3.2.2奇偶性（第1课时）（导学案）高一数学人教A版必修第一册

3.2.1 奇偶性（第一课时）（导学案）（解析版） 1、理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的方法，能利用奇偶性分析函数图像性。 2、借助函数图像抽象出奇偶性概念，体会数形结合思想，提升抽象概括能力。 3、感受数学对称美，体会从特殊到一般的研究思路，培养严谨的数学思维。 重点：理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的步骤，能利用图像识别奇函数、偶函数的对称性。 难点：领会奇偶性是函数整体性质，熟练求解定义域并利用定义严谨证明，区分奇偶函数图像特征。 阅读教材，完成以下问题： 【1】奇函数的定义 （1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且____，那么函数就叫做奇函数． （2）一个函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于___对称。 （3）奇函数的定义域关于_____对称． （4）若为奇函数且在处有定义，则_____。 【答案】 原点 原点 0 【2】偶函数的定义 （1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且_____，那么函数就叫做偶函数． （2）一个函数为偶函数的充要条件是函数的图象关于___对称。 （3）偶函数的定义域关于_____对称。 【答案】 轴 原点 探究一、奇偶性 思考1：怎样用数量关系来刻画函数图象的这种对称性？ 【答案】妨取自变量的一些特殊值，观察相应函数值的情况，如下表： 可以发现，当自变量取一对相反数时，相应的两个函数值相等。 问题1：也具有以上特征吗？ 【答案】 思考2-1：是偶函数吗？ 【答案】不是 思考2-2：偶函数的定义域有何特征？ 【答案】定义域关于原点对称 思考2-3：对于定义在上的函数，若,那么这个函数是偶函数吗？ 【答案】不一定，偶函数有任意性 问题2：类比探究奇函数的定义，观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗? 【答案】 图象都关于原点成中心对称图形。 追问：你能类比偶函数定义，用符号语言精确地描述这一特征吗？ 【答案】一般地，设函数的定义域为 ,如果,都有,且 ,那么函数就叫做奇函数。 实际上，我们还能从函数图象的对称性出发来定义奇函数.即图象关于原点对称的函数是奇函数。 思考3-1：成为奇函数需要满足哪些条件？ 【答案】① ② 思考3-2：若函数为奇函数且在处有定义，则的值能确定吗？ 【答案】因为为奇函数，且在处有定义， 所以， 所以. 【辨析1】判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”． （1）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数 （ ） （2）存在既是奇函数，又是偶函数的函数． （ ） （3）函数，是偶函数． （ ） （4） 若是上的偶函数，则一定有. （ ） 【答案】×，√，×，√ 【知识点拨】 既奇又偶的函数有且只有一类，即，，是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数。 问题3：（1）判断函数的奇偶性？ （2）已知函数图象的一部分，如何画出剩余部分？ (3)一般地，如果知道为偶(奇)函数，那么我们可以怎样化简对它的研究？ 【答案】（1）利用函数奇偶性定义来判断，函数f(x)= x3+x的定义域为R，且有f(-x)= -x3-x= -f(x)所以此函数是奇函数.。 （2）由奇函数的图象关于原点成中心对称可以画出函数f(x)= x3+x在y轴左侧对的图象，将y轴右侧的图象沿着原点旋转180°即可。 （3）略 【例6】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4). 解：(1)函数的定义域为 ∵,都有,且, ∴函数为偶函数。 (2)函数的定义域为 ∵,都有,且, ∴函数为奇函数。 (3)函数的定义域为 ∵,都有,且, ∴函数为奇函数。 (4)函数的定义域为 ∵,都有,且, ∴函数为偶函数。 【知识点拨】 奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应优先明确它的定义域。 【知识点拨】 判断函数奇偶性的两种方法： (1) 定义法： (2) 图象法： 【题型1：判断函数奇偶性】 1、判断函数 是否具有奇偶性。 解：函数的定义域为. 因为对于任意的，都有， 且， 所以函数 为奇函数。 【知识点拨】 常见偶函数：“偶次幂形式”与“绝对值函数”； 常见奇函数：“奇次幂形式”与“反比例函数” ，判断的奇偶性。 解：函数的定义域为 ∵,都有,且, ∴函数为偶函数。 ，判断的奇偶性。 解：函数的定义域为 ∵,都有, 且, ∴函数为奇函数。 【题型2：分段函数的奇偶性】 ，判断的奇偶性。 解：函数的定义域为， 因为对于任意的 ，都有， 当时， ，； 当时， ， 综上可知，函数是奇函数。 ，判断的奇偶性。 解：函数的定义域为，因为对于任意的 ， 都有， 当时， ，则； 当时， ，则 。 综上可知，函数 是偶函数。 一、单选题 1．函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】先写出函数定义域，再应用奇函数定义判断求解。 【详解】∵的定义域为， ， 所以是奇函数。 2．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得。 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 3．已知为奇函数且在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，，，故ABD错误； ，故C正确。 4．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可。 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误。 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确。 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误。 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误。 5．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）。 6．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 7．如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是-8 B．减函数且最大值是-8 C．增函数且最小值是8 D．增函数且最大值是8 【答案】C 【分析】由偶函数图象的对称性判断单调性，由偶函数定义判断最值。 【详解】因为是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减， 所以在单调递增， 对，，因为在最小值是， 所以，又，所以， 即在单调递增，且最小值是. 故选：C. 8．已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义求出参数的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可。 【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数， 则，解得， 因为，当时，有, 所以函数在区间上单调递减，则由，得, 解得，即，所以不等式的解集是 二、多选题 9．已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确。 10．设函数是定义在区间上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是定义域内的减函数 D．的值域为 【答案】AB 【分析】利用偶函数的定义求解，利用二次函数的图像和性质求出的单调性和值域. 【详解】函数是定义在区间上的偶函数， 所以且解得，A、B选项正确， 所以，函数在定义域内先减后增，C选项错误，定义域是， 值域是，D选项错误． 故选：AB． 11．已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（    ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 【答案】ABD 【分析】由函数单调性可直接判断A选项；由函数的奇偶性及在上单调性得到函数在上单调性，根据单调性得到不等式，解得的取值范围，判断B选项；由函数的单调性及零点，得到函数在各区间的函数值的正负情况，然后得到不等式的解集，判断C选项；由函数在上的单调性由单调性的定义得到不等式，判断D选项。 【详解】对于A，在区间上单调递减，，所以，故A正确； 对于B，∵函数是偶函数且在区间上单调递减，∴函数在上单调递增， 若，则或，解得或，故B正确； 对于C，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以若，则，故C错误； 对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得。 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 13．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】根据给定的图象，可得函数的单调性，再分段求解不等式。 【详解】观察图象知，奇函数在上单调递增， 则在上单调递增，且， 不等式，当时，不等式成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【分析】根据关于对称即可求解。 【详解】由于，可得关于点对称， 故. 四、解答题 15．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)偶函数； (2)奇函数； (3)奇函数； (4)非奇非偶函数； (5)既是奇函数又是偶函数 【分析】先求出（1）（2）（3）（4）（5）中函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分别判断即可； 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）由，则函数的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由， 则函数定义域为，关于原点对称， 此时，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）由， 则函数的定义域为， 所以函数定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数． （5）由，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称。 因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数 16．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围。 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数求解解析式； （2）应用函数图象结合函数单调性列出不等式计算求解。 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数， 当时，； 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）由函数，所以函数的单调递增区间为和 又在区间上单调递增， 故，所以. 17．已知函数是奇函数。 (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1) (2)在单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数关于原点对称的性质，结合定义域求解； （2）由函数单调性定义法证明即可。 【详解】（1）因为是奇函数， 则其定义域关于原点对称，即， 则，经验证，此时，满足题意 故. （2）证明：，且， 则， 因为， 所以，则， 所以，即， 所以，函数在单调递增。 18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； 【答案】(1)函数的单调递增区间为和； (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质画出函数图象，结合图象得到函数的单调递增区间； （2）根据偶函数的性质计算可得； 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以的图象关于轴对称， 则的图象如下所示： 由图可知的单调递增区间为和. （2）因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 设，则，所以， 因为， 所以当时，， 所以函数的解析式为. 19.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可。 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 奇偶性（第一课时）（导学案） 1、理解函数奇偶性的定义，掌握判断函数奇偶性的方法，能利用奇偶性分析函数图像性。 2、借助函数图像抽象出奇偶性概念，体会数形结合思想，提升抽象概括能力。 3、感受数学对称美，体会从特殊到一般的研究思路，培养严谨的数学思维。 重点：会利用函数奇偶性简化函数图像绘制，借助奇偶性与单调性求解函数不等式、比较函数值大小。 难点：综合运用奇偶性和单调性解决分段函数问题，准确挖掘隐藏条件，规范书写推理过程。 阅读教材，完成以下问题： 【1】奇函数的定义 （1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且____，那么函数就叫做奇函数． （2）一个函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于___对称。 （3）奇函数的定义域关于_____对称． （4）若为奇函数且在处有定义，则_____。 【2】偶函数的定义 （1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且_____，那么函数就叫做偶函数． （2）一个函数为偶函数的充要条件是函数的图象关于___对称。 （3）偶函数的定义域关于_____对称。 探究一、奇偶性 思考1：怎样用数量关系来刻画函数图象的这种对称性？ 问题1：也具有以上特征吗？ 思考2-1：是偶函数吗？ 思考2-2：偶函数的定义域有何特征？ 思考2-3：对于定义在上的函数，若,那么这个函数是偶函数吗？ 问题2：类比探究奇函数的定义，观察函数和的图象，你能发现这两个函数图象有什么共同特征吗? 追问：你能类比偶函数定义，用符号语言精确地描述这一特征吗？ 思考3-1：成为奇函数需要满足哪些条件？ 思考3-2：若函数为奇函数且在处有定义，则的值能确定吗？ 【辨析1】判断正误：正确的画“√”，错误的画“×”． （1）若函数的定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数，就是偶函数 （ ） （2）存在既是奇函数，又是偶函数的函数． （ ） （3）函数，是偶函数． （ ） （4） 若是上的偶函数，则一定有. （ ） 【知识点拨】 既奇又偶的函数有且只有一类，即，，是关于原点对称的实数集，但有无数个既奇又偶的函数。 问题3：（1）判断函数的奇偶性？ （2）已知函数图象的一部分，如何画出剩余部分？ (3)一般地，如果知道为偶(奇)函数，那么我们可以怎样化简对它的研究？ 【例6】判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4). 【知识点拨】 奇偶性是函数在它的定义域上的整体性质，所以判断函数的奇偶性应优先明确它的定义域。 【知识点拨】 判断函数奇偶性的两种方法： (1) 定义法： (2) 图象法： 【题型1：判断函数奇偶性】 1、判断函数 是否具有奇偶性。 【知识点拨】 常见偶函数：“偶次幂形式”与“绝对值函数”； 常见奇函数：“奇次幂形式”与“反比例函数” ，判断的奇偶性。 ，判断的奇偶性。 【题型2：分段函数的奇偶性】 ，判断的奇偶性。 ，判断的奇偶性。 一、单选题 1．函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 3．已知为奇函数且在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 6．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是-8 B．减函数且最大值是-8 C．增函数且最小值是8 D．增函数且最大值是8 8．已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 10．设函数是定义在区间上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是定义域内的减函数 D．的值域为 11．已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（    ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 三、填空题 12．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 13．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_____. 14．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 四、解答题 15．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 16．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围。 17．已知函数是奇函数。 (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； 18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； 19.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $