贵州黔东南苗族侗族自治州2027届高三上学期开学模拟测试数学试题

数学参考答案 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的． 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A C B A C B D 【解析】 1．，，，故选D． 2．由，则在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，则的最小值为1，故选A． 3．向量在向量方向上的投影向量，故选C． 4．，故选B． 5．构造函数，求导得，当时，，单调递减，故选A． 6．观察得：，，所以是外接球的直径，故其直径，外接球的表面积为，故选C． 7．集合A为定义域，B为值域，且有，分为两种情况，故选B． 8．令，则，当时，即时，两个等号同时成立，原式取得最小值8，故选D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 题号 9 10 11 答案 BD AD ACD 【解析】 9．A．分层抽样为按比例抽样，每层样本数不一定相等，A不正确；线性相关系数，表示两个变量没有线性相关关系，可能存在非线性关系，C不正确；B，D均为教材中结论，正确，故选BD． 10．若数列是递增数列，当数列时，是递减数列，故A正确；数列是递增数列不能推出数列的各项均为正数，例如：0，1，2，3，…，故B不正确；不能推出例如：1，3，故C不正确；D正确，故选AD． 11．选项A．直线，设 ∴∴．∵∴，故A正确；若，则E的坐标为，B错误；C．若E为抛物线的焦点，设MN的倾斜角为则的最小值为，C正确；D．设则有， 即 ，D正确，故选ACD． 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分） 题号 12 13 14 答案 ， 【解析】 12．这组数据的均值点是，代入经验回归方程，解得. 13．，所以 14．如图1，设内切圆与三角形三个切点坐标分别为D，E，F，设由椭圆的定义知：，解得：I的横坐标为，由面积相等，可得I的纵坐标为，即：代入斜率公式化简可得的斜率之积图1 四、解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（本小题满分13分） 解：（1）总体平均值： ……………………………（3分） ……………………………（6分） （2）设事件A为取到的1株为优质品，事件B为抽到这1株作物来自甲，事件C为抽到这1株作物来自乙，由全概率公式得： …………………………………………（13分） 16．（本小题满分15分） 解：（1）∵，为的中点，∴ 又平面PAB⊥平面ABCD，平面PAB∩平面ABCD，PN⊂平面PAB， 由面面垂直性质定理得：PN⊥平面ABCD. M为PD上靠近P的三等分点，∶1∶2. 由PN⊥底面，得点M到底面 ABCD的高： 故四棱锥的体积为 ……………………………………………………（6分） （2）以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图2所示的空间直角坐标系， 则 ………………………………（9分） 设平面的一个法向量为，图2 取为上靠近点的三等分点，可得 因为，所以得. ……………………………（12分） 由（1）知平面，则取平面的一个法向量为， ，故二面角的大小为． ………………（15分） 17．（本小题满分15分） （1）证明：由正弦定理得，，又， 所以. 又，则， 则，又， 所以. ……………………………………………………（3分） 由余弦定理得，所以. 由正弦定理有，， ，又，所以，所以， 所以为锐角三角形. ……………………………………………………（7分） （2）解：因为，所以. 又，所以， 则. 又，可得： 所以. …………………………………………（15分） 18．（本小题满分17分） （1）解：由题意，∵点在双曲线上， ∴，得， ∴双曲线的标准方程为．………………………………………………（4分） （2）证明：显然直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为， 则直线的斜率为，直线的方程为， 联立直线与双曲线方程，得， 化简得（，且）． 设，则由韦达定理得，得， 将代入直线的方程，得，则． 同理可得． 代入斜率公式，整理得直线AB的斜率 …………………………………（10分） （3）解：由（2）得， ∴的中点的坐标为， 即整理得： 又因为 所以点M的轨迹方程为： ……………………………………………………（17分） 不写取值范围扣1分 19．（本小题满分17分） （1）解：由题意，切线过点，所以. 又，则切线的斜率为 解得：. ……………………………………………………（4分） （2）证明：由（1）知：， 令， 则. （法一）， 令， 则， 所以在上都单调递增，又，则， 可得在上单调递减， 又，所以，即. （法二）令，则在上恒成立， 所以在上单调递增，又，所以在上恒成立，则. 得到：， 所以，则在上单调递减， 又，所以，即 ………………………………（10分） （3）解：理由如下： 定义域，， 令，所以在上单调递增.又，故在上单调递减，在上单调递增，，所以，故在上单调递增，且. 又满足，且，所以. 因为，由（2）知①. 下面先证，只需证，又，且在上单调递增， 所以要证，只需证， 又，从而只需证，即证. 令，即证. 则 令 则， ， ， 所以在上单调递增，且，则在上单调递减，又， 从而在上单调递增且，故在上恒成立， 所以在上单调递减，且，故而，所以. 因为，所以在上单调递减，在上单调递增. 因为，且. 又在上单调递增，所以. 结合①式，所以. …………………………………（17分） 数学参考答案·第1页（共7页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效． 3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．已知集合，，则 A． B． C． D． 2．已知复数满足，则在复平面内的最小值为 A． B． C． D． 3．已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为 A． B． C． D． 4．已知，则 A． B． C． D． 5．若，，，则，，的大小关系为 A． B． C． D． 6．在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是 A． B． C． D． 7．设集合，，建立到的一个函数关系，：，为值域，且有，则从集合到集合的不同的函数的个数为 A．3 B．12 C．27 D．36 8．已知，，则的最小值是 A． B． C． D． 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分． 9．下列说法正确的是 A．在分层抽样中，每层抽取的样本数量一定要相等 B．回归分析中，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好 C．回归分析中，线性相关系数，表示两个变量没有任何关系 D．在二项分布中，如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值 10．若数列的前项和为，则下列命题正确的是 A．若数列是递增数列，数列可能不是递增数列 B．数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数 C．若是等差数列（公差），，则是的充分不必要条件 D．若是等比数列，则（，）的充要条件是 11．如图1，在平面直角坐标系中，已知抛物线：（），设，，点为抛物线上的动点（异于顶点），连接并延长交抛物线于点，连接，并延长交抛物线于点，，连接，，，设，的斜率分别为，，下列说法正确的是 A．若，，，则 B．若，则的坐标为 C．若为抛物线的焦点，则的最小值为 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某电商平台统计了5次促销活动中，优惠券发放数量（万张）与当日订单量（万单）的样本数据，如下表：若变量，的经验回归方程为，则__________． 1 2 3 4 5 2 5 7 9 12 13．如图2中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则__________． 14．已知椭圆，左焦点，右焦点，点在椭圆上，点为内切圆的圆心，则的横坐标为__________，若，的斜率分别为，，则__________．（第一空2分，第二空3分） 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 某农场对两块试验田种植的同一种农作物产量进行抽样统计，甲试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差，乙试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差． （1）求全部100株样本单株产量的总体平均数与总体方差； （2）已知甲试验田的单株作物评为优质品的概率为，乙试验田的单株作物评为优质品的概率为．现对这100株样本采用分层抽样的方式抽取5株，若从这5株中随机抽取1株检测，求该株为优质品的概率． 16．（本小题满分15分） 如图3，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，点为的中点，点为线段上靠近点的三等分点． （1）求四棱锥的体积； （2）求二面角的大小． 17．（本小题满分15分） 在中，已知，． （1）证明：为锐角三角形； （2）若的周长为10，求的面积． 18．（本小题满分17分） 已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补． （1）求双曲线的标准方程； （2）试证明直线的斜率为定值； （3）若线段的中点为，设，求点的轨迹方程． 19．（本小题满分17分） 已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，； （2）证明：当时，恒成立； （3）若函数．存在，满足，且，试比较与的大小，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $