秒解4 见角平分线的垂线，想三线合一-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

初中数学几何辅助线秒解 在△ACE中，由三角形的三边关系，得CE- AC<AE<AC+CE, .7-5<AE<5+7,.2<2AD<12, ∴.1<AD<6. (2)解：如图2，延长CE 交AD的延长线于 点G D D为BC的中点， E G ∴.BD=CD. 图2 AB//CE, .∴.∠B=∠DCG 「∠B=∠DCG, 在△ADB和△GDC中，BD=CD, ∠ADB=∠GDC, .△ADB≌△GDC(ASA), ∴.∠DAB=∠G,CG=AB=8. .CE=2,.GE=CG-CE=8-2=6. ,∠DAB=∠F,∴.∠G=∠F, ∴.EF=GE=6. (3)60°-α提示：如图3，延长AD至点M,使 得DM=AD,在DM上取点N,使得MN=DE, 连接BN,BM. 图3 -66- 同理(1)可得，△ADC≌△MDB(SAS), ∴.∠CAD=∠M,AC=BM. .'BE=AC,∴.BE=BM, ..∠M=∠BED=∠CAD=a BE=BM, 在△BDE和△BNM中， ∠BED=∠BMN, ED=MN. ∴.△BDE≌△BNM(SAS),∴.BN=BD. .·DE=MN,AD=DM, .∴.AD-DE=MD-MN,∴.AE=DN. AE=DB,..BD=DN=BN, .△BDN是等边三角形， ∴.∠DBE=∠BDM-∠BED=60°-a, 即∠DBE的大小是60°-a. 秒解4见角平分线的垂线， 想三线合一 1.32如图，延长CD交AB于点E. B AD平分∠BAC,∴.∠CAD=∠EAD. .CD⊥AD,∴.∠ADC=∠ADE=90°， [∠CAD=∠EAD, 在△ADC和△ADE中，AD=AD, ∠ADC=∠ADE, ∴.△ADC≌△ADE(ASA), ∴.CD=DE,∴.SAADC=S△ADE,S△BCD=S△BDE, .SAADG+SARCD=SAADE+S△BDE=S△ABD, .S△ABc=2S△ABD=32. 2.2如图，延长BD交AC于点E. B D E ·∠A=∠ABD,∴.BE=AE. BD⊥CD,∴.∠CDB=∠CDE=90 .CD平分∠ACB, .∠BCD=∠ECD 在△BCD和△ECD中， LCDB=∠CDE=90°， CD=CD ∠BCD=∠ECD, .∴.△BCD≌△ECD(ASA), ∴.BC=CE=6,BD=DE, .AE=AC-CE=10-6=4, .∴.BE=AE=4, BD=2B6=2 3.解：如图，分别延长AB,CD相交于点E. AD平分∠BAC, .∴.∠EAD=∠CAD. CD⊥AD, ∴.∠ADE=∠ADC=90°. D 在△ADE和△ADC中， [∠EAD=∠CAD, AD=AD, ∠ADE=∠ADC, ∴.△ADE≌△ADC(ASA), ∴.DE=CD=4,AE=AC, 参考答案 .CE=8,∠E=∠ACD .:∠ABC+∠ACD=180°，∠ABC+LCBE=180°， ∴.∠E=∠ACD=∠CBE,∴.BC=CE=8. 4.解：如图，延长BE交AC于点F. BF⊥AD, .∠AEB=∠AEF AD平分∠BAC, ∴.∠BAE=∠FAE. 在△ABE和△AFE中， 「∠AEB=∠AEF, AE=AE, ∠BAE=∠FAE, ∴.△ABE≌△AFE(ASA), ∴.∠ABF=∠AFB,AB=AF=8,BE=EF=2.5, ∴.BF=5. ·∠C+∠CBF=∠AFB=∠ABF,∠ABF+ ∠CBF=∠ABC=3∠C, ∴.∠C+2∠CBF=3∠C,∴.∠CBF=∠C, ∴.BF=CF=5, ∴.AC=AF+CF=8+5=13. 秒解5见角平分线及一点， 想轴对称型全等 1.8如图，过点E作ED⊥OA,垂足为D. B E F :点E在∠AOB的平分线上，∠B0E=15°， EC⊥OB,垂足为C, -67-专题白全等三角形相关的辅助线 秒解4见角平分线的垂线，想三线合一購 一眼看懂· 辅助线秒解导图 见到什么》 想到什么】】 得到什么】 延长垂线段 角平分线的垂线 见角平分 B ①△ONP≌△OMP; 线的垂线 想三线合一 ②ON=OM; M ③P为MN的中，点 M 一学就会。 辅助线秒解三步法 典例如图，在等腰直角三角形ABC中，已知AB=AC,∠BAC= 90°，BF平分∠ABC交AC于点F,CD⊥BF交BF的延长线于点 B D,试说明：BF=2CD 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 E △BDE≌△BDC A 见CD是∠ABC的 A D 平分线BF的垂线 想三线合一 BF与CD无直接位 置关系 BF平分∠ABC,CD⊥BF 延长CD交BA的延长线于点E ☑满分秒解 ⊙解析：如图，延长CD交BA的延长线于点E 在△BAF和△CAE中， T∠ABF=∠ACE, △ABF与△DCF构成"8”宇模 AB=AC, 型，易证得∠ABF=∠DCF B ∠BAF=∠CAE=90°， ∴.△BAF≌△CAE(ASA),∴.BF=CE. -9- 初中敏学？几何铺助线秒解 .·BD平分∠CBE,.∴.∠CBD=∠EBD. .'∠CBD+∠BCD=90°，∠EBD+∠E=90°， ∴.∠BCE=∠E,.BC=BE,∴.由等腰三角形三线合一得DC=DE,.BF=2CD P,名师点晴见到角平分线的垂线段，就延长垂线段，构造等腰三角形，用三线合一 参考答案见P66 一 练就对· 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.如图，D是△ABC内一点，且AD平分∠BAC,CD⊥AD,连接BD.若△ABD 的面积为16，则△ABC的面积为 B B 第1题图 第2题图 2.如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB,BD⊥CD,∠A=∠ABD.若AC= 10,BC=6,则BD的长为 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,CD⊥AD.若∠ABC+∠ACD=180°，CD= 4,求BC的长 D 且综合提升 4.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=3∠C,BE⊥AD于点E,AB=8, BE=2.5,求AC的长 -10-