秒解10 见直角三角形，想斜边中线-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

专题四直角三角形相关的铺助线 秒解10 见直角三角形，想斜边中线 /5年372考 一眼看懂。 辅助线秒解导图 见到什么》】 想到什么》】 得到什么》》 连接OB 直角三角形十 斜边中点 想斜边中线 0B=0A=0C-=AC B 见直角三角形 取AC的中点O, 两个共斜边的 连接OD,OB 直角三角形 想斜边中线 OD=0B=0A=0C-=号AC 一 学就会·辅助线秒解三步法 G 典例如图，在正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上， H BC=1,CE=3.若H是AF的中点，则CH的长是 A.5 5 B. C. D.2 2 2 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 G F H H 构造以AF为 H=1AF(需先证明∠ACF 斜边的直角 三角形，则 90°) 4D? CF是斜边AF B 1C 3 E 上的中线 在正方形ABCD和正方形 连接AC,CF CEFG中，H是AF的中点 -25- 初中敏学？几何铺助线秒解 ☑满分秒解 ⊙解析：如图，连接AC,CF,延长AD交EF于点K, 则四边形ABEK和四边形DCEK都为矩形， ∴.DK=CE=3,EK=DC=1, .AK=AD+DK=4,FK=FE-EK=2. 在Rt△AKF中，AF=√AK+FK=√42+2=25. .·四边形ABCD和四边形CEFG都为正方形， ∴.∠ACD=∠GCF=45°，∴.∠ACF=∠ACD+∠GCF=90°. H是AF的中点， ·CH=2AF=5. 【答案】A 见到直角三角形+斜边中点或两个共斜边的直角三角形，就构造斜边中线， P1名师点晴 利用直角三角形斜边中线定理进行边的转化. 参考答案见P74 练就对 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=22,线段DE的两个端点D,E分 别在边AC,BC上移动，且DE=2.若P,Q分别是AB,DE的中点，则PQ的 最小值为 √2 A.1 B. C.2 D. 2 E D 第1题图 第2题图 2.如图，在△ABC中，∠B=56°，CD⊥AB交AB于点D,∠BCD的平分线CE和 ∠BDC的平分线DE相交于点E,F为AC边的中点，CD=CF,则∠ACD+ ∠CED= -26- 专题四直角三角彩相关的辅助线 目综合提升 3.如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=60°，BC=6,P为AC边上一动点，PE⊥ AB于点E,PF⊥BC于点F,连接EF,则EF的最小值为 () 6 C.3 D.25 M A D 第3题图 第4题图 4.如图，∠MON=0°，矩形ABCD的顶点A,B分别在边OM,ON上，当点B在边 ON上运动时，点A随之在OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB= 2,BC=1.在运动过程中，点D到点O的最大距离为 () A.√2+1 B.√2 C.145 5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，CF是AB边上的中线，且DC=BF, DE⊥CF于点E. (1)求证：E是CF的中点； (2)若∠B=30°，求∠BCF的度数. -27-初中数学几何辅助线秒解 (2)如图，过点C作CE⊥AB于点E. 由(1)知，CD=1,DB=√3，∴.BC=CD+DB=1+3 G ADAB CE, CE=BC,D_(1+3)x32+6 AB 2； 即点C到线段AB的距离为2+W6 2 4.解：如图，过点D作DE⊥AC于点E,过点B 作BF⊥AC于点F B AD=AB=BC, AC=2AF=2CF,tan L BAC-BF_ AF=L .CD=2,tan∠BAC=1,∠ACD=30°， DE-CD-1.CE-/CD-DE-3. 设BF=AF=x,则AD=AB=BC=√BF2+AF2= √2x,AC=2x, 根据题意，得AC=2x>2, .AE=√AD2-DE2=√/2x2-1. .AE=AC-CE,√2x2-1=2x-√3， 整理，得x2-2√5x+2=0, 解得x1=√3+1，x2=3-1(舍去)， .AC=2x=23+2, ∴SAw74C.0E=x2.3+2)x1=3+1 -74- 秒解10见直角三角形，想斜边中线 1.A如图，连接CQ,CP. E 在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=2√2， .AB=√AC2+BC2=4. DE=2,点Q,P分别是DE,AB的中点， CP=AB=2.CQ=2DE=1, 则当点C,Q,P在同一条直线上时，PQ取最 小值，最小值为2-1=1. 2.178°如图，连接DF .CD⊥AB,∴.∠BDC=∠ADC=90° ∠B=56°，∴.∠BCD=90°-∠B=34° ,·∠BCD的平分线CE和∠BDC的平分线 DE相交于点E, A∠BECD=∠BCD=17, LEDC=2∠BDC=45. .:∠CED=180°-∠ECD-∠EDC=180°-17°- 45°=118° F为AC边的中点，.CF=DF, 又.CF=CD,∴.CF=DF=CD, “.△CDF为等边三角形， .∠ACD=60°， ..∠ACD+∠CED=60°+118°=178°. 3.A如图，连接BP,取BP E 的中点G,连接EG,FG G .PE⊥AB,PF⊥BC, .∠BEP=∠BFP=90°， :.EC=CF-BG-1BP, .∴.∠BEG=∠EBG,∠BFG=∠FBG, ∴.∠EGF=∠BEG+∠EBG+∠BFG+∠FBG= 2(∠EBG+∠FBG)=2∠ABC=2X45°=90°， ∴.△EGF为等腰直角三角形， .EF=√EG2+FG2= 2BP)2+(2BP)2= BP. 2 ∴.当且仅当BP⊥AC时，BP取最小值，此时 EF的值也最小N 1 ∠C=60°，.∠PBC=30°，.PC=。BC=3, .BP=√BC2-CP2=33, .BP的最小值为3√3，此时，EF取得最小值， ®小值为X3- 2 4.A如图，取AB的中点E,连接OD,OE,DE, M B 参考答案 则A证-B=1 OD≤OE+DE,∴.当O,D,E三点共线时，点 D到点O的距离最大 .∠MON=90°，.△AOB是直角三角形 E是AB的中点，AB=2,0E=2AB=1 ,四边形ABCD是矩形，∴.∠EAD=90°， .△ADE是直角三角形 由勾股定理，得DE=√AD+AE=√2. .OD的最大值为OE+DE=1+√2. 5.（1)证明：如图，连接DF. A E AD是BC边上的高，.△ABD是直角三角形 又CF是AB边上的中线， 1 ,DF=BF=。AB. DC=BF,..DC=DF. DE⊥CF,∴.E是CF的中点 (2)解：由(1)知，DF=BF,∴.∠FDB=∠B=30. DC=DF, 六LDCF=LDFC=2FDB=15, 专题五 四边形相关的辅助线 秒解11见多个中点，想中位线 1.B如图，连接CM.当CM⊥AB时，CM的值 -75-