能力微专训2　遇角平分线如何添加辅助线 讲义 -2025年中考数学一轮考点探究（广东）

能力微专训2　遇角平分线如何添加辅助线 类型1 作垂线,构造全等三角形 方法1 点在角平分线上,可向两边作垂线 角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.如图,若OP是∠AOB的平分线,PE⊥OA,可过P点作PF⊥OB,则可用结论:(1)PF=PE;(2)证得△OPF≌△OPE;(3)证得OF=OE. 1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠CAB,BC=12 cm,BD=8 cm,那么点D到直线AB的距离是 ( ) A.2 cm B.4 cm C.6 cm D.10 cm 2.如图,在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AD平分∠BAC交BC于点D,DE⊥AB,垂足为E,若DE=1,则BC的长为 ( ) A.2+ B.+ C.2+ D.3 3.如图,∠AOB=90°,OM平分∠AOB,直角三角板的顶点P在射线OM上移动,两直角边分别与OA,OB相交于点C,D,问PC与PD相等吗?试说明理由. 类型2 作平行线,构造等腰三角形 方法2 平分加平行,可得等腰三角形 过角平分线上一点,作角的一边的平行线,可构造等腰三角形.如图,若OP是∠AOB的平分线,过P点作OB的平行线交OA于E点,可用结论:△EOP是等腰三角形. 4.如图,AB∥CD,BE平分∠ABC,∠CDE=150°,则∠C的度数为 ( ) A.105° B.120° C.130° D.150° 5. 如图,已知△ABC的两边AB=5,AC=8,BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB,过点O作EF∥BC,则△AFE的周长等于 .  类型3 作垂线,构造等腰三角形 方法3 平分加垂线,得等腰三角形 从角的一边上一点作角平分线的垂线,与另一边相交,可得等腰三角形. 如图,若OP是∠AOB的平分线,EP⊥OP,则可延长EP交OB于F点,可用结论:(1)△OEF是等腰三角形;(2)P是EF的中点. 6. 如图,在△ABC中,BD是∠ABC的平分线,AD⊥BD,垂足为D. (1)求证:∠2=∠1+∠C. (2)若ED∥BC,∠ABD=28°,求∠ADE的度数. 7. 如图,在△ABO中,OA=OB,∠AOB=90°,AD平分∠OAB,OE⊥AD于点E,交AB于点F. 求证:(1)OD=BF. (2) AD-OF=2DE. 类型4 作等线段,构造对称图形 方法4 在角的两边取相等线段,可得全等三角形 如图,若OP为∠AOB的平分线,可在OB上取OF=OE,则可用结论: (1)△OPF≌△OPE. (2)PF=PE,OF=OE. (3)∠PFO=∠PEO,∠OPF=∠OPE. 8.如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=108°,BD平分∠ABC,求证:BC=AC+CD. 9.如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=40°,BD是∠ABC的平分线,延长BD至点E,使DE=AD,求证:∠ECA=40°. 【参考答案】 1.B　2.A 3.【解析】PC=PD.理由:如图,过点P作PE⊥OA,PF⊥OB, 垂足分别为E,F. ∵OM平分∠AOB,PE⊥OA,PF⊥OB, ∴PE=PF,∠PEO=∠PFO=∠PFD=90°. 又∵∠AOB=90°, ∴∠EPF=90°, ∴∠EPC+∠CPF=∠DPF+∠CPF=90°, ∴∠EPC=∠DPF,∴△CPE≌△DPF(ASA), ∴PC=PD. 4.B　5.13 6.【解析】(1)证明:如图,延长AD交BC于点H. ∵BD⊥AH, ∴∠BDA=∠BDH=90°. ∵∠ABD=∠HBD,BD=BD, ∴△BDA≌△BDH(ASA), ∴∠2=∠BHA. ∵∠BHA=∠1+∠C, ∴∠2=∠1+∠C. (2)∵∠ABD=28°,∠BDA=90°, ∴∠2=62°, ∴∠AHB=∠2=62°, ∴∠AHC=180°-62°=118°. ∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AHC=118°. 7.【证明】(1)如图1,连接DF,∵OF⊥AD, ∴∠AEF=∠AEO=90°. ∵AD平分∠FAO, ∴∠FAE=∠OAE. 在△FAE和△OAE中, ∴△FAE≌△OAE(ASA), ∴FE=OE,∠AFO=∠AOF. ∵AD⊥OF,∴DF=DO, ∴∠DFO=∠DOF. ∵∠AFO=∠AOF, ∴∠AFD=∠AOB=90°. ∵∠AOB=90°,AO=BO, ∴∠B=45°, ∴∠FDB=∠AFD-∠B=90°-45°=45°=∠B, ∴BF=DF,∴OD=BF. (2)如图2,在AD上截取AM=OF,连接OM, ∵∠OAB=∠B=45°,AD平分∠OAB, ∴∠OAM=22.5°. ∵OD=DF,∴∠DFO=∠DOF. ∵∠FDB=45°=∠DFO+∠DOF, ∴∠FOB=22.5°=∠OAM. 在△AMO和△OFB中, ∴△AMO≌△OFB(SAS),∴MO=BF=OD. ∵OF⊥AD,∴DE=ME, ∴AD-OF=DM=2DE. 8.【证明】如图,在线段BC上截取BE=BA,连接DE. ∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=∠EBD=∠ABC. 在△ABD和△EBD中, ∴△ABD≌△EBD(SAS), ∴∠BED=∠A=108°,∠ADB=∠EDB. 又∵AB=AC,∠A=108°, ∴∠ACB=∠ABC=(180°-108°)=36°, ∴∠ABD=∠EBD=18°. ∴∠ADB=∠EDB=180°-18°-108°=54°. ∴∠CDE=180°-∠ADB-∠EDB=180°-54°-54°=72°, ∴∠DEC=180°-∠DEB=180°-108°=72°, ∴∠CDE=∠DEC, ∴CD=CE,∴BC=BE+EC=AC+CD. 9.【证明】如图,在BC上截取BF=AB,连接DF, ∵BD是∠ABC的平分线, ∴∠ABD=∠FBD, ∴△ABD≌△FBD(SAS), ∴DF=DA=DE,∠A=∠DFB. 又∵AB=AC, ∴∠ACB=∠ABC=40°,∠DFC=180°-∠A=80°, ∴∠FDC=60°, ∴∠EDC=∠ADB=180°-∠ABD-∠A=180°-20°-100°=60°, ∴∠FDC=∠EDC,∴△DCE≌△DCF(SAS), ∴∠ECA=∠DCB=40°. 学科网（北京）股份有限公司 $$