3.2.2 奇偶性 导学案----2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数奇偶性，通过“提纲携领 夯实基础”模块，以填空和概念辨析梳理奇函数、偶函数的定义、图象对称性质、定义域对称性等核心内容，搭建连接函数基本概念与后续应用的学习支架。 特色在于“心中有考点”明确考点与题目对应，引导学生用数学眼光聚焦重点，概念辨析培养推理意识，多样题型训练用数学语言表达，助力提升抽象能力与应用意识，系统掌握奇偶性知识。

3.2.1奇偶性 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】奇函数的定义 （1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且____，那么函数就叫做奇函数． （2）一个函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于___对称． （3）奇函数的定义域关于_____对称． （4）若为奇函数且在处有定义，则_____． 【答案】 原点 原点 0 【2】偶函数的定义 （1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且_____，那么函数就叫做偶函数． （2）一个函数为偶函数的充要条件是函数的图象关于___对称． （3）偶函数的定义域关于_____对称． 【答案】 轴 原点 【3】若为偶函数且在区间（）上单调递增（减），则在上_________，即在对称区间上单调性________．符号相同 【答案】 单调递减（增） 相反 【4】若为奇函数且在区间上单调递增（减），则在上________，即在对称区间上单调性________．符号相同 【答案】 单调递增（减） 一致（相同） 【5】奇函数、偶函数的对称性 （1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数满足，则函数的图象关于点______对称． （3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为______；若是奇函数，则函数图象的对称中心为______． 【答案】 【6】概念辨析 判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）若是偶函数，则．( ) （2）若奇函数在上有最大值，则在上有最小值.( ) （3）若函数与的图象关于y轴对称，则是偶函数．( ) （4）若是奇函数，则.( ) 【答案】 正确 正确 错误 错误 【分析】（1）分和两种情况讨论，结合函数偶函数的定义分析判断；（2）根据奇函数的定义，结合最值的定义分析判断；（3）举特例，分析判断；（4）举特例，分析判断. 【详解】（1）若是偶函数，则， 当时，； 当时，； 综上所述：若是偶函数，则，故正确； （2）若函数在上有最大值，不妨设，且， 则对任意，均有， 因为为奇函数，则，可得， 即对任意，且，均有， 所以在上有最小值，故正确； （3）例如，图象关于y轴对称，如图所示，    但均是非奇非偶函数，故错误； （4）例如在处无意义，不能得到，故错误. 故答案为：正确；正确；错误；错误. ★★ 心中有考点 学习有方向 【详解】略 考点 对应题目 练后感悟 函数奇偶性的定义与判断 1,15 由函数的奇偶性求解析式 2 函数奇偶性的应用 3,6,14,17 抽象函数的奇偶性 4 由奇偶性求参数 5,9,12,16 奇偶函数对称性的应用 7,10,18 由函数的奇偶性解不等式 8,11,13,19 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 【答案】A 【分析】先写出函数定义域，再应用奇函数定义判断求解. 【详解】∵的定义域为， ， 所以是奇函数. 2．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据奇函数的性质,计算可得. 【详解】由题意，当时，，， 又函数是定义在R上的奇函数，所以. 3．已知为奇函数且在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，，，，故ABD错误； ，故C正确. 4．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据奇函数，偶函数的定义，逐一判断各选项即可. 【详解】选项A：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，A错误. 选项B：设， 由，可知是奇函数，B正确. 选项C：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，C错误. 选项D：设， 由，可知是偶函数，不能确定是奇函数，D错误. 5．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 【答案】B 【分析】利用定义域为的奇函数性质求出参数，借助奇函数对称性算出，代入等式求得，结合时的函数解析式解方程并舍去负根得到. 【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，解得， 则. 因为是增函数，且当时，， 则当时，， 由，得， 所以，由，解得或（舍去）. 6．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】B 【详解】函数是定义在上的偶函数， ，即， ， ， ， ， ． 7．如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是-8 B．减函数且最大值是-8 C．增函数且最小值是8 D．增函数且最大值是8 【答案】C 【分析】由偶函数图象的对称性判断单调性，由偶函数定义判断最值. 【详解】因为是偶函数，图象关于轴对称，且在单调递减， 所以在单调递增， 对，，因为在最小值是， 所以，又，所以， 即在单调递增，且最小值是. 故选：C. 8．已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用偶函数的定义求出参数的值，再根据函数单调性列出不等式组求解即可. 【详解】由题意知，函数是定义在上的偶函数， 则，解得， 因为，当时，有, 所以函数在区间上单调递减，则由，得, 解得，即，所以不等式的解集是 二、多选题 9．已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 【答案】ACD 【详解】对于A，函数的定义域为， 因为函数为奇函数，所以定义域关于原点对称， 所以，此时，，是奇函数，A正确； 对于B，，当时，， 因为函数为奇函数，所以当时，， 所以或，B错误； 对于C，奇函数图像关于原点对称，故C正确； 对于D，任取，则， 所以, 所以在区间上单调递减，故D正确. 10．设函数是定义在区间上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是定义域内的减函数 D．的值域为 【答案】AB 【分析】利用偶函数的定义求解，利用二次函数的图像和性质求出的单调性和值域. 【详解】函数是定义在区间上的偶函数， 所以且解得，A、B选项正确， 所以，函数在定义域内先减后增，C选项错误，定义域是， 值域是，D选项错误． 故选：AB． 11．已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（    ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 【答案】ABD 【分析】由函数单调性可直接判断A选项；由函数的奇偶性及在上单调性得到函数在上单调性，根据单调性得到不等式，解得的取值范围，判断B选项；由函数的单调性及零点，得到函数在各区间的函数值的正负情况，然后得到不等式的解集，判断C选项；由函数在上的单调性由单调性的定义得到不等式，判断D选项. 【详解】对于A，在区间上单调递减，，所以，故A正确； 对于B，∵函数是偶函数且在区间上单调递减，∴函数在上单调递增， 若，则或，解得或，故B正确； 对于C，当时，，当时，， 当时，，当时，， 当时，，当时，， 所以若，则，故C错误； 对于D，在区间上单调递增，根据单调性定义，则，当时，，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 【答案】0 【分析】根据奇函数的性质求得，再由求参数，即可得. 【详解】由题意， 所以，在上恒成立，则， 所以，又，可得， 综上，. 13．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_____. 【答案】 【分析】根据给定的图象，可得函数的单调性，再分段求解不等式. 【详解】观察图象知，奇函数在上单调递增， 则在上单调递增，且， 不等式，当时，不等式成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 所以不等式的解集为. 故答案为：. 14．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 【答案】6 【分析】根据关于对称即可求解. 【详解】由于，可得关于点对称， 故. 四、解答题 15．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 【答案】(1)偶函数； (2)奇函数； (3)奇函数； (4)非奇非偶函数； (5)既是奇函数又是偶函数 【分析】先求出（1）（2）（3）（4）（5）中函数的定义域，然后利用函数奇偶性的定义分别判断即可；. 【详解】（1）因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为偶函数． （2）由，则函数的定义域为，它关于原点对称， 又， 所以为奇函数． （3）由， 则函数定义域为，关于原点对称， 此时，所以， 所以， 所以， 所以是奇函数． （4）由， 则函数的定义域为， 所以函数定义域不关于原点对称， 所以函数为非奇非偶函数． （5）由，所以， 所以函数的定义域为，关于原点对称. 因为对定义域内的每一个，都有， 所以，， 所以既是奇函数又是偶函数. 16．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数是偶函数求解解析式； （2）应用函数图象结合函数单调性列出不等式计算求解. 【详解】（1）由题意知是定义在R上的偶函数， 当时，； 故当时，， 故函数在R上的解析式为； （2）由函数，所以函数的单调递增区间为和 又在区间上单调递增， 故，所以. 17．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1) (2)在单调递增，证明见解析 【分析】（1）根据奇函数关于原点对称的性质，结合定义域求解； （2）由函数单调性定义法证明即可. 【详解】（1）因为是奇函数， 则其定义域关于原点对称，即， 则，经验证，此时，满足题意 故. （2）证明：，且， 则， 因为， 所以，则， 所以，即， 所以，函数在单调递增. 18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； 【答案】(1)函数的单调递增区间为和； (2) 【分析】（1）根据偶函数的性质画出函数图象，结合图象得到函数的单调递增区间； （2）根据偶函数的性质计算可得； 【详解】（1）因为函数是定义在上的偶函数，所以的图象关于轴对称， 则的图象如下所示： 由图可知的单调递增区间为和. （2）因为函数是定义在上的偶函数，当时，， 设，则，所以， 因为， 所以当时，， 所以函数的解析式为. 19.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据条件可得，，解方程组即可； （2）先由（1）求得时的解析式，再利用是奇函数，有即可得的解析式； （3）先判断的单调性，再结合的定义域，列出关于的不等式组，求解不等式组即可. 【详解】（1）由题意得，解得，． （2）由（1）可知，当时，． 当时，，所以． 因为是定义在上的奇函数， 所以当时，． 所以 （3）因为当时，， 反比例函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增． 因为是定义在上的奇函数，所以在上单调递增． 由题意，得不等式即， 所以． 解得，即实数的取值范围是． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1奇偶性 导学案 ★ 提纲携领 夯实基础 【1】奇函数的定义 （1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且____，那么函数就叫做奇函数． （2）一个函数为奇函数的充要条件是函数的图象关于___对称． （3）奇函数的定义域关于_____对称． （4）若为奇函数且在处有定义，则_____． 【2】偶函数的定义 （1）一般地，设函数的定义域为，如果任意的，都有，且_____，那么函数就叫做偶函数． （2）一个函数为偶函数的充要条件是函数的图象关于___对称． （3）偶函数的定义域关于_____对称． 【3】若为偶函数且在区间（）上单调递增（减），则在上_________，即在对称区间上单调性________．符号相同 【4】若为奇函数且在区间上单调递增（减），则在上________，即在对称区间上单调性________．符号相同 【5】奇函数、偶函数的对称性 （1）若函数满足，则函数的图象关于直线对称； （2）若函数满足，则函数的图象关于点______对称． （3）若是偶函数，则函数图象的对称轴为______；若是奇函数，则函数图象的对称中心为______． 【6】概念辨析 判断正误（正确的写正确，错误的写错误） （1）若是偶函数，则．( ) （2）若奇函数在上有最大值，则在上有最小值.( ) （3）若函数与的图象关于y轴对称，则是偶函数．( ) （4）若是奇函数，则.( ) ★★ 心中有考点 学习有方向 【详解】略 考点 对应题目 练后感悟 函数奇偶性的定义与判断 1,15 由函数的奇偶性求解析式 2 函数奇偶性的应用 3,6,14,17 抽象函数的奇偶性 4 由奇偶性求参数 5,9,12,16 奇偶函数对称性的应用 7,10,18 由函数的奇偶性解不等式 8,11,13,19 ★★★ 脚踏实地 训练为本 一、单选题 1．函数的奇偶性为（   ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．非奇非偶函数 2．已知是定义在R上的奇函数，且当时，，则当时，（　　） A． B． C． D． 3．已知为奇函数且在上单调递减，则（   ） A． B． C． D． 4．已知函数的定义域为，则下列函数一定为奇函数的是（    ） A． B． C． D． 5．已知是定义在上的奇函数，当时，，若，则（    ） A．2或-6 B．2 C．-2或6 D．6 6．若函数是定义在上的偶函数，则（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 7．如果偶函数在上是减函数且最小值是8，那么在上是（    ） A．减函数且最小值是-8 B．减函数且最大值是-8 C．增函数且最小值是8 D．增函数且最大值是8 8．已知函数是定义在上的函数，且满足，，当时，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数为奇函数，则（     ） A． B． C．的图象关于原点对称 D．在区间上单调递减 10．设函数是定义在区间上的偶函数，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是定义域内的减函数 D．的值域为 11．已知定义在上的函数是偶函数，在区间上单调递减，，则（    ） A． B．若，则或 C．若，则 D．，当时， 三、填空题 12．设函数是定义在上的奇函数，且，则___________． 13．已知是定义在上的奇函数，当时，的图象如图所示，则不等式的解集为_____. 14．若（a为实数且）在其定义域上有最大值为M，最小值为N.则_____________ 四、解答题 15．判断下列函数的奇偶性： (1)； (2)； (3)； (4)； (5). 16．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，. (1)求函数在R上的解析式； (2)若函数在区间上单调递增，求实数m的取值范围. 17．已知函数是奇函数. (1)求实数的值； (2)判断函数在上的单调性，并用定义证明； 18．已知函数是定义在上的偶函数，且当时，． (1)已知函数的部分图象如图所示，请根据条件将图象补充完整，并写出函数的单调递增区间； (2)写出函数的解析式； 19.已知函数是定义在上的奇函数，满足，当时，． (1)求实数，的值； (2)求函数的解析式； (3)若，求实数的取值范围． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $