秒解3 见中线，想倍长-【荣恒专项】2026年初中数学几何辅助线秒解（初中通用）

专题目 全等三角形相关的辅助线 秒解3 见中线，想倍长年睡 眼看懂 辅助线秒解导图 见到什么》 想到什么 得到什么 中线 想倍长 (或作平 B +△ABD≌△ECD B 行线) 平分边的线段 想倍长 见中线 或作平行线) +△EBD≌△FCD B →△EBD≌△FGD 想倍长 (或作平 行线) △FCD≌△EGD 学就会。 辅助线秒解三步法 白典例如图，在△ABC中，D是BC的中点，AB=3,AC=4, 求AD的取值范围 见中点，优先想倍长中线 求线段取值范国 用三角形三边关系 B 第一步：见到什么 第二步：想到什么 第三步：得到什么 将AB转化到CE △ABD≌△ECD(SAS) 3 此时CE,AE,AC恰 好在同一个三角形 D C D 中，可用三角形三 AB,AD.AC三边分散 边关系求解 无直接关系 D为BC的中点 延长AD至点E,使DE=AD,连接CE -6- 专题白全等三角形相关的辅助线 乙满分秒解 ⊙解法一（倍长中线）：如图1，延长AD至点E,使DE=AD,连接CE. D是BC的中点，∴.BD=CD. AD=ED. 在△ADB和△EDC中，{∠ADB=∠EDC, BD=CD, ∴.△ADB≌△EDC(SAS), 都是为了 构造"X“ ·CE=AB=3,AD=DB=2AE, 形全等 在△ACE中，AC-CE<AE<AC+CE, 图1 即4-3<2AD<4+3,2 AD<2 1 、7 故AD的取值范围是)<AD<2 1 7 2 ⊙解法二（作平行线）：如图2，过点B作BE∥AC,交AD的延长线于点E,连接 BE,∴.∠E=∠EAC,∠EBD=∠C. D是BC的中点，BD=CD. [∠E=∠EAC, 在△EDB和△ADC中，{∠EBD=∠C, BD=CD, .△EDB≌△ADC(AAS), E 六BE=AC=4,AD=BD=2AE. 图2 在△ABE中，BE-AB<AE<BE+AB,即4-3<2AD<4+3, 7 、5<AD<2 故A切的取值范围是AD<2 7 P名师点睛见到中线（或中点），就想倍长中线（或作平行线），构造“X”形全等三角形 四核心思路把分散的边集中到同一个三角形中，是此类题的通用方法 参考答案见P64 练就对。 辅助线秒解针对练 秒解精练 1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC,延长 BE交AC于点F,求证：AF=EF. 7 初中蚊学？几何铺助线秒解 2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1,AD是△ABC的中线，CE⊥BC,CE= 2,且∠ADE=90°，求AE的长， 3.如图，在△ABC中，AD平分∠BAC,且AD交BC于点D,BC的中点为G,过 点G作GE∥AD,交AB于点E,交CA的延长线于点F.若AB=5cm,AC= 3cm,求BE的长. GD 日综合提升 4.(1)如图1，在△ABC中，AB=7,AC=5,则BC边上的中线AD的取值范围是 (2)如图2，AB∥CE,D为BC中点，点F在DA的延长线上，∠DAB=∠F. 若AB=8,CE=2,求EF的长， (3)如图3，在△ABC中，AD是中线，E是AD上一点，BE=AC,AE=BD. 若∠CAD=,则∠DBE的大小是 (用含α的式子表示). B D D 图1 图2 图3 -8-初中塑学几何铺助线秒解 .∠DFB=∠CDF+∠ABF= 2ㄥCDE+ 2 ∠ABE=3(∠CDE+∠ABE), 3 六2∠DFB=LCDE+LABE. DQ,BQ分别平分∠GDE和∠HBE, .LDQB LGDQ+LQBH= -∠GDE+ 方人B8=(∠GE+∠mE). .·∠GDE+∠CDE=18O°，∠HBE+∠ABE=180°， ∠DQB=1 (180°-∠CDE+180°-∠ABE)= 2 ×七-.08T=(4aV7+3007）-081 多DnB, 3 ∠D0B+4∠DFB=180. 专题二等腰三角形相关的辅助线 秒解2见等腰三角形，想三线合一 1.证明：如图，过点C作CE⊥AB于点E. B .CA=CD, .∴.∠ACE=∠DCE= 2∠ACD ∠ACB=90°，CE⊥AB, ∴.∠ACE+∠A=90°，∠B+∠A=90°， -64- ∠B=L4C&-LaCn 2.证明：如图，过点A作AM⊥BC于点M. AB=AC, ∴.∠BAC=2∠BAM. ·AD=AE, ∴.∠D=∠AED, ∴.∠BAC=∠D+∠AED=2∠D, .∴.∠BAM=∠D, ∴.DE∥AM. .AM⊥BC, .DE⊥BC 3.解：如图，连接AP,AH. A AB=AC,H为BC的中点， .AH⊥BC △ABC的面积是30，BC=5, 六2BC·AH=30AH=12 1 ,:MN是线段AB的垂直平分线， ∴.点B关于直线MN的对称点为点A, .PA=PB,.'.PB+PH=PA+PHAH, .PB+PH的最小值为12. 专题三 全等三角形相关的辅助线 秒解3见中线，想倍长 1.证明：如图，延长AD到点G,使得AD=DG, 连接BG. .·AD是BC边上的中线， ∴.DC=DB. 在△ADC和△GDB中， (AD=GD, {∠ADC=∠GDB, B DC=DB, D ·.△ADC≌△GDB(SAS), .∴.∠CAD=∠G,BG=AC. G 又.BE=AC,∴.BE=BG, .∴.∠BED=∠G .∠BED=∠AEF, ∴.∠AEF=∠CAD,即∠AEF=∠FAE, .∴.AF=EF. 2.解：如图，延长AD交EC的延长线于点F AD是△ABC的中线， .BD=CD. .EF⊥BC, ∴.∠B=∠FCD=90°. 在△ABD和△FCD中， 「LB=∠FCD, BD=CD, ∠ADB=∠FDC, .△ABD≌△FCD(ASA), ∴.CF=AB=1,AD=DF ,∠ADE=90°，∴.AE=EF. :EF=CE+CF=2+1=3, .∴.AE=3. 3.解：如图，延长EG到点 H,使EG=GH,连接CH. .FH∥AD, B .∠F=∠CAD, H 参考答案 ∠AEF=∠BAD. AD平分∠BAC, .∠BAD=∠CAD, .∠F=∠AEF, ..AF=AE. G是BC的中点，∴.BG=CG (BG=CG, 在△BGE和△CGH中，{∠BGE=∠CGH, EG=HG, .△BGE≌△CGH(SAS), ∴.CH=BE,∠BEG=∠H. :'∠BEG=LAEF=∠F, .∠F=∠H, .FC=CH, .BE=AB-AE=AB-AF=AB-(FC-AC)= AB-FC+AC=AB-BE+AC,E 2BE=AB+AC. AB=5 cm,AC=3 cm, ∴.BE= (AB+AC)=4cm. 4.(1)1<AD<6提示：如图1，延长AD到点E, 使DE=AD,连接CE, :AD是BC边上的中线， D ∴.BD=CD 在△ABD和△ECD中， E (BD=CD, 图1 ∠ADB=∠EDC, AD=ED, .△ABD≌△ECD(SAS), .AB=CE=7. -65- 初中数学几何辅助线秒解 在△ACE中，由三角形的三边关系，得CE- AC<AE<AC+CE, .7-5<AE<5+7,.2<2AD<12, ∴.1<AD<6. (2)解：如图2，延长CE 交AD的延长线于 点G D D为BC的中点， E G ∴.BD=CD. 图2 AB//CE, .∴.∠B=∠DCG 「∠B=∠DCG, 在△ADB和△GDC中，BD=CD, ∠ADB=∠GDC, .△ADB≌△GDC(ASA), ∴.∠DAB=∠G,CG=AB=8. .CE=2,.GE=CG-CE=8-2=6. ,∠DAB=∠F,∴.∠G=∠F, ∴.EF=GE=6. (3)60°-α提示：如图3，延长AD至点M,使 得DM=AD,在DM上取点N,使得MN=DE, 连接BN,BM. 图3 -66- 同理(1)可得，△ADC≌△MDB(SAS), ∴.∠CAD=∠M,AC=BM. .'BE=AC,∴.BE=BM, ..∠M=∠BED=∠CAD=a BE=BM, 在△BDE和△BNM中， ∠BED=∠BMN, ED=MN. ∴.△BDE≌△BNM(SAS),∴.BN=BD. .·DE=MN,AD=DM, .∴.AD-DE=MD-MN,∴.AE=DN. AE=DB,..BD=DN=BN, .△BDN是等边三角形， ∴.∠DBE=∠BDM-∠BED=60°-a, 即∠DBE的大小是60°-a. 秒解4见角平分线的垂线， 想三线合一 1.32如图，延长CD交AB于点E. B AD平分∠BAC,∴.∠CAD=∠EAD. .CD⊥AD,∴.∠ADC=∠ADE=90°， [∠CAD=∠EAD, 在△ADC和△ADE中，AD=AD, ∠ADC=∠ADE, ∴.△ADC≌△ADE(ASA), ∴.CD=DE,∴.SAADC=S△ADE,S△BCD=S△BDE, .SAADG+SARCD=SAADE+S△BDE=S△ABD, .S△ABc=2S△ABD=32.