3.2.1单调性与最大（小）值（第2课时）（导学案）高一数学人教A版必修第一册

3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（第二课时）（导学案）（解析版） 1、理解函数单调性、最值的概念，能利用定义判断简单函数单调性，会求函数的单调区间与最值。 2、经历从图像直观到代数符号证明的过程，体会数形结合思想，提升逻辑推理能力。 3、感受数学严谨性，体会数形转化的魅力，养成严谨论证、主动探究的学习习惯。 重点：理解函数最大（小）值的定义，掌握利用单调性求函数最值的方法，会求二次函数在闭区间上的最值。 难点：灵活结合图像与单调性分析最值，准确处理含参函数的最值分类讨论，理解函数最值与值域的异同。 阅读教材，完成以下问题： 【5】函数的最大值、最小值 一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：(1)对于任意，都有_____；(2)存在，使得_____.那么，称是函数的_____ 如果存在实数满足：(1)对于任意，都有_____；(2)存在，使得_____.那么，称是函数的_____ 【答案】 最大值 最小值 思考1：我们如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？ 【答案】当时，取得最大值， 图象到达最高点， ,都有 探究一、函数的最值 思考2：你能以函数为例说明函数的最小值的含义吗？ 【答案】二次函数的图象上有一个最低点， 即都有当一个函数的图象有最低点时， 我们就说函数有最小值。 思考3：所有的函数都有最大、最小值吗？ 【答案】不是。 【辨析1】判断对错 (1) 因为不等式总成立，所以是的最小值.( ) (2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( ) 【答案】×，√ 【辨析2】判断函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别为（ ） A、 B、 、 、 【答案】 【知识点拨】 对函数最大值和最小值的再理解： (1)首先是一个函数值，它是值域中的一个元素（要能取得到）； (2)最大(小)值定义中的(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有成立，也就是说，函数的图象不能位于直线的上(下)方。 问题1：你认为求函数最值的关键是什么？为此你能归纳出最值与单调性的关系吗？ 【答案】函数的最值与单调性的关系： （1）若函数在闭区间上单调递减，则在上的最大值为 ，最小值为 。 （2）若函数在闭区间上单调递增，则在上的最大值为 ，最小值为 。 问题2：（1）二次函数的最值是什么?常用哪些方法求二次函数的最值。 （2）要确定在上的最值,需要先确定什么? 【答案】（1）当时,;当时, .求二次函数最值的常用方法有公式法、配方法和图象法。 （2）先判定该函数在上的单调性，即确定的正负,从而判定何时取得最大值,何时取得最小值。 【辨析3】已知函数的定义域是，. 在区间上，单调递增；在区间上，单调递减，试证明在时取得最大值。 证明：因为在区间上，单调递增， 所以对于任意，都有. 又因为在区间上，单调递减， 所以对于任意，都有. 因此，对于任意都有，即在时取得最大值。 【例4】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度(单位：)与时间(单位：)之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到)？ 【分析】先画出函数图象，数形结合进行求解。 解：画出函数的图象. 显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点， 顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻， 纵坐标就是这时距地面的高度。 由二次函数的知识，对于函数，我们有：当时，函数有最大值 .于是，烟花冲出后是它爆裂的最佳时刻，这时距地面的高度约为. 【例5】已知函数，求函数的最大值和最小值。 解：，且，则： 由，得，， 于是，即. 所以，函数在区间上单调递减。 因此，函数在区间的两个端点上分别取得最大值与最小值。在时取得最大值，最大值是；在时取得最小值，最小值是. 【题型1：图像法求函数的最值】 1、下图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。 解：观察函数图象可以知道，图象上位置最高的点是(3，3)， 最低的点是(－1.5，－2)。 因此，当时，函取得最大值，即； 当时，函数取得最小值，即. 函数的增区间为[－1.5，3]，[5，6]； 减区间为[－ 4，－1.5]，[3，5]，[6，7]. 2、求下列函数的最值. （1）; （2） ,; （3） ,; （4） ,; 【答案】（1）（2）（3）（4） 3、已知函数 (1)在直角坐标系中画出的图象； (2)根据函数图象写出函数的单调区间和值域。 解：(1) 的图象如图所示： (2)由的图象知： 函数的单调增区间为：，; 单调减区间为： 值域为：. 【知识点拨】 求函数最值的方法： 1.图象法：函数最大值的几何意义是函数图象最高点的纵坐标，函数最小值的几何意义是函数图象最低点的纵坐标。 2.单调性法：利用单调性求函数的最值的步骤:第一步，利用函数单调性的定义判断函数的单调性；第二步,根据单调性确定函数的最大值、最小值。 【题型2：单调性法求函数的最值】 1、函数,则的最大值和最小值分别是_________. 【答案】 ， 2、设函数,则( ). .有最大值 有最小值 .既有最大值又有最小值 .既无最大值又无最小值 【答案】 3、已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在[2,4]上的最值。 证明：（1）由且，有： ( 由得，所以 又，所以，所以即 所以函数在区间上单调递增。 （2）由(1)知：函数在区间上单调递增， 因此函数在区间上单调递增。 因此，函数在区间的两个端点上分别取得最小值与最大值。 在时取得最小值，最小值是；在时取得最大值，最大值是. 4、已知函数,求函数的最大值和最小值. 解：由且，有： 由得，所以 则又，所以. 所以即 所以函数在区间上单调递增。 那么 【题型3：函数最值的实际应用】 1、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加 投入100元，已知总收益（单位：元）其中是该仪 器的月产量.（总收益总成本利润） （1）将利润表示为关于月产量的函数 。 （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 解：(1)当月产量为台时，总成本为 元， 故 (2)当时，， 当时， ； 当时，单调递减， . . 即每月生产300台仪器时,公司所获利润最大，最大利润为25 000元。 【题型4：含参数的二次函数最值问题】 1、已知函数. (1)求在[0,1]上的最大值； (2)当时，求在闭区间上的最小值。 解：（1）由二次函数的性质，函数开口向上，且对称轴为. 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。 (1)若，即时，函数在处取到最大值， 即 若，即时，函数在处取到最大值， 即 (2)当时，函数，开口向上，且对称轴为. 即函数在区间上单调递减，在区间上单调递增。 若，则函数在处取到最小值，即 若，即时，函数在处取到最小值， 即 若，即时，函数在处取到最小值， 即 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将函数化为分段函数，作图即可求解。 【详解】， 作出函数图象，如图： 所以函数的单调递减区间为. 故选：C. 2．“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增。 所以“”可以得到“函数在区间上为减函数”， 但“函数在区间上为减函数”可得 “”. 故“”是“函数在区间上为减函数”的充分不必要条件。 3．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【分析】利用函数的图象逐项判断即可。 【详解】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误 故选：D. 4．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】先判断在区间上的单调性，进而即可求在区间上的最大值． 【详解】由在上单调递增， 所以． 5．已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】确定函数单调性，通过和两类情况讨论求解即可。 【详解】由条件对任意成立，可知是定义在上的单调递减函数， 则等价于两种情况： 情况1： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，得：； 情况2： ， 因为单调递减，等价于， 解得，又，解集为， 综上：不等式的解集为. 6．若存在，使得不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为存在，使得成立，结合函数的单调性求出其值域即得。 【详解】由题意，不等式可化为， 即存在，使得成立， 因为函数在上单调递增， 且时，，时，， 所以，则可得， 即的取值范围是. 故选：D 7．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知函数在上单调递减，所以，解得， 所以实数的取值范围是. 8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可得出时，，然后根据的值域为可得出，从而得出时，，从而可得出，从而解出的范围即可． 【详解】当时，， ∵的值域为，∴，即， ∴时，， ∴，解得，又因为，所以， ∴实数的取值范围是． 故选：B． 二、多选题 9．已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由条件，可推得且，再结合单调性逐一分析选项。 【详解】因为，所以. 因为在R上严格单调递增， 所以. 选项A：例如，，满足， 但，故A错误。 选项B：由，得，即，故B正确。 选项C：由，得，即，故C错误。 选项D：由且，两式相加得：，故D正确。 10．下列说法正确的是（   ） A．函数是减函数 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递增 【答案】AC 【分析】根据函数的单调性的定义逐项验证即可求解。 【详解】对于A，在上是减函数，故A正确； 对于B，在单调递减，故B错误； 对于C，在单调递增，故C正确； 对于D，在单调递减，在单调递增，故D错误； 故选：AC. 11．（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．最大值为2 D．没有最小值 【答案】AC 【分析】先求的定义域排除选项B，再利用一元二次函数的性质与复合函数的单调性求得的单调性，进而求其最值。 【详解】要使函数有意义，则，得，故B错误； 函数由与复合而成， 当时，单调递增，当时，单调递减， 又在上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 故,又，所以，故A，C正确，D错误． 故选：AC. 三、填空题 12．函数的单调递增区间为________． 【答案】和 【分析】先求出函数定义域，构造反比例函数，利用反比例函数性质得出的单调性，进而得出的单调性及单调区间． 【详解】函数中，故定义域为和， 令函数，则反比例函数在定义域和内单调递减， 在定义域和内单调递增， 的单调递增区间为和． 故答案为：和． 13．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 【答案】 【详解】的对称轴为，开口向上，递减区间为. 所以，所以. 14．已知函数 的最小值为，则 _____ 【答案】或3 【分析】根据给定条件，按分类讨论求出最小值即可得解。 【详解】当时，在上单调递增， 当时，，解得，因此； 当时，，，解得或，无解； 当时，在上单调递减， 当时，，解得，因此， 所以或. 故答案为：或3 四、解答题 15．已知函数，判断并证明函数在上的单调性。 【答案】在上单调递减，证明见解析 【详解】在上单调递减，证明如下： 由，任取， 则， 因为，所以，，， 所以，即， 所以在上单调递减。 16．已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象. (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 【答案】(1)作图见解析； (2)函数的单调递增区间是，，单调递减区间是.值域为. 【分析】（1）解析式化为，直接画出图形即可； （2）由分段函数的性质结合二次函数的性质可得。 【详解】（1）因为，画出其大致图象如下， （2）， 由图象可知：的单调递增区间是，，单调递减区间为， 值域为. 17．已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由。 【答案】(1)单调递增；证明见解析 (2)真命题，理由见解析 【分析】(1)利用定义法证明函数在上单调性步骤，取点，作差，判号，下结论； (2)由(1)可知在上单调递增，且，所以，然后整理判断即可。 【详解】（1）判断：在上单调递增。 证明：，且，有， 因为，所以，，， 因此，即， 所以函数在上单调递增； （2）判断：命题“，”真命题。 因为根据题意可知，，且， 由(1)可知在上的单调递增，所以，即. 所以命题“，”是真命题。 18．求下列函数的单调区间． (1). (2). 【答案】(1)单调增区间：，；单调减区间：，. (2)单调增区间是，单调减区间是. 【分析】（1）去绝对值写成分段函数，作出其图像，根据图像得出单调区间； （2）先求出的定义域，再令并得出其单调性，再根据复合函数单调性来判断的单调区间即可. 【详解】（1）由题意，， 作出图像如下： 则的单调增区间：，； 单调减区间：，. （2）由题意可得， 解得， 所以函数的定义域是. 令，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上是增函数， 是和的复合函数， 所以 的单调增区间是，单调减区间是. 19．已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围。 【答案】(1)证明见解析 (2)单调递增 (3) 【分析】（1）利用已知条件，对自变量赋值可证且当时； （2）根据函数单调性的定义判断； （3）利用（2）的单调性和函数的定义域建立不等式组，求解； 【详解】（1）由题可知，所以， 因为，则，又， 所以， 所以当时，； （2）任取，则，则， 又， 所以， 所以在上的单调递增； （3）由题意，需满足定义域条件 ，解得，且， 由（2）知 单调递增，原不等式等价于 ， 要使该不等式有解，只需 小于 在其定义域 上的最大值， 令，则， 所以，解得， 所以的取值范围为 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2.1 函数的单调性与最大（小）值（第二课时）（导学案） 1、理解函数单调性、最值的概念，能利用定义判断简单函数单调性，会求函数的单调区间与最值。 2、经历从图像直观到代数符号证明的过程，体会数形结合思想，提升逻辑推理能力。 3、感受数学严谨性，体会数形转化的魅力，养成严谨论证、主动探究的学习习惯。 重点：理解函数最大（小）值的定义，掌握利用单调性求函数最值的方法，会求二次函数在闭区间上的最值。 难点：灵活结合图像与单调性分析最值，准确处理含参函数的最值分类讨论，理解函数最值与值域的异同。 阅读教材，完成以下问题： 【5】函数的最大值、最小值 一般地，设函数的定义域为. 如果存在实数满足：(1)对于任意，都有_____；(2)存在，使得_____.那么，称是函数的_____ 如果存在实数满足：(1)对于任意，都有_____；(2)存在，使得_____.那么，称是函数的_____ 思考1：我们如何使用数学语言刻画函数图象的最低点和最高点？即如何用“数”刻画“形”？ 探究一、函数的最值 思考2：你能以函数为例说明函数的最小值的含义吗？ 思考3：所有的函数都有最大、最小值吗？ 【辨析1】判断对错 (1) 因为不等式总成立，所以是的最小值.( ) (2)如果函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( ) 【辨析2】判断函数在上的图象如图所示，则此函数的最小值，最大值分别为（ ） A、 B、 、 、 【知识点拨】 对函数最大值和最小值的再理解： (1)首先是一个函数值，它是值域中的一个元素（要能取得到）； (2)最大(小)值定义中的(任意)是说对于定义域内的每一个值都必须满足不等式，即对于定义域内的全部元素，都有成立，也就是说，函数的图象不能位于直线的上(下)方。 问题1：你认为求函数最值的关键是什么？为此你能归纳出最值与单调性的关系吗？ 问题2：（1）二次函数的最值是什么?常用哪些方法求二次函数的最值。 （2）要确定在上的最值,需要先确定什么? 【辨析3】已知函数的定义域是，. 在区间上，单调递增；在区间上，单调递减，试证明在时取得最大值。 【例4】“菊花”烟花是最壮观的烟花之一。制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度(单位：)与时间(单位：)之间的关系为，那么烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻？这时距地面的高度是多少(精确到)？ 【例5】已知函数，求函数的最大值和最小值。 【题型1：图像法求函数的最值】 1、下图为函数，的图象，指出它的最大值、最小值及单调区间。 2、求下列函数的最值。 （1）; （2） ,; （3） ,; （4） ,; 3、已知函数 (1)在直角坐标系中画出的图象； (2)根据函数图象写出函数的单调区间和值域。 【知识点拨】 求函数最值的方法： 1.图象法：函数最大值的几何意义是函数图象最高点的纵坐标，函数最小值的几何意义是函数图象最低点的纵坐标。 2.单调性法：利用单调性求函数的最值的步骤:第一步，利用函数单调性的定义判断函数的单调性；第二步,根据单调性确定函数的最大值、最小值。 【题型2：单调性法求函数的最值】 1、函数,则的最大值和最小值分别是_________. 2、设函数,则( ). .有最大值 有最小值 .既有最大值又有最小值 .既无最大值又无最小值 3、已知函数. (1)判断函数在区间上的单调性，并用定义证明你的结论； (2)求该函数在[2,4]上的最值。 4、已知函数,求函数的最大值和最小值。 【题型3：函数最值的实际应用】 1、某公司生产一种电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加 投入100元，已知总收益（单位：元）其中是该仪 器的月产量.（总收益总成本利润） （1）将利润表示为关于月产量的函数 。 （2）当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【题型4：含参数的二次函数最值问题】 1、已知函数. (1)求在[0,1]上的最大值； (2)当时，求在闭区间上的最小值。 一、单选题 1．函数的单调递减区间为（   ） A． B． C． D． 2．“”是“函数在区间上为减函数”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 4．已知函数，则在区间上的最大值为（   ） A． B．1 C． D． 5．已知定义在上的函数满足任意，且，都有成立，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 6．若存在，使得不等式成立，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知函数在R上严格单调递增，且，则（   ） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（   ） A．函数是减函数 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递增 D．函数在上单调递增 11．（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．单调递增区间是 B．单调递减区间是 C．最大值为2 D．没有最小值 三、填空题 12．函数的单调递增区间为________． 13．已知函数在区间是减函数，则实数a的取值范围是________ 14．已知函数 的最小值为，则 _____ 四、解答题 15．已知函数，判断并证明函数在上的单调性。 16．已知函数. (1)在上边所给的坐标系中画出该函数的图象。 (2)写出该函数的单调区间及值域（不要求证明）. 17．已知函数. (1)判断在上的单调性，并用定义证明； (2)判断命题“，”的真假，并说明理由。 18．求下列函数的单调区间． (1). (2). 19．已知函数的定义域为，对任意正实数，，恒有，且当时，. (1)求证：，且当时，； (2)判断在上的单调性； (3)若存在，使得，求实数的取值范围。 1．本节课核心知识（结合课堂知识总结）：_________________________________________________ 2．今日错题 / 不懂的内容：_______________________________________________________________ 3．出错 / 听不懂的原因：□概念不会 □审题马虎 □思路没掌握 4．我的改进小计划： _________________________________________________________________________________________ 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $