专题07 三角函数的图像与性质与解三角形（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整合了三角函数图像与性质及解三角形专题，涵盖基础梳理、考点分层、题型突破、方法提炼与易错警示五大模块，构建从三角函数核心性质到解三角形综合应用的知识网络。 清单采用考点深研与素养进阶双轨设计，如将y=Asin(ωx+φ)图像变换设为重点突破，通过母题探究提炼换元法解题范式，培养数学思维与应用意识。特设易错点警示与高考真题关联，如三角函数最值问题标注常见误区，辅助学生精准复习，教师可据此优化教学策略。

专题07 三角函数的图像与性质与解三角形 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 考点01 三角函数的图像与性质 考点02 三角函数的图像与性质 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 题型01 三角函数的的图像和性质 题型02 正弦定理 题型03 三角形中的几何计算 题型04 解三角形 重点突破・考法深研 重点01 正弦函数的图象 重点02 正弦函数的定义域和值域 重点03 正弦函数的单调性 重点04 余弦函数的图象 重点05 正切函数的单调性和周期性 重点06 利用正弦定理解三角形 重点07 余弦定理正弦函数的奇偶性和对称性 重点08 解三角形 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 方法点拨02 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 方法点拨03 正弦函数的奇偶性和对称性 方法点拨04 三角函数的周期性 方法点拨05 正弦定理与三角形的外接圆 易错剖析・避坑攻略 易错点01 三角函数的最值 易错点02 三角函数应用 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的图像与性质 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质（表中所有） 表达式 定义域 R R 值域 R 最值 当 时， ； 当 时， 当 时， ； 当 时， 无 周期 最小正周期 最小正周期 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调区间 严格增 严格减 无 对称 轴 无 中心 图像 2. 振幅 周期 频率 圆频率 相位 初始相位 A 2．函数的图像和性质． 3．三角函数图像的平移伸缩变换． 考点02 正弦定理、余弦定理 1．正弦定理 （其中为的外接圆的半径）。 2．余弦定理 等形式。 3．三角形面积公式 （其中为内切圆半径）． 4．解斜三角形的三边、三角六元素，已知三个元素有五种情形 （1）三边（SSS）；（2）两边一夹角（SAS）；（3）两边一对角（SSA）（直角三角形中为 HL）；（4）两角一夹边（ASA）；（5）两角一对边（AAS）。由全等三角形判定定理可知（1）（2）（4）（5）四种情况，当三角形存在时，解是唯一的，而对于（3），可有两解、一解及无解三种情形，应特别引起注意． 题型01 三角函数的的图像和性质 考情定位：上海高考基础必考点，以选择填空基础题、解答题小问为主，难度中等偏低，单题分值4～6分；同时属于函数板块基础内容，贯穿三角恒等变换、解三角形、函数综合题的运算与推导. 核心考法：①分析的周期、单调区间、对称轴、最值等基础性质；②考查三角函数图像平移、伸缩变换；③给定区间求三角函数的值域、零点；④结合图像特征反求解析式里的参数． 解题要点：①图像变换注意只对自变量进行缩放平移，不要忽略的系数；②求区间值域时把整体换元，对照基础三角函数图像分析；③求参数优先抓图像的零点、最值点等特殊条件；④做正切相关题目要留意定义域限制. （2025•上海）函数在，上的值域为________ 【分析】由余弦函数的单调性即可求得． 【解答】解：因为函数在单调递增，在单调递减， 所以当时，取得最大值1， 因为，，所以的最小值为0， 所以函数在，上的值域为，． 故答案为：，． 【点评】本题考查余弦函数在给定区间上的值域，属于基础题． （2025•上海）已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下不可能的是（　　） A．0 B．338 C．674 D．1012 【答案】 【分析】由题设可得，结合正切函数的周期，利用函数图象，数形结合分情况讨论求解即可． 【解答】解：因为，所以， 考虑函数在的图像，以6为周期， 先考虑一条直线与函数的整点交点， 注意到在一个周期，内，可能存在的整点有1，2，4，5，6， 可得，以下分情况讨论： ①当时，，，1，2，，337，有338个整点； ②当时，，，1，2，，337，有338个整点； ③当时，，，1，2，，336，有337个整点； ④当时，，，1，2，，336，有337个整点； ⑤当时，，，1，2，，336，有337个整点， 再考虑直线与所包围的区域（不含边界）， 注意到区间的长度为1， 所以可能，就有个整点，故可能； 因为与的距离为，所以只可能是或中的一个，就有338个整点，故可能； 而当时，中没有元素，就有0个整点，故可能； 注意到，但与的距离为，故不可能． 故选：． 【点评】本题考查正切函数的性质，考查数形结合思想方法的应用，属难题． （2024•上海）已知，． （1）设，求解：，，的值域； （2），的最小正周期为，若在，上恰有3个零点，求的取值范围． 【答案】（1），．（2），． 【分析】（1）由题意，根据正弦函数的单调性，求出函数的最值，可得结论． （2）由题意，根据正弦函数的周期性和零点，求出的取值范围． 【解答】解：（1）当时，． 因为，，所以令， 根据在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的最大值为，最小值为． 因此函数的值域为，． （2）由题知，所以，． 当时，，即． 当时，，所以，即． 因此，的取值范围为，． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． （2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】 【分析】由题意可知，对分别求值，排除，即可得答案． 【解答】解：由给定区间可知，． 区间，与区间，相邻，且区间长度相同． 取，则，，区间，，可知，，故可能； 取，则，，，区间，，，可知，，故可能； 取，则，，，区间，，，可知，，故可能． 结合选项可得，不可能的是，． 故选：． 【点评】本题考查正弦函数的图象与三角函数的最值，训练了排除法的应用，取特值是关键，是中档题． （2026•上海）已知速度与时间满足，，，，若初始速度为0，及时导数皆为0，且速度第一次达到4时，用时为0.1秒，则____________ 【答案】． 【分析】结合最值求出，，然后结合周期求出，代入特殊点求出，即可求解函数解析式． 【解答】解：由题意，最小值为0，最大值为4， 故， 由速度第一次达到4时用时为0.1秒得时只能是最小值，时取最大值， 故， 则， 所以，由可得， 即， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了的解析式的求解，属于中档题． 题型02 正弦定理 考情定位：上海高考基础必考点，以选择填空、解答题第一小问为主，难度中等偏低，单题分值4～6分；是解三角形的核心工具，常与余弦定理搭配使用． 核心考法：1利用正弦定理完成边角互化，实现边化角或者角化边；2已知两角一边、两边一对角条件求解三角形边角；3结合外接圆半径进行边长换算；4处理三角形内边角比例关系． 解题要点：1边角混合等式优先考虑正弦定理边角互化；2遇到SSA（两边一对角）题型要判断解的个数，区分一解、两解、无解；3计算完角度记得用大边对大角检验合理性；4活用公式完成边与外接圆半径的转换． （2024•上海）三角形中，，则________ 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，即可求解． 【解答】解：三角形中，， ， 由正弦定理，，， 故． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题． 题型03 三角形中的几何计算 考情定位：上海高考中档考点，以填空中档题、解答题小问为主，难度中等，单题分值4～8分；侧重几何场景，常结合中线、角平分线、高这类几何元素命题. 核心考法：1三角形中线、角平分线、高线的长度计算；2把复杂几何图形拆分为多个三角形求解边角；3结合面积公式与内切圆半径运算；4挖掘图形隐藏边角条件，联立正、余弦定理计算． 解题要点：1中线、角平分线可以使用对应专用公式简化计算；2多三角形问题优先找公共边／公共角作为解题桥梁；3面积公式形式较多，根据已知条件灵活挑选；4可以画简易草图，把条件对应到图形上减少看错条件的失误． （2026•上海）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径6.4厘米，壶身高16厘米，壶内油液面高12.1厘米，壶嘴长13.4厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底3厘米，将壶身向壶嘴方向至少转 度可使油倒出（精确到 【答案】． 【分析】根据题意，结合条件分别表示出，，然后在△中，由正弦定理代入计算，即可得到结果． 【解答】解：设壶嘴最低点，最高点分别是，， 图中圆柱轴截面矩形，距离点最近的顶点是点，另外三个顶点分别为，，， 当水平液面经过点时，可将油倒出， 设倾斜角为，当液面经过点时，， 先考虑液面不超过点，即的情况， 设液面与，分别交于点，， 设的中点为，过作的垂线，垂足为， 则，，所以， 因为，所以， 因为， 所以， 在△中，， 即， 即， 即，所以， 即， 因为，所以至少将油壶倾斜即可将油倒出． 故答案为：． 【点评】本题考查三角形中的几何计算，属于中档题． （2025•上海）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光；其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到 【答案】． 【分析】由题意作出示意图，从而得到△△，由相似三角形的性质可得方程，结合即可求得． 【解答】解：由题可得接触点为的旗杆影子在水平面上，接触点为的旗杆影子完全在斜面上， 不妨设影子完全在斜面上是旗杆为，影子为，过作平行于水平面的直线交的延长线于， 所以，， 所以，， 因为阳光可视为平行光，所以，所以△△， 所以，即， 所以，① 因为，② 联立①②解得． 故答案为：． 【点评】本题考查解三角形的应用，属于中档题． 题型04 解三角形 考情定位：上海高考高频解答题考点，一般作为解答大题出现，难度中等，单题分值 8～12 分；综合正余弦定理、面积公式，有时结合不等式考查最值问题． 核心考法：1根据 SSS、SAS、ASA、AAS、SSA 各类条件完整求解三角形；2 结合余弦定理搭配基本不等式求边长、面积的最值； 3方位角、仰俯角等实际场景的解三角形； 4 结合三角形内角和、三角诱导公式综合运算。 解题要点：1先识别已知条件类型，匹配正弦定理或者余弦定理；2求最值问题使用基本不等式后，必须验证等号成立条件；3实际应用题先把文字信息转化为三角形的边角条件； 4 时刻注意三角形内角取值范围 ，避免算出超出范围的角度． （2024•上海）已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则　　．（精确到0.1度） 【答案】． 【分析】根据已知条件，结合正弦定理，余弦定理，即可求解． 【解答】解：在中，根据正弦定理可得， 设，则， 所以，① 在中，根据正弦定理可得， ，② 联立①②，因为， 所以，利用计算器可得，，即． 故答案为：． 【点评】本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题． （2025•上海）在△中，角、、所对的边分别为、、，且． （1）若，，求； （2）若，求△的面积的最大值． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）由，结合正弦定理算出，然后根据勾股定理求出边的长； （2）根据余弦定理与基本不等式，算出的最小值，结合同角三角函数的关系求得的最大值，进而可得△的面积的最大值． 【解答】解：（1）由，根据正弦定理得，化简得， 因为，，所以，即，解得，； （2）根据，，由余弦定理得， 当且仅当时，等号成立． 所以，即，可得，结合，解得． 因为△的面积， 所以当时，△的面积取得最大值． 【点评】本题主要考查正弦定理与余弦定理、三角形的面积公式、运用基本不等式求最值等知识，属于中档题． 重点01 正弦函数的图象 [2025•嘉定区二模]已知关于的不等式在区间，内有个整数解，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】 【分析】不等式，等价于，或；作出函数与的图象，结合图象即可得出不等式在区间，内的整数解个数． 【详解】解：由不等式，得，或； 即，或； 作出函数与的图象，如图所示： 由图象知，当或时，不等式的整数解为1，5； 当时，不等式的整数解为2，3，4； 综上，不等式在区间，内有5个整数解． 故选：． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题． [2026•杨浦区模拟]已知函数在，上有两个最值点，则的取值范围为　　　　． 【答案】． 【分析】结合正弦函数图象，根据题意列不等式计算即可求解． 【详解】解：因为，，， 所以， 由正弦函数性质可知，要使函数有两个最值点， 则，且， 解得且， 所以的取值范围为． 故答案为：． 【点评】本题考查了正弦函数的图象及三角函数的性质，属中档题． [2026•青浦区二模]已知函数，其中． （1）若，，求的值； （2）若方程在区间上恰有两个不同的解，，求实数的取值范围及的值． 【答案】（1）； （2）的取值范围为． 【分析】（1）由已知结合同角基本关系及二倍角公式进行化简即可求解； （2）结合正弦函数的对称性即可求解． 【详解】解：（1）由得， 设，则且， 因为且，所以， 则， 则； （2）， 在区间内，， 函数在的图像与直线恰有两个交点时，， 此时， 则的取值范围为． 【点评】本题主要考查了同角基本关系，和差角公式，还考查了正弦函数性质的应用，属于中档题． 重点02 正弦函数的定义域和值域 三角函数的定义域和值域的规律方法 1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法． （1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）； （2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解． [2026•黄浦区模拟]函数的定义域为　　　　． 【答案】， 【分析】依题意可得即，解不等式可得 【详解】解：由题意可得 故答案为： 【点评】本题考查了函数定义域的求解，三角不等式的解法，解三角不等式的常用方法是借助于单位圆中的三角函数线进行求解，试题较易． [2026•嘉定区二模]已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为　　　　． 【答案】． 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解． 【详解】解：因为向量，，且， 所以在方向上的数量投影为， 因为，， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了向量投影向量的求解，属于基础题． [2026•青浦区二模]若函数（常数在区间没有最值，则的取值范围是 　　　　　． 【答案】，． 【分析】根据题意先求出的取值范围，然后根据题意列出不等式，解之即可求解． 【详解】解：，，， 又函数在区间没有最值， ，解得，则的取值范围是，． 故答案为：，． 【点评】本题考查正弦型复合函数的值域的求法，考查运算求解能力，是中档题． 重点03 正弦函数的单调性 1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． 2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． [2025•浦东新区模拟]已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（　　） A．， B． C． D． 【答案】 【分析】直接利用正弦型函数的单调性建立不等式组，进一步求出结果． 【详解】解：函数在区间上单调递增， 即：，故， 由于，且，即整理得：， 解得，． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：正弦型函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． [2026•闵行区模拟]若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是　　　　． 【答案】，． 【分析】依题意，可得，，，，利用在区间上是单调函数，列式求解即可． 【详解】解：， ，， ，， 又， ，， 又在区间上是单调函数， ， 解得，． 故答案为：，． 【点评】本题考查正弦函数的单调性，属于中档题． [2026•长宁区模拟]已知在上是严格增函数，且该函数在上有最小值，那么的取值范围是　　　　． 【答案】． 【分析】根据条件，结合的图像与性质即可求出结果． 【详解】解：当时，， 又因为在上是严格增函数， 所以且，即，， 又，取，得到， 当时，，又，所以， 又该函数在上有最小值，所以，得到， 综上所述，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于中档题． 重点04 余弦函数的图象 [2025•嘉定区三模]函数，的零点是　　　　． 【答案】，． 【分析】根据余弦函数的性质进行解答，即可得到本题的答案． 【详解】解：函数，的零点，就是方程在上的根， 由余弦函数的性质，可知等价于， 结合，取、1，可得或． 综上所述，函数，的零点是，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查余弦函数的图象与性质、函数的零点等知识，属于基础题． [2024•黄浦区三模]函数，的零点是　　　　． 【答案】． 【分析】直接利用余弦函数的图象和性质求出结果． 【详解】解：由于，当时，， 故函数的零点为． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：余弦函数的性质，函数的零点和方程的根的关系，主要考查学生的运算能力，属于基础题． [2025•青浦区模拟]若函数在区间，上恰有两个不相等的实数，满足（a）（b），则实数的取值范围是　　　　． 【答案】，． 【分析】借助余弦函数的图象与性质计算即可得． 【详解】解：由函数的最大值为1，最小值为， 可得或， 由故有，解得． 故答案为：，． 【点评】本题考查三角函数性质，属于中档题． 重点05 正切函数的单调性和周期性 [2026•金山区模拟]函数的最小正周期为　　　　． 【答案】． 【分析】直接根据周期公式计算得到答案． 【详解】解：函数的最小正周期为． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的性质，属基础题． [2025•徐汇区模拟]已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 　　　　　． 【答案】1． 【分析】由已知结合正切函数的单调性即可求解． 【详解】解：由函数在区间内单调递增， 可得，且，解得， 所以的最大值为1． 故答案为：1． 【点评】本题考查了正切函数的图象与性质应用问题，是基础题． [2026•黄浦区模拟]已知，其中． （1）若，求函数的最小正周期及严格增区间； （2）若关于的方程在，上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围． 【答案】（1），，； （2）． 【分析】（1）根据正切函数的性质代入公式求解即可； （2）结合正切函数的性质，可知要使区间，上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，再代入运算即可． 【详解】解：（1）当时，，， 由，得， 所以严格增区间为，． （2）因为，，， 要使区间，上至少存在2026个解，其区间长度的最小值为个周期，且最小值不小于2026， 故，即，所以，又， 所以的范围为． 【点评】本题主要考查了正切函数性质的综合应用，属于中档题． 重点06 利用正弦定理解三角形 定理 正弦定理 内容 变形形式 ①； ②； ③； ④ 解决三角形的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 [2026•青浦区二模]已知△为等腰三角形，且，则 　 　． 【答案】． 【分析】由正弦定理和条件得，再由余弦定理即可求得． 【详解】解：设△三个内角，，所对的边分别为，，， 因为，则由正弦定理得， 因为△是等腰三角形，所以， 由余弦定理得：． 故答案为：． 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． [2026•崇明区二模]在△中，角、、所对的边长分别为、、．若，，，则　 　 ． 【答案】2． 【分析】根据题意，运用正弦定理进行求解，即可得到本题的答案． 【详解】解：在△中，，，， 由正弦定理，可得， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查正弦定理、特殊角的三角函数值等知识，属于基础题． [2025•黄浦区二模]在△中，若，，，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据正弦定理即可求解． 【详解】解：在△中，根据正弦定理，已知，，， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了正弦定理，属于基础题． 重点07 余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC 变形 形式 ①; ②; ③; ④ [2026•浦东新区二模]在△中，若，，，则是　 　． 【分析】由余弦定理的式子，代入题中数据加以计算，即可解出边的值． 【详解】解：在△中，， 根据余弦定理， 可得，解得（舍负） 故答案为：3 【点评】本题给出三角形的两条边和夹角的余弦，求第三条边的长．考查了利用余弦定理解三角形的知识，属于基础题． [2026•崇明区模拟]在△中，，，，则　 　． 【答案】． 【分析】根据题意，运用余弦定理算出，然后根据同角三角函数的平方关系进行求解，可得的值． 【详解】解：△中，，，， 根据余弦定理，可得， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查余弦定理、同角三角函数的关系等知识，属于基础题． [2025•浦东新区三模]△中，，则 　 　． 【答案】或． 【分析】根据余弦定理即可求解． 【详解】解：根据题意可知，， 根据余弦定理得， 即，解得或， 经检验，符合题意， 所以或． 故答案为：或． 【点评】本题考查了余弦定理，属于基础题． 重点08 解三角形 解三角形注要依靠正弦定理 与余弦定理 及其变形，结合三角形内角和 、面积公式 解题，已知两角一边多用正弦定理，已知两边夹角或三边优先使用余弦定理，遇到两边及其中一边对角要警惕多解问题，还可以通过边角互化判断三角形形状，同时该知识常结合外接圆半径、测量距离高度、几何图形、充要条件进行综合考查。 [2026•宝山区二模]在△中，，均为锐角，设甲：；乙：△是钝角三角形，则甲是乙的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】 【分析】通过举反例得出充分性不成立，利用正弦定理证明必要性成立，进而可得本题答案． 【详解】解：当，时，满足， 此时，△是锐角三角形，所以充分性不成立； 若△是钝角三角形，结合题意知为钝角，则， 根据正弦定理，可得，故必要性成立． 综上所述，甲是乙的必要不充分条件． 故选：． 【点评】本题主要考查正弦定理、充要条件的判断等知识，考查了逻辑推理能力，属于基础题． [2026•长宁区二模]如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为，宽均为．点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为．为了使，则、两点间距离为　 　． ．（精确到 【答案】20.4． 【分析】在△中，分别求得，，再利用三角形相似及正弦定理可求解． 【详解】解：由题意，在△中，，，所以， 所以，， 延长，交于点， 则△与△相似，所以， 所以，所以， 所以， 在△中，由正弦定理得， 即， 所以， 所以， 即、两点间距离为． 故答案为：20.4． 【点评】本题考查正弦定理在解三角形中的应用，考查三角形中的几何计算，属中档题． [2026•松江区二模]如图，某公园划出一块平整的三角形草地，在边上设置一个观景点，点到顶点的距离为2百米，平分，边和的长度都为3百米．现需要沿着三角形草地的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为　 　百米． 【答案】． 【分析】设，，由角平分线定理以及列方程组求解即可． 【详解】解：设，， 由角平分线定理得，，即，得， 因为，可得， 而， ， 所以，即， 则，则， 得，， 则该灯带的长度为． 【点评】本题考查余弦定理的应用，属于中档题． 方法点拨01 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是个单位。原因是相位变换和周期变换都是针对而言的。 [2026•徐汇区模拟]已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为　　　　． 【答案】1． 【分析】求出平移后的函数解析式，再求对应函数的值． 【详解】解：函数的图象向右平移后得函数的图象， 则， 所以． 故答案为：1． 【点评】本题考查了三角函数的图象与性质，是基础题． [2025•浦东新区模拟]把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则　　　　． 【答案】． 【分析】直接利用平移变换和伸缩变换求出结果． 【详解】解：函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）得到函数的图象，再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象． 故答案为：． 【点评】本题考查的知识点：函数的图象的平移变换和伸缩变换，主要考查学生的运算能力，属于中档题． [2026•松江区二模]已知函数的表达式为． （1）若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； （2）若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用辅助角公式，结合平移变换和三角函数的对称性即可求解； （2）利用相位整体思想，分析正弦函数的极值点和零点情况，即可确定动区间的范围，从而可求得参数范围． 【详解】解：（1）由， 当函数右移个单位得，则， 由关于对称，可得：， 整理得：，，又，取得最小正数， 即的最小值为； （2）由（1）可得：， 当时，， 因为在上的极值点为，，零点为，， 由题意可得，， 即所求实数的取值范围． 【点评】本题主要考查了正弦函数的对称性，极值及零点存在条件的应用，属于中档题． 方法点拨02 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中＂五点＂中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出＂五点＂的坐标。 2．两个区别 （1）振幅与函数的最大值，最小值的区别：最大值，最小值，故． （2）由变换到先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由的图象变换到的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对而言，即本身加减多少值，而不是依赖于加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （3）由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是． [2025•闵行区三模]如图是函数的图象，则的值为　　　　． 【答案】2． 【分析】由对称性可知到，间隔半个周期即可求解． 【详解】解：根据函数的图象，由三角函数对称性可得， 因此． 故答案为：2． 【点评】本题考查了由的部分图象确定其解析式，属于基础题． [2025•青浦区模拟]函数的部分图象如图，下列结论正确的序号是　　　　． ①的最小正周期为6； ②； ③的图象的对称中心为； ④的一个单调递减区间为． 【答案】②③． 【分析】首先根据图象信息，找出周期，从而得出，进而求出，再根据三角函数的图象和性质进行判断即可． 【详解】解：由图可得，所以①错误； 因为，所以．因为点在的图象上， 所以 即． 因为，所以，所以，所以②正确； 令得， 所以的图象的对称中心为，所以③正确； 令得， 令得，令得， 所以，，所以④错误． 综上，正确的序号是②③． 故答案为：②③． 【点评】本题以三角函数为背景，考查正弦型函数的图象与性质，属基础题． [2026•宝山区模拟]函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为　　　　． 【答案】． 【分析】利用辅助角公式化简函数，得出振幅和周期，设点，利用正弦型函数的性质结合图象求出，坐标，进而求出，利用构造方程求出，进而求出值． 【详解】解：，振幅为，周期， 设点，则，， ， ， 解得， ． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的简单应用，属于基础题． 方法点拨03 正弦函数的奇偶性和对称性 正弦函数是定义域为的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有。另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为． [2023•浦东新区模拟]设（其中，若点为函数图像的对称中心，，是图像上相邻的最高点与最低点，且，则下列结论正确的是（　　） A．函数的对称轴方程为 B．函数的图像关于坐标原点对称 C．函数在区间上是严格增函数 D．若函数在区间内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点 【答案】 【分析】由题意，利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论． 【详解】解：（其中，，是图像上相邻的最高点与最低点， 且， ． 点为函数图像的对称中心，，， ，． 令，，求得，， 可得函数的图象的对称轴方程为，，故错误； 由于函数不是奇函数，故它的图像不关于坐标原点对称，故错误； 当，，，函数在区间上不单调，故错误； 若函数在区间内有5个零点，，， 则，故它在此区间内有且有2个极小值点，故正确， 故选：． 【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于中档题． [2022•松江区二模]设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据对称轴求出，求出最小正周期，根据，则的最小值为半个周期即可求出． 【详解】解：函数图像的一条对称轴方程为， ，，，， ，， ， 最小正周期为， 、是函数的两个不同的零点， 的最小值为半个周期， 的最小值为． 故选：． 【点评】本题考查了的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题． [2026•浦东新区模拟]定义：闭区间，的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为　　　　． 【答案】． 【分析】设的周期为，根据①的结论可得，解得，利用②的结论分析，可得取得最小值时对应的位置，结合③的结论解出的值，进而求出的最大值． 【详解】解：当时，说明与中，一个取最小值，一个取最大值， 而要想在一个闭区间内能同时取得最小值和最大值，闭区间至少要为半个周期， 因此，若闭区间的长度小于半个周期，则一定不能同时取得最小值和最大值， 设的周期为，则，解得，所以， 不妨设，如图所示： 依次讨论对应为点、、、四种情况，且， 若对应为点（或点之后），则，即，不符合题意； 若求的最大值，即的最小值，即与之间相位跨度最大， 若对应为点，则直线为图象的对称轴， 又是函数图象的一个对称中心，则， 解得，则， 所以取值的最大值为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查三角函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题． 方法点拨04 三角函数的周期性 [2026•静安区模拟]设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据题意，结合正弦函数的图象和性质即可求解． 【详解】解：由题意，当时，不能满足在上极值点比零点多， 当时，，，， 要使函数在区间内恰有三个极值点，两个零点， 由的部分图象，如图， 则，解得， 即，． 故选：． 【点评】本题考查正弦函数的图象和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． [2026•杨浦区模拟]已知，函数在区间，上最小值为，在区间，上的最小值为，变化时，下列不可能的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答． 【详解】解：因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在，上的最小值，在，上的最小值，可能； 当时，，， 因此在，上的最小值，在，上的最小值，可能； 当时，，， 因此在，上的最小值，在，上的最小值，可能； 对于，若，则， 若，则区间，的长度，并且且， 即且与矛盾，所以不可能． 故选：． 【点评】本题考查的知识点：正弦函数的性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题． [2026•金山区二模]函数是（　　） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 【答案】 【分析】结合诱导公式进行化简，然后结合函数的周期性及奇偶性即可求解． 【详解】解：为奇函数且周期为． 故选：． 【点评】本题主要考查了函数周期性及奇偶性的判断，属于基础题． 方法点拨05 正弦定理与三角形的外接圆 正弦定理建立起三角形边长、内角与外接圆半径的联系，借助与完成边角互化，已知一边及其对角可直接求出外接圆半径，若仅已知三边长，则先用余弦定理求出内角的余弦值，再利用同角三角函数关系得到内角正弦，进而计算外接圆半径，注意该等式结果为外接圆直径，求半径时需要除以2. [2024•徐汇区模拟]在△中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】 【分析】先应用正弦定理及两角和的正弦公式化简求出角，再根据正弦定理求出外接圆半径即可． 【详解】解：，，． ， ， ，，， ，设该三角形外接圆的半径为， 由正弦定理得， ． 故选：． 【点评】本题考查的知识要点：正弦定理，主要考查学生的理解能力和计算能力，属于中档题． [2024•徐汇区模拟]在中，，，，则的外接圆半径为 　 　 【答案】1． 【分析】可求得，利用正弦定理即可求得答案． 【详解】解：在中，，，， ，设的外接圆半径为， 由正弦定理得：， ． 故答案为：1． 【点评】本题考查正弦定理的应用，属于基础题． [2024•虹口区二模]已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为 　 　． 【答案】． 【分析】由已知结合余弦定理可求出，再由同角平方关系求出，结合正弦定理即可求解． 【详解】解：设，，， 由余弦定理得，， 所以， 由正弦定理可得，． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了余弦定理及正弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题． 易错点01 三角函数的最值 三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数． （1）． 【答案】 【详解】 故答案为：． 这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换． （2）函数的最大值是． 【答案】5 【详解】令，可得，其中 ∵ 二次函数的图象开口向上，对称轴是 ∴ 当时函数有最小值， 而函数的最大值为时或时函数值中的较大的那个 ∵时，，当时， ∴ 函数的最大值为时的值 即时，函数的最大值为 5 ． 这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域． [2026•上海模拟]已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合三角函数的性质，列出不等式组，即可求解． 【详解】解：函数在区间内不存在最值， 则 内不存在最值， 所以，解得，， 故 或， 由，则， 恒成立， 故且，或， 故的取值范围是． 故选：． 【点评】本题主要考查三角函数的最值，属于基础题． [2025•金山区三模]已知函数，任取，定义集合：，点，，，满足，设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，则函数的最小值是（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】 【分析】作出函数的图象，根据的位于不同的位置，即可分情况求解． 【详解】解：如图所示，的图象，此时，函数的最小正周期为， 点，， 当点在点时，，，； 当点在曲线上从接近时，，减小，逐渐减小， 当点在点时，点在曲线上，，，， 当点在曲线上从接近时，，减小，所以逐渐增大； 当点在点时，，，； 当点在曲线上从接近时，，增大，逐渐减小， 当点在点时，，，； 当点在曲线上从接近时，，增大，逐渐增大， 当点在点时，，，． 综上可得的最小值是1． 故选：． 【点评】本题考查三角函数最值，属于中档题． [2026•闵行区二模]定义：平面内图形上的所有点在直线上的射影所组成的图形称为在上的射影．若存在边长为的正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为4，则的取值范围为　　　　． 【答案】． 【分析】问题转化为正△在轴、轴上投影之和的两倍，设与轴正半轴的夹角为，正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为，分、、三种情况分别计算的最值，再列不等式求解即可． 【详解】解：正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和，等价于正△在轴、轴上投影之和的两倍， 设与轴正半轴的夹角为， 正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为， 则，，， 当，时，正△在轴、轴上投影分别为、， 则 ， 所以或时，取得最小值， 时，取得最大值为； 当，时，正△在轴、轴上投影分别为、， ， 当时，取得最小值，当时，取得最大值为； ，时，正△在轴、轴上投影分别为、， ， 当时，取得最小值，当时，取得最大值为； 由对称性可证，其它象限最值情况一样， 综上，的最小值为，最大值为， 所以，解得， 则的取值范围是，． 【点评】本题考查了三角函数的应用，也考查了运算求解能力，是中档题． 易错点02 三角函数应用 1、方法与技巧： （1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决． （2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词． （3）要能根据题意，画出符合题意的图形． （4）对计算结果，可根据实际情况进行处理． 2、注意： （1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量． （2）解决应用问题要注重检验． （3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围． [2026•上海模拟]设，．若对任意，均存在，，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用两个函数总存在一个是单调的函数，而的单调性是已知的，我们就对任意可能包含在时，会导致不单调，此时则需要必须单调，从而去验证在区间的单调性，从而问题可得解． 【详解】解：由于这两个函数都是周期为的函数，则下面只考虑在区间，上进行分析研究， 因为在区间上单调递增，在上单调递减， 在上单调递增，而题意要求对任意，均存在，， 使得函数在是单调函数， 所以只需要在区间，是单调函数即可， 根据选项可知只需要满足时取值，故，， 根据余弦函数的单调性，若满足，解得， 若满足，解得，若满足，无解， 故必满足题意，而，则错误． 故选：． 【点评】本题考查三角函数应用，属于中档题． [2026•徐汇区模拟]如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图．将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴、母线与轴夹角为的圆锥及其内部．若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”．当时，的最大值为　　　　．（结果精确到 【答案】6.93米． 【分析】作垂直于无人机航线与平面的平面，与无人机航线交于点，与平面交于直线，线段的长为农药条带的宽度，为水平线．作于，于，由坡角为易得，利用三角函数求出，进而求出的最大值得出结论． 【详解】解：作垂直于无人机航线与平面的平面，与无人机航线交于点，与平面交于直线，线段的长为农药条带的宽度，为水平线． 作于，于，由坡角为易得， 由题意得，，，则，， 所以， ， 因为，所以，， 所以． 故答案为：6.93米． 【点评】本题考查三角函数模型的运用，考查诱导公式的运用，考查余弦函数的性质，正确求出是关键，属于中档题． [2026•上海模拟]如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． （1）根据条件具体写出关于的函数表达式； （2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 【答案】（1）； （2）10分钟． 【分析】（1）由中心点到地面距离得值，由摩天轮半径得值，由周期求得，再由初始值求得得表达式； （2）解不等式后可得． 【详解】解：（1）中心点距地面，则，摩天轮的半径为，即，，， 最低点到地面距离为， 所以，，又，，则， 所以所求表达式为； （2），， 取一个周期内，有，，． 所以在摩天轮转动一圈内，点有10分钟的时间距离地面超过． 【点评】本题主要考查三角函数的应用，考查三角函数解析式的求法，考查运算求解能力，属于中档题． 优题精练·专题实战通关 1．[2026•浦东新区模拟]已知函数的最小正周期是，则__ _____． 【答案】4． 【分析】根据三角恒等变换化简三角函数，然后利用周期计算公式列方程，解方程即可求值． 【解答】解：， 所以最小正周期是，所以． 故答案为：4． 【点评】本题主要考查三角函数的周期性，考查转化能力，属于基础题． 2．[2026•长宁区二模]函数，的值域为________. 【答案】，． 【分析】结合正弦函数的性质即可求解． 【解答】解：当时，，． 故答案为：，． 【点评】本题主要考查了正弦函数值域的求解，属于基础题． 3．[2026•嘉定区二模]的最小正周期为　　____． 【分析】首先用二倍角公式进行降幂，把四次方写成平方的平方，利用二倍角公式，整理成最简形式，再用二倍角公式降幂，得到4倍角的函数形式，得到周期． 【解答】解： 函数的最小正周期是 故答案为： 【点评】本题考查二倍角公式的应用，在进行三角函数的性质的运算时，一般要把函数整理成一个角的一种三角函数形式，以便利用三角函数的性质解题． 4．[2025•上海模拟]已知函数，则的值域是　　____． 【分析】讨论与的大小，把函数化简可得，结合函数的图象可求函数的值域． 【解答】解： 画图可得的值域是 故答案为： 【点评】本题主要考查了三角函数的值域，求解的关键是要熟悉正弦函数及余弦函数的图象，结合函数的图象能对已知函数的表达式进行化简．属于基本知识的运用． 5．[2025•浦东新区模拟]《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意为：“取竹空这一里筒，当里筒直径是一寸，筒长是八尺时（注；一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为________. 【答案】． 【分析】由题意求出的半角的正切，再由二倍角公式得答案． 【解答】解：由题意可知，， ． 故答案为：． 【点评】本题考查二倍角的正切，考查运算求解能力，是中档题． 6．[2026•青浦区二模]已知△为等腰三角形，且，则 　　． 【答案】． 【分析】由正弦定理和条件得，再由余弦定理即可求得． 【解答】解：设△三个内角，，所对的边分别为，，， 因为，则由正弦定理得， 因为△是等腰三角形，所以， 由余弦定理得：． 故答案为：． 【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的应用，属于基础题． 7．[2026•宝山区模拟]在中，，，，的面积为 　　． 【答案】． 【分析】利用正弦定理及三角形的内角和定理，结合三角形的面积公式即可求解． 【解答】解：由正弦定理得，解得， 因为， 所以， 所以． 所以， 所以的面积为． 故答案为：． 【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题． 8．[2026•徐汇区模拟]设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】先由辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的单调性即可求解． 【解答】解：在区间上没有最大值和最小值， 则函数在上单调， 当单调递增时， 令，，则，， 因为，当时，可得， 则，即， 经检验，或时，不存在； 当函数单调递减时，同理可得，函数单调递减区间为，，， 当时，可得且， 解得， 经检验或时，不存在， 故或． 故选：． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质在最值求解中的综合应用，属于中档题． 9．[2026•浦东新区模拟]已知函数，若使得的图象在点，处的切线与轴平行，则的最小值是（　　） A． B．1 C． D．2 【答案】 【分析】由题意可得，使得点，为的最高点或最低点，再利用正弦型函数性质计算即可得． 【解答】解：当时，， 若的图象在点，处的切线与轴平行， 则点，为的最值点， 要使得最小，则或， 解得或，故的最小值是1． 故选：． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的应用，属于基础题． 10．[2026•奉贤区二模]音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由图1，2，3三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】由图1求出、、的值，写出对应函数的解析式，再结合选项得出函数的解析式． 【解答】解：由图1知，，， 所以，所以； 结合题意知，函数． 故选：． 【点评】本题考查了利用图象求三角函数解析式的应用问题，也考查了运算求解能力，是基础题． 11．[2026•浦东新区模拟]已知函数，且的最小正周期． （1）求函数的单调递减区间； （2）若，求函数的最值及取得最值时的取值集合． 【答案】（1） （2），相应的取值集合是；，相应的取值集合是． 【分析】（1）根据三角函数的周期公式求出，然后根据正弦函数的单调性，解不等式求出的单调递减区间； （2）由，结合特殊角的三角函数值求出，然后根据正弦函数的最值及其相应值的集合进行求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：（1）根据的最小正周期，解得， 所以， 令，解得， 所以的递减区间为； （2）根据，即，解得， 所以． 当，即时，， 当取最大值时，相应的取值集合是； 当，即时，， 当取最小值时，相应的取值集合是． 【点评】本题主要考查函数的解析式求法、正弦函数的图象与性质等知识，考查了计算能力、逻辑推理能力，属于中档题． 12．[2026•黄浦区二模]已知． （1）求函数的最小正周期与单调增区间； （2）将函数的图像上的所有点沿向量平移，得到的图像．若同时满足：①图像关于点对称；②有且仅有2个极大值点在区间，上．求的取值范围． 【答案】（1），单调增区间为． （2）． 【分析】（1）结合二倍角公式，辅助角公式进行化简，然后结合正弦函数的周期性及单调性即可求解； （2）结合函数图象变换求出，然后结合正弦函数的对称性及极值取得条件即可求解． 【解答】解：（1）由题意得： ， 所以函数的最小正周期， 由，解得， 所以函数的单调增区间为． （2）将函数的图像上的所有点沿向量平移， 得到：， 因为的图像关于点对称，所以， 即， 所以，解得， 又因为，所以取，得，此时， 令，解得， 所以的极大值点为， 在区间，上，极大值点依次为：，，， 要使区间，上恰好有2个极大值点， 则需满足：， 所以的取值范围是． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． 13．[2025•黄浦区三模]在中，内角、、所对边分别为、、，已知． （1）求角的值； （2）若，求周长的最大值． 【答案】（1）；（2）9． 【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理的应用求出的值； （2）利用余弦定理和基本不等式的应用求出三角形周长的最大值． 【解答】解：（1）已知， 利用正弦定理：， 整理得， 由于， 故； （2）由于，， 利用余弦定理：， 所以， 利用基本不等式的应用：， 整理得：，（当且仅当时，等号成立） 所以， 故三角形的周长的最大值为． 【点评】本题考查的知识要点：三角函数的关系式的变换，正弦定理和余弦定理的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07 三角函数的图像与性质与解三角形 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 考点01 三角函数的图像与性质 考点02 三角函数的图像与性质 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 题型01 三角函数的的图像和性质 题型02 正弦定理 题型03 三角形中的几何计算 题型04 解三角形 重点突破・考法深研 重点01 正弦函数的图象 重点02 正弦函数的定义域和值域 重点03 正弦函数的单调性 重点04 余弦函数的图象 重点05 正切函数的单调性和周期性 重点06 利用正弦定理解三角形 重点07 余弦定理正弦函数的奇偶性和对称性 重点08 解三角形 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 方法点拨02 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 方法点拨03 正弦函数的奇偶性和对称性 方法点拨04 三角函数的周期性 方法点拨05 正弦定理与三角形的外接圆 易错剖析・避坑攻略 易错点01 三角函数的最值 易错点02 三角函数应用 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 三角函数的图像与性质 1.正弦函数、余弦函数、正切函数的图像与性质（表中所有） 表达式 定义域 R R 值域 R 最值 当 时， ； 当 时， 当 时， ； 当 时， 无 周期 最小正周期 最小正周期 最小正周期 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 单调区间 严格增 严格减 无 对称 轴 无 中心 图像 2. 振幅 周期 频率 圆频率 相位 初始相位 A 2．函数的图像和性质． 3．三角函数图像的平移伸缩变换． 考点02 正弦定理、余弦定理 1．正弦定理 （其中为的外接圆的半径）。 2．余弦定理 等形式。 3．三角形面积公式 （其中为内切圆半径）． 4．解斜三角形的三边、三角六元素，已知三个元素有五种情形 （1）三边（SSS）；（2）两边一夹角（SAS）；（3）两边一对角（SSA）（直角三角形中为 HL）；（4）两角一夹边（ASA）；（5）两角一对边（AAS）。由全等三角形判定定理可知（1）（2）（4）（5）四种情况，当三角形存在时，解是唯一的，而对于（3），可有两解、一解及无解三种情形，应特别引起注意． 题型01 三角函数的的图像和性质 考情定位：上海高考基础必考点，以选择填空基础题、解答题小问为主，难度中等偏低，单题分值4～6分；同时属于函数板块基础内容，贯穿三角恒等变换、解三角形、函数综合题的运算与推导. 核心考法：①分析的周期、单调区间、对称轴、最值等基础性质；②考查三角函数图像平移、伸缩变换；③给定区间求三角函数的值域、零点；④结合图像特征反求解析式里的参数． 解题要点：①图像变换注意只对自变量进行缩放平移，不要忽略的系数；②求区间值域时把整体换元，对照基础三角函数图像分析；③求参数优先抓图像的零点、最值点等特殊条件；④做正切相关题目要留意定义域限制. （2025•上海）函数在，上的值域为________ （2025•上海）已知，不等式在中的整数解有个．关于的个数，以下不可能的是（　　） A．0 B．338 C．674 D．1012 （2024•上海）已知，． （1）设，求解：，，的值域； （2），的最小正周期为，若在，上恰有3个零点，求的取值范围． （2023•上海）已知，记在，的最小值为，在，的最小值为，则下列情况不可能的是（　　） A．， B．， C．， D．， （2026•上海）已知速度与时间满足，，，，若初始速度为0，及时导数皆为0，且速度第一次达到4时，用时为0.1秒，则____________ 题型02 正弦定理 考情定位：上海高考基础必考点，以选择填空、解答题第一小问为主，难度中等偏低，单题分值4～6分；是解三角形的核心工具，常与余弦定理搭配使用． 核心考法：1利用正弦定理完成边角互化，实现边化角或者角化边；2已知两角一边、两边一对角条件求解三角形边角；3结合外接圆半径进行边长换算；4处理三角形内边角比例关系． 解题要点：1边角混合等式优先考虑正弦定理边角互化；2遇到SSA（两边一对角）题型要判断解的个数，区分一解、两解、无解；3计算完角度记得用大边对大角检验合理性；4活用公式完成边与外接圆半径的转换． （2024•上海）三角形中，，则________ 题型03 三角形中的几何计算 考情定位：上海高考中档考点，以填空中档题、解答题小问为主，难度中等，单题分值4～8分；侧重几何场景，常结合中线、角平分线、高这类几何元素命题. 核心考法：1三角形中线、角平分线、高线的长度计算；2把复杂几何图形拆分为多个三角形求解边角；3结合面积公式与内切圆半径运算；4挖掘图形隐藏边角条件，联立正、余弦定理计算． 解题要点：1中线、角平分线可以使用对应专用公式简化计算；2多三角形问题优先找公共边／公共角作为解题桥梁；3面积公式形式较多，根据已知条件灵活挑选；4可以画简易草图，把条件对应到图形上减少看错条件的失误． （2026•上海）有一个油壶，壶身视为圆柱，壶嘴视为直线且不计容积，壶底直径6.4厘米，壶身高16厘米，壶内油液面高12.1厘米，壶嘴长13.4厘米，与壶身夹角为，壶嘴最低点距壶底3厘米，将壶身向壶嘴方向至少转 度可使油倒出（精确到 （2025•上海）小申同学观察发现，生活中有些时候影子可以完全投射在斜面上．某斜面上有两根长为1米的垂直于水平面放置的杆子，与斜面的接触点分别为、，它们在阳光的照射下呈现出影子，阳光可视为平行光；其中一根杆子的影子在水平面上，长度为0.4米；另一根杆子的影子完全在斜面上，长度为0.45米．则斜面的底角 ．（结果用角度制表示，精确到 题型04 解三角形 考情定位：上海高考高频解答题考点，一般作为解答大题出现，难度中等，单题分值 8～12 分；综合正余弦定理、面积公式，有时结合不等式考查最值问题． 核心考法：1根据 SSS、SAS、ASA、AAS、SSA 各类条件完整求解三角形；2 结合余弦定理搭配基本不等式求边长、面积的最值； 3方位角、仰俯角等实际场景的解三角形； 4 结合三角形内角和、三角诱导公式综合运算。 解题要点：1先识别已知条件类型，匹配正弦定理或者余弦定理；2求最值问题使用基本不等式后，必须验证等号成立条件；3实际应用题先把文字信息转化为三角形的边角条件； 4 时刻注意三角形内角取值范围 ，避免算出超出范围的角度． （2024•上海）已知点在点正北方向，点在点的正东方向，，存在点满足，，则　　．（精确到0.1度） （2025•上海）在△中，角、、所对的边分别为、、，且． （1）若，，求； （2）若，求△的面积的最大值． 重点01 正弦函数的图象 [2025•嘉定区二模]已知关于的不等式在区间，内有个整数解，则的值为（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 [2026•杨浦区模拟]已知函数在，上有两个最值点，则的取值范围为　　　　． [2026•青浦区二模]已知函数，其中． （1）若，，求的值； （2）若方程在区间上恰有两个不同的解，，求实数的取值范围及的值． 重点02 正弦函数的定义域和值域 三角函数的定义域和值域的规律方法 1．求三角函数的定义域实际上是解三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解． 2．求解三角函数的值域（最值）的常见类型及方法． （1）形如y＝asin x+bcos x+c的三角函数化为y＝Asin（ωx+φ）+k的形式，再求最值（值域）； （2）形如y＝asin2x+bsin x+c的三角函数，可先设sin x＝t，化为关于t的二次函数求值域（最值）； （3）形如y＝asin xcos x+b（sin x±cos x）+c的三角函数，可设t＝sin x±cos x，化为关于t的二次函数求解． [2026•黄浦区模拟]函数的定义域为　　　　． [2026•嘉定区二模]已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为　　　　． [2026•青浦区二模]若函数（常数在区间没有最值，则的取值范围是 　　　　　． 重点03 正弦函数的单调性 1．求含有绝对值的三角函数的单调性及周期时，通常要画出图象，结合图象判定． 2．求形如y＝Asin（ωx+φ）或y＝Acos（ωx+φ）（其中，ω＞0）的单调区间时，要视“ωx+φ”为一个整体，通过解不等式求解．但如果ω＜0，那么一定先借助诱导公式将ω化为正数，防止把单调性弄错． [2025•浦东新区模拟]已知函数在区间上单调递增，则的取值范围是（　　） A．， B． C． D． [2026•闵行区模拟]若是一个三角形的内角，且函数在区间上是单调函数，则的取值范围是　　　　． [2026•长宁区模拟]已知在上是严格增函数，且该函数在上有最小值，那么的取值范围是　　　　． 重点04 余弦函数的图象 [2025•嘉定区三模]函数，的零点是　　　　． [2024•黄浦区三模]函数，的零点是　　　　． [2025•青浦区模拟]若函数在区间，上恰有两个不相等的实数，满足（a）（b），则实数的取值范围是　　　　． 重点05 正切函数的单调性和周期性 [2026•金山区模拟]函数的最小正周期为　　　　． [2025•徐汇区模拟]已知函数在区间内单调递增，则的最大值为 　　　　　． [2026•黄浦区模拟]已知，其中． （1）若，求函数的最小正周期及严格增区间； （2）若关于的方程在，上至少存在2026个解，且的最小值不小于2026，求的取值范围． 重点06 利用正弦定理解三角形 定理 正弦定理 内容 变形形式 ①； ②； ③； ④ 解决三角形的问题 ①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边； ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角 [2026•青浦区二模]已知△为等腰三角形，且，则 　 　． [2026•崇明区二模]在△中，角、、所对的边长分别为、、．若，，，则　 　 ． [2025•黄浦区二模]在△中，若，，，则 　 　 ． 重点07 余弦定理 定理 正弦定理 余弦定理 内容 （ R是△ABC外接圆半径） a2＝b2+c2﹣2bccosA， b2＝a2+c2﹣2accosB， c2＝a2+b2﹣2abcosC 变形 形式 ①; ②; ③; ④ [2026•浦东新区二模]在△中，若，，，则是　 　． [2026•崇明区模拟]在△中，，，，则　 　． [2025•浦东新区三模]△中，，则 　 　． 重点08 解三角形 解三角形注要依靠正弦定理 与余弦定理 及其变形，结合三角形内角和 、面积公式 解题，已知两角一边多用正弦定理，已知两边夹角或三边优先使用余弦定理，遇到两边及其中一边对角要警惕多解问题，还可以通过边角互化判断三角形形状，同时该知识常结合外接圆半径、测量距离高度、几何图形、充要条件进行综合考查。 [2026•宝山区二模]在△中，，均为锐角，设甲：；乙：△是钝角三角形，则甲是乙的（　　） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 [2026•长宁区二模]如图，某画框内摆放着三个矩形工艺品，它们的长均为，宽均为．点、、、在同一条直线上，点在边上，点在边上，测得、两点间距离为．为了使，则、两点间距离为　 　． ．（精确到 [2026•松江区二模]如图，某公园划出一块平整的三角形草地，在边上设置一个观景点，点到顶点的距离为2百米，平分，边和的长度都为3百米．现需要沿着三角形草地的边安装一圈灯带，则该灯带的长度为　 　百米． 方法点拨01 函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换 两种变换的差异 先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是个单位。原因是相位变换和周期变换都是针对而言的。 [2026•徐汇区模拟]已知函数的图象向右平移后得到函数的图象，则的值为　　　　． [2025•浦东新区模拟]把函数图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），再将图象上所有的点向右平移个单位长度，得到函数的图象，则　　　　． [2026•松江区二模]已知函数的表达式为． （1）若将函数的图像向右平移个单位长度，得到函数的图像关于直线对称，求的最小值； （2）若函数在区间上恰有2个极值点和2个零点，求实数的取值范围． 方法点拨02 由y＝Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式 【解题方法点拨】 1．一个技巧 列表技巧：表中＂五点＂中相邻两点的横向距离均为，利用这一结论可以较快地写出＂五点＂的坐标。 2．两个区别 （1）振幅与函数的最大值，最小值的区别：最大值，最小值，故． （2）由变换到先变周期与先变相位的（左、右）平移的区别：由的图象变换到的图象，两种变换的区别：先相位变换再周期变换（伸缩变换），平移的量是个单位；而先周期变换（伸缩变换）再相位变换，平移的量是个单位。原因在于相位变换和周期变换都是针对而言，即本身加减多少值，而不是依赖于加减多少值． 3．三点提醒 （1）要弄清楚是平移哪个函数的图象，得到哪个函数的图象； （2）要注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应先利用诱导公式化为同名函数； （3）由的图象得到的图象时，需平移的单位数应为，而不是． [2025•闵行区三模]如图是函数的图象，则的值为　　　　． [2025•青浦区模拟]函数的部分图象如图，下列结论正确的序号是　　　　． ①的最小正周期为6； ②； ③的图象的对称中心为； ④的一个单调递减区间为． [2026•宝山区模拟]函数对应的图象如图，点为图象与轴的交点，点为图象的最高点，点为图象的最低点，若，则的值为　　　　． 方法点拨03 正弦函数的奇偶性和对称性 正弦函数是定义域为的奇函数，既然是奇函数，那么其图象关于原点对称，即有。另外，正弦函数具有周期性，其对称轴为． [2023•浦东新区模拟]设（其中，若点为函数图像的对称中心，，是图像上相邻的最高点与最低点，且，则下列结论正确的是（　　） A．函数的对称轴方程为 B．函数的图像关于坐标原点对称 C．函数在区间上是严格增函数 D．若函数在区间内有5个零点，则它在此区间内有且有2个极小值点 [2022•松江区二模]设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（　　） A． B． C． D． [2026•浦东新区模拟]定义：闭区间，的长度为，已知函数同时满足以下3个条件：①在任意一个区间长度为的闭区间内，都不存在，，使得；②；③是函数图象的一个对称中心，则实数的最大值为　　　　． 方法点拨04 三角函数的周期性 [2026•静安区模拟]设函数在区间恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． [2026•杨浦区模拟]已知，函数在区间，上最小值为，在区间，上的最小值为，变化时，下列不可能的是（　　） A．且 B．且 C．且 D．且 [2026•金山区二模]函数是（　　） A．最小正周期为的偶函数 B．最小正周期为的奇函数 C．最小正周期为的偶函数 D．最小正周期为的奇函数 方法点拨05 正弦定理与三角形的外接圆 正弦定理建立起三角形边长、内角与外接圆半径的联系，借助与完成边角互化，已知一边及其对角可直接求出外接圆半径，若仅已知三边长，则先用余弦定理求出内角的余弦值，再利用同角三角函数关系得到内角正弦，进而计算外接圆半径，注意该等式结果为外接圆直径，求半径时需要除以2. [2024•徐汇区模拟]在△中，角，，所对的边分别为，，，若，且，则该三角形外接圆的半径为（　　） A．1 B． C．2 D． [2024•徐汇区模拟]在中，，，，则的外接圆半径为 　 　 [2024•虹口区二模]已知一个三角形的三边长分别为2，3，4，则这个三角形外接圆的直径为 　 　． 易错点01 三角函数的最值 三角函数的最值其实就是指三角函数在定义域内的最大值和最小值，涉及到三角函数的定义域、值域、单调性和它们的图象．在求三角函数最值中常用的手法是化简和换元．化简的原则通常是尽量的把复合三角函数化为只含有一个三角函数的一元函数． （1）． 这个题所用到的方法就是化简成一个单一的三角函数，把一个复合的三角函数最后化成了只关于余弦函数的式子，然后单独分析余弦函数的特点，最后把结果求出来．化简当中要熟练的掌握三角函数的转换，特别是二倍角的转换． （2）函数的最大值是． 这个题就是典型的换元，把sinx看成是自变量t，最后三角函数看成是一个一元二次函数，在换元的时候要注意到三角函数的定义域和相应的值域． [2026•上海模拟]已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． [2025•金山区三模]已知函数，任取，定义集合：，点，，，满足，设，分别表示集合中元素的最大值和最小值，记，则函数的最小值是（　　） A． B．1 C． D．2 [2026•闵行区二模]定义：平面内图形上的所有点在直线上的射影所组成的图形称为在上的射影．若存在边长为的正三角形在正方形的四条边所在直线上的射影长度之和为4，则的取值范围为　　　　． 易错点02 三角函数应用 1、方法与技巧： （1）在生产生活中，常常有一些与角有关的最值问题，需要确定以角作为变量的三角函数来解决． （2）理清题意，分清题目中已知和所求，准确解读题目中的术语和有关名词． （3）要能根据题意，画出符合题意的图形． （4）对计算结果，可根据实际情况进行处理． 2、注意： （1）建立三角函数关系式关键是选择适当的角作为变量． （2）解决应用问题要注重检验． （3）选择变量后，要根据题中的条件，确定角的范围． [2026•上海模拟]设，．若对任意，均存在，，使得函数在是单调函数，则的取值可能是（　　） A． B． C． D． [2026•徐汇区模拟]如图为一架农业无人机沿固定航线匀速飞行，并在某时刻向下喷洒农药的示意图．将种植坡面视为坡角为的平面，航线视为直线，无人机视为航线上的点，无人机在任意时刻喷洒农药的雾滴形成的形状均为以铅垂线为轴、母线与轴夹角为的圆锥及其内部．若无人机飞行的海拔高度恒定，航线与种植坡面平行且距离为3米，假设无人机飞行时农药喷洒不间断且不受风速影响；则飞行过程中会在种植坡面上形成一条宽为米的“农药条带”．当时，的最大值为　　　　．（结果精确到 [2026•上海模拟]如图，摩天轮上一点距离地面的高度关于时间的函数表达式为，，，已知摩天轮的半径为，其中心点距地面，摩天轮以每30分钟转一圈的方式做匀速转动，而点的起始位置在摩天轮的最低点处． （1）根据条件具体写出关于的函数表达式； （2）在摩天轮转动一圈内，点有多长时间距离地面超过？ 优题精练·专题实战通关 1．[2026•浦东新区模拟]已知函数的最小正周期是，则__ _____． 2．[2026•长宁区二模]函数，的值域为________. 3．[2026•嘉定区二模]的最小正周期为　　____． 4．[2025•上海模拟]已知函数，则的值域是　　____． 5．[2025•浦东新区模拟]《周髀算经》中“侧影探日行”一文有记载：“即取竹空，径一寸，长八尺，捕影而视之，空正掩目，而日应空之孔．”意为：“取竹空这一里筒，当里筒直径是一寸，筒长是八尺时（注；一尺等于十寸），从筒中搜捕太阳的边缘观察，则筒的内孔正好覆盖太阳，而太阳的外缘恰好填满竹管的内孔．”如图所示，为竹空底面圆心，则太阳角的正切值为________. 6．[2026•青浦区二模]已知△为等腰三角形，且，则 　　． 7．[2026•宝山区模拟]在中，，，，的面积为 　　． 8．[2026•徐汇区模拟]设，函数在区间上没有最大值和最小值，则的取值范围为（　　） A． B． C． D． 9．[2026•浦东新区模拟]已知函数，若使得的图象在点，处的切线与轴平行，则的最小值是（　　） A． B．1 C． D．2 10．[2026•奉贤区二模]音乐，是人类精神通过无意识计算而获得的愉悦享受，1807年法国数学家傅里叶发现代表任何周期性声音的公式是形如的简单正弦型函数之和，而且这些正弦型函数的频率都是其中一个最小频率的整数倍，比如用小提琴演奏的某音叉的声音图象是由图1，2，3三个函数图象组成的，则小提琴演奏的该音叉的声音函数可以为（　　） A． B． C． D． 11．[2026•浦东新区模拟]已知函数，且的最小正周期． （1）求函数的单调递减区间； （2）若，求函数的最值及取得最值时的取值集合． 12．[2026•黄浦区二模]已知． （1）求函数的最小正周期与单调增区间； （2）将函数的图像上的所有点沿向量平移，得到的图像．若同时满足：①图像关于点对称；②有且仅有2个极大值点在区间，上．求的取值范围． 13．[2025•黄浦区三模]在中，内角、、所对边分别为、、，已知． （1）求角的值； （2）若，求周长的最大值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $