1.5等腰三角形（知识梳理+同步练习）2026-2027学年苏科版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦等腰三角形核心概念与性质，通过基础巩固、中档综合、提高探究三层设计，实现从单一知识点到综合应用的递进，适配新授课知识内化与能力初步提升需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|概念辨析与简单计算|单选1（边的性质）、填空11（周长计算），夯实“等边对等角”等基础考点| |中档层|性质综合应用|单选8（垂直平分线与周长最值）、填空17（中点性质），培养几何直观与推理能力| |提高层|探究性问题解决|解答题26（截长补短法）、27（实际情境应用），发展创新意识与模型观念|

1.5等腰三角形（知识梳理+同步练习) 知识梳理 一、等腰三角形基本概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形。相等的两边为腰，另一边为底边；两腰的夹角为顶角，腰 与底边的夹角为底角。 特殊说明：等边三角形是特殊的等腰三角形。 二、等腰三角形性质 1.等边对等角：等腰三角形的两个底角相等。 2.三线合一：等腰三角形顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合。 易错限定：三线合一仅适用于底边与顶角，腰上的中线、高、角平分线不重合。 3.轴对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴为顶角平分线（底边上中线、底边上的高）所在直 线，只有一条对称轴。 三、等腰三角形判定定理 等角对等边：在一个三角形中，如果有两个角相等，那么这两个角所对的边相等，该三角形为等腰 三角形。 用途：通过角度关系证明边长相等，判定等腰三角形。 四、等腰三角形角度性质 1.内角关系：顶角=180°-2×底角。 2.角度特征：等腰三角形至少两个锐角，最多一个钝角或直角（只能为顶角）。 3.分类讨论：已知等腰三角形一个内角度数，未说明顶角/底角时，必须分两种情况计算，防止漏解。 五、等边三角形性质与判定 1.性质 三边相等，三个内角均为60°；是轴对称图形，共3条对称轴；任意边上均满足三线合一。 2.判定方法 ①三边对应相等的三角形是等边三角形； ②三个内角都相等的三角形是等边三角形； ③有一个内角是60的等腰三角形是等边三角形。 六、含30°角的直角三角形重要性质 在直角三角形中，若一个锐角为30°，则该角所对的直角边长度等于斜边的一半。 逆定理：直角三角形中，若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为30°。 同步练习 一、单选题 1.(25-26七年级下陕西汉中·期末)若一个等腰三角形的两条边的长度分别为2和5，则这个等腰三角 形的腰长为() A.5 B.2 C.2或5 D.3 2.(26-27九年级上广西南宁开学考试)如图， Rt△AB C中，∠ACB=90°，点D为B的中点.若 ∠B=36°，则∠BCD的度数为() A.72 B.609 C.44o D.36 3.(25-26七年级下·山西运城期末)工人师傅用一把等腰三角板来检测搭建的横梁是否水平，如图所示， 在底边中点处做一个记号D,再从顶点悬下铅锤，把这把等腰三角板的底边放在屋梁上，看铅垂线是不 是通过记号D,就能检查屋梁是不是水平，这其中蕴含的数学道理是() 门铅锤 A.垂线段最短 B.两点之间，线段最短 C.等腰三角形的两个底角相等 D.等腰三角形的“三线合一” 4.(2627九年级上北京西城开学考试)如图，将△1BC绕顶点C逆时针旋转40得到 A'B'C ,且 B刚好经过点B.若∠A=27°，则∠BCA'的度数为() B B A.40° B.41° C.42° D.43 5.(25-26七年级下·上海浦东新期末)如图，在由边长为1的小正方形组成的5×5的网格中，点A、B 都在格点上，现要在图中确定格点C,连接AC和BC,使得△ABC是等腰三角形.则满足条件的格点C 的个数有()个 B A.4 B.5 C.6 D.7 1 6.(26-27九年级上四川达州开学考试)如图，在。4BC中，分别以点B和点C为圆心，大于2BC长 为半径画弧，两弧相交于点M,N.作直线MN,交AC于点D,交BC于点E,连接BD.若∠BDE=65°， 则∠C=() A.20° B.25° C.30° D.35° 7.(26-27九年级上·天津河西开学考试)如图，△ABC中，∠ABC=90°，∠C=62°，分别以点A,C 为圆心，大于2AC的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）相交于E,F两点：那与4C交于点0， 则∠ABO的大小为() A.289 B.30° C.31° D.36 8.(26-27八年级上江苏南京·开学考试)如图，等腰△ABC的底边BC长为6.面积是24，腰AB的垂直 平分线EF分别交AB、AC于点E、F.若点D为底边BC的中点，点M为线段EF上一动点，则△BDM 的周长的最小值是() A.11 B.12 C.13 D.14 9.(25-26八年级上四川南充期中)如图，在△ABC中，AC=CB,AD是BC边上的中线，CE是∠ACB 的角平分线，若AB=4S= 6,则CE的长度为() A.4 B.5 C.6 D.7 10.(25-26七年级下·辽宁丹东·期末)如图，△DAC和△EBC均是等边三角形，A,C,B三点共线，AE 与BD相交于点P,AE与BD分别与CD,CE交于点M,N,有下列结论：①△ACE≌△DCB;② DC∥EB；③CM=CN;④EM=BN;⑤∠CMN=6O°.其中正确结论的个数是() E B A.1 B.2 C.3 D.5 二、填空题 11.(26-27八年级上·吉林长春·开学考试)等腰三角形的两边长分别为2和4，则它的周长为 AB,AC 12.(2026江苏徐州模拟预测)如图，在△MBC中，AD LBC,,P分别是边 的中点，若 AB=AC=8cm,则DE= cm E B D 13.(25-26八年级下·贵州毕节期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点E,若AC 平分∠DAB,且AB=AC=AD,则AC与BD的位置关系是 B 14.(25-26八年级下·甘肃兰州期末)如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED,若AB=7,则 BE的长为 15.(25-26八年级上·河北期末)如图是屋架设计图的一部分，立柱BC垂直于横梁AD,AB=BD, ∠ABD=120°，BC=4m,则AB的长度为m. B 16.(25-26七年级下·上海期末)如图，在5×5的格子图里，在格点上有A、B、C、D、E五个点， 联结AB,AC,AD,AE,则∠BAC ∠DAE(填“>”、“=”、“<”中的一个) 17.(26-27八年级上江苏无锡开学考试)如图，一技术人员用刻度尺（单位：c)测量某三角形部件 的尺寸.己知∠ACB=90°，点D为边AB的中点，点A,B对应的刻度分别为2,8，则CD的长为 B 0123456789 18.(26-27九年级上四川达州开学考试)如图，在△ABC中，以点B为圆心、适当长度为半径画弧， 分别交AB'BC于点P:Q:再分别以点p:Q为圆心、大于2P№的长度为半径画弧，两弧交于点M, 作射线BM交AC于点E,过点E作DE/BC交AB于点D.若△ABE周长为28，BE=I0,则△ADE的周 长为 19.(26-27八年级上全国开学考试)如图，己知∠A0B=60°，点P在边OA上，OP=8,点M,N在 边OB上，PM=PN.若MN=2,则OM的长是一， A 060° MN—B 20.(26-27九年级上广东深圳开学考试)如图，在四边形ABCD中，AB=AD=BC,∠ABC=90°， 连接BD,若∠BDC=90°，CD=2,则四边形ABCD的面积为 三、解答题 21,(25-26七年级下陕西西安期末)如图，在△ABC中，AB=AC,点D,E在BC上，点D在点E 左侧，BD=CE,连接AD,AE,试说明：AD=AE. D 22.(26-27九年级上四川达州开学考试)如图，△ABC是等边三角形，D是AB的中点，CE⊥BC, 垂足为C,EF是由CD沿CE方向平移得到的.已知EF过点A,BE交CD于点G. E G B (1)求∠DCE的大小. (2)求证：△CEG是等边三角形. 23.(26-27九年级上重庆开学考试)已知：如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,D为AC上一点， AG平分∠BAC交BD于G. G (I)使用尺规完成基本作图：作AF⊥BD于点E交BC于点F.(保留作图痕迹，不写作法.) (2)求证：CF=AG」 24.(26-27八年级上全国课后作业)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=36°，DE是线段AB的垂直平分 线，交AB于点D,交AC于点E.求证：∠EBC=18°. E 25.(26-27九年级上河北邯郸开学考试)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4,点D是AB 的中点，点E、F分别在AC、BC上，且AE=CF, D (I)求证：DE=DF: (2)求四边形CEDF的面积. 26.(26-27八年级上·浙江宁波开学考试)阅读下列材料，然后解决问题： 截长法与补短法在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用.具体的做法是在某条线段上截 取一条线段等于某特定线段，或将某条线段延长，使之与某特定线段相等，再利用全等三角形的性质等 有关知识来解决数学问题 E 图1 图2 图3 (I)如图1，在△ABC中，若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围 解决此问题可以用如下方法：延长AD到点E使DE=AD,再连接BE,把AB、AC、2AD集中在 △ABE中，利用三角形三边的关系即可判断中线AD的取值范围是 (2)问题解决： 如图2，在四边形ABCD中，AB=AD,∠ABC+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD上的两点，且 ∠EAF=)∠BAD,求证：BE+DF=EF· 2 (3)问题拓展：如图3，在△ABC中，AB=AC,BD平分∠ABC,点E为BC边上一点，∠AEC=2LADB 猜想线段AD,AE,BE的数量关系，并证明. 27.(25-26七年级下·陕西西安期末)解决问题 A G D 图1 图2 (I)【问题初探】如图1，在△ABC中，高BD,CE交于点F,且BD=CD,试说明FC与AB有怎样的数 量关系： (2)【拓展延伸】如图2，某校为教室配备等腰直角三角形课桌防滑支架ABC,AB=AC,∠A=90°，在 边BC上设置卡扣D,边AB上设置卡扣F,连杆DF用于加固，从支架端点B伸出支撑杆BE, BE⊥DF,垂足为E,且∠ABE=∠EDB,在线段AF上安装卡扣H,连接DH,且BH=DH,将BE, DH延长相交于点G,请求出BE与DF的数量关系，并说明理由， 答案 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 答案 A D D D C B A A D 1.A 【详解】解：当腰长为2时，三边长为2,2,5 2+2<5, ∴，不能构成三角形，舍去； 当腰长为5时，三边长为5,5,2， 2+5>5, ∴能构成三角形. 2.D 【详解】解：∠ACB=90°，点D为AB的中点， GC0-号0=D .∠BCD=∠B ∠B=36°， ∴.∠BCD=36 3.D 【详解】解：，等腰三角形底边上的中线与高线重合，而铅垂线方向始终竖直向下，当铅 垂线通过底边中点D时，说明底边与铅垂线垂直，即底边水平，从而判断屋梁是不是水平， ,这其中蕴含的数学道理是等腰三角形的“三线合一”， 4.D 【详解】解：：将△ABC绕顶点C逆时针旋转40°得到△AB'C, .CB=CB',∠BCB=40°， CBB-x080°-40)=709 :∠CBB是△A'BC的外角， .∠CBB=∠A'+∠BCA, ∴.∠BCA'=∠CBB'-∠A=70°-27°=43° 5.c 【详解】解：如图所示， B 当点C在C或S或S支9的位置上时，4C=8C, C C 当点C在C或C位置上时， AB=BC .满足条件的格点C的个数有6个. 6.B 【详解】解：由作图可得MN是线段BC的垂直平分线， .DB=DC,DE⊥BC, ∴.∠CDE=∠BDE=65,∠DEC=90°， ∴.∠C=90°-∠CDE=25 7.A 【详解】解：由作图方法可得EF垂直平分AC, ..AO=OC, .OB为中线， 又△ABC中，∠ABC=90°， .OB=OC」 .∠0BC=∠C=62°， .∠ABO=∠ABC-∠OBC=28° 8.A 【详解】解：，△BDM的周长为BD+BM+DM,且DB为定值， .当BM+DM的值最小时，△BDM的周长最小， 如图，连接AD,AM, E 由题意可得A,B关于EF对称， .BM+DM=AM+DM≥AD, .当A,M,D三点共线时，BM+DM=AD, 在等腰△ABC中，点D为底边BC的中点， ÷AD1BC,BD=)BC=3 Γ2 _1BC·AD= X61D=24 1 .AD=8 .△BDM的周长的最小值为BD+BM+DM=3+8=1L. 9.C 【详解】解：AD是BC边上的中线， .BC=2CD .S.ADC=6 .S△ABC=2 SAADC=12 ,在△ABC中，AC=CB,CE是∠ACB的角平分线， .CE⊥AB 1 S.c=24B-CE=12,B=4 .CE=6 10.D 【详解】解：①：△DAC和△EBC均是等边三角形， :.AC=DC,CE=CB,∠ACD=∠ECB=∠CBE=6O° ∴.∠ACD+∠DCE=∠ECB+∠DCE. 即∠ACE=∠DCB. :.△ACE≌ADCB,故①正确，符合题意； ②，△DAC和△EBC均是等边三角形， .∠ACD=∠ECB=60° .∠DCE=180°-∠ACD-∠ECB=60°， .∠DCB=∠DCE+∠ECB=120°， .∠DCB+∠CBE=120°+60°=180°， .DC∥EB,故②正确，符合题意： ③由①得△ACE≌△DCB, .∠CEM=∠CBW, 由②得∠MCE=∠NCB=60°， 又CE=CB :△MCE≌aNCB(ASA) .CM=CN,故③正确，符合题意： MCE≌ANCB(ASA) ④由③得 ∴.EM=BN,故④正确，符合题意； ⑤由③得CM=CN,由②得∠DCE=60°， .△MCN为等边三角形， .∠CMN=60°，故⑤正确，符合题意： 故①②③④⑤五个结论全部正确. 11.10 【详解】解：①当等腰三角形的腰长为2时，底边长为4， ,2+2=4,不满足三角形任意两边之和大于第三边， 2,2,4不能构成三角形： ②当等腰三角形的腰长为4时，底边长为2， .2+4=6>4,满足三角形三边关系， 2,4,4能构成三角形： 此时等腰三角形的周长为4+4+2=10： 综上，等腰三角形的周长为10 12.4 【详解】解：：AD⊥BC,点E为AB的中点， DE=IAB=4cm 2 13.AC⊥BD(或垂直) 【详解】解：，AB=AD,AC平分∠DAB, .AC⊥BD 14.7 【详解】解：，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△AED, .AB=AE,∠BAE=60°， ∴△ABE是等边三角形， .BE=AB=7. 15.8 【详解】解：：AB=BD,∠ABD=120°， :∠A=∠D=180°-∠ABD=30 2 :BC⊥AD 在Rt△ABC中，AB=2BC, .BC=4m, .AB=8m」 16.= 【详解】解：如图，取格点M,N,连接DE, A 由网格可知，∠ABC=∠AME=∠END=90°，AB=BC,AM=EN,EM=DN, ∴.∠BAC=∠ACB=45°， 在△AEM和△EDN中， AM=EN ∠AME=∠END EM=DN △AEM≌△EDN(SAS) ∴.AE=DE,∠AEM=∠EDN, 又，∠END=90° .∠EDN+∠DEN=90°， .∠AEM+∠DEN=90°. :∠ABD-180°-（∠AEM+∠DBN)=90 ∴.△ADE是等腰直角三角形， .∠DAE=45°， ∴.∠BAC=∠DAE 17.3cm AB=8-2=6(cm) 【详解】解：由题意得， :∠ACB=90°，点D为边AB的中点， CD=AB=3cm 2 18.18 【详解】解：由题意可知BE为∠ABC的平分线， .∠ABE=∠CBE. DEl/BC. .∠DEB=∠CBE, .∠ABE=∠DEB, .BD DE :△ABE周长为28， .'AB+BE+AE=28 即：AD+BD+10+AE=28」 .AD+DE+10+AE=28, .AD+DE+AE=18, .△ADE的周长为18. 19.3 【详解】解：如图，过P作PD⊥OB于点D, A 060 MDN B .∠PD0=90°， :∠POD=60°， .∠OPD=90°-∠POD=30°. 在RAAPOD中，0D-0 2×8=4, PM=PN,PD⊥MN,MN=2, :MD=ND=号MN=l, 2 .OM=OD-MD=4-1=3」 20.12 【详解】解：作AH⊥BD于点H, 1 D H ,AB=AD」 .BH =DH, ·∠AHB=∠BDC=∠ABC=90° .∠ABH=90°-∠CBD=∠BCD, AB=BC :△MBH≌ABCD(AAS) .AH=BD,BH=CD=2. .DH=BH=CD=2, ∴.AH=BD=2+2=4, .S网边形HCD=SAABH+S△ADH+S&RCD :a形n=3x)x2x4=12 2 21.解：因为AB=AC, 所以∠B=∠C 在△ABD和△ACE中， (AB=AC ∠B=∠C BD=CE' △ABD≌△ACE(SAS) 所以 所以AD=AE 22 【详解】(I)解：，△ABC是等边三角形，D是AB的中点， .CD为△ABC的高线、中线和角平分线， 即∠CA=∠CB=90,AD=BD,∠ACD=∠BCD=∠ACB=30, :CE⊥BC,垂足为C, .∠BCE=90°， 又，∠ACE=∠BCE-∠ACB=90°-60°=30° ∴.∠DCE=∠ACD+∠ACE=30°+30°=60°. (2) 证明：，△ABC是等边三角形，D是AB的中点， .AB=BC,CD⊥AB,即∠CDA=90°， CE⊥BC,垂足为C, .∠BCE=90°，即△CBE为直角三角形； ,EF是由CD沿CE方向平移得到的，且EF过点A, .EF∥CD,CD⊥AB, ∴.EF⊥AB即∠BAE=90°， 在Rt△ABE和Rt△CBE中， 「BA=BC BE=BE △ABE≌ACBE(HL) ÷∠ABE=∠CBE=ABC=30 ∴.在Rt△CBE中∠BEC=90°-∠CBE=90°-30°=60°， :△CEG中有∠CGE+∠GCE+∠CEG=180°， 由(1)得∠DCE=60°」 .∠CGE=180°-60°-60°=60°， .△CEG是等边三角形. 23.(1)解：所求图形，如图所示： G (2)证明：∠BAC=90°，AB=AC, ∴.∠ABC=∠C=45°， :AG平分∠BAC, ∠BAG=∠BAC=450 2 ∴.∠BAG=∠C. AF⊥BD, ∴.∠AEB=90° ∴.∠ABE+∠BAE=90° .∠BAE+∠CAF=∠BAC=90°」 ∴.∠ABG=∠CAF, 又AB=CA, :∴.AABG≌ACAF(ASA) ..AG=CF 24.证明：∠C=90°，∠A=36° ∴.∠ABC=90°-∠A=90°-36°=54°， 又·DE是线段AB的垂直平分线， ∴.EA=EB, .∠EBD=∠A=36°， :.∠EBC=∠ABC-∠EBD=54°-36°=18° 25.(1)证明：连接CD D ,D是中点， B∠ACB=90°AC=BC AB ∴.CD⊥AB.CD=AD=BD,∠A=∠B=45°，∠ACD=∠DCF=45° ∠A=∠DCF=45 在△ADE和△CDF中， (AD=CD ∠A=∠DCF AE=CF :∴.△ADE≌aCDF(SAS) ∴.DE=DF, (2)解：△ADE≌△CDF, .SADE=S.CDE .S边形CEDr=S,CE+S,cr=SCDE+S.ADE=SAc 1 11 ×二×4×4=4 .四边形CEDF的面积为4. 26.(1)解：：AD是△ABC的中线， .BD=CD. CD=BD ∠ADC=∠EDB AD=DE 、△ADC≌△EDB(SAS) .BE=AC=8. :在△ABE中，AB=12,BE=8,AB-BE<AE<AB+BE, 4<AE<20, :2<)AB<10. 2 2<AD<10 (2)证明：延长EB到点G使BG=DF,再连接AG,如图， GB E .∠ABC+∠ABG=180°，∠ABC+∠ADC=180°， .∠ABG=∠ADF, AD=AB ∠ADF=∠ABG DF=BG· .△ABG≌△ADF, ∴.AG=AF,∠BAG=∠DAF, .∠BAG+∠BAF=∠DAF+∠BAF=∠BAD, 即∠GAF=∠BAD」 :∠EAF-2BAD,∠EAF+∠EAG=∠GAF 1 ∠BAD+∠EAG=∠BAD .2 A<GMB=BD=∠BMP, AG=AF ∠EAG=∠EAF AE=AE .△EAG≌△EAF, .'EF=EG, BG=DF,BE+BG=EG, ..BE+DF=EF (3) 证明：BE=AD+AE,理由：延长EA到点H使AH=AD,再连接BH, H 设∠ABD=a, :BD平分∠ABC, ∠ABD=∠CBD= ∠ABC=a 2 .∠ABC=2a, AB=AC, .∠ABC=∠ACB=2a. .∠ADB=∠ACB+∠CBD=3a,∠BAC=180°-∠ABC-∠ACB=180°-4C」 ,∠AEC=2∠ADB ∴.∠AEC=2LADB=6a, .∠AEB=l80°-∠AEC=180°-6a. ∠BAE=180°-（∠ABC+∠AEB)=4C .∠HAB=180°-∠BAE=180°-4a. .∠BAC=180°-4a, .∠BAC=∠BAH, AH=AD ∠BAC=∠BAH AB=AB △ABH≌△ABD(SAS) .∠BHA=∠BDA=3a,∠ABH=∠ABD=a, :.∠EBH=∠EBA+∠ABH=2a+a=3a. .∠EBH=∠EHB=3a, .'BE =EH, AH=AD,EH=AH+AE, ∴BE=AD+AE 27.(1) 解：AB=FC,理由如下： :BD,CE是△ABC的高， .∠ADB=∠CDF=∠FEB=90° :.∠EFB+∠EBF=90°，∠DAB+∠ABD=90° .∠EFB=∠DAB ·LEFB=LDFC, .∠DFC=∠DAB 在△ABD和△FCD中， ∠DAB=∠DFC ∠ADB=∠FDC BD=CD △ABD≌△FCD(AAS) .AB=FC. ,理由： :∠A=90°，AB=AC .∠C=∠ABC=45°， BH=DH, .∠HDB=∠ABC=45° ∴.∠BHD=180°-∠ABC-∠HDB=90° .∠BHG=180°-∠BHD=90°. :BE⊥ED, ∠BED=90°， ,∠EFB=∠HFD, ∴.∠EBF=∠HDF, 在△HGB和△HFD中， ∠BHG=∠DHF BH=DH ∠GBH=∠FDH' △HBG≌△HDF(ASA) .BG=DF,∠ABE=∠EDG, ,∠ABE=∠EDB, .∠EDB=∠EDG. 在△BDE和△GDE中， ∠EDB=∠EDG DE=DE ∠BED=∠GED' △BDE≌AGDE(ASA) .'BE=EG. :BE-IBG-1FD 2 2