秒解7 见等线段共端点，想手拉手全等-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

初中蚊学几何辅助线秒解 秒解7见等线段共端点， 想手拉手全等 1.B如图，连接CE. 在Rt△ABC中，AB=AC=3, .∴.∠B=∠ACB=45 ·将AD绕点A逆时针旋转90°得到AE, ∴.AD=AE,∠DAE=∠BAC=90°， .∠BAD=∠CAE. 在△ABD和△ACE中， (AB=AC, ∠BAD=∠CAE,∴.△ABD≌△ACE(SAS), AD=AE, ∴.∠ACE=∠B=45°，∴.∠BCE=90°， ∴.点E在过点C且垂直于BC的直线上运动， ∴.当OE⊥CE时，OE的值最小，即OE2的值 最小 A0=1,AC=3,∴.C0=2. 当OE⊥CE时，∠ACE=45°，∴.OE=CE. ·0E2+CE2=0C2=4, .0E2=2. 2.D如图，过点A作AE⊥AP,使点E,B在AP 两侧，AE=AP=√2，连接BE. E .PE=√AE2+AP2=2. ·,四边形ABCD为正 方形， .∠BAD=90°，AB=AD, ∴.∠PAE+∠PAB=∠BAD+∠PAB, 即∠BAE=∠PAD. -70- (AE=AP, 在△AEB和△APD中，∠BAE=∠DAP, AB=AD, ∴.△AEB≌△APD(SAS),∴.BE=DP. .BE≤PE+PB=4+2=6, ∴.当点P落在线段BE上时，BE有最大值， 最大值为6， .DP的最大值为6. 3.232如图，连接EC. ,·△ABC,△BDE都是等边 三角形，∴.BA=BC,BD=BE, ∠ABC=∠DBE=60°， ∴.∠ABD=∠CBE. BA=BC, 在△ABD和△CBE中，{∠ABD=∠CBE, BD=BE, ∴.△ABD≌△CBE(SAS),∴.AD=EC. 点D从点A运动到点H,.点E的运动路 径的长为CM=AH=2√3. 当点D运动到点H时，：△BDE是等边三角形， ∴.BE=BD=BH=2 4.(1)证明：.∠BAC=∠DAE, .∠BAC-∠1=∠DAE-∠1，即∠2=∠3. (AB=AC, 在△ABE和△ACD中，∠2=∠3， AE=AD, ∴.△ABE≌△ACD(SAS). (2)解：在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°， ∠ABC=∠ACB=180°40°=70， 2 .∴.∠ADB=∠ACB=70°. AE=AD,∴.∠AED=∠ADB=70°， .∴.∠EAD=180°-∠AED-∠ADB=40°， .∴.∠BAC=∠EAD, .∴.∠BAC-∠EAC=∠EAD-∠EAC, 即∠BAE=∠CAD. 在△BAE和△CAD中， (AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE=AD, .△BAE≌△CAD(SAS), .∠ADC=∠AEB, ∴.∠ADB+∠BDC=∠ADB+∠EAD, ∴.∠BDC=∠EAD=40°. (3)解：∠BDC+∠BAC=180°.理由如下： 如图，在边DB的延长线上找一点E,使 AE=AD. D 设LBAC=aAB=AC,.∠1=∠2=180-e 902∠3=11=0 2 AE=AD,∠E=∠3=90-C 2 .∠EAD=180°-∠3-∠E=, ..∠EAD=∠BAC, ∴.∠EAD-∠BAD=∠BAC-∠BAD, 参考答案 即∠BAE=∠CAD. AB=AC, 在△BAE和△CAD中，∠BAE=∠CAD, AE=AD, ∴.△BAE≌△CAD(SAS), 六.∠ADC=LE=90°-C 2 ∠B0C=∠3+∠ADC=2909)=180-0, .∠BDC+∠BAC=180. 秒解8见一线上有等线等角， 想一线三等角型全等 1.3如图，过点C作CF⊥AB于点F M A B N 由题意知，AD=AC,BE=BC. DM⊥AB于点M,EN⊥AB于点N,CF⊥AB 于点F,∴.∠AMD=∠AFC=∠BFC=∠BNE= 90°，∴.∠D+∠DAM=90°. .·∠CAD=90°，∴.∠CAF+∠DAM=90°， ∴.∠D=∠CAF [∠AMD=∠CFA, 在△DAM和△ACF中，{LD=∠CAF, AD=AC, .△DAM≌△ACF(AAS), .DM=AF.同理可证，△BFC≌△ENB(AAS), ∴.BF=EN=2. AB=5,∴.AF=3,.DM=3. -71-初中敏学？几何铺助线秒解 秒解7 见等线段共端点，想手拉手全等 5年480考 眼看懂 辅助线秒解导图 见到什么》 想到什么 得到什么 双等腰 连接对应底角的顶点 想手拉手 全等 △ABD≌△ACE 见等线段共端点 等腰及一点 旋转 想手拉手 △ABD≌△ACE B 全等 学就会。 辅助线秒解三步法 白典例如图，∠ADC=30°，△ABC和△CDE都是等边三角形.若AD=5,BD=9, 则CD的长是 见等线段，共端点，想 AD,BD,CD三条线段 手拉手全等三角形 里“爪”字形，无直接关 系，通常利用旋转转化边 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 不能直接得 D 构造手拉手 △BCD≌△ACE,BD=AE 到CD5AB 全等三角形 30D BD的数量关 系，必须作 辅助线进行 线段的”等 E量转化“ B B 连接AE △ABC和△CDE都是等边三角形 -16- 专题白全等三角形相关的辅助线 ☑满分秒解 Q解析：如图，连接AE,∠BCD=∠BCA+∠ACD=∠DCE+∠ACD=∠ACE. BC=AC, 在△BCD和△ACE中， ∠BCD=∠ACE, CD=CE. ∴.△BCD≌△ACE(SAS),.BD=AE. 又，∠ADC=30°，∴.∠ADE=∠ADC+∠CDE=90°. 在Rt△ADE中，AE=BD=9,AD=5,∴.DE=√AE2-AD=2√14， .∴.CD=DE=2J14. 【答案】2√/14 P名师点晴见到等线段共端点，就连接对应底角的顶点或旋转，构造手拉手全等三角形. 参考答案见P70 练就对 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=3,AO=1,点D在直线BC上 若将AD绕点A逆时针旋转90°得到AE,连接OE,则在点D运动的过程中， OE2的最小值为 () 第1题图 第2题图 A.1 B.2 C.3 D.4 2.如图，在正方形ABCD外取一点P,连接AP,BP,DP.若AP=√2，PB=4, 则DP的最大值为 () A.4+2√2 B.4+√2 C.5 D.6 -17- 初中蚊学？几何铺助线秒解 且综合提升 3.如图，在等边三角形ABC中，AB=4,高线AH=2√3，D是线 段AH上一动点，以BD为边向下作等边三角形BDE,在点D 从点A运动到点H的过程中，点E所经过的路径为线段CM, 则线段CM的长为 当点D运动到点H时，线段BE B 的长为 4.新考法综合与实践【模型探究】 (1)如图1，在△ABC和△ADE中，AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,连 接BE,CD,这一图形称为“手拉手模型”.求证：△ABE≌△ACD. 【模型指引】 (2)如图2，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=40°，以B为端点引一条与腰AC 相交的射线，在射线上取一点D,使∠ADB=∠ACB,求∠BDC的度数， 小亮同学通过观察，联想到“手拉手模型”，在BD上找一点E,使AE= AD,最后使问题得到解决.请你帮他写出解答过程. 【拓展延伸】 (3)如图3，在△ABC中，AB=AC,∠BAC为任意角度，若从端点B向右下方 引出一条不与腰AC相交的射线，在该射线上取一点D,使∠3=∠1，试 判断∠BAC与∠BDC有何数量关系，并说明理由 图1 图2 图3 -18-