2026-2027学年高三数学9月入学考试模拟试卷01（全国二卷地区适用）

**基本信息** 高三数学开学模拟卷，以高考范围为核心，通过无人机研发情境题（解答题19）检测数学抽象、逻辑推理与数据分析能力，适配高三起点复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题58分|集合、复数、数列、概率、函数图像|基础题（集合、复数）巩固知识，多选题（立体几何位置关系）考查推理能力| |填空题|3题15分|基本不等式、向量夹角、棱柱表面最短路径|聚焦数学抽象与空间观念，如向量夹角计算| |解答题|5题77分|解三角形、立体几何夹角、双曲线、导数零点、无人机概率|综合题（导数极值）提升逻辑推理，创新题（无人机概率）体现数据意识，贴合高考命题趋势|

2026-2027学年高三数学9月入学考试模拟试卷01 （全国二卷地区适用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高考范围。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别求解集合、集合，再根据并集定义求出. 【详解】，则，得. ，则，得 所以. 2．已知复数满足，那么复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【详解】对应点坐标为，在第四象限. 3．设是等比数列的前项和，若 ， ，则 （     ） A．72 B．18 C．128 D．80 【答案】D 【分析】先根据已知条件求出等比数列公比的平方，再利用等比数列片段和的性质计算． 【详解】设等比数列的公比为，则， 又，代入解得， 则 . 4．已知随机事件与满足，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据概率的性质，求得，结合条件概率的计算公式，即可求解. 【详解】由概率的性质，可得， 即，解得，所以. 5．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A选项，由正弦函数的周期性可得原函数图象和坐标轴有无数个交点排除A项；B选项，对函数求导，判断单调性和函数图象趋势即可判断；C选项，对所给函数的奇偶性进行判断即可； D选项，判断所给函数的定义域即可. 【详解】A选项，取，则令，解得：，其中，即：和轴有无数个交点，所以A错误； B选项，取，则，令，得或，令，得， 故在和上单调递减，在上单调递增， 又因为，所以当时，，当时，，所以B正确； C选项，取，则函数定义域为，且，所以是偶函数，所以C错误； D选项，，由可得，由图知，D错误. 6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正弦定理，两角和的正弦公式及三角形面积公式即可求解． 【详解】由正弦定理得，， 因为，所以，则，， 的面积为． 7．已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 【答案】D 【分析】先将圆的一般方程化为标准方程得到圆心坐标与半径，再结合垂径定理和点到直线的距离公式列方程求解m的值. 【详解】化圆的一般方程为标准方程， 因此圆心为，半径. 已知弦长，则弦长的一半为, 根据垂径定理，圆心到直线的距离满足， 代入已知数据得，解得. 圆心到直线的距离为，即，解得或. 8．函数的两个极值点，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数极值点的定义可得出，则有，令，则，可得出，构造函数，利用导数求出函数的最大值即可. 【详解】函数定义域为， ，令得， 因为函数有两个极值点，则，得， 设，则且，代入，得， 所以， 设，， 设，， 在上恒成立，在单调递增，， 从而，在单调递增，， 故的最大值为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 【答案】BD 【分析】结合空间中的位置关系，对每个选项进行分析、判断即可得到正确的结论． 【详解】对于A，若，，，则可能平行，可能相交或异面但不一定垂直，所以A错误； 对于B，因为，，所以，又，所以，所以B正确； 对于C，若，，则可能在平面内或与平面平行，所以C错误； 对于D，由，可得，又，所以，所以D正确． 10．某市随机抽取了名市民进行交通法规知识问卷调查，问卷得分的频率分布直方图如图所示，问卷得分的分组区间是，，，，，根据图中信息，则（    ） A． B．平均得分为分（每组数据以该组区间的中点值为代表） C．若分为合格线，则合格的人数为 D．中位数的估计值超过分 【答案】ABD 【分析】根据频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为，求出的值，即可判断A；利用平均数的计算公式求出平均分，即可判断B；求出分以上的频率，乘以总人数即可判断C；根据中位数的定义，结合直方图计算中位数的估计值，即可判断D． 【详解】对于A，由频率分布直方图可知，， 解得，A正确； 对于B，平均得分，B正确； 对于C，若分为合格线，则合格的频率为， 所以合格的人数为，C错误； 对于D，因为的频率为， 的频率为， 所以中位数在内，设中位数为， 则，解得，D正确． 11．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 【答案】ACD 【分析】由正弦函数与余弦函数的性质求解即可. 【详解】对于A，根据题意得，， 因为的图象与的图象关于轴对称，所以， 即， 可得或， 因,则得，又因，所以，故A正确； 对于B，由A得，所以，故B错误； 对于C，由，可得，当时，，故C正确； 对于D，当时，，此时， 而当时，，此时 所以，故D正确. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，且，则的最小值为________. 【答案】5 【分析】根据题意得，对整理，再利用基本不等式求解. 【详解】由得，所以， 因为，，所以， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为5. 13．若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 【答案】/ 【分析】利用已知条件结合向量数量积运算律求出，再利用向量的数量积及模长求解即可. 【详解】因为，为单位向量，所以. 两边平方，可得，解得. 而， ， . 设向量与的夹角为，， 则，所以. 向量与的夹角为. 14．正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 【答案】 【分析】把立体表面上的最短路程转化为展开图中两点间的距离．正四棱柱的三条棱长分别为3，3，2，连接相对顶点的表面路径共有三种基本展开方式；由于两个底面边长相等，其中有两种所得长度相同，因此只需比较两类不同的长度． 【详解】 将正四棱柱从到的表面路径展开到平面内，表面上的最短路径就转化为展开图中两点间的线段．所有本质不同的展开方式可归为以下两类． 情况1：经过相邻两个侧面． 将侧面与（或侧面与）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的长为，宽为． 所以，此时的最短路程为． 情况2：经过一个侧面与一个底面． 将侧面与上底面（或侧面与上底面）沿公共棱展开到同一平面内，得到一个长方形． 该长方形的一边为，另一边为． 所以，此时的最短路程为． 比较两种长度的平方，前者的平方为40，后者的平方为34，因此． 所以，蚂蚁爬行的最短路程为． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用和差角正弦公式、三角形内角和性质化简已知条件为，即可求； （2）由题设及（1）的结论得、，再应用三角形面积公式、余弦定理求边长，即可得. 【详解】（1）由题意得， 所以， 即， 即，又， 所以，又，所以. （2）因为，且，所以， 因为，所以， ，解得，所以， 由余弦定理得，， 所以的周长为. 16．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点是线段的中点，点在线段AC上，满足平面BCM． (1)求证：是线段AC的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 【答案】(1)在中，过点作交BC于点，连接QM， 如图所示. 在三棱柱中，因为，所以， 所以四点共面. 因为直线平面BCM，平面，平面平面， 所以．所以四边形是平行四边形. 进而，所以为AC的中点． (2) 【分析】（1）过点作交BC于点，连接QM.根据面面平行证明四边形是平行四边形，再证明为AC的中点. （2）建立空间直角坐标系，利用面面角的向量求法求解即可.. 【详解】（1）略 （2）因为平面平面，所以， 又因为为正方形，. 故可以为原点建立空间直角坐标系，如下图， 因为，所以， ，所以． 设平面的一个法向量为， 由，得，取，得. 易知平面的法向量， 所以， 故平面与平面夹角的余弦值为． 17．已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由渐近线方程和三角形周长，结合双曲线方程的定义得到方程组，求出，得到双曲线方程； （2）直线的斜率不存在或斜率为0时，不合要求，设出直线方程，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，根据得到方程，求出，得到直线斜率 【详解】（1）一条渐近线方程为，故， 中，令得， 故，所以， 由双曲线定义可得，同理， 故，结合，可得， 所以的方程为； （2）由（1）知，，当直线的斜率不存在或斜率为0时，不成立， 故直线的斜率存在，且不为0，设方程为，， 联立与得， ，且，故， 设，则， ，故， 所以，所以， 由得，将其代入得 ，解得满足要求， 故，，直线的斜率为. 18．已知函数． (1)若是的极值点，求； (2)若有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）对函数求导，利用极值点处导数为零构造方程求解，注意最后要检验； （2）把有两个零点，转化为方程有两个正实数根，分离参数得到，令问题转化为与的交点个数，令求导，并分析的单调性求出最小值，再分段讨论求解． 【详解】（1）函数求导得，已知是极值点， 则，解得． 当时，， 当时，；当时，，故是极小值点，符合题意． 故． （2）已知有两个零点，即方程有两个正实数根， 则， 设，问题转化为与的交点个数， 令，则， ，令，得， 当时，，单调递减； 当且时，，单调递增； 当时，在处取得极小值，， 故在处取得极小值，为； 当和时，； 当时，且单调递增，故单调递增且， 故方程最多有一个零点； 要使有两个零点，需满足与在内有两个交点，即． 19．现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. (1)若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； (2)当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； (3)当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】（1）根据二项分布的数学期望公式计算即可. （2）根据全概率公式计算即可. （3）根据二项分布和组合数的性质计算即可. 【详解】（1）设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为，则由题意可知. 所以正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望为. （2）当传感器的数目为2时，一半为1. 根据题意得，无人机执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目不少于1. 设第次判断时，每个传感器作出正确判断的概率为. 设事件表示第次判断为“正常情况”，即；事件表示第次判断为“降级情况”，即； 由题意知，第1次为正常情况，所以. 根据题设条件，若第次执行了错误命令，则第次发生； 若第次未执行错误命令等价于：第次作出正确判断的传感器数目为大于等于1. 由全概率公式，第次发生的概率为： ，因为 ，代入上式得： ，对其进行变形，构造等比数列： ，由于， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 故，即. 记该款无人机第次执行正确命令的概率为，执行正确命令等价于作出正确判断的传感器数目. ，故当传感器的数目为2时，该款无人机第次执行正确命令的概率. （3）设多传感器融合处理模块中作出正确判断的传感器数目为， 当传感器的数目为时，一半的数目为，正常情况下，每个传感器作出正确判断的概率为. 执行正确命令的条件是：作出正确判断的传感器数目满足 ，此时， 无人机执行正确命令的概率为：. 设，则根据二项式系数的对称性得. 令 ，当从取到时，恰好从取到0，所以 . 又因为二项式系数的所有项之和为，所以，解得. 于是，执行正确命令的概率为：. 故当传感器的数目为时，正常情况下，无人机执行正确命令的概率为. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高三数学9月入学考试模拟试卷01 （全国二卷地区适用） （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：高考范围。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知复数满足，那么复数对应的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．设是等比数列的前项和，若 ， ，则 （     ） A．72 B．18 C．128 D．80 4．已知随机事件与满足，且，则（    ） A． B． C． D． 5．已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（     ） A． B． C． D． 6．在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，，，，则的面积为（ ） A． B． C． D． 7．已知圆与直线交于A，B两点，若，则实数m的值为（    ） A．6 B． C．6或16 D．或 8．函数的两个极值点，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则（    ） A．若，，，则 B．若，，，则 C．若，，则 D．若，，，则 10．某市随机抽取了名市民进行交通法规知识问卷调查，问卷得分的频率分布直方图如图所示，问卷得分的分组区间是，，，，，根据图中信息，则（    ） A． B．平均得分为分（每组数据以该组区间的中点值为代表） C．若分为合格线，则合格的人数为 D．中位数的估计值超过分 11．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象，若的图象与的图象关于轴对称，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．是的一条对称轴 D．对任意的，都存在，使得 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，，且，则的最小值为________. 13．若两个单位向量，满足，则向量与的夹角为________． 14．正四棱柱中，.一只蚂蚁从底面顶点出发，沿正四棱柱表面爬到顶点，则蚂蚁爬行的最短路程为_________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．记内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，的面积为，求的周长. 16．如图，在三棱柱中，侧面是正方形，平面，点是线段的中点，点在线段AC上，满足平面BCM． (1)求证：是线段AC的中点； (2)求平面与平面夹角的余弦值； 17．已知双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，的一条渐近线方程为，过点且与轴垂直的直线与交于，两点，的周长为16． (1)求的方程； (2)过点的直线与交于，两点，若，求直线的斜率． 18．已知函数． (1)若是的极值点，求； (2)若有两个零点，求的取值范围． 19．现有一款处于研发阶段用于农业生产的无人机，该款无人机通过识别物体并精准喷洒农药的核心原理是“感知-决策-执行”的闭环智能控制，其核心是通过AI图像识别技术来初步判断是否为农作物，再由多传感器融合处理模块进行最终决定是否需要喷洒.由于处在研发阶段，在工作过程中可能会出现AI图像识别错误、多传感器融合处理模块出现错误，导致执行了错误命令，为此工程师们修改程序为：只有当多传感器融合处理模块中，作出相同判断的传感器数目不少于传感器总数的一半时，无人机才会执行相应的命令.已知每个传感器的判断相互独立，且正常情况下作出正确判断的概率均为. (1)若多传感器融合处理模块中有6个传感器，求正常情况下作出正确判断的传感器数目的期望； (2)当该款无人机上一次作出错误判断而最终导致执行了错误命令时，下一次每个传感器作出正确判断的概率降为.记该款无人机第n次执行正确命令的概率为，当传感器的数目为2时，求； (3)当传感器的数目为时，求正常情况下，无人机执行正确命令的概率. 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $