3.2.1单调性与最大（小）值（函数的最值） 学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学学案聚焦函数的最值核心知识点，通过复习函数单调性引入最值定义，引导学生从图像观察（最高点或最低点纵坐标）和代数定义两方面理解，搭建从单调性到最值求法的学习支架，系统梳理二次函数、分段函数等的最值求解方法。 资料特色在于注重数形结合与分类讨论，例题设计从基础（不同区间二次函数最值）到综合（逆用求参数），帮助学生通过几何直观（数学眼光）和逻辑推理（数学思维）掌握最值求法，培养应用意识（数学语言），提升分析和解决问题的能力，习题层次分明，有效巩固知识。

3.2.1单调性与最大（小）值（函数的最值） 学案 【知识要点】 1.函数最大值与最小值的含义 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： （1） 对于任意的，都有； （2） 存在，使得． 那么，我们称是函数的最大值（maximum value）. 仿照函数最大值的定义，给出函数的最小值（minimum value）的定义 2．求二次函数的最值时，应判断它的开口方向及对称轴与区间的关系．若含有字母，要根据对称轴和区间的关系对字母进行讨论，解题时要注意数形结合．(如例1) 3．分段函数的最大值为各段上最大值的最大者，最小值为各段上最小值的最小者，故求分段函数的最大或最小值，应先求各段上的最值，再比较即得函数的最大、最小值．(如例3) 4.函数的最大(小)值反映在图象上，是函数图象__最高点（最低点）__的纵坐标． 5最值与值域的联系与区别（值域注意开闭） 6数形结合求最值（作图） 一、利用单调性求最值 例一、1.求函数y＝x2－12x＋20当自变量x在下列范围内取值时的最值，并求此函数取最值时的x值，(1)x∈R；　(2)x∈[1，8]； (3)x∈[－1，1]. 变式1设函数。 （1）将f(x)写成分段函数，在给定坐标系中作出函数的图像； （2）解不等式f（x）>5. 例二 1.求函数y=在区间[0,2]上的最值. 2.求函数y＝在区间[1,2]上的最大值和最小值． 3.判断函数y=在区间[2,4]上的最值. 4.判断函数在 [1，4]上的单调性并求其最值. 5.函数y＝－的值域为(　　) A．(－∞，]　　　　　　　 B．(0，] C．[，＋∞) D．[0，＋∞) 二、逆用求字母参数 例4．二次函数y=x2-2x-3在[a-1,a] 上的最大值是多少？ 变式4．已知二次函数在上有最大值4，求实数的值． 答案 例一 1（1）当x=6时取最小，为-16 （2）当x=6时取最小，为-16 当x=1时取最大值，为9 （3）当x=1时取最小值，为9 当x=-1时取最大，为33 变式1 f（x）>5时，即可得x（-，-2）（3，+） 例二 1最大值为，最小值为-1. 2最大值为-，最小值为-4. 3最大值为，最小值为4-. 4单调性：在[1,2]上单调递减，在（2,4]上单调递增 在x=2处取最小为4，在x=1或4处取最大为5. 5 f（x）=，f（x）的定义域为[1，+），单调递减，所以值域为（0，]. 例四 当a≤时，在x=a-1处取得最大值为 当a>时，在x=a处取最大值为 变式4． 或 解：此二次函数对称轴为x＝－1，结合图像知 （1）当时， （2）当时， 综合（1）（2）得 或 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $