2026年中考数学专题强化训练：全等三角形的判定与性质

2026年中考数学专题强化训练： 全等三角形的判定与性质 1．（1）如图1，△ABC与△ADE均是顶角为40°的等腰三角形，BC、DE分别是底边，求证：BD＝CE； （2）如图2，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A、D、E在同一直线上，连接BE． 填空：∠AEB的度数为 　 　 ；线段BE与AD之间的数量关系是 　 　 ． （3）拓展探究 如图3，△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，点A、D、E在同一直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE．请判断∠AEB的度数及线段CM、AE、BE之间的数量关系，并说明理由． 2．在等腰Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D是边BC上任意一点，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E． （1）如图1，若∠BAD＝15°，且CE＝1，求线段BD的长； （2）如图2，过点C作CF⊥CE，且CF＝CE，连接FE并延长交AB于点M，连接BF，求证：AM＝BM． 3．在等腰三角形ABC中，已知∠BAC＝90°，AB＝AC． （1）如图1，若BD是∠ABC的平分线，求证：BC＝AD+AB； （2）如图2，若点D，E在AC边上，且AD＝CE，AF⊥BD，分别交BD，BC于点F，G，连接BE，GE，猜想∠ADB与∠CEG的大小关系，并说明理由． 4．如图，在△ABC中，AB＝AC，BE⊥AC于点E，BE＝AE，AD是∠BAC的角平分线，和BE相交于点P，和BC边交于点D，点F是AB边的中点，连接EF，交AD于点Q，连接BQ． （1）求证：△BCE≌△APE； （2）求证：BDAP； （3）判断△BDQ的形状，并证明你的结论． 5．如图，在△ABC中，∠A＝45°，点D在AB边上，BC＝CD，DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，BF交CD于点G． （1）若∠ACD＝22.5°，则∠CBF＝ 　 　 °； （2）求证：CF＝DE； （3）若AB＝AC，求证：BG＝2DE． 6．如图1，△ABC和△CDE均为等边三角形，点E在△ABC内，连结BE，AD． （1）证明：△BEC≌△ADC． （2）如图2，若点B、E、D恰好在同一条直线上，且AD＝2DC，△BCD的面积为1，求△ABD的面积． 7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD⊥AC，AD平分∠BAC或∠BAC的外角，交直线BC和CD分别于点E、点D，DF⊥BC于点F． （1）当∠BAC＝45°时，如图①，请直接写出线段AB、DF、AC之间的数量关系为　 　 ； （2）当∠BAC＝60°时，如图②，当∠BAC＝30°时，如图③，请分别写出线段AB、DF、AC之间的数量关系，并选择图②或图③进行证明． 8．如图，AD是△ABC的中线，BE⊥AD，垂足为E，CF⊥AD，交AD的延长线于点F，G是DA延长线上一点，连接BG． （1）求证：DE＝DF； （2）若BG＝CA，DE＝4，求AG的长． 9．△ABC，△AEF是等边三角形，点F在直线BC上，ED⊥AB，交直线AB于点D． （1）当点F在边BC上时，如图①，求证：AC﹣BF＝2BD； （2）当点F在BC的延长线上时，如图②；当点F在CB的延长线上时，如图③，其他条件不变，线段AC，BF，BD又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明． 10．数学模型可以用来解决一类问题，是数学应用的基本途径．通过探究图形的变化规律，再结合其他数学知识的内在联系，最终可以获得宝贵的数学经验，并将其运用到更广阔的数学天地． （1）发现问题：如图1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，连接BE，CF，延长BE交CF于点D．则BE与CF的数量关系：　 　 ，∠BDC＝　 　 ． （2）类比探究：如图2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，连接BE，CF，延长BE，FC交于点D．请猜想BE与CF的数量关系及∠BDC的度数并说明理由； （3）拓展延伸：等腰三角形的腰和底相等时，三角形为等边三角形，等边三角形有一些特殊的性质，在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，则CD的长 　 　 ． 11．如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是△ABC的高线，BF是△ABC的角平分线，BF和AD交于点E． （1）求证：∠AEF＝∠AFE； （2）若EF＝2DE＝4， ①求证：EA＝EB； ②求线段BD的长． 12．在△ABC中，AB＝AC，点D在BC边上，点E在CA的延长线上，连接EB，ED，ED与AB交于点F，且EB＝ED． （1）如图①，求证：∠ABE＝∠CED； （2）如图②，∠BAC＝90°，过点C作CG⊥CE，垂足为C，与ED的延长线交于点G．求证：EF＝DG． 13．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D为AB的中点，点E是AC上一点．连接DE，过D作DF⊥DE交BC于点F，连接EF． （1）如图1，EF与CD相交于点G． ①求证：AE＝CF； ②当AD＝CE，DG＝4时，求CG的长． （2）如图2，点M为BC上一点，且∠CME＝2∠ADE，AE：CE＝2：5，求的值． 14．如图1，有两个全等的直角△ABC和△EDF，∠ACB＝∠F＝90°，∠A＝∠E＝30°，点D在边AB上，且AD＝BD＝CD．△EDF绕着点D旋转，边DE，DF分别交边AC于点M，K． （1）如图2、图3，当∠CDF＝0°或60°时，AM+CK　 　 MK（填“＞”，“＜”或“＝”），你的依据是　 　 ； （2）如图4，当∠CDF＝30°时，AM+CK　 　 MK（填“＞”或“＜”）； （3）猜想：如图1，当0°＜∠CDF＜60°时，AM+CK　 　 MK，试证明你的猜想． 15．如图，△ABC，△CDE都是等边三角形，连接AD，BE，点M是线段AD的中点，点N是线段BE的中点．连接CM，CN，MN． （1）求证：AD＝BE； （2）求证：△MNC是等边三角形． 16．如图1，在△ABC中，∠B＝∠ACB，延长BA至D，过点D作DE⊥BC交BC的延长线于点E，延长AC至F，过点F作FG⊥BC交BC的延长线于点G，且DE＝FG． （1）求证：△BDE≌△CFG； （2）如图2，连接DF，交EG于点H，用等式表示线段GH与BC的数量关系，并证明． 17．阅读下面材料： 小明遇到这样一个问题： 如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，∠ABC＝2∠C．求证：AC＝AB+BD； 小明通过思考发现可以通过“截长或补短”两种方法解决问题： 方法一：如图2，在AC上截取AE使得AE＝AB，连接DE，可以得到全等三角形，进而解决问题． 方法二：如图3，延长AB到点E使得BE＝BD，连接DE，可以得到等腰三角形进而解决问题． （1）根据阅读材料，任选一种方法证明AC＝AB+BD． （2）根据自己的解题经验或参考小明的方法解决下面的问题． 如图4，∠ACB＝2∠B，AD为△ABC的外角∠CAF的平分线，交BC的延长线于点D，则线段AB、AC、CD又有怎样的数量关系？写出你的猜想并加以证明． 参考答案 1．（1）证明：∵∠BAC＝∠DAE＝40°， ∴∠BAC﹣∠DAC＝∠DAE﹣∠DAC， 即∠BAD＝∠CAE， 在△BAD和△CAE中， ∴△BAD≌△CAE（SAS）， ∴BD＝CE． （2）解：∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°，∠CDE＝∠CED＝60°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE＝AD，∠ADC＝∠BEC， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝180°﹣60°＝120°， ∴∠BEC＝120°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝120°﹣60°＝60°， 综上，可得 ∠AEB的度数为60°；线段BE与AD之间的数量关系是：BE＝AD． 故答案为：60°、BE＝AD． （3）解：∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝90°，∠CDE＝∠CED＝45°， ∴∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE＝AD，∠BEC＝∠ADC， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴∠ADC＝180﹣45＝135°， ∴∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝∠BEC﹣∠CED＝135﹣45＝90°； ∵∠DCE＝90°，CD＝CE，CM⊥DE， ∴CM＝DM＝EM， ∴DE＝DM+EM＝2CM， ∴AE＝AD+DE＝BE+2CM． 2．（1）解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝45°， ∵∠BAD＝15°， ∴∠CAE＝45°﹣15°＝30°， Rt△ACE中，CE＝1， ∴AC＝2CE＝2， Rt△CED中，∠ECD＝90°﹣60°＝30°， ∴CD＝2ED， 设ED＝x，则CD＝2x， ∴CEx， ∴x＝1， x， ∴CD＝2x， ∴BD＝BC﹣CD＝AC﹣CD＝2； （2）如图2，连接CM， ∵∠ACB＝∠ECF＝90°， ∴∠ACE＝∠BCF， ∵AC＝BC，CE＝CF， ∴△ACE≌△BCF， ∴∠BFC＝∠AEC＝90°， ∵∠CFE＝45°， ∴∠MFB＝45°， ∵∠CFM＝∠CBA＝45°， ∴C、M、B、F四点共圆， ∴∠BCM＝∠MFB＝45°， ∴∠ACM＝∠BCM＝45°， ∵AC＝BC， ∴AM＝BM． 3．（1）证明：如图2，过D作DE⊥BC于E， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠BED＝∠BAC＝90°， ∵BD是∠ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠EBD， 又∵BD＝BD， ∴△ABD≌△EBD（AAS）， ∴AB＝EB，AD＝DE， ∵∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠C＝45°， 又∵∠CED＝90°， ∴∠CDE＝180°﹣∠CED﹣∠C＝45°＝∠C， ∴CE＝DE， 又∵AB＝EB，AD＝DE， ∴BC＝BE+CE＝AB+DE＝AB+AD； （2）解：猜想：∠ADB＝∠CEG． 理由：如图3，过点C作CH⊥AC，交AG的延长线于点H， 又∵∠BAC＝90°， ∴∠HCA＝∠DAB＝90°， ∵∠BAC＝90°，AF⊥BD， ∴∠DAF+∠ADF＝90°，∠ABD+∠ADF＝90°， ∴∠ABD＝∠DAF， 又∵AB＝AC，∠HCA＝∠DAB， ∴△ABD≌△CAH（ASA）， ∴AD＝CH，∠ADB＝∠H． 又∵AD＝CE， ∴CH＝CE． ∵∠ACB＝45°，∠ACH＝90°， ∴∠BCH＝∠ACB＝45°， 又∵GC＝GC，CH＝CE， ∴△ECG≌△HCG（SAS）， ∴∠CEG＝∠H， 又∵∠ADB＝∠H， ∴∠ADB＝∠CEG． 4．证明：（1）如图： ∵AD是∠BAC的角平分线，AB＝AC， ∴∠BDP＝90°，BD＝CD， ∵BE⊥AC， ∴∠AEP＝∠BEC＝90°， ∵在△BPD和△APE中，∠AEP＝∠BDP＝90°，∠BPD＝∠APE，∠PAE+∠PEA+∠APE＝180°，∠BDP+∠BPD+∠EBC＝180°， ∴∠EBC＝∠EAP， 在△BCE和△APE中， ， ∴△BCE≌△APE； （2）∵△BCE≌△APE， ∴BC＝AP， ∵BD＝CD， ∴BDBC， ∴BDAP； （3）△BDQ是等腰直角三角形， 证明：∵BE＝AE，F是AB的中点， ∴EF是线段AB的垂直平分线， ∴AQ＝BQ， ∴∠BAQ＝∠ABQ， ∵BE＝AE，∠BEA＝90°， ∴∠BAE＝45°， ∵AD是∠BAC的角平分线， ∴∠BAD＝∠CAD＝22.5°， ∵∠BAD＝∠ABQ， ∴∠BAD＝∠ABQ＝22.5°， ∴∠BQD＝22.5°×2＝45°， ∵∠ADB＝90°， ∴△BDQ是等腰直角三角形． 5．（1）解：如图1所示： ∵∠A＝45°，BF⊥AC， ∴△ABF是等腰直角三角形， ∴∠1＝∠A＝45°， ∵∠ACD＝22.5°， ∴∠2＝∠A+∠ACD＝67.5°， ∵BC＝CD， ∴∠2＝∠CBD＝67.5°， 即∠1+∠CBF＝67.5°， ∴∠CBF＝67.5°﹣∠3＝22.5°， 故答案为：22.5； （2）证明：如图2所示： ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠BFC＝∠CED＝90°， ∵△ABF是等腰直角三角形， ∴AF＝BF，∠1＝∠A＝45°， ∵BC＝CD， ∴∠2＝∠CBD＝∠1+∠3＝45°+∠3， ∵∠2＝∠A+∠ACD＝45°+∠ACD， ∴∠3＝∠ACD， 在△BFC和△CED中， ， ∴△BFC≌△CED（AAS）， ∴CF＝DE； （3）证明：过点C作CH⊥AB于H，如图3所示： ∵∠A＝45°，AB＝AC， ∴∠ABC＝∠ACB（180°﹣∠A）＝67.5°， ∵BC＝CD，CH⊥AB，∠ACH＝∠DCH＝1/2∠BCD， ∴∠2＝∠ABC＝67.5°，DH＝BH， ∴∠1+∠3＝∠ABC＝67.5°， ∵∠1＝∠A＝45°， ∴∠3＝22.5°， ∵∠2＝∠A+∠ACD＝67.5°， ∴∠ACD＝22.5°， ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠ACD＝67.5°﹣22.5°＝45°， ∴∠ACH＝∠DCH∠BCD＝22.5°， ∴∠DCH＝∠ACD＝22.5°， 即CD是∠ACH的平分线， 又∵DE⊥AC，CH⊥AH， ∴DE＝DH＝BH， ∴BD＝2DH＝2DE， 在△BDH中，∠4＝180°﹣（∠1+∠2）＝67.5°， ∴∠2＝∠4＝67.5°， ∴BG＝BD， ∴BG＝2DE． 6．（1）证明：在等边△ABC和等边△DEC中，∠ACB＝∠DCE＝60°，AC＝BC，DC＝EC， ∴∠ACB﹣∠ACE＝∠DCE﹣∠ACE， 即∠ECB＝∠DCA， 在△BEC和△ADC中， ， ∴△BEC≌△ADC（SAS）； （2）解：在等边△DEC中，∠DEC＝∠CDE＝60°， ∵B、E、D恰好在同一条直线上， ∴∠BEC＝180°﹣∠CED＝120°， ∵△BEC≌△ADC， ∴∠ADC＝∠BEC＝120°， 又∵∠CDE＝60°， ∴∠ADB＝∠ADC﹣∠CDE＝60°＝∠CDB， 如图2，作BM⊥AD于点M，BN⊥DC交DC的延长线于点N， ∴BM＝BN（角平分线上的点到角两边的距离相等） ∴S△BCD：S△ABD＝CD：AD， ∵AD＝2CD，△BCD的面积为1， ∴S△ABD＝2S△BCD＝2． 7．解：（1）当∠BAC＝45°时，如图①，线段AB、DF、AC之间的数量关系为：AB+DF＝AC； 故答案为：AB+DF＝AC； （2）图②结论：AB+DF＝AC；图③结论：DF﹣AB＝AC； 图②理由如下：过点E作EM⊥AC于点M，则∠CME＝∠AME＝90°． ∵AD平分∠BAC，EB⊥AB，EM⊥AM， ∴EB＝EM， ∵AE＝AE， ∴Rt△ABE≌Rt△AME（HL）， ∴AB＝AM， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝30°， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90°， ∴∠DCE+∠ACB＝90°， ∴∠DCE＝60°， ∵AD平分∠BAC， ∴， ∴∠DEC＝∠EAC+∠ACB＝60°， ∴∠DEC＝∠DCE＝60°， ∴DE＝DC， ∴△DEC是等边三角形， ∴CE＝DC， ∵DF⊥BC， ∴∠DFC＝90°， ∴∠FDC＝30°， ∴∠FDC＝∠MCE＝30°， 在△EMC和△CFD中， ， ∴△EMC≌△CFD（AAS）， ∴CM＝DF， ∵AM+CM＝AC， ∴AB+DF＝AC． 图③理由如下：过点E作EM⊥AC于点M，则∠ABE＝∠AME＝90°． ∵AD平分∠BAC的外角，EB⊥AB，EM⊥AM， 在Rt△ABE和Rt△AME中， ， ∴Rt△ABE≌Rt△AME（AAS）， ∴AB＝AM， ∵∠ABC＝90°， ∴∠BAC+∠ACB＝90°， ∴∠ACB＝60°， ∵CD⊥AC， ∴∠ACD＝90°， ∴∠DCF+∠ACB＝90°， ∴∠DCF＝30°， ∠ACD＝∠AME＝90°， ∠CEM＝90°﹣∠ACB＝30°， ∠CEM＝∠DCF， CD∥ME， ∠ADC＝∠AEM， ∴Rt△ABE≌Rt△AME， ∠AEB＝∠AEM， ∠AEB＝∠ADC， CD＝CE， ∵∠CME＝∠CFD， ∴△EMC≌△CFD（AAS）， ∴CM＝DF， ∵AM+AC＝DF， ∴AB+AC＝DF． 8．（1）证明：∵AD是△ABC的中线， ∴BD＝CD， ∵BE⊥AD，CF⊥AD， ∴∠F＝∠BED＝90°（垂直的定义）， 在△BDE和△CDF中， ， ∴△BDE≌△CDF（AAS）， ∴DE＝DF（全等三角形对应边相等）； （2）解：∵△BDE≌△CDF， ∴BE＝CF（全等三角形对应边相等）， 在Rt△BEG和Rt△CFA中， ， ∴Rt△BEG≌Rt△CFA（HL）， ∴EG＝FA（全等三角形对应边相等）， ∴AG＝EF， ∵DE＝DF＝4， ∴EF＝DE+DF＝8， ∴AG＝EF＝8． 9．（1）证明：如图①，△ABC，△AEF是等边三角形，连接BE， ∴∠CAB＝∠FAE＝60°，AC＝AB，AF＝AE， ∴∠CAF＝∠BAE， 在△ACF与△ABE中， ， ∴△ACF≌△ABE（SAS）， ∴∠C＝∠ABE＝60°，CF＝BE， ∵ED⊥AB， ∴∠DEB＝30°， ∴， ∴CF＝2BD， ∵BC＝AC， ∴AC﹣BF＝2BD； （2）当点F在BC的延长线上时，BF﹣AC＝2BD；当点F在CB的延长线上时，AC+BF＝2BD． 证明：如图②，△ABC，△AEF是等边三角形，连接BE， ∴AC＝AB，AF＝AE，∠CAB＝∠FAE＝60°， ∴∠CAF＝∠BAE，∠ACF＝120° ∴△ACF≌△ABE（SAS）， ∴CF＝BE，∠ACF＝∠ABE＝120°， ∴∠EBD＝60°， ∵ED⊥AB， ∴∠DEB＝30°， ∴， ∴CF＝2BD， ∵BC＝AC， ∴BF﹣AC＝2BD； 如图③，△ABC，△AEF是等边三角形，连接BE， ∴AC＝AB，AF＝AE，∠BAC＝∠EAF＝60°， ∴∠CAF＝∠BAE， ∴△ACF≌△ABE（SAS）， ∴CF＝BE，∠C＝∠ABE＝60°， ∵ED⊥AB， ∴∠DEB＝30°， ∴， ∴CF＝2BD， ∵BC＝AC， ∴AC+BF＝2BD． 10．解：（1）如图1所示，设AC与BD交于点O， ∵∠BAC＝∠EAF＝30°， ∴∠BAC+∠CAE＝∠EAF+∠CAE， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠ABE＝∠ACF， ∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC， ∠AOE＝∠ACF+∠BDC， ∴∠BDC＝∠BAC＝30°， 即BE＝CF，∠BDC＝30°； （2）∵∠BAC＝∠EAF＝120°， ∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC， 即∠BAE＝∠CAF， 在△ABE和△ACF中， ， ∴△ABE≌△ACF（SAS）， ∴BE＝CF，∠AEB＝∠AFC， ∵∠EAF＝120°，AE＝AF， ∴∠AEF＝∠AFE＝30°， ∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°， 即∴BE＝CF，∠BDC＝60°； （3）①当点E在BA延长线，点D在BC延长线时，如图所示， 过点E作EO⊥CD交CD于点O， ∵EO⊥CD，ED＝EC， ∴， 在Rt△EOB中，∠B＝60°， ∴∠BEO＝30°， ∴， ∴， ∴CD＝2CO＝1． ②当点E在AB延长线，点D在CB延长线时，如图所示， 过点E作EO⊥CD交CD于点O， ∵EO⊥CD，ED＝EC， ∴． 在Rt△EOB中，∠OBE＝60°， ∴∠BEO＝30°， ∴， ∴DO＝BO＝1， ∴CD＝CB+BO+OD＝1+1+1＝3， 综上所述，CD＝1或者CD＝3． 11．（1）证明：∵AD是△ABC的高线， ∴AD⊥BC， ∴∠ADB＝∠BAC＝90°， ∴∠DBE+∠DEB＝∠ABF+∠AFB＝90°， ∵BF是△ABC的角平分线， ∴∠DBE＝∠ABF（角平分线的定义）， ∴∠DEB＝∠AFB， 即∠DEB＝∠AFE， ∵∠DEB＝∠AEF， ∴∠AEF＝∠AFE． （2）证明：①过点A作AH⊥EF交EF于点H， ∵∠AEF＝∠AFE， ∴AE＝AF（等角对等边）， ∴△AEF为等腰三角形， ∵AH⊥EF， ∴H为EF中点， 即， ∴EH＝ED， 在△DBE和△HAE中， ， ∴△DBE≌△HAE（ASA）， ∴BE＝AE． 解：②∵BE＝AE， ∴∠EAB＝∠EBA＝∠EBD， ∵∠DAB+∠ABD＝90°， ∴∠EAB＝∠EBA＝∠EBD＝30°， 即在Rt△DBE中，∠EBD＝30°， ∴BE＝2DE＝4， 结合勾股定理可得 故线段BD的长为． 12．证明：（1）∵AB＝AC，EB＝ED， ∴∠ABC＝∠C，∠EBD＝∠EDB， ∵∠EBD＝∠ABE+∠ABC，∠EDB＝∠C+∠CED， ∴∠ABE+∠ABC＝∠C+∠CED， ∴∠ABE＝∠CED； （2）在CE上截取线段CT，使得CT＝CG． ∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴∠ABC＝∠ACB＝45°， ∵CG⊥CE， ∴∠DCH＝∠DCT＝45°， ∵CD＝CD，CT＝CG， ∴△DCT≌△DCG（SAS）， ∴DG＝DT，∠G＝∠DTC， ∵∠BAE＝∠ACG＝90°， ∴BA∥CG， ∴∠AFE＝∠G＝∠DTC， ∵∠AFE+∠BFE＝180°，∠CTD+∠ETD＝180°， ∴∠BFE＝∠ETD， ∵BE＝ED，∠ABE＝∠DET， ∴△BFE≌△ETD（AAS）， ∴EF＝DT＝DG． 13．（1）①证明：∵AC＝BC，∠ACB＝90°， ∴∠A＝∠B＝45°（等边对等角）， ∵D是AB的中点， ∴∠CDA＝90°，∠FCD＝∠A＝45°，CD＝AD＝BD， ∵DE⊥DF， ∴∠EDF＝∠CDA＝90°（垂直的定义）， ∴∠FDC＝∠EDA， 在△DFC与△DEA中， ， ∴△DFC≌△DEA（ASA）， ∴CF＝AE（全等三角形对应边相等）； ②解：由①可得，△DFC≌△DEA， ∴DF＝DE（全等三角形对应边相等）， ∴∠DEF＝∠DFE＝45°， ∴∠CED＝∠DEF+∠CEF＝45°+∠CEF， 又∵∠EGD＝∠DCE+∠CEF＝45°+∠CEF， ∴∠EGD＝∠CED， ∵CE＝AD，AD＝CD， ∴CE＝CD， ∴∠CED＝∠CDE（等边对等角）， ∴∠CDE＝∠EGD， ∴EG＝DE（等角对等边）， 如图1：过E作EQ⊥DC于Q， ∴，且∠QCE＝∠QEC＝45°， ∴CQ＝EQ， 设CQ＝EQ＝x， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图2：延长FC到N，使得CN＝FC，连接EN． ∵CF＝CN，CE＝CE，∠FCE＝∠NCE＝90°， 在△FCE和△NCE中， ， ∴△FCE≌△NCE（SAS）， ∴∠FEC＝∠NEC，NC＝CF， ∵AE：CE＝2：5， ∴设AE＝2a，CE＝5a， 由（1）CF＝AE，DE＝DF，∠EDF＝90°， ∴AE＝CF＝CN＝2a，∠DEF＝45°＝∠A， ∴∠CED＝∠CEF+∠DEF＝∠ADE+∠ADE， ∴∠ADE＝∠FEC， 设∠FEC＝∠NEC＝α，则∠ADE＝∠FEC＝α， ∵∠CME＝2∠ADE＝2α， ∴∠N＝90°﹣α， ∴∠MEN＝180°﹣2α﹣（90°﹣α）＝90°﹣α， ∴∠N＝∠MEN， ∴MN＝ME， 设MN＝ME＝x，则MC＝x﹣2a， ∵CM2+CE2＝ME2， ∴（x﹣2a）2+（5a）2＝x2，解得：． ∴． ∴． 14．解：（1）在Rt△ABC中，D是AB的中点， ∴AD＝BD＝CDAB，∠B＝∠BDC＝60° 又∵∠A＝30°， ∴∠ACD＝60°﹣30°＝30°， 又∵∠CDE＝60°，或∠CDF＝60°时， ∴∠CKD＝90°， ∴在△CDA中，AM（K）＝CM（K），即AM（K）＝KM（C）（等腰三角形底边上的垂线与中线重合）， ∵CK＝0，或AM＝0， ∴AM+CK＝MK； （2）由（1），得∠ACD＝30°，∠CDB＝60°， 又∵∠A＝30°，∠CDF＝30°，∠EDF＝60°， ∴∠ADM＝30°， ∴AM＝MD，CK＝KD， ∴AM+CK＝MD+KD， ∴在△MKD中，AM+CK＞MK， （3）AM+CK＞MK， 证明：作点A关于ED的对称点G，连接GK，GM，GD． ∵点G是点A关于直线DE的对称点 ∴AD＝GD，GM＝AM，∠GDM＝∠ADM， ∵Rt△ABC 中，D是AB的中点， ∴AD＝CD＝GD． ∵∠A＝∠E＝30°， ∴∠CDA＝120°，∠EDF＝60°， ∴∠GDM+∠GDK＝60°，∠ADM+∠CDK＝60°， ∴∠GDK＝∠CDK， 在△GDK和△CDK中， ∵， ∴△GDK≌△CDK（SAS）， ∴GK＝CK， ∵GM+GK＞MK， ∴AM+CK＞MK． 15．证明：（1）∵△ABC，△CDE都是等边三角形， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB＝∠DCE＝60°（等边三角形的性质）， ∴∠ACB+∠BCD＝∠DCE+∠BCD， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△ACD和△BCE中， ∵， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴AD＝BE（全等三角形对应边相等）； （2）∵△ACD≌△BCE， ∴∠CAD＝∠CBE（全等三角形对应角相等），AD＝BE（全等三角形对应边相等）， ∵点M是线段AD的中点，点N是线段BE的中点， ∴，， ∴AM＝BN， 在△ACM和△BCN中， ∵， ∴△ACM≌△BCN（SAS）， ∴∠ACM＝∠BCN（全等三角形对应角相等），CM＝CN（全等三角形对应边相等）， ∵∠ACM+∠MCB＝∠ACB＝60°， ∴∠BCN+∠MCB＝60°，即∠MCN＝60°， ∵CM＝CN，∠MCN＝60°， ∴△MNC是等边三角形． 16．（1）证明：∵DE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠DEB＝∠FGC＝90°， ∵∠B＝∠ACB，∠FCG＝∠ACB， ∴∠B＝∠FCG， 在△BDE与△CFG中， ， ∴△BDE≌△CFG（AAS）； （2）解：GHBC，理由如下： ∵△BDE≌△CFG， ∴BE＝CG， ∴BE﹣CE＝CG﹣CE， 即BC＝EG， ∵DE⊥BC，FG⊥BC， ∴∠DEH＝∠FGH＝90°， 在△DEH与△FGH中， ， ∴△DEH≌△FGH（AAS）， ∴GH＝EHEG， ∴GHBC． 17．（1）证明：方法一：如图2： ∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD＝∠EAD， 在△BAD和△EAD中， ， ∴△ABD≌△AED（SAS）， ∴BD＝ED，∠AED＝∠ABC＝2∠C， ∵∠AED＝∠C+∠EDC， ∴∠EDC＝∠C， ∴ED＝EC， ∴BD＝EC， ∴AC＝AE+EC＝AB+BD； 方法二，如图3： ∵BE＝BD， ∴∠E＝∠BDE， ∵∠ABD是△BED的外角， ∴∠ABD＝∠E+∠BDE＝2∠E， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠E， 在△EAD和△CAD中， ， ∴△EAD≌△CAD（AAS）， ∴AC＝AE＝AB+BE＝AB+BD； （2）解：AB＝CD﹣AC，理由如下： 如图4，在BA的延长线AF上取一点E，使得AE＝AC，连接DE， ∵AD为△ABC的外角∠CAF的平分线， ∴∠CAD＝∠EAD， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（SAS）， ∴∠ACD＝∠AED，CD＝DE， ∴∠ACB＝∠FED， 又∵∠ACB＝2∠B， ∴∠FED＝2∠B， 又∵∠FED＝∠B+∠EDB， ∴∠EDB＝∠B， ∴DE＝BE， ∴BE＝CD， ∴AB＝CD﹣AC． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/4/3 11:54:29；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $