3.2.2 函数的奇偶性导学案-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学导学案聚焦函数奇偶性，涵盖定义、图像特征、判定方法及性质推论，承接函数单调性，通过“核心前提-定义-图像-判定-性质-应用”知识框架搭建学习支架，帮助学生系统构建函数性质认知体系。 突出数学抽象（从具体函数抽象定义）、逻辑推理（规范判定四步法）、直观想象（图像对称性分析）核心素养，例题含基础到高考变式及创新题型，分层精练巩固考点，助力学生掌握数形结合等学科方法，提升综合解题能力。

新课标高中数学导学案 第三章 函数的概念和性质 3.2函数的基本性质 3.2.2 函数的奇偶性导学案（人教A版2019） 【内容导航】 本节课核心围绕函数奇偶性展开，是函数基本性质的重要组成部分，承接上一节函数的单调性，是研究函数图像对称性、简化函数求值、比较大小、求解不等式、判断函数解析式的核心工具。本节课主要学习内容包括：函数奇偶性的定义、图像特征、判定方法、性质推论，结合典型例题、变式训练掌握解题技巧，最后通过分层梯度精练巩固高考核心考点。 【导学目标导航】 一、知识目标 1. 理解函数奇函数、偶函数的定义，掌握奇偶函数的定义域关于原点对称的核心前提条件。 2. 掌握奇函数、偶函数的图像几何特征，明确偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于坐标原点对称。 3. 熟练掌握函数奇偶性的判定步骤，能够判定常见整式函数、分式函数、根式函数的奇偶性。 4. 掌握奇偶函数的基本性质及推论，会利用奇偶性求函数解析式、函数值、解抽象函数不等式。 二、能力目标 1. 培养学生数形结合能力，能结合函数图像直观分析奇偶性，利用对称性简化解题。 2. 提升学生逻辑推理能力，规范奇偶性判定的代数推理步骤，严谨完成公式推导与证明。 3. 强化学生题型迁移能力，能将奇偶性与单调性结合，解决高考综合题型、创新题型。 三、素养目标 1. 数学抽象：通过具体函数图像与解析式，抽象出函数奇偶性的本质定义与核心特征。 2. 逻辑推理：通过奇偶性判定、性质推导，培养严谨的数学推理思维。 3. 直观想象：借助函数图像对称性，建立数形结合的直观认知。 4. 数学运算：熟练完成函数式化简、奇偶性验证、综合题型运算求解。 【导学重点】 1. 函数奇偶性的定义与判定方法； 2. 奇偶函数的图像性质与基本运算性质； 3. 利用函数奇偶性求函数值、解析式。 【导学难点】 1. 定义域关于原点对称的前提判断，非对称定义域函数的奇偶性排除； 2. 抽象函数、分段函数的奇偶性判定； 3. 函数奇偶性与单调性结合的综合问题、创新题型求解。 【知识框架】 函数的奇偶性 1. 核心前提：定义域关于原点对称 2. 两大定义：偶函数定义、奇函数定义 3. 图像特征：偶函数关于轴对称、奇函数关于原点对称 4. 判定步骤：定定义域→验对称性→代值化简→下结论 5. 性质推论：奇偶函数运算性质、对称区间单调性、特殊函数性质 6. 核心应用：求函数值、求解析式、解不等式、比较函数值大小 【导学过程】 一、知识要点与公式推导 （一）奇偶性判定前提 函数具有奇偶性的必要前提：函数的定义域关于原点对称，即若，则必有。若定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，无需后续验证。 （二）偶函数定义与推导 定义：设函数的定义域关于原点对称，如果对于任意的，都有，那么函数就叫做偶函数。 图像特征：偶函数的图像关于直线（轴）对称。 典型偶函数：、、。 （三）奇函数定义与推导 定义：设函数的定义域关于原点对称，如果对于任意的，都有，那么函数就叫做奇函数。 图像特征：奇函数的图像关于坐标原点中心对称。 特殊推论：若奇函数在处有定义，则必有（常用解题结论）。 典型奇函数：、、。 （四）函数奇偶性分类 1. 偶函数：满足； 2. 奇函数：满足； 3. 既奇又偶函数：定义域关于原点对称，且同时满足、，解析式为； 4. 非奇非偶函数：不满足上述任意一种情况。 （五）奇偶函数运算性质（定义域均关于原点对称） 1. 奇+奇=奇，奇-奇=奇，奇×奇=偶，奇÷奇=偶； 2. 偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶×偶=偶，偶÷偶=偶； 3. 奇×偶=奇，奇÷偶=奇； 4. 复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外。 （六）奇偶性与单调性结合性质 1. 偶函数在对称区间上单调性相反：若偶函数在单调递增，则在单调递减； 2. 奇函数在对称区间上单调性一致：若奇函数在单调递增，则在单调递增。 二、典型例题讲解 例题1.（中等难度）判断函数的奇偶性。 例题2.（提高难度）判断函数的奇偶性。 例题3.（提高难度）已知奇函数定义域为，且，求的值。 例题4.（高考变式）已知偶函数在上单调递增，则、、的大小关系为？ 例题5.（高考真题改编）已知奇函数在上单调递增，求解不等式。 例题6.（创新题型）定义：若函数满足，称函数为“归零函数”。 判断是否为“归零函数”。 三、方法分析 1. 奇偶性通用判定四步法 第一步：求函数定义域，判断是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶； 第二步：计算解析式，化简整理； 第三步：对比与的关系； 第四步：根据定义判定奇偶性，书写规范结论。 2. 快速解题技巧 （1）多项式函数：奇次项为主为奇函数，偶次项为主为偶函数，奇偶项共存多为非奇非偶； （2）含原点定义的奇函数，优先验证，可快速排除错误选项； （3）奇偶性+单调性综合题，优先利用对称区间单调性、函数值对称性质转化条件。 四、变式练习 变式1.（提高题型）判断函数的奇偶性。 变式2.（高考题型）已知是定义在上的偶函数，且在单调递增，比较与的大小。 五、本节知识总结 1. 核心前提：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； 2. 定义核心：偶函数、奇函数； 3. 图像核心：偶函数轴对称，奇函数原点中心对称； 4. 高频结论：奇函数含原点则，奇偶函数对称区间单调性满足“偶反奇同”； 5. 核心应用：求值、求解析式、比大小、解抽象函数不等式，是高考函数基础必考考点。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $新课标高中数学导学案 第三章 函数的概念和性质 3.2函数的基本性质 3.2.2 函数的奇偶性导学案（人教A版2019）【解析】 【内容导航】 本节课核心围绕函数奇偶性展开，是函数基本性质的重要组成部分，承接上一节函数的单调性，是研究函数图像对称性、简化函数求值、比较大小、求解不等式、判断函数解析式的核心工具。本节课主要学习内容包括：函数奇偶性的定义、图像特征、判定方法、性质推论，结合典型例题、变式训练掌握解题技巧，最后通过分层梯度精练巩固高考核心考点。 【导学目标导航】 一、知识目标 1. 理解函数奇函数、偶函数的定义，掌握奇偶函数的定义域关于原点对称的核心前提条件。 2. 掌握奇函数、偶函数的图像几何特征，明确偶函数图像关于轴对称，奇函数图像关于坐标原点对称。 3. 熟练掌握函数奇偶性的判定步骤，能够判定常见整式函数、分式函数、根式函数的奇偶性。 4. 掌握奇偶函数的基本性质及推论，会利用奇偶性求函数解析式、函数值、解抽象函数不等式。 二、能力目标 1. 培养学生数形结合能力，能结合函数图像直观分析奇偶性，利用对称性简化解题。 2. 提升学生逻辑推理能力，规范奇偶性判定的代数推理步骤，严谨完成公式推导与证明。 3. 强化学生题型迁移能力，能将奇偶性与单调性结合，解决高考综合题型、创新题型。 三、素养目标 1. 数学抽象：通过具体函数图像与解析式，抽象出函数奇偶性的本质定义与核心特征。 2. 逻辑推理：通过奇偶性判定、性质推导，培养严谨的数学推理思维。 3. 直观想象：借助函数图像对称性，建立数形结合的直观认知。 4. 数学运算：熟练完成函数式化简、奇偶性验证、综合题型运算求解。 【导学重点】 1. 函数奇偶性的定义与判定方法； 2. 奇偶函数的图像性质与基本运算性质； 3. 利用函数奇偶性求函数值、解析式。 【导学难点】 1. 定义域关于原点对称的前提判断，非对称定义域函数的奇偶性排除； 2. 抽象函数、分段函数的奇偶性判定； 3. 函数奇偶性与单调性结合的综合问题、创新题型求解。 【知识框架】 函数的奇偶性 1. 核心前提：定义域关于原点对称 2. 两大定义：偶函数定义、奇函数定义 3. 图像特征：偶函数关于轴对称、奇函数关于原点对称 4. 判定步骤：定定义域→验对称性→代值化简→下结论 5. 性质推论：奇偶函数运算性质、对称区间单调性、特殊函数性质 6. 核心应用：求函数值、求解析式、解不等式、比较函数值大小 【导学过程】 一、知识要点与公式推导 （一）奇偶性判定前提 函数具有奇偶性的必要前提：函数的定义域关于原点对称，即若，则必有。若定义域不关于原点对称，函数为非奇非偶函数，无需后续验证。 （二）偶函数定义与推导 定义：设函数的定义域关于原点对称，如果对于任意的，都有，那么函数就叫做偶函数。 图像特征：偶函数的图像关于直线（轴）对称。 典型偶函数：、、。 （三）奇函数定义与推导 定义：设函数的定义域关于原点对称，如果对于任意的，都有，那么函数就叫做奇函数。 图像特征：奇函数的图像关于坐标原点中心对称。 特殊推论：若奇函数在处有定义，则必有（常用解题结论）。 典型奇函数：、、。 （四）函数奇偶性分类 1. 偶函数：满足； 2. 奇函数：满足； 3. 既奇又偶函数：定义域关于原点对称，且同时满足、，解析式为； 4. 非奇非偶函数：不满足上述任意一种情况。 （五）奇偶函数运算性质（定义域均关于原点对称） 1. 奇+奇=奇，奇-奇=奇，奇×奇=偶，奇÷奇=偶； 2. 偶+偶=偶，偶-偶=偶，偶×偶=偶，偶÷偶=偶； 3. 奇×偶=奇，奇÷偶=奇； 4. 复合函数奇偶性：内偶则偶，内奇同外。 （六）奇偶性与单调性结合性质 1. 偶函数在对称区间上单调性相反：若偶函数在单调递增，则在单调递减； 2. 奇函数在对称区间上单调性一致：若奇函数在单调递增，则在单调递增。 二、典型例题讲解 例题1.（中等难度）判断函数的奇偶性。 解析：1. 定义域：函数定义域为，关于原点对称，满足奇偶性前提； 2. 代入化简：对任意，； 3. 比对定义：； 4. 结论：该函数为偶函数。 例题2.（提高难度）判断函数的奇偶性。 解析：1. 定义域：恒成立，定义域为，关于原点对称； 2. 代值计算：； 3. 比对化简：； 4. 结论：该函数为奇函数。 例题3.（提高难度）已知奇函数定义域为，且，求的值。 解析：由奇函数定义可知，对任意，。 令，则，代入，得。 答案： 例题4.（高考变式）已知偶函数在上单调递增，则、、的大小关系为？ 解析：1. 由偶函数性质得：； 2. 由题意，在单调递增，且； 3. 根据单调性得：； 4. 等量代换得：。 答案： 例题5.（高考真题改编）已知奇函数在上单调递增，求解不等式。 解析：1. 是上单调递增的奇函数，定义域为； 2. 由增函数性质：； 3. 解得：； 答案：解集为。 例题6.（创新题型）定义：若函数满足，称函数为“归零函数”。 判断是否为“归零函数”。 解析：1. 定义域为，关于原点对称； 2. 计算； 3. 求和：； 4. 满足新定义，故该函数是“归零函数”。 三、方法分析 1. 奇偶性通用判定四步法 第一步：求函数定义域，判断是否关于原点对称，不对称直接判定非奇非偶； 第二步：计算解析式，化简整理； 第三步：对比与的关系； 第四步：根据定义判定奇偶性，书写规范结论。 2. 快速解题技巧 （1）多项式函数：奇次项为主为奇函数，偶次项为主为偶函数，奇偶项共存多为非奇非偶； （2）含原点定义的奇函数，优先验证，可快速排除错误选项； （3）奇偶性+单调性综合题，优先利用对称区间单调性、函数值对称性质转化条件。 四、变式练习（含答案解析） 变式1.（提高题型）判断函数的奇偶性。 解析：因为定义域关于原点对称， 又， 所以函数为偶函数。 变式2.（高考题型）已知是定义在上的偶函数，且在单调递增，比较与的大小。 解析：因为是定义在上的偶函数，且在单调递增， 偶函数对称区间单调性相反， 故在单调递减。 ， 又，故，即。 五、本节知识总结 1. 核心前提：定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件； 2. 定义核心：偶函数、奇函数； 3. 图像核心：偶函数轴对称，奇函数原点中心对称； 4. 高频结论：奇函数含原点则，奇偶函数对称区间单调性满足“偶反奇同”； 5. 核心应用：求值、求解析式、比大小、解抽象函数不等式，是高考函数基础必考考点。 第 1 页 共 8 页 学科网（北京）股份有限公司 $