), ∴.BE=EF,AB=AF. AB=7,AC=4,..CF=AF-AC=AB-AC=3. D是BC的中点，BE=EF, DE=2CF=1.5. -76- 3.B如图，连接DN. C D :E,F分别为DM,MN的中点， 六BF=2DN :∠A=90°，AD=5,AB=12, .当点N与点B重合时，DN取得最大值， 此时DN=DB=√AD2+AB2=√52+122=13，即 EF的最大值为6.5. 当点N与点A重合时，DN取得最小值， 此时DN=DA=5,即EF的最小值为2.5. 综上，2.5≤EF≤6.5，依据选项可知，EF的 长度可能为5. 4.证明：如图，连接EF,标示∠2，∠3. B D E,F分别是AB,CB的中点，.EF∥AC, .∠2=∠A ∠B=2∠A,.∠B=2∠2. 又F是CB的中点，CD⊥AB, DF=BC=BF,.LB=21=222. ∠1=∠2+∠3，∴.∠2=∠3，.DE=DF. 5.解：如图，延长AB交CF的延长线于点H. B D以 F ,AF⊥CF,AD平分∠BAC, ∴.∠HAF=∠CAF,∠AFH=∠AFC=90° 又，AF=AF,.△HAF≌△CAF(ASA), ∴.AH=AC=3,HF=FC. ,AB=2,∴.BH=AH-AB=1. ,E为BC的中点，HF=FC, EF-H-2 1 秒解12见梯形，想特殊三角形 或四边形 1.253 2 如图，过点O作OE⊥AD于点E,延 长EO交BC于点F, D F .∴.OF⊥BC,∴.∠OFB=∠OFC=90° ,∠DBC=30°，∴.∠B0F=∠DOE=90°- ∠DBC=60°. .AC⊥BD,∴.∠BOC=90°， .∠C0F=∠A0E=90°-∠B0F=30°， ∠OCF=90°-∠DBC=60°. AD∥BC, ∴.∠ADB=∠DBC=30°，∠DAC=∠ACB=60°. 设AE=x,则0A=2x,0C=AC-A0=5-2x, 在Rt△AOE中，由勾股定理，得OE= 参考答案 √OA-AE=√5x.同理，ED=√30E=3x, .AD=AE+ED=x+3x=4x. 在m△c0F巾，cF=0C=】,则0F 1 3cr-535-0E0p-8+5 2 3x=53 2 在Rt△BOC中，BC=20C=10-4x,∴.S梯形ABcD= 5W3 (AD+BC)·EF（4x+10-4x)x 2255 2 2 2 2.解：如图，作AH⊥BC于点H. A D G F H .ADBC,∠BCD=90°， ∴.∠D=∠BCD=∠AHC=90°， .四边形AHCD是矩形，.CH=AD=4,AH= CD=6, ∴.BH=BC-CH=10-4=6,∴.BH=AH, ∴.△AHB是等腰直角三角形， .∠B=∠BAH=45o 在矩形EFCG中，EF⊥CF, ∴△BFE是等腰直角三角形 设EF=BF=x(0<x≤6)，则CF=BC-BF= 10-x, S矩形桌面ErCc=EF·CF=x·（10-x)=-(x- 5)2+25. .-1<0,∴.当x=5时，S取最大值，即EF=5 时，矩形桌面EFCG的面积最大. -77-专题五 四边形相关的辅助线 秒解11 见多个中点，想中位线 5年348考 眼看懂· 铺助线秒解导图 见到什么》 想到什么】 得到什么》】 连接DE,构造中位线 D 想中位线 D DE∥BC,且DE=⊥BC B 见多个中点 取AC的中点H,连接EH, FH,构造中位线 AED 想中位线 EH∥cD,且EH-CD FH∥AB,且FH= 学就会。】 辅助线秒解三步法 白典例如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D,E分别是AB,AC 的中点，点F在BC的延长线上，且∠CEF=∠A.求证： D 1见多个中点，想中位线定理 CF-2BC. 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 没有直接条 件证明CF与 DE//BC.DE=1BC BC的裁量关 DE是△ABC的 2 系，需作辅 中位线 助线进行线 段之间的 “等量转化 连接DE D. E分别是AB,AC的中点 -28- 专题四边形相关的辅助线 ☑满分秒解 ⊙证明：如图，连接DE.∠ACB=90°， .∴.∠A+∠B=90°，∠CEF+∠F=90°. .·∠CEF=∠A,∴.∠B=∠F .D,E分别是AB,AC的中点， 、DE∥BC,AE=CE,DE=2BC, ∴.∠ADE=∠B,∠AED=∠ACB=90°， ∴.∠ADE=∠F,.△ADE≌△EFC（AAS), DE=CF,即CF=2BC P名师点睛见到多个中点，就构造中位线，利用中位线定理解题 参考答案见P75 一练就对· 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6,BC=8,N是BC边上一点，M为AB 边上的动点，D,E分别为CN,MN的中点，则DE的最小值是 () 号 24 A.2 C.3 D. 第1题图 第2题图 第3题图 2.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC,D是BC的中点，AE⊥BE,AB=7,AC= 4,则DE的长度为 () A.1 B.1.5 C.3 D.5 -29- 初中蚊学？几何铺助线秒解 3.如图，在四边形ABCD中，∠A=90°，AB=12,AD=5,M,N分别为线段BC, AB上的动点（含端点，且点M不与点B重合），E,F分别为DM,MN的中 点，则EF的长度可能为 () A.2 B.5 C.7 D.9 4.如图，在△ABC中，∠B=2∠A,CD⊥AB于点D,E,F分别是AB,CB的中 点，求证：DE=DF 且综合提升 5.如图，在△ABC中，AB=2,AC=3,E为BC的中点，AD平分∠BAC,CF⊥ AD交AD的延长线于点F,求EF的长. D -30-