贵州贵阳市2027届高三年级摸底考试数学试题

保密★开考前 贵阳市2027届高三年级摸底考试 数学 2026.8 本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分考试时间为 120分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将姓名、报名号用钢笔填写在答题卡相应位置上 2.回答第I卷时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号写在本试卷上无效 3.回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效 4.请保持答题卡平整，不能折叠.考试结束后，监考老师将试题卷、答题卡一并收回. 第I卷（选择题共58分) p 阳 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 路 1. 已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,4,5},B={1,3,5,7},则Cu(AUB)= A.{3,4,5,6} B.{4,5,6} c.{1,6 D.{6 2.在复平面内，复数z= 2 一对应的点位于 2- 毁 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.函数f(x)=sin(3x-)的最小正周期是 6 A. 4π 3 B. 3 π D.2 高三数学试卷第1页（共6页） 4.椭圆+-1与椭圆 x2 +y2 =1(k<9)的 25 25-k9-k A.长轴长相等 B.短轴长相等 C.离心率相等 D.焦距相等 5.在高铁噪声测量中，声强级L(单位：dB)与声强I（单位：W/m2)的关系为L=101g 其中基准值I。=10-2W/m,A系列高铁经过时，测得其声强级为70dB,B系列高 铁经过时，其声强变为A系列高铁的2.5倍，则B系列高铁的声强级约为多少dB? (参考数据1g2≈0.3010,1g5≈0.6990) A.74 B.79 c.81 D.83 6.已知圆x2+y2+4x-4y-1=0上至少有3个点到直线x+y+m=0的距离为1，则 m的取值范围是 A.[-2W2,2W2] B.[-V2,V2] C.[-2W2,√2] D.[-V2,2W2] 7.己知平面上|OA=2,|OB=3,该平面上的任意一点M关于点A的对称点为S,点S 关于点B的对称点为N,则|MN的最大值为 A.7 B.8 C.9 D.10 8.已知函数f(x)=e-e-x+x,若f(2m-2)+f(m-1)>2,则m的取值范围是 A.(1,+oo) B.+) C.) D.(o,3 二、多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的有 A.一组数据：1、4、7、8、9、12、20、22、24、32的75%分位数是21 B.若随机变量X~B(4,p),E(X)=2,则p=0.5 C.已知随机事件A与B相互独立，且P(A)=0.5,P(B)=0.4则P(AUB)=0.9 贵阳 卷 D.己知P(A)>0,P(B)>0,若P(AB)=P(A),则P(B|A)=P(B) 10.己知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2=b2+bc,则下列 说法正确的有 A.sin2A-sin2B=sin Bsin C B.b=c+2bcosA C.A=2B D. 2b、 +的最小值为3 a 11.已知曲线C:x2+y2-xy=3,则下列说法正确的有 A.曲线C关于y=x对称 B.若P(x,y)为曲线C上任意一点，则xy的最大值为3 C.曲线C内有7个整点（横、纵坐标均为整数的点） D.若M(x,y)为曲线C上任意一点，则x+y的最小值为-3√2 第Ⅱ卷（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线y=x3-2x+1在点(0,1)处的切线方程为 13.从正六边形的6个顶点中随机选取3个顶点构成三角形，则该三角形为直角三角形 的概率为 14.在矩形ABCD中，AB=V5,AD=1,将△ABC沿对角线AC翻折为△APC, 3 若点P到平面ACD的距离为d∈(O,,则线段PD长度的取值范围是 四、解答题：共5个小题，满分77分。解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知等差数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且满足4=2， 卷 b=1,a2+b3=9,S+b2=42. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式： (2)设数列cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和T, 16.(15分) 为深入贯彻《教育强国建设规划纲要(2024一2035年)》文件精神，全面落实“健康第一” 的教育理念，贵阳市将体质健康测试作为评选市三好学生的标准之一.某校为了解学生体 质健康测试是否达标与学生性别是否有关，随机调查了200名学生，由样本数据整理得到 如下列联表： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 100 女生 45 合计 200 (1)将列联表补充完整，依据小概率值αx=0.05的独立性检验，分析学生体质健康 测试达标是否与学生性别有关； (2)在体质健康测试不达标的调查者中，按性别进行分层随机抽样，抽取5人作进一 步调查，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，记这2人中女生的人数为X,求X 的分布列和数学期望， 附：x2= n(ad-be)2 n=a+b+c+d (a+b)(c+d)(a+c)(b+d) 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 Xa 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 高三数学试卷第4页（共6页） 17.(15分) 在直三棱柱ABC-A,B,C,中，AB=BC=AC=AA=2,M是AB的中点，P是B,C 与BC,的交点，N是线段AB,的中点，Q是线段C,N上的动点. (1)求证：PO/∥平面A,CM; 2 (2)若直线M0与平面ACM所成角的正弦值为亏，求平面42M与平面4CM夹 角的余弦值 ò B 18.(17分) 已知双曲线C:xy2 Fa京=1(a>0,6>0)的两个焦点坐标分别为F(-22,0). F(2√2,0)，并且经过点G(2√2,2). (1)求双曲线C的标准方程. (2)设直线1：y=:+mk≠士乌)与曲线C有唯一的公共点P. (i)若直线l与直线x=√2交于点Q,证明：PF2⊥QF2; (i)过P作垂直于I的直线分别交x轴，y轴于A(x1,O),B(0,y)两点，记点 M(x,y),在该平面内是否存在不重合的两定点S、T,使得MS-MT 为定值.若存在，求出定点S、T的坐标；若不存在，请说明理由 高三数学试卷第5页（共6页） 19.(17分) 已知函数f)=1nx-ax+a(aeR),g()=x2-1. X (1)讨论函数f(x)的单调性： (2)证明：当a=。时，f(x)+g(x)> 21 2 2 x (3)若f()有两个极值点x,x(x<),求证：f,)-f)>-8 8(x2)-g(x) 2保密★开考前 贵阳市2027届高三年级摸底考试 数学参考答案及评分建议 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。 1.D 2.B 3.C 4.D 5.A 6.A 7.D 8.C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求。全部选对的给6分，有选错的给0分。有两个正确选项的仅选其中一 个给3分：有三个正确选项的仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。 9.BD 10.ACD 11.ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.y=-2x+1 13.3 4u2 四、解答题：共77分 15.(13分) 解：(I)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为g(q>0). 2+d+g2=9 d=3 则由条件可得： 10+10d+g=42'9>0,解得. 9=2 所以{a}的通项公式为a.=3n-1,{b,}的通项公式为b,=2: …6分 数学参考答案及评分建议第1页（共8页） (2)油(1)得，cn=3n-1+2m. 所以T=2+2°+5+2'+..+(3n-1)+2 =[2+5+8+…+(3n-1】+[2°+2+…+2-] =2n+nm-x3+1x0-2) 2 1-2 3m2+5n+2-1 2 2 …|3分 16.(15分) 解：(1)零假设为H。：学生体质健康测试达标与学生性别之间无关联 根据已知数据得到列联表如下： 体质测试达标 体质测试不达标 合计 男生 70 30 100 女生 55 45 100 合计 125 75 200 根据列联表中的数据，经计算得到： x2 200×(70×45-55×30)2 100×100×125×75 =4.8>3.841=xo0s 依据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断H。不成立，即认为学生体质健康测试达 标与性别有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05： 7分 (2)因为30：45=2：3，所以抽取的5人中有2名男生，3名女生. X可取0,1,2. x=是-古x=答治-号x-小是合 所以，X的分布列为 数学参考答案及评分建议第2页（共8页） X 0 1 2 P 1 3-5 所以，EX)=0x+1x2+2×3 3 6 10 10=5 .15分 17.(15分) 证明：(1)如图连接BW, ,N是AB的中点， ∴.A,N∥BM,IAN曰BM|, 则四边形ANBM为平行四边形， .AM∥NB 又：AMc平面A,CM,NB文平面A,CM, .NB∥平面ACM 又：CN∥CM,CMc平面ACM,C,N文平面A,CM, ∴.CN∥平面ACM NBOCN=N, ∴.平面ACM∥平面BC,N :PQc平面BCN, ∴.PQ∥平面ACM 7分 (2)在等边三角形ABC中，CM⊥AB, :在直三棱柱ABC-A,B,C中，AA⊥平面ABC,NM∥AA, .NM⊥平面ABC, 数学参考答案及评分建议第3页（共8页） .以点M为坐标原点，以MC,MB,MN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如 图所示空间直角坐标系，MC=√5， .A0,-1,0),B01,0),C(5,0,0),C(5,0,2), A(0,-1,2) .M元=（√5,0,0，M4=(0,-1,2), 设Qt,0,2),则MQ=(,0,2) 设平面ACM的法向量为m=(x,y,z) Mcm=0,即 3x=0 M%m=0 ,取z=1,则y=2x=0,则m=(0,20 -y+2z=0 设直线MQ与平面ACM所成角为O, sino-cos<Mo.m >MO.ml 121 2 1M01‖m1V5x√P+45 化简得2=1 ∴.t=1或t=-1(舍去)所以MQ=(1,0,2), 设平面AQM的法向量为n=(x,y,z) 图8 则 。,取z=1,则y=2,x=-2,即m=（-2,2,), 设平面AQM与平面A,CM夹角为a, 则cosacos<-m,m光n:m=I4+l=5 |nlml√5×√53 所以，平面A2M与平面4CM夹角的余弦值为5 15分 数学参考答案及评分建议第4页（共8页） 18.(17分) 解：(1)根据双曲线定义，得GF-GF=2a=4,则a=2. c=25且c2=a2+b,÷b=4,则￡_上 44 0e,,。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。ee,,,。e。。。。。。。。 (xy (2)与曲线C联立， 得 4-4=l则0-k2)x2-2kr-m2-4=0. y=kx+m 由题k≠±1，：P是双曲线与直线的唯一点， ∴.4=(-2km)2-41-k2)-m2-4)=0, 即m2=4k2-4. (i)1-k2)x2-2kmx-m2-4=0, 点P的坐标为（经， :直线l与准线x=√2交于点2，∴.点2的坐标为(W2,√2k+m) 1-k2 m √2k+m√2k+m sm-22km-2W2+2V2k22-2W2-2 m 2k+m 2km+m ÷ksk4m-2W2+22k-2-2km-4k2+4 将m2=4-4代入得k5=万+4-手- -√2km-4k2+4 ∴.PF⊥F. 11分 (i)(1-k2)x2-2kmx-m2-4=0, 数学参考答案及评分建议第5页（共8页） km m 六点P的坐标为(， m2=4k2-4, Ph,马(Wm≠0. mm ∴过点P且与直线！垂直的直线为y+4-x+给 m k m 当y=0时，x=-8,则4(8 0:当x=0时，片=二8 则B0,-8. m m M8k-8 mm x2-4_64四+0=16+，即52-y2=160*0) m2m2（4 ÷点M的轨迹为双曲线-上 1616 =10≠0)，其焦点为(4√2,0)4√2,0). 则S(-42,0),T(42,0)或S(4W2,0),T(42,0). 17分 19.(17分) 解刊油感可得f)=士a-号xe0o） a 当a≤0时，f"(x)>0在(0，+o)上恒成立，则f(x)在(0，+o)单调递增. 当a>0时，∫)=-ar+-0.令f=0,得ar2-x+a=0. x2 鸟△=1-4a≤0时，即a≥)时∫y)≤0上恒成立，则f)在0，+o)单调递减 [1-1-4a 1 x1= 当△>0时，即0<a<二时得{ 2a 2 .1+W1-4a2 2a 又0<x<5,则在0，上-40)，+1-4 -,+o0)单调递减： 2a 2a 数学参考答案及评分建议第6页（共8页） 在（上，+⊙单建数 2a 2a 综上所述，当a≤0时，在(0，o)单调递增：当0<a<时，)在 2 0,上二4，±4四)单调递减在上-，+个二4单 2a 2a 2a 2a 调递增：当a≥时)在(0，+o)单调递减 5分 （2)当a=时，令到=1+g-号+片xe0w 2x1 则00=2-+2x-3.令10=2x-x+2x-3,则r=6r2-2x+2. 2x2 令I'(x)=0,则△<0得I'(x)>0恒成立，则1(x)在(0，+o)单调递增. 又I()=0,则x=1为p(x)在(0，+o)上的唯一极值点且为极小值点， 故px)最小h=p)=0. 则0≥m0=方0，徐上特E四+8>号} 10分 (3))有两个极值点<，由D得a∈0. 令fr到=a心+-a-0得5+名= 令1=>)，则= (xx2=1 x2=V0 又fx,)-x)=h点-25-，gx)-gx)=x-x,g)=x-1, 1x2+x1 则/，)-)=h1-28-g)=.g)=1-1. 数学参考答案及评分建议第7页（共8页） 1-2-1 要证)->-，即证 +>- g(x2)-g(x)2 2-1 2 t 又t>1,即证2(t+1)nt-4r(t-1)+(t2-1)2>0. 令H(t)=2t+1)nt-4(t-1)+(t2-1)2,1∈(L,+oo). H0=(4+2h1+43-10+6,则H'0）=0.H0=4n1+2+12r2-6. 由t>1,H"(t)>0.则H'(t)单调递增，即H'(t)>H'(I)=0.则H(t)>H(I)=0, 综上得证不等式八)一f:>-gs) g(x2)-g(x)2 17分 数学参考答案及评分建议第8页（共8页）