专题05 直线与圆的综合应用11种常见考法归类（题型专练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题05 直线与圆的综合应用11种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 直线与圆的位置关系的判断 题型 02 弦长与面积问题 题型 03 切线问题、切线长问题 题型 04 切点弦问题 题型 05 圆上的点到直线距离个数问题 题型 06 圆中的最值（范围）问题 题型 07 圆与圆的位置关系 题型 08 两圆的公共弦问题 题型 09 两圆的公切线问题 题型 10 韦达定理的应用 题型 11 圆的定点和定值问题 ▌题型01 直线与圆的位置关系的判断 1.核心逻辑 通过圆心到直线的距离与半径大小比较判断位置；也可联立方程，利用判别式判断。 相离；相切；相交。 2.解题步骤 ①从圆方程读出圆心、半径； ②计算圆心到直线距离； ③比较和大小，判定相交、相切、相离； ④充要条件题型，分别验证充分性、必要性。 > 代数法备选：联立直线与圆方程，相交；相切；相离。 3.易错提醒 圆一般式忘记配方找圆心半径；充要条件题只单向推导；计算距离时分母遗漏。 【例1】（26-27高三·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 【变式1-1】（26-27高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【答案】C 【分析】先找出对称轴上的定点，由对称性质得该定点到距离相等，写出的轨迹圆；再将轨迹圆与已知圆联立求交点，得到点坐标；计算圆心到直线的距离，对比半径判断直线与圆的位置关系. 【详解】∵圆，∴圆心，半径； 关于直线对称，且原点在直线上， ，， 则，故在圆上， 联立，解得，， ， ∵，∴，得， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. 【变式1-2】（26-27高三·四川·开学考试）已知圆：，直线：，若与相切，则________． 【答案】 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数． 【详解】圆：的圆心，半径， 圆心到直线：的距离， 因为直线与圆相切，所以， 即，解得． 【变式1-3】（26-27高三·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. ▌题型02 弦长与面积问题 1.核心逻辑 垂径定理：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形；。 过圆内定点动弦：直径最长；与定点‑圆心连线垂直时弦最短。 三角形面积：（弦长，圆心到弦距离）。 2.解题步骤 ①确定圆心、半径，求圆心到直线距离； ②代入垂径公式求弦长； ③动弦问题：先找直线恒过定点，判断定点在圆内还是圆外； ④结合公式计算弦长或者三角形面积。 3.易错提醒 垂径定理用成全弦长，漏掉系数2；定点在圆外，不存在最短弦。 【例2】（26-27高三·湖南岳阳·阶段检测）直线 被圆 截得的弦长为______. 【答案】 【分析】根据圆的标准方程，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆 的圆心 ，半径 . 圆心到直线的距离 . 所以所求的弦长 . 【变式2-1】【多选】（26-27高三·湖北·阶段检测）已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【答案】ABD 【详解】对于A：圆C方程配方整理得. 圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为. 令且，解得，故直线恒过定点，故B正确； 对于C：定点到圆心的距离为， 定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误； 对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确． 【变式2-2】（湖南永州市2026-2027学年高三学期第一次模拟考试数学试题）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合弦长的一半、距离、圆半径满足勾股定理列方程求解正数即可. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 【变式2-3】（2026·山东临沂·模拟预测）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． 【答案】3或 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． ▌题型03 切线问题、切线长问题 1.核心逻辑 切线：圆心到切线距离等于半径； 圆上一点切线：半径与切线互相垂直； 圆外一点切线长：勾股定理 ，圆心，圆外点，切点。 2.解题步骤 ①判断点在圆上还是圆外； ②点在圆上：利用垂直求斜率，写切线方程； ③点在圆外：设切线方程，分斜率存在、不存在两类；利用列方程求斜率； ④切线长：直接代入勾股公式，不用求切线方程。 3.易错提醒 漏掉斜率不存在的竖直切线；把圆上点当成圆外点计算切线长。 【例3】（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 【变式3-1】【多选】（2026·广东佛山·模拟预测）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 【变式3-2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【答案】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 【变式3-3】（26-27高三·四川成都·开学考试）若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. 【答案】 【分析】利用三角形相似进行求解. 【详解】圆半径为1，圆心为，圆半径为2，圆心为，画图如下： 由题意得：，， 因为，，所以，且相似比为：， 所以，则，，， 所以 ▌题型04 切点弦问题 1.核心逻辑 圆外一点向圆引两条切线，两个切点连成的直线叫切点弦。 两种常用方法：①直接记住切点弦公式；②构造以为直径的辅助圆，两圆方程相减得到切点弦。 2.解题步骤 ①已知圆外点，写出切点弦直线方程； ②动点引出切点弦：用参数表示，得到含参切点弦，消参求直线过定点； ③需要弦长，再用垂径定理计算。 3.易错提醒 点必须在圆外才有切点弦；混淆切点弦和切线方程。 【例4】（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    【变式4-1】（2026·福建漳州·模拟预测）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 【变式4-2】（2026高三·安徽·期末）已知圆：（圆心为点），动点在直线：上，过点向圆作两条切线，切点分别为，；直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为______． 【答案】 【分析】设，得出直线方程，通过分析得出直线过定点, 点在以为直径的圆上，点到直线的距离等于点到直线的距离 减去圆的半径. 【详解】依题意，将圆化为标准式：， ，，设， 则直线为： 直线恒过点 ，点在以为直径的圆上， ，，：， 点到直线的距离为， 点到直线的距离． 【变式4-3】（2026高二·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． 【答案】1 【分析】根据给定条件，利用切线长定理确定直线与直线的位置关系，再求出直线的斜率. 【详解】由直线与圆相切，得，且， 当且仅当最小时，最小，此时，因此， 所以直线的斜率. 故答案为：1 ▌题型05 圆上的点到直线距离个数问题 1.核心逻辑 已知圆心到直线距离，作两条和已知直线平行、距离为给定值的直线，看这两条平行线和圆的交点总个数。 2.解题步骤 ①求圆心到已知直线距离，读出半径； ②比较、、的大小； ③判断两条辅助平行线与圆相交、相切、相离情况，统计交点数量； ④已知点的个数反求参数，列不等式求解。 3.易错提醒 直接凭感觉判断点的个数，不作辅助平行线分析；忽略相切只算一个公共点。 【例5】（26-27高二·浙江·开学考试）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 【变式5-1】（26-27高三·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得到以为圆心，以为半径的圆与圆相交，进而得到，转化为圆的圆心到直线的距离小于列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2， 所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，即， 所以直线上至少存在一点使得， 所以点到直线的距离小于， 即，解得， 所以的取值范围是. 【变式5-2】【多选】（26-27高二·江苏南京·阶段检测）下列结论正确的是（     ） A．若直线与圆相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最短弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 【答案】ABD 【分析】对于A，直线与圆相交，说明圆心到直线距离小于半径；对于B，化简直线方程可知该直线过定点，圆心到该定点的距离即圆心到该动直线距离的最小值，再利用勾股定理，可求弦长最小值；对于C，圆上有四点到直线距离为1，说明平行于该直线且距离为1的两直线均与圆相交；对于D，过某点作圆的切线只有一条，说明该点在圆上. 【详解】对于A，直线与圆相交， 所以，即，因此点在圆的外部，故A正确； 对于B，直线方程变形得，，可知该直线必过定点， 因此圆心到直线的距离的最小值为， 此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为，故B正确； 对于C，到直线距离为且平行的直线分别为和， 圆心到直线的距离为，到的距离为， 该圆要与直线距离为的点有四个，等价于与和分别有两个交点， 所以半径需满足，，即，故C错误； 对于D，过点作圆的切线只有一条，则点在圆上，代入可得圆， 过点的半径所在直线的斜率为，故切线的斜率为， 则切线方程为，即，故D正确. 【变式5-3】（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： ▌题型06 圆中的最值（范围）问题 1.核心逻辑 几何优先：圆上点到定点距离最值；圆上点到直线距离最值； 斜率、截距最值临界是相切； 折线距离可结合将军饮马做对称；也可以用圆的参数方程三角换元代数求值域。 2.解题步骤 ①分清动点：是圆上动点、还是直线上动点； ②优先几何法，利用圆心半径直接写最值； ③几何不好算，使用圆参数方程转化三角函数； ④多圆组合，转化圆心之间距离分析。 3.易错提醒 分不清动点位置，乱套；取最值的条件忽略。 【例6】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 【变式6-1】【多选】（2026·山东聊城·模拟预测）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【答案】AC 【分析】根据过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，结合弦长公式，可判定A正确；根据圆的性质，可判定B错误；作向量在上的投影向量，利用向量数量积的定义，结合圆的性质求解，或采用向量的数量积的坐标表示，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出不等式或方程，也可判定C正确，D不正确. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且， 当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短， 则被截得的最短弦长为，所以A正确． 对于B，因为，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为，即， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时，，所以D错误． 【变式6-2】【多选】（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为直线上的动点，点分别在上，连接，下列说法正确的有（   ） A．过点作的一条切线，切点为，则的取值范围为 B．直线是和的一条公切线 C．的最小值为 D．连接，则的最小值为 【答案】BC 【分析】求出和的圆心和半径，求出到直线的距离，选项A，过点作的一条切线，切点为，则，则利用求出的取值范围；选项B，求出点到直线的距离，求出点到直线的距离，从而得到结论；选项C，的最小值为点到直线的距离减去，从而得到结论；选项D，求出关于直线的对称点为，求出，连接，线段与直线的交点就是使得取最小值的点，从而得到的最小值. 【详解】，，的半径为， ，，的半径为， 设到直线的距离为， 选项A，过点作的一条切线，切点为， 则， 则， 故的取值范围为，故选项A错误； 选项B，， 点到直线的距离为 ， ， 点到直线的距离为 ， ， 故直线是和的一条公切线，故选项B正确； 选项C，的最小值为点到直线的距离减去， 点到直线的距离为， 则的最小值为，故选项C正确； 选项D，设关于直线的对称点为， 则，解得，故， 连接，， 设为直线上的任意一点， , 则线段与直线的交点就是使得取最小值的点， 则的最小值为，故选项D错误. 【变式6-3】（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 【答案】C 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． ▌题型07 圆与圆的位置关系 1.核心逻辑 两圆圆心距，半径 外离：；外切：； 相交：； 内切：；内含：。 圆关于直线对称 ⇒ 圆心关于这条直线对称，半径不变。 2.解题步骤 ①两圆都化为标准方程，读出圆心、半径； ②计算圆心距； ③对比半径和、半径差，判断位置； ④对称类题目：求圆心对称点，半径不变写出新圆。 3.易错提醒 相交的条件写成，漏掉下限；对称时改动半径。 【例7】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【答案】B 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 【变式7-1】【多选】（2026高二·广西梧州·期末）已知圆：，则下列说法正确的有（     ） A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆：与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 【答案】ACD 【分析】对于A，将点代入圆方程，可判断选项正误；对于B，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；对于C，比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误；对于D，利用切线过且和垂直可得切线方程，从而判断选项正误. 【详解】对于A，将点代入圆方程得：，所以点在圆内，A正确； 对于B，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故B错误； 对于C，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故C正确； 对于D，易得在圆上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故D正确. 【变式7-2】【多选】（26-27高三·广东湛江·开学考试）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】BC 【分析】由圆，圆的方程确定两圆的圆心和半径，结合条件可得，解不等式求的范围即可. 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为圆与圆有公共点， 所以，又， 所以 由，可得， 由可得， 所以， 所以的最小值为，最大值为. 【变式7-3】（26-27高三·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． ▌题型08 两圆的公共弦问题 1.核心逻辑 两圆相交，把两个圆一般方程直接相减，得到公共弦所在直线方程；再用垂径定理求公共弦长。 注意：只有两圆相交，相减得到的才是公共弦；两圆相切，相减得到公切线。 2.解题步骤 ①两圆化为一般式，方程左右对应相减，得到公共弦直线； ②取其中一个圆，计算这个圆圆心到公共弦直线距离； ③垂径定理求公共弦长。 3.易错提醒 两圆不相交，仍然强行使用相减得到的直线当作公共弦；忘记用其中一个圆来算弦长。 【例8】【多选】（26-27高三·河北唐山·开学考试）圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆的半径为2 B． C．直线与两圆都相切 D．两圆公共弦所在直线的方程为 【答案】AC 【详解】圆：，圆心，半径， 圆：，即， 圆心，半径，故选项A正确； ，故选项B错误； 直线与两圆都相切， 直线与圆相切圆心到直线距离等于半径， 点到直线距离：， 对：，相切， 对：，相切， 直线和两圆都相切，故选项C正确； 两圆公共弦所在的直线的方程： ，化简得：， 公共弦方程是，故选项D错误. 【变式8-1】（26-27高三·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 【变式8-2】已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 【变式8-3】（2026高三·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． 【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． ▌题型09 两圆的公切线问题 1.核心逻辑 公切线条数判断：外离4条；外切3条；相交2条；内切1条；内含0条。 外公切线：两圆在切线同一侧；内公切线：两圆分处切线两侧。 等半径两圆外公切线互相平行；公切线段长可以构造直角梯形勾股计算。 2.解题步骤 ①先由圆心距、半径判断两圆位置，预判公切线总条数； ②设公切线方程，利用两个圆心到直线距离分别等于各自半径列方程求解； ③求公切线段长度，构造直角三角形计算。 3.易错提醒 漏算斜率不存在公切线；位置关系判断错误，对公切线条数预判出错。 【例9】（2026高三·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【答案】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 【变式9-1】【多选】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 【变式9-2】（2026高二·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 【变式9-3】【多选】（2026高二·浙江湖州·阶段检测）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【分析】对于A，由圆的方程明确圆心与半径，利用圆心距与半径差和的大小关系，可得其正误；对于B，根据圆的性质，可得圆上点的位置，可得其正误；对于C，根据圆切线的性质，结合直角梯形的性质以及勾股定理，可得其正误；对于D，联立两圆的方程，作差化简，可得其正误. 【详解】对于A，由圆可知圆心与半径， 圆可知圆心与半径， 因为，且，即，所以两圆相交，故A错误； 对于B，由圆的性质可知，故B正确； 对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确； 对于D，联立方程可得，即， 两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. ▌题型10 韦达定理的应用 1.核心逻辑 直线和圆相交，联立方程得到一元二次方程，设交点，用韦达定理、，不去求根，整体处理：垂直、斜率关系、向量条件、定点问题。 看到“以弦为直径的圆过某点”等价转化：该点与弦两端点连线互相垂直，。 2.解题步骤 ①设直线方程，注意讨论斜率存在、不存在； ②联立直线与圆，整理一元二次方程；判别式保证有两个交点； ③写出韦达定理，； ④把题目条件（垂直、斜率互为相反数、向量共线）全部转化为的关系式； ⑤整体代入韦达结果求解参数。 3.易错提醒 忽略判别式，得到增根；条件翻译错误，垂直条件写错。 【例10】（26-27高二·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 【变式10-1】（2026高二·贵州·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为. (1)求直线AB的方程； (2)已知直线过点且与直线AB平行，为直线上的动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造出辅助圆，通过两圆方程相减得到公共弦； （2）设出相关点坐标表示出向量数量积，再联立圆与直线方程，结合韦达定理得到坐标间关系，进而求出最小值. 【详解】（1）由得， 所以圆心，半径， 设切点，则， 即在以为直径的圆上， 又的中点为，， 所以以为直径的圆的方程为， 将两圆方程相减：， 整理并化简得：， 所以直线AB的方程为； （2）由（1）和题意可知直线的方程为：， 设，则，， 所以， 因为在圆上，所以，， 且在直线上，满足， 联立圆与直线的方程：， 消并化简可得：， 所以， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最小值为. 【变式10-2】（2026高二·广东佛山·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线：交于，两点，以弦为直径的圆过点，求直线的斜率. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由求得圆心坐标，进而可求解； （2）联立直线方程和圆的方程，结合韦达定理由，即可求解. 【详解】（1）由圆心在直线上，设， 由题意可得， 即， 化简可得：，即， 则， 故圆的半径为， 则圆的方程为 （2）设， 联立直线与圆方程， 得， 消去化简可得， 由韦达定理可得：， 因为以弦为直径的圆过点， 所以，即， ， 所以， 代入， 化简可得：， 代入韦达定理可得： ， 化简得：， 解得或 即直线方程为或， 故直线的斜率为或. 【变式10-3】（2026高二·甘肃兰州·期末）已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）由圆，得圆心的坐标为，代入直线求得的值，即可得到圆的方程； （2）分斜率不存在与斜率存在两种情况，设直线的方程，根据圆心到直线的距离与弦长的关系，确定直线的方程； （3）假设存在直线，使得向量与共线.当直线的斜率不存在时，写出的坐标，可利用向量坐标判断向量与不共线；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立圆的方程，用表示向量，根据向量与共线，求出的值，即可得到直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心的坐标为， 将其代入直线得，解得. 即圆的方程为. （2）圆的标准方程为，设弦的中点为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 因为，所以，则圆心到直线的距离，解得. 此时直线的方程为， 故直线的方程为或． （3）因为，所以． ①当直线的斜率不存在时，易知. ，所以与不共线，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由，得， 可得. 所以， 所以， 则， 所以． 若向量与共线，则， 即，解得或， 当时，，舍去， 当时，. 所以存在直线，使得向量与共线，且直线的方程为，即.    ▌题型11 圆的定点和定值问题 1.核心逻辑 定点：含参直线，无论参数怎么变，恒过固定点；方法：分离参数，令参数系数等于0。 定值：不管动点如何变化，某个代数式恒等于常数；方法：参数表示代数式，化简消掉参数得到常数。 常见模型：直线过定点、斜率之和/积为定值、距离比值为定值。 2.解题步骤 ①引入参数表示直线或者动点； ②定点：整理成参数·式子常数式，令每一部分等于0，解定点坐标； ③定值：把目标代数式用参数表达，化简，参数全部消去，得到常数； ④大题可以特殊值先猜出定点/定值，再一般情况证明。 3.易错提醒 只算特殊情形得到定点定值，缺少一般性证明；忽略直线斜率不存在的特殊情况。 【例11】（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知点M，N的坐标分别为和，动点Q满足到点M的距离是它到点N的距离的2倍，动点Q的轨迹为曲线E，曲线E与y轴的交点分别为点．点P是直线上的一个动点，直线PS，PT分别与曲线E相交于A，B两点（均与S，T不重合）． (1)若是等腰三角形，求点P的坐标； (2)①设直线PS，PT的斜率为，求的值； ②求证：直线AB过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形ASBT面积的最大值． 【答案】(1)或 (2)①或；②，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出点Q的轨迹方程，令，设点，再由是等腰三角形得到 ，由此列出方程，即可求出点P的坐标； （2）①表示出直线PS和PT的斜率，，得到，即可求出的值；②由题意知，可得 ，设直线的方程为， 并将其代入曲线中，利用韦达定理及求出值，即可证明直线AB过定点； （3）用两个三角形面积之和及韦达定理表示出四边形ASBT的面积，令，即可利用的范围求出四边形ASBT面积的最大值. 【详解】（1） 设点，由题意可知，即 ， 两边平方整理得可得点Q的轨迹方程为. 由对称性不妨令，设点，设直线与轴交于点. 因为，，所以，， 所以若是等腰三角形，则 ，解得， 所以点P的坐标为或； （2） ①若，， 则直线PS的斜率 ，直线PT的斜率 ，则有， 又直线PS，PT的斜率为，所以 ； 若，同理可得 ； ②由题意知，所以直线SB的斜率 ，即 ， 设，设直线的方程为， 将其代入曲线中，消去可得， 则 ，即，               则 ， 因为 ， 整理可得 ， 则 ， 由，可解得，此时恒成立， 所以直线AB恒过定点； （3） 由（2）得 ， 则 ， 令，则 ， 因为 ，所以当，取得最大值3， 即四边形ASBT面积的最大值为，此时，直线AB的方程为. 【变式11-1】（2026高二·江苏·专题练习）已知圆C过点，且与直线相切于点 (1)求圆C的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求t的值； (3)已知点，在直线AC上是否存在异于的定点，使得对圆C上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2) (3)存在，， 【分析】（1）利用圆的切线性质，结合给定条件，列式求出圆心坐标即可得圆的方程. （2）将直线的方程与圆的方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示求出值. （3）设出点坐标，利用两点间距离公式列式并化简，借助恒成立建立方程组求解即得. 【详解】（1）过点与直线垂直的直线方程为， 则，解得，依题意，圆的圆心在直线上， 设圆心，则， 解得，因此圆心为，半径，所以圆C的方程为. （2）设，则， 由，得，，解得， 则，， 因此，解得.，所以. （3）假设在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，有（为正常数）， 由点在直线上，设，，设，则， ， 则，而，解得，， 所以存在满足条件的定点，此时. 【变式11-2】（2026高二·湖南常德·期中）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1)或. (2)①； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 【分析】（1）根据题意可知圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①由是线段的中点，可得，即，进而可得的轨迹方程；②设直线的方程为，设，将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②略 【变式11-3】（2026高二·上海·阶段检测）已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 【答案】(1) (2)证明： 曲线的方程为， 曲线为圆心为，半径为，如下图所示：    设过 的弦交曲线于点，则点是弦的中点，故，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， 的斜率为，直线方程为， 联立直线方程，则点， ，，故点， ， ， ，故恒为定值； 当直线斜率不存在时，方程为，则直线与直线平行，此时交点不存在，不符合题意． 恒为定值． 【分析】（1）利用已知条件结合两点间距离公式求出曲线的方程； （2）根据直线与圆的位置关系，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合两点间距离公式求出，进而求出为定值． 【详解】（1）设点，， ，即， 化简整理得， 曲线的方程为 （2）略. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线与圆的综合应用11种常见考法归类 （题型突破·举一反三） 题型 01 直线与圆的位置关系的判断 题型 02 弦长与面积问题 题型 03 切线问题、切线长问题 题型 04 切点弦问题 题型 05 圆上的点到直线距离个数问题 题型 06 圆中的最值（范围）问题 题型 07 圆与圆的位置关系 题型 08 两圆的公共弦问题 题型 09 两圆的公切线问题 题型 10 韦达定理的应用 题型 11 圆的定点和定值问题 ▌题型01 直线与圆的位置关系的判断 1.核心逻辑 通过圆心到直线的距离与半径大小比较判断位置；也可联立方程，利用判别式判断。 相离；相切；相交。 2.解题步骤 ①从圆方程读出圆心、半径； ②计算圆心到直线距离； ③比较和大小，判定相交、相切、相离； ④充要条件题型，分别验证充分性、必要性。 > 代数法备选：联立直线与圆方程，相交；相切；相离。 3.易错提醒 圆一般式忘记配方找圆心半径；充要条件题只单向推导；计算距离时分母遗漏。 【例1】（26-27高三·四川·阶段检测）已知直线：，圆：，则“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【变式1-1】（26-27高三·湖南衡阳·开学考试）已知圆：，点关于直线：的对称点在圆上，则（） A．与圆相交 B．与圆相切 C．与圆相离 D．以上都有可能 【变式1-2】（26-27高三·四川·开学考试）已知圆：，直线：，若与相切，则________． 【变式1-3】（26-27高三·广西南宁·开学考试）已知直线与圆相切，则（     ） A． B． C．或 D． 或 ▌题型02 弦长与面积问题 1.核心逻辑 垂径定理：半弦长、弦心距、半径构成直角三角形；。 过圆内定点动弦：直径最长；与定点‑圆心连线垂直时弦最短。 三角形面积：（弦长，圆心到弦距离）。 2.解题步骤 ①确定圆心、半径，求圆心到直线距离； ②代入垂径公式求弦长； ③动弦问题：先找直线恒过定点，判断定点在圆内还是圆外； ④结合公式计算弦长或者三角形面积。 3.易错提醒 垂径定理用成全弦长，漏掉系数2；定点在圆外，不存在最短弦。 【例2】（26-27高三·湖南岳阳·阶段检测）直线 被圆 截得的弦长为______. 【变式2-1】【多选】（26-27高三·湖北·阶段检测）已知圆：，直线：（），下列选项正确的有（     ） A．圆的圆心坐标为，半径为5 B．直线恒过定点 C．当时，直线与圆相离 D．直线被圆截得的弦长最小值为 【变式2-2】（湖南永州市2026-2027学年高三学期第一次模拟考试数学试题）直线（）与圆相交所得的弦长为，则（ ） A．1 B． C．2 D．3 【变式2-3】（2026·山东临沂·模拟预测）直线与圆交于，两点，且的面积为2，则________． ▌题型03 切线问题、切线长问题 1.核心逻辑 切线：圆心到切线距离等于半径； 圆上一点切线：半径与切线互相垂直； 圆外一点切线长：勾股定理 ，圆心，圆外点，切点。 2.解题步骤 ①判断点在圆上还是圆外； ②点在圆上：利用垂直求斜率，写切线方程； ③点在圆外：设切线方程，分斜率存在、不存在两类；利用列方程求斜率； ④切线长：直接代入勾股公式，不用求切线方程。 3.易错提醒 漏掉斜率不存在的竖直切线；把圆上点当成圆外点计算切线长。 【例3】（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【变式3-1】【多选】（2026·广东佛山·模拟预测）过点作圆：的切线，则的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆，过点作圆的切线，则切线长为______． 【变式3-3】（26-27高三·四川成都·开学考试）若直线l与圆，圆都相切，切点分别为A、B，则__________. ▌题型04 切点弦问题 1.核心逻辑 圆外一点向圆引两条切线，两个切点连成的直线叫切点弦。 两种常用方法：①直接记住切点弦公式；②构造以为直径的辅助圆，两圆方程相减得到切点弦。 2.解题步骤 ①已知圆外点，写出切点弦直线方程； ②动点引出切点弦：用参数表示，得到含参切点弦，消参求直线过定点； ③需要弦长，再用垂径定理计算。 3.易错提醒 点必须在圆外才有切点弦；混淆切点弦和切线方程。 【例4】（2026高三·全国·专题练习）已知点在直线上运动，过点作圆的切线，切点为，直线过定点______． 【变式4-1】（2026·福建漳州·模拟预测）过作圆的两条切线，设切点分别为，则直线的方程为___________． 【变式4-2】（2026高三·安徽·期末）已知圆：（圆心为点），动点在直线：上，过点向圆作两条切线，切点分别为，；直线和相交于点，则点到直线的距离的最小值为______． 【变式4-3】（2026高二·山东枣庄·阶段检测）已知圆，点在直线上运动，直线与圆相切，切点为，当最小时，弦所在直线的斜率为___________． ▌题型05 圆上的点到直线距离个数问题 1.核心逻辑 已知圆心到直线距离，作两条和已知直线平行、距离为给定值的直线，看这两条平行线和圆的交点总个数。 2.解题步骤 ①求圆心到已知直线距离，读出半径； ②比较、、的大小； ③判断两条辅助平行线与圆相交、相切、相离情况，统计交点数量； ④已知点的个数反求参数，列不等式求解。 3.易错提醒 直接凭感觉判断点的个数，不作辅助平行线分析；忽略相切只算一个公共点。 【例5】（26-27高二·浙江·开学考试）已知圆（）上到直线的距离为1的点有且仅有3个，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（26-27高三·安徽合肥·阶段检测）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】【多选】（26-27高二·江苏南京·阶段检测）下列结论正确的是（     ） A．若直线与圆相交，则点在圆的外部 B．直线被圆所截得的最短弦长为 C．若圆上有4个不同的点到直线的距离为1，则有 D．若过点作圆的切线只有一条，则切线方程为 【变式5-3】（2026·广东广州·模拟预测）已知圆上的点到直线的距离为，则点个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ▌题型06 圆中的最值（范围）问题 1.核心逻辑 几何优先：圆上点到定点距离最值；圆上点到直线距离最值； 斜率、截距最值临界是相切； 折线距离可结合将军饮马做对称；也可以用圆的参数方程三角换元代数求值域。 2.解题步骤 ①分清动点：是圆上动点、还是直线上动点； ②优先几何法，利用圆心半径直接写最值； ③几何不好算，使用圆参数方程转化三角函数； ④多圆组合，转化圆心之间距离分析。 3.易错提醒 分不清动点位置，乱套；取最值的条件忽略。 【例6】（2026·湖南长沙·模拟预测）已知直线经过点，则点到直线的距离最小为_____． 【变式6-1】【多选】（2026·山东聊城·模拟预测）已知点是圆上的动点，点，为坐标原点，则下列结论正确的有（    ） A．过点的直线被圆截得的最短弦长为4 B．的最大值为7 C． D．对任意实数的最小值为2 【变式6-2】【多选】（2026·广东广州·模拟预测）在平面直角坐标系中，为直线上的动点，点分别在上，连接，下列说法正确的有（   ） A．过点作的一条切线，切点为，则的取值范围为 B．直线是和的一条公切线 C．的最小值为 D．连接，则的最小值为 【变式6-3】（2026·江苏·模拟预测）已知圆，是直线上一点，以为直径的圆与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．2 B． C． D．3 ▌题型07 圆与圆的位置关系 1.核心逻辑 两圆圆心距，半径 外离：；外切：； 相交：； 内切：；内含：。 圆关于直线对称 ⇒ 圆心关于这条直线对称，半径不变。 2.解题步骤 ①两圆都化为标准方程，读出圆心、半径； ②计算圆心距； ③对比半径和、半径差，判断位置； ④对称类题目：求圆心对称点，半径不变写出新圆。 3.易错提醒 相交的条件写成，漏掉下限；对称时改动半径。 【例7】（2026高二·福建厦门·阶段检测）已知圆：（）关于直线对称，圆：，则圆与圆的位置关系是（    ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 【变式7-1】【多选】（2026高二·广西梧州·期末）已知圆：，则下列说法正确的有（     ） A．点在圆内 B．直线截圆所得的弦长为 C．圆：与圆外离 D．圆在点处的切线方程为 【变式7-2】【多选】（26-27高三·广东湛江·开学考试）已知圆：与圆：有公共点，则（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的最大值为 【变式7-3】（26-27高三·福建泉州·开学考试）若圆与圆无公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． ▌题型08 两圆的公共弦问题 1.核心逻辑 两圆相交，把两个圆一般方程直接相减，得到公共弦所在直线方程；再用垂径定理求公共弦长。 注意：只有两圆相交，相减得到的才是公共弦；两圆相切，相减得到公切线。 2.解题步骤 ①两圆化为一般式，方程左右对应相减，得到公共弦直线； ②取其中一个圆，计算这个圆圆心到公共弦直线距离； ③垂径定理求公共弦长。 3.易错提醒 两圆不相交，仍然强行使用相减得到的直线当作公共弦；忘记用其中一个圆来算弦长。 【例8】【多选】（26-27高三·河北唐山·开学考试）圆：，圆：，则下列说法正确的有（   ） A．圆的半径为2 B． C．直线与两圆都相切 D．两圆公共弦所在直线的方程为 【变式8-1】（26-27高三·浙江嘉兴·开学考试）已知圆：，圆：，则与的公共弦所在的直线方程为___________． 【变式8-2】已知圆与圆交于两点，若点在直线上，则实数的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【变式8-3】（2026高三·河南驻马店·阶段检测）已知圆与，则圆与圆的公共弦长为________． ▌题型09 两圆的公切线问题 1.核心逻辑 公切线条数判断：外离4条；外切3条；相交2条；内切1条；内含0条。 外公切线：两圆在切线同一侧；内公切线：两圆分处切线两侧。 等半径两圆外公切线互相平行；公切线段长可以构造直角梯形勾股计算。 2.解题步骤 ①先由圆心距、半径判断两圆位置，预判公切线总条数； ②设公切线方程，利用两个圆心到直线距离分别等于各自半径列方程求解； ③求公切线段长度，构造直角三角形计算。 3.易错提醒 漏算斜率不存在公切线；位置关系判断错误，对公切线条数预判出错。 【例9】（2026高三·广东深圳·阶段检测）若圆与圆有四条公切线，则实数的取值范围为_______. 【变式9-1】【多选】（2026·新疆乌鲁木齐·模拟预测）已知圆和圆，则下列直线与两圆都相切的是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2026高二·四川资阳·期末）已知圆经过点，半径小于5，圆心在直线上，直线与相切；圆与圆关于直线对称． (1)求圆的方程； (2)求圆与圆的公切线的条数，并求公切线段的长度． 【变式9-3】【多选】（2026高二·浙江湖州·阶段检测）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 ▌题型10 韦达定理的应用 1.核心逻辑 直线和圆相交，联立方程得到一元二次方程，设交点，用韦达定理、，不去求根，整体处理：垂直、斜率关系、向量条件、定点问题。 看到“以弦为直径的圆过某点”等价转化：该点与弦两端点连线互相垂直，。 2.解题步骤 ①设直线方程，注意讨论斜率存在、不存在； ②联立直线与圆，整理一元二次方程；判别式保证有两个交点； ③写出韦达定理，； ④把题目条件（垂直、斜率互为相反数、向量共线）全部转化为的关系式； ⑤整体代入韦达结果求解参数。 3.易错提醒 忽略判别式，得到增根；条件翻译错误，垂直条件写错。 【例10】（26-27高二·重庆沙坪坝·开学考试）已知圆方程为，点，点是圆上的动点，点为线段的中点． (1)求点的轨迹方程； (2)记点的轨迹为曲线，过点作曲线的两条切线，切点分别为点和点，求直线的方程及弦长； (3)过点作直线与曲线交于，两点，在轴上是否存在一点，使得轴总是平分？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式10-1】（2026高二·贵州·阶段检测）过点作圆的两条切线，切点分别为. (1)求直线AB的方程； (2)已知直线过点且与直线AB平行，为直线上的动点，求的最小值． 【变式10-2】（2026高二·广东佛山·阶段检测）已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)圆与直线：交于，两点，以弦为直径的圆过点，求直线的斜率. 【变式10-3】（2026高二·甘肃兰州·期末）已知圆的圆心在直线上，过点的直线与圆相交于两点． (1)求圆的方程； (2)当时，求直线的方程； (3)若点，是否存在直线，使得向量与共线？如果存在，求出直线的方程；如果不存在，请说明理由． ▌题型11 圆的定点和定值问题 1.核心逻辑 定点：含参直线，无论参数怎么变，恒过固定点；方法：分离参数，令参数系数等于0。 定值：不管动点如何变化，某个代数式恒等于常数；方法：参数表示代数式，化简消掉参数得到常数。 常见模型：直线过定点、斜率之和/积为定值、距离比值为定值。 2.解题步骤 ①引入参数表示直线或者动点； ②定点：整理成参数·式子常数式，令每一部分等于0，解定点坐标； ③定值：把目标代数式用参数表达，化简，参数全部消去，得到常数； ④大题可以特殊值先猜出定点/定值，再一般情况证明。 3.易错提醒 只算特殊情形得到定点定值，缺少一般性证明；忽略直线斜率不存在的特殊情况。 【例11】（2026·湖南岳阳·模拟预测）已知点M，N的坐标分别为和，动点Q满足到点M的距离是它到点N的距离的2倍，动点Q的轨迹为曲线E，曲线E与y轴的交点分别为点．点P是直线上的一个动点，直线PS，PT分别与曲线E相交于A，B两点（均与S，T不重合）． (1)若是等腰三角形，求点P的坐标； (2)①设直线PS，PT的斜率为，求的值； ②求证：直线AB过定点，并求出定点坐标； (3)求四边形ASBT面积的最大值． 【变式11-1】（2026高二·江苏·专题练习）已知圆C过点，且与直线相切于点 (1)求圆C的方程； (2)若直线与圆相交于两点，且，求t的值； (3)已知点，在直线AC上是否存在异于的定点，使得对圆C上任意一点，都有（为常数）？若存在，求出点的坐标及的值；若不存在，请说明理由. 【变式11-2】（2026高二·湖南常德·期中）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【变式11-3】（2026高二·上海·阶段检测）已知平面上定点和，动点满足，记点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点在曲线上运动，记点为过D、B两点的弦的中点，若直线DB与直线交于点，证明：恒为定值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线与圆的综合应用11种常见考法归类 ▌题型01 直线与圆的位置关系的判断 【例1】【答案】A 【详解】由圆的方程得：圆心坐标为，半径， 点到直线：的距离为. 分析充分性： 若， 则，则直线与圆相切，充分性成立. 分析必要性： 若直线与圆相切，则， 即， 解得或，必要性不成立. 综上，”是“直线与圆相切”的充分不必要条件. 【变式1-1】【答案】C 【分析】先找出对称轴上的定点，由对称性质得该定点到距离相等，写出的轨迹圆；再将轨迹圆与已知圆联立求交点，得到点坐标；计算圆心到直线的距离，对比半径判断直线与圆的位置关系. 【详解】∵圆，∴圆心，半径； 关于直线对称，且原点在直线上， ，， 则，故在圆上， 联立，解得，， ， ∵，∴，得， 所以直线方程为， 圆心到直线的距离：， ，直线与圆相离. 【变式1-2】【答案】 【分析】先从圆方程读出圆心与半径，利用直线与圆相切时圆心到直线距离等于半径这一核心关系，套用点到直线距离公式列式，化简求解参数． 【详解】圆：的圆心，半径， 圆心到直线：的距离， 因为直线与圆相切，所以， 即，解得． 【变式1-3】【答案】B 【分析】由直线与圆的位置关系列出方程求解即可. 【详解】因为圆的圆心，半径， 由题意可得， 整理得， 解得. ▌题型02 弦长与面积问题 【例2】【答案】 【分析】根据圆的标准方程，结合弦心距公式求解即可. 【详解】圆 的圆心 ，半径 . 圆心到直线的距离 . 所以所求的弦长 . 【变式2-1】【答案】ABD 【详解】对于A：圆C方程配方整理得. 圆心为，半径，故A正确； 对于B：直线方程变形为. 令且，解得，故直线恒过定点，故B正确； 对于C：定点到圆心的距离为， 定点在圆内部，故对任意，直线与圆恒相交，故C错误； 对于D：当直线时，直线被圆截得的弦长最短，最小弦长为.故D正确． 【变式2-2】【答案】C 【分析】先求圆心到直线的距离，再结合弦长的一半、距离、圆半径满足勾股定理列方程求解正数即可. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径， 则圆心到直线 的距离为， 因此有 ，代入得，化简得 ， 即 ，解得，结合的条件，得. 【变式2-3】【答案】3或 【详解】圆化为标准形式，圆心，半径； 面积（为圆心到直线的距离）， 由，得，即，解得； 圆心到直线的距离，即，解得或． ▌题型03 切线问题、切线长问题 【例3】【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 【变式3-1】【答案】AC 【分析】先判断点在圆外，分斜率不存在、斜率存在两种情况设切线方程，利用圆心到直线距离等于半径求解切线. 【详解】将代入圆的方程左侧得，故点在圆外，存在两条切线. 当斜率不存在时：直线，过，圆心距，切线：； 当斜率存在时，设，即. 由圆心到切线距离等于半径：，两边平方： ，整理得. 代入得，化简得. 综上所述，切线方程为或. 【变式3-2】【答案】 【详解】由题可知圆的圆心为、半径为，且， 过点作圆的切线，设切点为A， 则切线长. 【变式3-3】【答案】 【分析】利用三角形相似进行求解. 【详解】圆半径为1，圆心为，圆半径为2，圆心为，画图如下： 由题意得：，， 因为，，所以，且相似比为：， 所以，则，，， 所以 ▌题型04 切点弦问题 【例4】【答案】 【分析】先求出切点弦的方程，再联立已知直线方程进行消参，最后求出定点坐标. 【详解】设，则， 过点作圆的切点弦方程为， 联立，得， 当时，即，无论如何变化， 恒等于0，所以直线过定点.    【变式4-1】【答案】 【详解】解法一：由图可知，， 所以，所以直线方程为． 解法二：，所以四点均在以为直径的圆上，圆心为，半径为，故圆方程为， 由，得，所以直线方程为． 解法三：直线方程为，即， 故答案为． 【变式4-2】【答案】 【分析】设，得出直线方程，通过分析得出直线过定点, 点在以为直径的圆上，点到直线的距离等于点到直线的距离 减去圆的半径. 【详解】依题意，将圆化为标准式：， ，，设， 则直线为： 直线恒过点 ，点在以为直径的圆上， ，，：， 点到直线的距离为， 点到直线的距离． 【变式4-3】【答案】1 【分析】根据给定条件，利用切线长定理确定直线与直线的位置关系，再求出直线的斜率. 【详解】由直线与圆相切，得，且， 当且仅当最小时，最小，此时，因此， 所以直线的斜率. 故答案为：1 ▌题型05 圆上的点到直线距离个数问题 【例5】【答案】C 【分析】应用已知条件结合点到直线距离列式计算求解. 【详解】圆心到直线的距离， 结合圆上到直线距离为1的点有且仅有3个，可得. 【变式5-1】【答案】A 【分析】根据题意得到以为圆心，以为半径的圆与圆相交，进而得到，转化为圆的圆心到直线的距离小于列不等式，由此求得的取值范围. 【详解】因为圆上恰有两个点与点的距离都为2， 所以以为圆心，以为半径的圆与圆相交， 因为圆的圆心为，半径为， 所以，即， 所以直线上至少存在一点使得， 所以点到直线的距离小于， 即，解得， 所以的取值范围是. 【变式5-2】【答案】ABD 【分析】对于A，直线与圆相交，说明圆心到直线距离小于半径；对于B，化简直线方程可知该直线过定点，圆心到该定点的距离即圆心到该动直线距离的最小值，再利用勾股定理，可求弦长最小值；对于C，圆上有四点到直线距离为1，说明平行于该直线且距离为1的两直线均与圆相交；对于D，过某点作圆的切线只有一条，说明该点在圆上. 【详解】对于A，直线与圆相交， 所以，即，因此点在圆的外部，故A正确； 对于B，直线方程变形得，，可知该直线必过定点， 因此圆心到直线的距离的最小值为， 此时该直线被圆所截的弦最短，弦长为，故B正确； 对于C，到直线距离为且平行的直线分别为和， 圆心到直线的距离为，到的距离为， 该圆要与直线距离为的点有四个，等价于与和分别有两个交点， 所以半径需满足，，即，故C错误； 对于D，过点作圆的切线只有一条，则点在圆上，代入可得圆， 过点的半径所在直线的斜率为，故切线的斜率为， 则切线方程为，即，故D正确. 【变式5-3】【答案】D 【详解】圆，圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为, ， 所以直线与圆相交， 又因为， 所以圆上到直线的距离为1的点有4个. 如图所示： ▌题型06 圆中的最值（范围）问题 【例6】【答案】/ 【分析】根据题意，求得，结合圆心到直线的距离和圆的性质，即可求解. 【详解】由点在直线上，可得， 整理得，即，即在以为圆心，半径的圆上， 则圆心到直线的距离为， 根据圆的性质，可得点到直线的距离最小值为. 【变式6-1】【答案】AC 【分析】根据过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短，结合弦长公式，可判定A正确；根据圆的性质，可判定B错误；作向量在上的投影向量，利用向量数量积的定义，结合圆的性质求解，或采用向量的数量积的坐标表示，结合直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，列出不等式或方程，也可判定C正确，D不正确. 【详解】由圆的方程，可得圆心，半径． 对于A，因为，可得 所以点在圆内，且， 当过点的直线与直线垂直时，被圆截得的弦最短， 则被截得的最短弦长为，所以A正确． 对于B，因为，可得点在圆外，且， 由圆的性质，可得的最大值为，所以B错误； 对于C，方法一：如图，作向量在上的投影向量， 则， 因为，即， 所以，所以C正确． 方法二：设，则，因为，可得． 设，则直线与圆有公共点， 则满足，解得，所以C正确． 对于D，方法一：对任意实数，向量与共线， 设，则点在直线上，， 则的最小值为圆心到直线的距离， 因为点，所以直线的方程为， 所以圆心到直线的距离为，所以D错误． 方法二：因为，可得， 所以， 当时，，所以D错误． 【变式6-2】【答案】BC 【分析】求出和的圆心和半径，求出到直线的距离，选项A，过点作的一条切线，切点为，则，则利用求出的取值范围；选项B，求出点到直线的距离，求出点到直线的距离，从而得到结论；选项C，的最小值为点到直线的距离减去，从而得到结论；选项D，求出关于直线的对称点为，求出，连接，线段与直线的交点就是使得取最小值的点，从而得到的最小值. 【详解】，，的半径为， ，，的半径为， 设到直线的距离为， 选项A，过点作的一条切线，切点为， 则， 则， 故的取值范围为，故选项A错误； 选项B，， 点到直线的距离为 ， ， 点到直线的距离为 ， ， 故直线是和的一条公切线，故选项B正确； 选项C，的最小值为点到直线的距离减去， 点到直线的距离为， 则的最小值为，故选项C正确； 选项D，设关于直线的对称点为， 则，解得，故， 连接，， 设为直线上的任意一点， , 则线段与直线的交点就是使得取最小值的点， 则的最小值为，故选项D错误. 【变式6-3】【答案】C 【详解】在以为直径的圆上，， 故， ，． ▌题型07 圆与圆的位置关系 【例7】【答案】B 【分析】圆关于直线对称时，圆心必在该直线上．先由此求出 ，进而确定圆 的圆心和半径；再求两圆圆心距，与两圆半径之和、之差比较，判断两圆的位置关系． 【详解】圆 的圆心为 ． 因为圆 关于直线 对称，所以圆心在该直线上，故解得 ． 所以即 故圆 的圆心为 ，半径 ； 圆 的圆心为 ，半径 ． 两圆圆心距 又 ，因此 ，所以圆 与圆 外切． 【变式7-1】【答案】ACD 【分析】对于A，将点代入圆方程，可判断选项正误；对于B，算出直线到圆心距离，再由弦长公式可判断选项正误；对于C，比较两圆圆心距与两圆半径和大小关系可判断选项正误；对于D，利用切线过且和垂直可得切线方程，从而判断选项正误. 【详解】对于A，将点代入圆方程得：，所以点在圆内，A正确； 对于B，直线到圆心距离为，则直线截圆O所得的弦长为：，故B错误； 对于C，两圆圆心距为，两圆半径和为，从而两圆外离，故C正确； 对于D，易得在圆上，且在A点处切线与垂直.，则切线斜率为，切线方程为：，故D正确. 【变式7-2】【答案】BC 【分析】由圆，圆的方程确定两圆的圆心和半径，结合条件可得，解不等式求的范围即可. 【详解】由题得圆：的圆心为，半径为； 圆：的圆心为，半径为； 因为圆与圆有公共点， 所以，又， 所以 由，可得， 由可得， 所以， 所以的最小值为，最大值为. 【变式7-3】【答案】A 【分析】先将两圆方程化为标准方程得到圆心与半径，再根据两圆无公共点对应外离或内含的位置关系，列不等式求解的取值范围． 【详解】圆化为标准式： 圆心，半径, 圆，圆心，半径， 两圆无公共点，即外离或内含， 圆心距， 若两圆外离，则，即，解得或； 若两圆内含，则，无解． 因此两圆无公共点的条件是． ▌题型08 两圆的公共弦问题 【例8】【答案】AC 【详解】圆：，圆心，半径， 圆：，即， 圆心，半径，故选项A正确； ，故选项B错误； 直线与两圆都相切， 直线与圆相切圆心到直线距离等于半径， 点到直线距离：， 对：，相切， 对：，相切， 直线和两圆都相切，故选项C正确； 两圆公共弦所在的直线的方程： ，化简得：， 公共弦方程是，故选项D错误. 【变式8-1】【答案】 【详解】圆 的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径， 则，， 所以圆与圆相交， 将圆和圆方程相减可得， 所以圆与圆的公共弦所在的直线方程为. 【变式8-2】【答案】A 【分析】两圆方程相减可得直线的方程，代入点，可得的关系式，利用函数单调性可求答案. 【详解】两圆方程相减得，，令，则. 由两圆相交知，，解得， 又，则，易得在上单调递增， 且，所以. 【变式8-3】【答案】 【分析】将两圆方程作差得到公共弦所在直线的方程，再利用点到直线距离公式和勾股定理求弦长即可. 【详解】将两圆方程作差得公共弦所在直线的方程， 圆，其圆心，半径， 则圆心到直线的距离为，则两圆的公共弦长为． ▌题型09 两圆的公切线问题 【例9】【答案】 【详解】因为两圆有四条公切线，故两圆相离， 而可化为，故此圆的圆心为，半径为， 可化为， 故此圆的圆心为，半径为， 所以，故. 【变式9-1】【答案】BCD 【详解】圆，其圆心，半径， 圆，其圆心，半径， ，所以两圆外切，有3条公切线， 由，其中两条外公切线与直线平行， 又，设外公切线方程为， 则到直线的距离，解得， 所以两条外公切线方程为和； 内公切线过的中点，且与直线垂直，其斜率为， 其方程为，即. 【变式9-2】【答案】(1) (2)条， 【分析】（1）设圆心坐标，根据圆心到切线的距离等于半径，圆上点到圆心的距离也等于半径，列出方程，得出圆心坐标及半径，再根据对称得出答案； （2）先确定两圆的位置关系，再利用公切线长度公式即可求得答案. 【详解】（1）设圆的圆心为，由题意可列方程：，解得或（舍）. 所以圆的圆心为，半径.圆的圆心关于直线对称点为. 因此，圆的方程为： （2）圆心距，因为，所以两圆相交，有2条公切线. 对于半径相等的两圆，外公切线段长度公式为：，代入得， 故有2条公切线，且公切线段长度为. 【变式9-3】【答案】BCD 【分析】对于A，由圆的方程明确圆心与半径，利用圆心距与半径差和的大小关系，可得其正误；对于B，根据圆的性质，可得圆上点的位置，可得其正误；对于C，根据圆切线的性质，结合直角梯形的性质以及勾股定理，可得其正误；对于D，联立两圆的方程，作差化简，可得其正误. 【详解】对于A，由圆可知圆心与半径， 圆可知圆心与半径， 因为，且，即，所以两圆相交，故A错误； 对于B，由圆的性质可知，故B正确； 对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确； 对于D，联立方程可得，即， 两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. ▌题型10 韦达定理的应用 【例10】【答案】(1) (2)， (3)存在， 【分析】（1）法一利用中点性质求出，再代入中求解轨迹方程，法二结合相似的性质得到，再结合圆的定义求出轨迹方程即可. （2）先讨论直线的斜率是否存在，再利用直线与圆的位置关系求出直线方程，进而求出交点坐标和弦长即可. （3）对直线斜率是否存在进行讨论，并结合题意得到，进而得到，进而求解出定点即可. 【详解】（1）法一：设点坐标为， 因为点坐标为，点为线段的中点，所以， 又因为点在圆上，代入圆的方程得 化简得，故点的轨迹方程为， 法二：设圆心与点连线的中点为点， 如图，作出符合题意的图形， 因为点为的中点，为的中点，所以， 因为，所以， 则，可得点轨迹为以为圆心，以2为半径的圆， 故轨迹方程为． （2）当过点的直线斜率不存在时，不可能与圆有交点，故舍去； 如图，作出符合题意的图形， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 当直线与圆相切时，圆心到直线距离等于半径2， 可得，解得， 此时直线方程为，联立可得， 解得，，所以点和点坐标为，， 故直线的方程为， （3）存在，点坐标为，证明如下， 不妨设点坐标为，交点，点坐标为，， 当过点的直线斜率不存在时，直线方程为， 联立方程组，解得，， 则与圆的交点为和，可得轴上任意一点均满足题意， 当过点的直线斜率存在时，设直线方程为， 如图，作出符合题意的图形， 联立方程组，化简得， 由韦达定理可知， 又因为轴平分，所以直线和直线的斜率互为相反数： 可得，即， 将直线方程代入，化简得到 代入韦达定理结果得， 化简得，即，解得， 综上所述，点坐标为，得证． 【变式10-1】【答案】(1) (2) 【分析】（1）构造出辅助圆，通过两圆方程相减得到公共弦； （2）设出相关点坐标表示出向量数量积，再联立圆与直线方程，结合韦达定理得到坐标间关系，进而求出最小值. 【详解】（1）由得， 所以圆心，半径， 设切点，则， 即在以为直径的圆上， 又的中点为，， 所以以为直径的圆的方程为， 将两圆方程相减：， 整理并化简得：， 所以直线AB的方程为； （2）由（1）和题意可知直线的方程为：， 设，则，， 所以， 因为在圆上，所以，， 且在直线上，满足， 联立圆与直线的方程：， 消并化简可得：， 所以， 所以，， 所以 ， 所以当时，取得最小值为. 【变式10-2】【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由求得圆心坐标，进而可求解； （2）联立直线方程和圆的方程，结合韦达定理由，即可求解. 【详解】（1）由圆心在直线上，设， 由题意可得， 即， 化简可得：，即， 则， 故圆的半径为， 则圆的方程为 （2）设， 联立直线与圆方程， 得， 消去化简可得， 由韦达定理可得：， 因为以弦为直径的圆过点， 所以，即， ， 所以， 代入， 化简可得：， 代入韦达定理可得： ， 化简得：， 解得或 即直线方程为或， 故直线的斜率为或. 【变式10-3】【答案】(1) (2)或 (3)存在， 【分析】（1）由圆，得圆心的坐标为，代入直线求得的值，即可得到圆的方程； （2）分斜率不存在与斜率存在两种情况，设直线的方程，根据圆心到直线的距离与弦长的关系，确定直线的方程； （3）假设存在直线，使得向量与共线.当直线的斜率不存在时，写出的坐标，可利用向量坐标判断向量与不共线；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立圆的方程，用表示向量，根据向量与共线，求出的值，即可得到直线的方程. 【详解】（1）圆的圆心的坐标为， 将其代入直线得，解得. 即圆的方程为. （2）圆的标准方程为，设弦的中点为，则. ①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，圆心到直线的距离为，所以，符合题意． ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 因为，所以，则圆心到直线的距离，解得. 此时直线的方程为， 故直线的方程为或． （3）因为，所以． ①当直线的斜率不存在时，易知. ，所以与不共线，不符合题意； ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为. 由，得， 可得. 所以， 所以， 则， 所以． 若向量与共线，则， 即，解得或， 当时，，舍去， 当时，. 所以存在直线，使得向量与共线，且直线的方程为，即.    ▌题型11 圆的定点和定值问题 【例11】【答案】(1)或 (2)①或；②，证明见解析 (3) 【分析】（1）先求出点Q的轨迹方程，令，设点，再由是等腰三角形得到 ，由此列出方程，即可求出点P的坐标； （2）①表示出直线PS和PT的斜率，，得到，即可求出的值；②由题意知，可得 ，设直线的方程为， 并将其代入曲线中，利用韦达定理及求出值，即可证明直线AB过定点； （3）用两个三角形面积之和及韦达定理表示出四边形ASBT的面积，令，即可利用的范围求出四边形ASBT面积的最大值. 【详解】（1） 设点，由题意可知，即 ， 两边平方整理得可得点Q的轨迹方程为. 由对称性不妨令，设点，设直线与轴交于点. 因为，，所以，， 所以若是等腰三角形，则 ，解得， 所以点P的坐标为或； （2） ①若，， 则直线PS的斜率 ，直线PT的斜率 ，则有， 又直线PS，PT的斜率为，所以 ； 若，同理可得 ； ②由题意知，所以直线SB的斜率 ，即 ， 设，设直线的方程为， 将其代入曲线中，消去可得， 则 ，即，               则 ， 因为 ， 整理可得 ， 则 ， 由，可解得，此时恒成立， 所以直线AB恒过定点； （3） 由（2）得 ， 则 ， 令，则 ， 因为 ，所以当，取得最大值3， 即四边形ASBT面积的最大值为，此时，直线AB的方程为. 【变式11-1】【答案】(1)； (2) (3)存在，， 【分析】（1）利用圆的切线性质，结合给定条件，列式求出圆心坐标即可得圆的方程. （2）将直线的方程与圆的方程联立，利用韦达定理，结合数量积的坐标表示求出值. （3）设出点坐标，利用两点间距离公式列式并化简，借助恒成立建立方程组求解即得. 【详解】（1）过点与直线垂直的直线方程为， 则，解得，依题意，圆的圆心在直线上， 设圆心，则， 解得，因此圆心为，半径，所以圆C的方程为. （2）设，则， 由，得，，解得， 则，， 因此，解得.，所以. （3）假设在直线上存在异于的定点，使得对圆上任意一点，有（为正常数）， 由点在直线上，设，，设，则， ， 则，而，解得，， 所以存在满足条件的定点，此时. 【变式11-2】【答案】(1)或. (2)①； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 【分析】（1）根据题意可知圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①由是线段的中点，可得，即，进而可得的轨迹方程；②设直线的方程为，设，将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②略 【变式11-3】【答案】(1) (2)证明： 曲线的方程为， 曲线为圆心为，半径为，如下图所示：    设过 的弦交曲线于点，则点是弦的中点，故，当直线斜率存在时，设直线的斜率为，则直线方程为， 的斜率为，直线方程为， 联立直线方程，则点， ，，故点， ， ， ，故恒为定值； 当直线斜率不存在时，方程为，则直线与直线平行，此时交点不存在，不符合题意． 恒为定值． 【分析】（1）利用已知条件结合两点间距离公式求出曲线的方程； （2）根据直线与圆的位置关系，分直线的斜率存在和不存在两种情况讨论，结合两点间距离公式求出，进而求出为定值． 【详解】（1）设点，， ，即， 化简整理得， 曲线的方程为 （2）略. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $