专题08 平面向量（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统梳理了平面向量专题，涵盖向量概念及线性运算、数量积及坐标表示、基本定理与应用三大核心考点，构建了从基础概念到综合应用的知识体系。 清单采用知识脑图搭建框架，考点分层突破重难点，如“模长平方化”原则提炼及投影向量公式总结，培养学生数学思维与运算能力。设母题探究与易错剖析，如数量积运算律误用警示，辅助学生自主复习，教师可据此优化备考策略。

专题08 平面向量 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 考点01 向量的概念及其线性运算 考点02 向量的数量积及坐标表示 考点03 向量基本定理与向量的应用 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 平面向量的数量积 重点突破・考法深研 重点01 已知数量积求模 重点02 向量夹角的计算 重点03 已知模求数量积 重点04 投影向量 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 用基底表示向量 方法点拨02 平面向量线性运算的坐标表示 方法点拨03 由向量共线(平行)求参数 方法点拨04 平面向量数量积的几何意义 方法点拨05 用定义求向量的数量积 2 / 44 学科网（北京）股份有限公司 易错剖析・避坑攻略 易错点01 数量积的运算律 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 向量的概念及其线性运算 1．向量的有关概念 （1）向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量.以为起点、为终点的向量记作； （2）向量的长度（模）：向量的大小即向量的长度（模），记为. 注：任意向量的模都是非负实数，即． 2．几种特殊向量 名称 定义 备注 零向量 长度为0的向量 零向量记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作 平行向量 方向相同或相反的向量（也叫共线向量） 与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量 相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 注：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与平行的单位向量有两个，即向量和． 3.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： ； （2）结合律： 减法 求 与 的相反向量 的和的运算叫做 与 的差 数乘 求实数 与向量 的积的运算 ；当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， 向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接， 表示从始点指向终点的向量，只需关注始点、终点. 4．共线向量定理 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得. 注：只有当才保证实数的存在性和唯一性. 5．常用结论 （为实数），若点A, B, C三点共线，则． 设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 【答案】7 【分析】由向量线性运算的坐标表示结合复数的概念即可求解. 【详解】由题意得， ， 所以向量对应的复数的虚部为7. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据向量减法法则得到，再将对应复数相减，最后按复数减法运算法则计算得出结果. 【详解】根据向量运算关系可得：， 所以所对应的复数为：. 已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 【答案】 【分析】利用平面向量的线性运算将转化为和的线性组合，对比系数即可求得的值. 【详解】 因为点是边上靠近点的三等分点，所以. 所以 ， 又，且与不共线， 由平面向量基本定理可知，. 考点02 向量的数量积及坐标表示 1．平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、实数与向量的乘法及向量的模： 设，则 ，． 注：若，则，反之亦然． （2）向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设，则. 2．平面向量共线的坐标表示 设，其中，则. ①的充要条件不能表示为，因为有可能为0； ②当且仅当时，与等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 3．向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，如图所示，作，，则叫做向量与的夹角，记作. 注：只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角． （2）范围 ：夹角的范围是． 当时，两向量平行且同向； 当时，两向量相互垂直，记作； 当时，两向量平行但反向． 4．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积，记作，即 ，其中是与的夹角. 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 5．平面向量数量积的几何意义 （1）数量投影 设是的夹角，则叫做向量在向量方向上的数量投影，叫做向量在向量方向上的数量投影； （2）的几何意义 数量积等于的长度与在的方向上的数量投影的乘积. （3）投影向量（简称投影） 向量在非零向量方向上的投影为． 6．向量数量积的运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：； （3）分配律：. 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即不一定等于，这是由于表示一个与 共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线. 7．平面向量数量积的性质 设为两个非零向量，是与同向的单位向量，是与的夹角，则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或； （4） ； （5）. 8．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量为与的夹角，则 （1）； （2）； （3）； （4）． 9．常用结论 （1）平面向量数量积运算的常用公式 ①； ②． （2）有关向量夹角的两个结论 ①两个向量与的夹角为锐角，则 ，反之不成立（因为夹角为0时不成立）； ②两个向量与的夹角为钝角，则有，反之不成立（因为夹角为时不成立）． 在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为______． 【答案】. 【分析】由复数乘法运算求得，进而得到，，利用向量数量积运算和模长公式求得，进而得到. 【详解】因为，， 所以，， 所以， 所以. 已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】A 【分析】利用平面向量的数量积公式结合相等向量的概念、充分条件与必要条件的定义分析即可. 【详解】先判定充分性，对于时， 易知， 满足充分性； 再判定必要性，假设是平面中两两夹角的单位向量， 易知满足成立，但不满足，即必要性不成立，所以A正确. 已知，，，则在方向上的投影数量为________． 【答案】 【分析】利用投影数量定义进行计算即可. 【详解】由，可得  在方向上的投影数量为. 考点03 向量基本定理与向量的应用 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数，使； （2）基：不平行的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基. 注：① 基必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基； ②基给定，同一向量的分解形式唯一； ③如果对于一组基，有，则可以得到且. 2．常用结论 （1）若与不共线，且，则； （2）已知为线段A B的中点，若，则点坐标为； （3）已知 的顶点，则的重心的坐标为 ； （4）若为线段A B的中点，为平面内任一点，则． 已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平面向量基底的定义及共线的充要条件，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】A选项，是平面向量的一组基底，故为不共线的非零向量， 设，故，无解，故为不共线的非零向量， 故可以作为一组基底，A错误； B选项，设，解得，无解，故为不共线的非零向量，B错误； C选项，设，故，无解，故为不共线的非零向 量，C错误； D选项，，故共线，故不能作为基底，D正确. 已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 【答案】 【分析】由题可知，表示点的坐标，然后将向量坐标化使用辅助角公式计算判断即可. 【详解】由题可知：A、、是单位圆上的三个点，且，不妨设， 所以，则， 当，即时，有最大值为1，所以. 故答案为： 在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】由向量相等得为平行四边形，利用向量加法法则结合数量积可得，且是的平分线，从而易得对角线的长． 【详解】，则四边形为平行四边形， 设都是单位向量，，则，，，则，所以， 因此由知，且是的平分线， 因此四边形是菱形，而， ∴， 故选：D. 素养进阶·答题技法突破 题型01 平面向量的数量积 考情定位: 上海高考基础必考点，以选择填空基础题、解答题工具性应用为主，难度中等偏低，单题分值4~6分;同时作为核心计算工具，贯穿解三角形、函数、解析几何、立体几何等大题的运算与推导. 核心考法: 1利用数量积定义与坐标公式直接计算，求解向量的模、夹角、投影向量;2结合三角形、平行四边形等平面几何图形，通过基底法或坐标法求数量积与模长;3逆用数量积垂直判定等性质，结合函数、不等式考查数量积的最值与取值范围. 解题要点: 1先观察条件形式，坐标完备优先坐标法，几何场景优先基底分解法，合理选择运算路径;2求模、夹角必先理清数量积与模长的对应关系，注意夹角取值范围与符号判定;3最值范围问题优先转化为坐标函数或几何投影意义，正向计算与性质逆用灵活切换. （2025•上海）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由，，得， 又， 所以向量在向量上的投影向量为． （2025•上海）设，则向量在方向上的投影向量的坐标为___________． 【答案】 【分析】先利用坐标计算，，再利用公式计算. 【详解】因，则，， 则向量在方向上的投影向量的坐标为. 故答案为： （2026•上海）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量数量积的坐标运算结合二次函数的基本性质可求出的最小值. 【详解】根据题意，以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则、、，由题意得，所以， 则，故， 所以， 故， 所以点，所以，， 所以， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 重点01 已知数量积求模 已知数量积求模的计算方法 （1）核心遵循＂模长平方化＂原则，将求模运算转化为向量自身的数量积运算，利用数量积运算律展开推导，是向量模长问题的通用转化方法. （2）对于含线性运算的向量求模，先对目标向量整体平方，展开后拆解为已知向量的模长平方与向量间数量积，代入条件计算后开方还原模长. （3）记住下列公式： ①； ②； （4）若向量坐标为，则 .其中x, y为向量的横、纵坐标，可结合数量积的坐标公式直接计算向量模长. （2025•上海模拟）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． 【答案】 【详解】. （2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． 【答案】 【分析】将平方后利用二次函数的性质可求其最小值. 【详解】因为， 故 ， ， 故当时，的最小值为， 故最小值为. 故答案为：. （2025·上海青浦·三模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为________. 【答案】 【分析】以为原点建立平面坐标系，设，，根据向量的数量积的运算公式，分别求得向量的终点所表示的轨迹方程，进而根据圆的性质，即可求解． 【详解】设的起点均为，以为原点建立平面坐标系，如图所示，    不妨设，，则，， 由可得，即， ∴的终点在以为圆心，以为半径的圆上， 同理的终点在以为圆心，以为半径的圆上． 显然当，为圆的两条切线时，最大，即与的夹角最大． 设圆心为，则，∴，则， ∴， 设与轴交于点，由对称性可知轴，且， ∴， 即当与的夹角最大时， 故答案为： 重点02 向量夹角的计算 （1）向量夹角的计算方法 ①以数量积定义为核心推导夹角公式，解题遵循＂计算数量积一求解模长一计算余弦值一确定夹角＂的步骤，需明确向量夹角的取值范围是 . ②涉及向量线性运算的夹角问题，先利用数量积运算律展开化简，求出目标向量的数量积与对应模长，再代入公式求解，结合夹角范围确定最终结果. （2）记住下列公式： ① ； ② ； （3）若 ，则 .则中为向量与的夹角， 为两向量的数量积，分别为两向量的模长. （2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为________. 【答案】 【分析】根据数量积的运算律可得，即可由夹角公式求解. 【详解】因为，所以，解得， ， 由于，得到. 故答案为： （2025·上海·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则______. 【答案】 【分析】根据平面向量的数量积求夹角即可. 【详解】由题意可得： ， 故： ，即向量 与的夹角为 . 故答案为： （2025·上海模拟）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_________． 【答案】 【分析】设与的夹角为，则，利用投影向量的定义可得出的值，即可得出角的值，即为所求. 【详解】设与的夹角为，则， 因为在上的投影向量为，可得， 故，即与的夹角为. 故答案为：. （2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 【答案】(1)； (2)或. 【分析】（1）由已知写出点、、的坐标，写出向量，，即可求； （2）由已知可得复数对应的点到点和点距离相等，可知复数对应的点在AB的垂直平分线上，即的实部为3，再计算到的距离，由复数对应的点到原点的距离等于该值，即可解出. 【详解】（1）由已知可得，，，，所以，， 所以； （2）因为，，，所以， 所以复数对应的点到点到和点距离相等， 所以这两点的中垂线是直线，即复数的实部为，设， . 所以， 所以，解得， 所以或. 重点03 已知模求数量积 （1）已知模求数量积的计算方法 ①在已知模长与夹角的条件下，用定义式计算数量积比坐标法更直接、简捷. ②从向量线性运算式出发，利用数量积运算律展开，将问题转化为关于模长与夹角的表达式，代入数值即可确定结果. （2）记住下列公式： ① ； ②； （3）.其中是平面向量的坐标，为两向量的夹角，分别为两向量的模长. （2026·上海静安·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为________． 【答案】/ 【分析】将两边平方求出，然后由投影向量公式可得. 【详解】因为，， 所以 ，得， 所以向量在向量方向上的投影向量为. （2025·上海模拟）已知向量、满足，，，则________． 【答案】 【分析】由，根据数量积的运算律即可求解. 【详解】由题意有， 解得，所以. 故答案为：. （2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 【答案】 【分析】设复数u在复平面内对应的点为A，可得，结合模长关系可得，进而可得向量夹角. 【详解】设复数u在复平面内对应的点为A， 由题意可知：，，，， 则， 即，解得，可得， 且，可得， 所以向量与的夹角为. 重点04 投影向量 （1）投影向量的计算方法 ①依托数量积的几何意义理解投影，区分＂数量投影（标量）＂与＂投影向量（矢量）＂，投影向量与投影方向向量共线，是数量积几何意义的直接体现. ②从投影向量的定义出发，将运算转化为数量积、模长与单位向量的组合形式，结合数乘向量的规则确定最终的投影向量结果. （2）记住下列公式： ①向量在方向上的数量投影：； ② 向量在方向上的投影向量：； （3）在方向上的投影向量坐标为.其中是投影方向的向量，是被投影的向量，为两向量的夹角，是向量的模长. （2025·上海浦东新·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________. 【答案】 【分析】根据向量数量积的坐标运算及投影向量的概念求解. 【详解】因为，， 所以向量在向量上的投影向量为， 故答案为： （2025·上海宝山·三模）已知，则在上的数量投影是__________. 【答案】 【分析】向量在上的数量投影为，先求出和的值，再代入公式计算. 【详解】已知，，可得. 已知，可得. 根据向量投影的定义，在上的数量投影为，将，代入可得： . 故答案为：. （2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则________ 【答案】 【分析】利用投影向量的定义结合平面向量数量积的运算性质可求出的值，再利用平面向量数量积的运算性质可求出的值. 【详解】因为非零向量在向量上的投影向量为， 所以，故， 所以. 故答案为：. （2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 【答案】 /0.5 【分析】由正弦定理边角互化可得，结合投影向量,余弦定理可得三角形为等边三角形，据此可得答案. 【详解】因，结合正弦定理边角互化可得：. 因在上的投影向量为， 则， 由余弦定理：. 从而即三角形为等边三角形，则. 方法点拨01 用基底表示向量 1.基底优选原则:处理几何向量问题，先选取两个不共线且已知模长、夹角的向量作为基底，再进行向量分解，从根源简化后续数量积与模长的运算. 2.线性分解技巧:依托三角形法则和平行四边形法则，将目标向量拆解为基底向量的数乘之和，通过路径拆解完成向量的基底表达. 3.比例转化变形:遇到分点、定比分点的结构，对应利用共线向量定理转化数乘系数，通过中点性质、比例线段变形椎导分解系数. 4.回路巧解思路:求复杂多边形中的向量表示，巧用“回路法”(沿封闭路径列向量等式)推导，搭配方程思想快速求解系数，最后验证基底分解的唯一性. （2026•上海模拟）如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（   ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【分析】以为基底，用不同方式表示出向量，结合平面向量基本定理和投影定义求解可得. 【详解】设，则 ， 同理设，则. 由平面向量基本定理得，解得，所以， 向量在上的投影向量的模为 ， 而，当且仅当时取等号， 所以在上的投影向量的模取得最小值时，. （2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设，根据可得出，设，，则，根据平面向量的线性运算得出，，利用平面向量数量积的运算性质可求得的最大值. 【详解】由题意，则， 设则， 则， 整理得：，不妨设，，则. 因点、分别为、的中点， 则，， 同理可得， 故 ， 将，代入上式， 可得： ， 其中是锐角，且，故的最大值为. 故选：A. （2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 【答案】 【详解】由共线，存在使 ， 由共线，存在使， 联立系数相等： ，解得：，， ， 由于，且在上，故设， 则， 结合得，解得． 方法点拨02 平面向量线性运算的坐标表示 1.坐标优先原则:处理向量线性运算题，能建系时先确定各向量的坐标，再代入运算法则计算，从根源避免几何路径拆解的复杂过程. 2.坐标运算法则:依托向量和、差、数乘的坐标公式，横、纵坐标分别对应运算，已知向量坐标就能直接推导出运算结果的坐标. 3.分点坐标变形:遇到中点、定比分点的结构，对应利用线性运算的坐标关系，通过端点坐标推导分点坐标，通过加权平均简化计算. 4.几何转化思路:求平面图形中的向量线性运算，巧用“建系法”将几何问题代数化，搭配坐标运算快速求解，最后验证结果的几何合理性. （2026·上海模拟）已知平面向量，，．若为实数，且，则______． 【答案】/ 【分析】由向量的坐标运算，结合向量共线时的坐标表示即可求解. 【详解】由题意得， 若，则，解得. （2025·上海崇明·二模）已知，则__________． 【答案】 【分析】写出坐标，由坐标得到. 【详解】，∴. 故答案为： （2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 【答案】 【分析】由题意可得，分、和三种情况分别求解即可. 【详解】因为， 又因为，且， 所以， 整理得， 当时，， 则有，解得，满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 当时，， 则有，解得，不满足题意； 综上，. 方法点拨03 由向量共线（平行）求参数 1．坐标判定优先原侧：处理向量共线求参数题，能获取坐标时优先使用坐标形式的共线条件列方程，计算直接且不易出错，从根源避免基底分解的复杂推导. 2．共线判定互用：依托 和 两个核心判定，根据已知坐标或基底表达选择对应形式，建立含参方程求解. 3．含参分类变形：遇到零向量、系数含参的结构，对应分类讨论参数取值，通过验证零向量的共线特性、系数为 0 的特殊情况避免漏解. 4．几何转化思路：求平面图形中的共线参数，巧用建系法转化为坐标方程，搭配定比分点关系快速求解，最后验证点的位置与共线方向. （2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． 【答案】 【分析】求出，后，借助向量共线的坐标运算计算即可得. 【详解】由，，，则，， 由，，三点共线，则，解得. （2026·上海杨浦·模拟预测）已知向量，，若，则的值为__________． 【答案】 【分析】应用向量平行的坐标运算求解. 【详解】因为向量，，且， 所以，即得. （2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. 【答案】 【详解】易知直线：的一个法向量可以表示为， 又直线的一个法向量是，所以两向量共线， 根据向量共线的坐标表示得，解得. （2026·上海模拟）已知平面直角坐标系中，向量，. (1)求在上的投影向量； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 【答案】(1)； (2)或； (3)且. 【分析】（1）由题设及投影向量计算公式可得答案； （2）由向量坐标运算及向量平行坐标表示可得答案； （3）由题可得且与不平行，据此可得答案. 【详解】（1）在上的投影向量为：， 又，， 则； （2）由题可得， 设，因，则. 因，则，从而， 则或 （3）由题可得，因与的夹角为锐角， 则且与不平行， 从而且. 方法点拨04 平面向量数量积的几何意义 1．几何意义优先原则：处理投影、最值类向量问题，先从数量积的几何意义切入分析，转化为向量模长与投影长度的乘积，从根源简化坐标运算与代数展开的复杂过程. 2．数量积与投影互化：依托投影这个核心关系，数量积、模长、投影三者知二就能推导出第三个. 3．图形结构变形：遇到动点、线段投影的结构，对应转化为点线距离、射影线段长度，通过几何图形性质变形简化计算. 4．最值巧解思路：求数量积的取值范围与最值，巧用＂投影最值法＂（固定一向量，分析另一向量投影的极值）求解，搭配几何直观快速确定边界，最后验证等号成立的位置. （2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． 【答案】 【分析】确定点的位置，建立平面直角坐标系，根据正弦定理及投影的定义计算求解. 【详解】由正弦定理可得（为外接圆半径） 所以的外接圆半径， 所以点在为弦，圆周角为的两段圆弧上运动，如图所示， 以点为坐标原点，为轴，过点垂直的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则外接圆的圆心在直线上，因为半径， 所以圆心坐标为， 根据对称性，只讨论圆心为这种情况即可， 由向量投影的定义可知 ，当点为直线与外接圆的交点时，投影取得最值， 即或， 结合图形可知，当时，在上的数量投影有最小值，最小值为， 当时，在上的数量投影有最大值，最大值为， 所以在上的数量投影的取值范围为. （2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ 【答案】 【分析】代入数量投影公式，转化为三角函数值域问题求解. 【详解】在方向上的数量投影为， ，，. （25-26高三上·上海·期中）已知平面向量与的夹角为，与的夹角为，，，和在上的数量投影分别为、，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】分析可知与的夹角为，利用正弦定理可得出，结合数量投影的定义得出，，利用三角恒等变换化简得出，再由以及正弦型函数的基本性质可求得结果. 【详解】作，，则，    由题意可知，与的夹角为， 所以与的夹角为， 则，， 在、、构成的中，应用正弦定理可得， 所以 ， 因为，所以， 因为， ， 所以，故. 故答案为：. 方法点拨05 用定义求向量的数量积 1．定义优先原则：处理已知模长与夹角的数量积问题，先直接套用定义式计算，无需建系或分解基底，从根源简化运算步骤. 2．核心公式：，明确两向量共起点的夹角，已知模长与夹角就能直接求出数量积. 3．夹角判定变形：遇到三角形、多边形中的向量夹角，对应转化为共起点的内角或补角，通过几何图形角度关系变形确定余弦值的符号与大小. 4．逆向求解思路：已知数量积与模长反求夹角，巧用定义式变形计算余弦值，结合夹角范围确定最终角度，最后验证数量积符号与夹角类型匹配. （2025高三下·上海·阶段检测）已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则_______． 【答案】 【分析】由正三角形性质求出边长，再利用数量积的定义计算得解. 【详解】依题意，O是正三角形的中心，设正三角形的边长为a， 则，解得，即，又， 所以 . 故答案为：    （2026·上海杨浦·模拟预测）球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆），已知为球的直径，点，N在球面上，且是等边三角形，若球体积的大小与表面积的大小相同，且，则，两点的球面距离为__________． 【答案】 【分析】先求出球的半径，再利用向量条件求出等边三角形的边长长度，最后利用几何关系求解. 【详解】根据球的体积与表面积相等，则球的半径，设的边长为， 则，又因 ，设线段的中点为， 则根据向量加法的平行四边形法则，有，则， 连接，所以，因为为的中点， 则，同时， 则 ，解得， 又因，所以为等腰三角形，故，且， 和相交于，所以面，在的边长为，，， 因为，故，即， 解得，代入， 得， 则，因为， 所以， 即，解得，且， 故，. 因为 ， ，所以为等边三角形， 所以球心角，则的距离为 . （2026·上海·二模）在中，，，，则________． 【答案】/ 【分析】根据数量积公式，可得的值，根据余弦定理，可得，代入余弦定理，即可得答案. 【详解】设， 由题意，所以， 又，得， 所以. （2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 【答案】 【分析】利用余弦定理求出，取的中点，连接，由点为外接圆的圆心，得到，利用向量的数量积的定义，结合在直角三角形中的余弦公式求出的值. 【详解】，， ， 取的中点，连接， 点为外接圆的圆心， ， . 易错点01 数量积的运算律 易混易错提醒:数量积运算律应用类题型，向量展开运算题先明确数量积满足交换律、分配律与数乘结合律，牢记三向量连乘不满足结合律，再按运算规则逐步展开化简;等式变形判断题先由数量积定义分析等式两边的向量属性与几何意义，明确不能随意套用实数消去律约去非零向量，全程遵循"辨律先行"原则，从源头避免运算律误用. （2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. 【答案】 【详解】都是单位向量，故，且， 设夹角为，， ， ， ， 又，故. （25-26高三上·上海黄浦·期中）已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为______ . 【答案】 【分析】利用分段函数值分类讨论，可得中一定有两个1，一个0，再根据数量积关系，可设出向量的坐标，利用坐标运算，结合三角恒等变换，求解模的范围即可． 【详解】因为，又， 所以中一定有两个1，一个0， 不妨设， 则，， 根据， 不妨设，，， 则，所以， 又， 所以， 因为，所以， 所以 所以 所以 故答案为： （25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，是边的中点.若，，，则______________． 【答案】/ 【分析】利用余弦定理计算，再利用做基底计算即可. 【详解】如图所示， 由题意得，因为，，， 所以由余弦定理，线段AB与AC的夹角余弦值为：， 所以， 又D是BC中点，所以， 所以. 故答案为：. （2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 【答案】7 【详解】因为在中，是的中点，所以，所以. 又，所以，所以. 所以，. 优题精练·专题实战通关 1．（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【分析】根据复数的几何意义及复数运算结合充分条件必要条件的定义计算判断. 【详解】复数与在复平面上分别对应点与， ， 由， 可得，所以， 所以，所以或，所以， 当，满足， 所以，， 所以“”是“”的充分不必要条件. 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知向量与向量满足，则_____. 【答案】 【分析】根据向量共线的坐标表示列出方程，即可求得答案. 【详解】由题意可知，解得. 故答案为：. 3．（2025·上海金山·二模）已知向量，若，则实数__________. 【答案】 【分析】根据平面向量共线的坐标公式计算即可. 【详解】因为，， 所以，解得. 故答案为：. 4．（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 【答案】 【详解】因为在方向上的投影向量是，且，所以 5．（2025·上海崇明·一模）在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】根据条件，可得为等边三角形，设AB的中点为D，可求出，分析可得以D点轨迹是以O为圆心，为半径的圆，根据线性运算法则，可得，根据点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案. 【详解】因为，所以为等边三角形， 设AB的中点为D，连接OD，则， 所以D点轨迹是以O为圆心，为半径的圆，则方程为， 所以， 因为，所以， 所以的最小值为. 故答案为： 6．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为______. 【答案】 【分析】根据题意，求出向量的坐标，再求出向量的坐标，根据模长求解即可. 【详解】根据题意可知的模长为k，方向与x轴正方向成角，， ∴， ∴，； ，； ，； ，. 故. 故答案为：. 7．（25-26高一下·上海青浦·期中）在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段上靠近点的三等分点，则________. 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系, 利用向量的坐标使几何问题代数化,根据向量的坐标运算得到结果. 【详解】以为坐标原点，所在射线为轴，建立平面直角坐标系如图所示. 设，则，， ， ， 而，故. 8．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据双曲线的性质及点到直线的距离公式求解即可. （2）根据两点间的距离公式，与双曲线方程联立求解即可. （3）设出直线：，，，与双曲线方程联立得到，结合题意得到，即且，求出，，结合向量数量积的坐标运算及函数值域的求解方法求解即可. 【详解】（1）双曲线：，其中，，右顶点. 渐近线方程为：，取， 所以右顶点到一条渐近线的距离为. （2）设，则，即 因为、、为一个等腰三角形的三个顶点，所以或或. 若，则，即， 整理得，解得或（舍去）. 若，点应在中垂线上，此时无实根. 若，，即， 整理得，解得或（舍去）. 综上，或，即点的横坐标为或. （3）由题意易知，直线的斜率存在，设方程为. 联立，整理得， 则，所以且. 设，，则，. 所以， 则. 当时，所以，，故； 当时，所以，，故. 综上，实数的取值范围为. 9．（2025·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角恒等变换化简，进而利用正弦函数的单调性求解； （2）由可求角，进而由可求的值，从而利用余弦定理求出的值. 【详解】（1）由题意，， ∴ . 由，可得， 所以的单调递增区间为. （2）由，得， 因为，所以，所以，即. 因为，所以，得. 又，所以， 即， 所以 即． 10．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)，. (2) 【分析】（1）由数量积的坐标形式结合三角变换公式可得，由整体法可求函数的单调减区间； （2）函数在给定区间上的零点问题可转化为与的图象在上有两个不同的交点，利用正弦函数的性质可求参数的取值范围. 【详解】（1）， 令，则，其中， 故函数的单调递减区间为，. （2）由题设有在有两个不同的零点， 而，故在有两个不同的解， 故与的图象在上有两个不同的交点， 而在为增函数，在为减函数， 且，故， 故. $专题08 平面向量 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 考点01 向量的概念及其线性运算 考点02 向量的数量积及坐标表示 考点03 向量基本定理与向量的应用 1 / 44 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 平面向量的数量积 重点突破・考法深研 重点01 已知数量积求模 重点02 向量夹角的计算 重点03 已知模求数量积 重点04 投影向量 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 用基底表示向量 方法点拨02 平面向量线性运算的坐标表示 方法点拨03 由向量共线(平行)求参数 方法点拨04 平面向量数量积的几何意义 方法点拨05 用定义求向量的数量积 2 / 44 学科网（北京）股份有限公司 易错剖析・避坑攻略 易错点01 数量积的运算律 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 向量的概念及其线性运算 1．向量的有关概念 （1）向量的定义及表示：既有大小又有方向的量叫做向量.以为起点、为终点的向量记作； （2）向量的长度（模）：向量的大小即向量的长度（模），记为. 注：任意向量的模都是非负实数，即． 2．几种特殊向量 名称 定义 备注 零向量 长度为0的向量 零向量记作，其方向是任意的 单位向量 长度等于1个单位的向量 单位向量记作 平行向量 方向相同或相反的向量（也叫共线向量） 与任意向量共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相等向量一定是平行向量，平行向量不一定是相等向量 相反向量 长度相等且方向相反的两个向量 注：单位向量有无数个，它们大小相等，但方向不一定相同；与平行的单位向量有两个，即向量和． 3.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 （1）交换律： ； （2）结合律： 减法 求 与 的相反向量 的和的运算叫做 与 的差 数乘 求实数 与向量 的积的运算 ；当 时， 的方向与 的方向相同；当 时， 的方向与 的方向相反；当 时， 向量加法的多边形法则 多个向量相加，利用三角形法则，应首尾顺次连接， 表示从始点指向终点的向量，只需关注始点、终点. 4．共线向量定理 向量与共线，当且仅当有唯一一个实数，使得. 注：只有当才保证实数的存在性和唯一性. 5．常用结论 （为实数），若点A, B, C三点共线，则． 设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 在复平面内，向量对应的复数为，向量对应的复数为，则向量对应的复数为（     ） A． B． C． D． 已知 ，在 中，点 是边 上靠近点 的三等分点，若 ，则 的值为 ______. 考点02 向量的数量积及坐标表示 1．平面向量的坐标运算 （1）向量的加法、减法、实数与向量的乘法及向量的模： 设，则 ，． 注：若，则，反之亦然． （2）向量坐标的求法： ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； ②设，则. 2．平面向量共线的坐标表示 设，其中，则. ①的充要条件不能表示为，因为有可能为0； ②当且仅当时，与等价．即两个不平行于坐标轴的共线向量的对应坐标成比例． 3．向量的夹角 （1）定义：已知两个非零向量和，如图所示，作，，则叫做向量与的夹角，记作. 注：只有两个向量的起点重合时，所对应的角才是两向量的夹角． （2）范围 ：夹角的范围是． 当时，两向量平行且同向； 当时，两向量相互垂直，记作； 当时，两向量平行但反向． 4．平面向量数量积的定义 已知两个非零向量与，我们把数量叫做与的数量积，记作，即 ，其中是与的夹角. 规定：零向量与任一向量的数量积为零． 5．平面向量数量积的几何意义 （1）数量投影 设是的夹角，则叫做向量在向量方向上的数量投影，叫做向量在向量方向上的数量投影； （2）的几何意义 数量积等于的长度与在的方向上的数量投影的乘积. （3）投影向量（简称投影） 向量在非零向量方向上的投影为． 6．向量数量积的运算律 （1）交换律：； （2）数乘结合律：； （3）分配律：. 向量数量积的运算不满足乘法结合律，即不一定等于，这是由于表示一个与 共线的向量，表示一个与共线的向量，而与不一定共线. 7．平面向量数量积的性质 设为两个非零向量，是与同向的单位向量，是与的夹角，则 （1）； （2）； （3）当与同向时，；当与反向时，. 特别地，或； （4） ； （5）. 8．平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量为与的夹角，则 （1）； （2）； （3）； （4）． 9．常用结论 （1）平面向量数量积运算的常用公式 ①； ②． （2）有关向量夹角的两个结论 ①两个向量与的夹角为锐角，则 ，反之不成立（因为夹角为0时不成立）； ②两个向量与的夹角为钝角，则有，反之不成立（因为夹角为时不成立）． 在复平面内，为坐标原点，复数，对应的点分别为，其中为虚数单位，则的大小为______． 已知是平面上的非零向量，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 已知，，，则在方向上的投影数量为________． 考点03 向量基本定理与向量的应用 1．平面向量基本定理 （1）定理：如果是同一平面内的两个不平行向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且仅有一对实数，使； （2）基：不平行的向量叫做表示这一平面内所有向量的一组基. 注：① 基必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基； ②基给定，同一向量的分解形式唯一； ③如果对于一组基，有，则可以得到且. 2．常用结论 （1）若与不共线，且，则； （2）已知为线段A B的中点，若，则点坐标为； （3）已知 的顶点，则的重心的坐标为 ； （4）若为线段A B的中点，为平面内任一点，则． 已知是平面向量的一组基底，则下列各组向量中，不能作为平面向量的一组基的是（    ） A． B． C． D． 已知A、、是单位圆上的三个点，若，则的最大值为______． 在四边形ABCD中，，且满足 ，则（     ） A．2 B． C． D． 素养进阶·答题技法突破 题型01 平面向量的数量积 考情定位: 上海高考基础必考点，以选择填空基础题、解答题工具性应用为主，难度中等偏低，单题分值4~6分;同时作为核心计算工具，贯穿解三角形、函数、解析几何、立体几何等大题的运算与推导. 核心考法: 1利用数量积定义与坐标公式直接计算，求解向量的模、夹角、投影向量;2结合三角形、平行四边形等平面几何图形，通过基底法或坐标法求数量积与模长;3逆用数量积垂直判定等性质，结合函数、不等式考查数量积的最值与取值范围. 解题要点: 1先观察条件形式，坐标完备优先坐标法，几何场景优先基底分解法，合理选择运算路径;2求模、夹角必先理清数量积与模长的对应关系，注意夹角取值范围与符号判定;3最值范围问题优先转化为坐标函数或几何投影意义，正向计算与性质逆用灵活切换. （2025•上海）已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． （2025•上海）设，则向量在方向上的投影向量的坐标为___________． （2026•上海）在梯形中，，，，，，点在线段上，且；设是线段上的动点，且，则的最小值为________. 重点01 已知数量积求模 已知数量积求模的计算方法 （1）核心遵循＂模长平方化＂原则，将求模运算转化为向量自身的数量积运算，利用数量积运算律展开推导，是向量模长问题的通用转化方法. （2）对于含线性运算的向量求模，先对目标向量整体平方，展开后拆解为已知向量的模长平方与向量间数量积，代入条件计算后开方还原模长. （3）记住下列公式： ①； ②； （4）若向量坐标为，则 .其中x, y为向量的横、纵坐标，可结合数量积的坐标公式直接计算向量模长. （2025•上海模拟）已知向量满足，且与夹角的余弦值为，则__________． （2025·上海金山·一模）已知非零向量的夹角为，若，则的最小值为___________． （2025·上海青浦·三模）已知平面向量，，，满足，，则当与的夹角最大时，的值为________. 重点02 向量夹角的计算 （1）向量夹角的计算方法 ①以数量积定义为核心推导夹角公式，解题遵循＂计算数量积一求解模长一计算余弦值一确定夹角＂的步骤，需明确向量夹角的取值范围是 . ②涉及向量线性运算的夹角问题，先利用数量积运算律展开化简，求出目标向量的数量积与对应模长，再代入公式求解，结合夹角范围确定最终结果. （2）记住下列公式： ① ； ② ； （3）若 ，则 .则中为向量与的夹角， 为两向量的数量积，分别为两向量的模长. （2025·上海·三模）若向量，满足，，且，则向量，的夹角大小为________. （2025·上海·模拟预测）若向量与不共线也不垂直，且，则______. （2025·上海模拟）已知，为单位向量，且在上的投影向量为，则与的夹角为_________． （2026·上海嘉定·二模）在复平面内，已知点、、对应的复数分别为、、，其中是虚数单位． (1)求的值； (2)若复数z满足，求． 重点03 已知模求数量积 （1）已知模求数量积的计算方法 ①在已知模长与夹角的条件下，用定义式计算数量积比坐标法更直接、简捷. ②从向量线性运算式出发，利用数量积运算律展开，将问题转化为关于模长与夹角的表达式，代入数值即可确定结果. （2）记住下列公式： ① ； ②； （3）.其中是平面向量的坐标，为两向量的夹角，分别为两向量的模长. （2026·上海静安·模拟预测）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量为________． （2025·上海模拟）已知向量、满足，，，则________． （2026·上海黄浦·二模）在复平面内，点P，Q，O分别表示复数z，w，0，已知，，，且，则向量与的夹角为______． 重点04 投影向量 （1）投影向量的计算方法 ①依托数量积的几何意义理解投影，区分＂数量投影（标量）＂与＂投影向量（矢量）＂，投影向量与投影方向向量共线，是数量积几何意义的直接体现. ②从投影向量的定义出发，将运算转化为数量积、模长与单位向量的组合形式，结合数乘向量的规则确定最终的投影向量结果. （2）记住下列公式： ①向量在方向上的数量投影：； ② 向量在方向上的投影向量：； （3）在方向上的投影向量坐标为.其中是投影方向的向量，是被投影的向量，为两向量的夹角，是向量的模长. （2025·上海浦东新·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为__________. （2025·上海宝山·三模）已知，则在上的数量投影是__________. （2025·上海黄浦·三模）已知非零向量在向量上的投影向量为，，则________ （2026·上海虹口·三模）在中，若，在上的投影向量为，则_____________． 方法点拨01 用基底表示向量 1.基底优选原则:处理几何向量问题，先选取两个不共线且已知模长、夹角的向量作为基底，再进行向量分解，从根源简化后续数量积与模长的运算. 2.线性分解技巧:依托三角形法则和平行四边形法则，将目标向量拆解为基底向量的数乘之和，通过路径拆解完成向量的基底表达. 3.比例转化变形:遇到分点、定比分点的结构，对应利用共线向量定理转化数乘系数，通过中点性质、比例线段变形椎导分解系数. 4.回路巧解思路:求复杂多边形中的向量表示，巧用“回路法”(沿封闭路径列向量等式)推导，搭配方程思想快速求解系数，最后验证基底分解的唯一性. （2026•上海模拟）如图，在中，，是与的交点，且，则在上的投影向量的模取得最小值时，（   ） A． B．1 C．2 D． （2025·上海黄浦·三模）设、是平面内相交成的两条射线，、分别是与、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记.已知在如图所示的仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，且，点、、分别为、、的中点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． （2026·上海·三模）如图所示，已知，点，满足，，与交于点，交于点，，则的值为____________． 方法点拨02 平面向量线性运算的坐标表示 1.坐标优先原则:处理向量线性运算题，能建系时先确定各向量的坐标，再代入运算法则计算，从根源避免几何路径拆解的复杂过程. 2.坐标运算法则:依托向量和、差、数乘的坐标公式，横、纵坐标分别对应运算，已知向量坐标就能直接推导出运算结果的坐标. 3.分点坐标变形:遇到中点、定比分点的结构，对应利用线性运算的坐标关系，通过端点坐标推导分点坐标，通过加权平均简化计算. 4.几何转化思路:求平面图形中的向量线性运算，巧用“建系法”将几何问题代数化，搭配坐标运算快速求解，最后验证结果的几何合理性. （2026·上海模拟）已知平面向量，，．若为实数，且，则______． （2025·上海崇明·二模）已知，则__________． （2026·上海普陀·二模）已知向量，，，函数的表达式为，设，若，则______. 方法点拨03 由向量共线（平行）求参数 1．坐标判定优先原侧：处理向量共线求参数题，能获取坐标时优先使用坐标形式的共线条件列方程，计算直接且不易出错，从根源避免基底分解的复杂推导. 2．共线判定互用：依托 和 两个核心判定，根据已知坐标或基底表达选择对应形式，建立含参方程求解. 3．含参分类变形：遇到零向量、系数含参的结构，对应分类讨论参数取值，通过验证零向量的共线特性、系数为 0 的特殊情况避免漏解. 4．几何转化思路：求平面图形中的共线参数，巧用建系法转化为坐标方程，搭配定比分点关系快速求解，最后验证点的位置与共线方向. （2026·上海·模拟预测）已知向量，，．若，，三点共线，则_________． （2026·上海杨浦·模拟预测）已知向量，，若，则的值为__________． （2026·上海杨浦·二模）直线：的一个法向量是，则实数______. （2026·上海模拟）已知平面直角坐标系中，向量，. (1)求在上的投影向量； (2)若，且，求向量的坐标； (3)若与的夹角为锐角，求实数的取值范围. 方法点拨04 平面向量数量积的几何意义 1．几何意义优先原则：处理投影、最值类向量问题，先从数量积的几何意义切入分析，转化为向量模长与投影长度的乘积，从根源简化坐标运算与代数展开的复杂过程. 2．数量积与投影互化：依托投影这个核心关系，数量积、模长、投影三者知二就能推导出第三个. 3．图形结构变形：遇到动点、线段投影的结构，对应转化为点线距离、射影线段长度，通过几何图形性质变形简化计算. 4．最值巧解思路：求数量积的取值范围与最值，巧用＂投影最值法＂（固定一向量，分析另一向量投影的极值）求解，搭配几何直观快速确定边界，最后验证等号成立的位置. （2026·上海黄浦·三模）在中，，，则在上的数量投影的取值范围为________． （2026·上海嘉定·二模）已知向量，，且，则在方向上的数量投影的取值范围为___________ （25-26高三上·上海·期中）已知平面向量与的夹角为，与的夹角为，，，和在上的数量投影分别为、，则的取值范围是______． 方法点拨05 用定义求向量的数量积 1．定义优先原则：处理已知模长与夹角的数量积问题，先直接套用定义式计算，无需建系或分解基底，从根源简化运算步骤. 2．核心公式：，明确两向量共起点的夹角，已知模长与夹角就能直接求出数量积. 3．夹角判定变形：遇到三角形、多边形中的向量夹角，对应转化为共起点的内角或补角，通过几何图形角度关系变形确定余弦值的符号与大小. 4．逆向求解思路：已知数量积与模长反求夹角，巧用定义式变形计算余弦值，结合夹角范围确定最终角度，最后验证数量积符号与夹角类型匹配. （2025高三下·上海·阶段检测）已知三角形为单位圆O的内接正三角形，则_______． （2026·上海杨浦·模拟预测）球面距离是指球面上两点之间的最短连线长度，即经过这两点的大圆在两点间的一段劣弧长度（大圆是经过球心的平面截球面所得的圆），已知为球的直径，点，N在球面上，且是等边三角形，若球体积的大小与表面积的大小相同，且，则，两点的球面距离为__________． （2026·上海·二模）在中，，，，则________． （2026·上海金山·二模）已知在中，．若点为外接圆的圆心，则__________． 易错点01 数量积的运算律 易混易错提醒:数量积运算律应用类题型，向量展开运算题先明确数量积满足交换律、分配律与数乘结合律，牢记三向量连乘不满足结合律，再按运算规则逐步展开化简;等式变形判断题先由数量积定义分析等式两边的向量属性与几何意义，明确不能随意套用实数消去律约去非零向量，全程遵循"辨律先行"原则，从源头避免运算律误用. （2026·上海松江·模拟预测）若都是单位向量，，则向量与的夹角大小为__________. （25-26高三上·上海黄浦·期中）已知函数，向量是平面内三个不同的单位向量，且满足，则的取值范围为______ . （25-26高三上·上海杨浦·期中）在中，是边的中点.若，，，则______________． （2026·上海长宁·二模）在中，是的中点，，，则_________. 优题精练·专题实战通关 1．（2026·上海·模拟预测）若复数与在复平面上分别对应点与，则“”是“”的（     ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 2．（2025·上海杨浦·模拟预测）设.已知向量与向量满足，则_____. 3．（2025·上海金山·二模）已知向量，若，则实数__________. 4．（2026·上海徐汇·二模）已知向量，其中，在方向上的投影向量是，则__________. 5．（2025·上海崇明·一模）在平面直角坐标系中，．设，则的最小值是_______． 6．（2025·上海嘉定·二模）在平面直角坐标系中，一质点P从原点O出发，第一次从点O移动到点，第二次从点移动到点，…，第k次从点（规定）移动到点.记向量，其模长为k，方向与x轴正方向成角，设为经过n次移动的位移向量，即，则当时，n的值为______. 7．（25-26高一下·上海青浦·期中）在直角三角形中，点是斜边的中点，点为线段上靠近点的三等分点，则________. 8．（2026·上海虹口·三模）已知双曲线：，为原点． (1)求的右顶点到一条渐近线的距离； (2)若点在第一象限且，若、、为一个等腰三角形的三个顶点，求点的横坐标； (3)过点的直线与交于两个不同的交点和，若，求实数的取值范围． 9．（2025·上海金山·三模）已知，函数． (1)求函数的单调递增区间； (2)在中，若，且的面积为，求． 10．（2025·上海长宁·二模）已知向量． (1)求函数的单调递减区间； (2)若函数在区间上恰有2个零点，求实数a的取值范围． $