专题06 三角函数的概念与三角恒等变换（知识清单）（上海专用）2027年高考数学一轮复习讲练测

该高中数学高考复习知识清单系统整合了三角函数的概念与三角恒等变换专题，涵盖任意角与弧度制、扇形公式、三角函数定义、同角关系与诱导公式、三角恒等变换公式五大知识模块，构建了从概念到应用的递进式知识框架。 清单通过知识脑图搭建核心脉络，考点分层突破重难点，如用“奇变偶不变，符号看象限”口诀强化诱导公式记忆，提炼“弦化切”“平方法互推sinα±cosα与sinα·cosα”等解题技法，培养数学思维与运算能力。设高考母题探究及易错点警示，如标注两角和差余弦符号判断误区，助力学生自主复习，教师可据此精准指导备考。

专题06 三角函数的概念与三角恒等变换 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 考点01 正弦、余弦、正切、余切 考点02 同角三角比的基本关系与诱导公式 考点03 常用三角公式 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 三角恒等变换 重点突破・考法深研 重点01 扇形面积公式 重点02 任意角的三角函数的定义 重点03 运用诱导公式化简求值 重点04 求两角和与差的三角函数值 重点05 求二倍角的三角函数值 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 运用诱导公式和同角三角函数的关系求值 方法点拨02 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 方法点拨03 正、余弦齐次式的计算 易错剖析・避坑攻略 易错点01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 正弦、余弦、正切、余切 1．扇形的弧长公式、面积公式 2．任意角、弧度制、象限角 （1）任意角的概念：角可以看作平面内一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所成的图形。按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角；没有旋转的角为零角。 （2）与角终边相同的角：。 （3）把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 角度弧度换算：弧度， 1 弧度。 （4）象限角 - 第一象限角： - 第二象限角： - 第三象限角： - 第四象限角： （5）终边在轴上的角：； 终边在坐标轴上的角：。 3．任意角的正弦、余弦、正切、余切 （1）定义 在平面直角坐标系，角顶点在原点，始边为轴正半轴，终边上取非原点一点。。 （2）三角比符号 - ：一、二象限为正；三、四象限为负 - ：一、四象限为正；二、三象限为负 - 、：一、三象限为正；二、四象限为负 （2025·上海·阶段检测）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． 【答案】 【分析】设扇形的半径为，圆心角为，依题意可得，再由扇形的面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】设扇形的半径为，圆心角为， 依题意可得，则， 所以， 当且仅当，即时取等号， 即扇形圆心角为时扇形的面积取得最大值. 故答案为：. （2026·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，是第______象限角． 【答案】三 【分析】分析可知与的终边相同，即可判断象限角. 【详解】因为，即与的终边相同， 且是第三象限角，所以是第三象限角. “”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 【答案】A 【分析】根据充分必要条件的定义判断. 【详解】，则，充分性满足， 反之，若，但，必要性不满足. 所以答案为充分非必要条件， 故选：A. 考点02 同角三角比的基本关系与诱导公式 1．同角三角比的关系 （1）平方关系：，对任意角成立。 （2）商数关系： （3）倒数关系：。 2．公式应用 （1）已知一个三角比值，求其余三角比； （2）化简三角式； （3）处理齐次式。 3．变形： 4．诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限） 角度 已知是的内角，且 若，则是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形． 【答案】B 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】利用同角平方关系可得，，结合可得，从而可得的取值范围，进而可判断三角形的形状． 【详解】， ， ， ，， 为三角形内角，，， 为钝角，即三角形为钝角三角形. 已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】D 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【详解】因为， 所以， 而，所以． 已知，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】由诱导公式、同角三角函数商的关系即可求解. 【详解】 考点03 常用三角公式 1.两角和与差、二倍角公式 （1）两角和与差 （2）二倍角 （3）降幂公式 （4）辅助角公式 其中 2.简单三角恒等变换 （1）半角公式 半角的正负由所在象限确定。 （2）积化和差 （3）和差化积 若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先对进行化简整理，得到，求得结果. 【详解】 ， 所以. 故选：A. （2026·上海徐汇·二模）若，则______. 【答案】5 【详解】由， 则. 已知，则______. 【答案】 【分析】化切为弦得，根据两角差的正弦公式求得，然后利用两角和的正弦公式计算即可． 【详解】因为，所以，即， 又， 所以， 所以． 故答案为： 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角恒等变换 考情定位：上海高考基础必考点，以选择填空基础题、解答题第17题（三角化简／解三角形）为主，难度偏低，单题分值4－14分；同时作为计算工具，贯穿解三角形、函数、解析几何等大题的运算。 核心考法：①利用和差角、二倍角公式化简，求三角函数的周期、最值、单调区间；②已知单角三角函数值，通过凑角或套公式求目标角的三角函数值；③逆用恒等公式变形，结合解三角形、函数性质综合考查。 解题要点：①先观察角的关系（和差、二倍、互余），优先凑角再选对应公式；②求值必先判断角的象限、确定符号，结合同角关系补全所需三角函数；③化简目标为＂一角一名一次＂，正向展开与逆用公式灵活切换。 （2024•上海）下列函数的最小正周期是的是（　　） A． B． C． D． 【答案】 【分析】利用两角和与差的三角函数，二倍角公式，化简选项表达式，求解函数的周期即可． 【解答】解：对于，，则，满足条件，所以正确． 对于，，则，不满足条件，所以不正确． 对于，，函数是常函数，不存在最小正周期，不满足条件，所以不正确． 对于，，则，不满足条件，所以不正确． 故选：． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数，二倍角公式的应用，函数的周期的求法，是基础题． （2025•上海）已知，则　 　． 【答案】0． 【分析】由同角三角函数的关系，结合两角和与差的三角函数求解． 【解答】解：已知， 即， 则． 故答案为：0． 【点评】本题考查了同角三角函数的关系，重点考查了两角和与差的三角函数，属中档题． （2026•上海）已知，则　 　． 【答案】． 【分析】结合二倍角公式即可求解． 【解答】解：因为， 所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，属于基础题． 重点01 扇形面积公式 弧长和扇形面积的计算方法 ①在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. ②从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值. （3）记住下列公式： ①；②； （3）.其中是扇形的半径，是弧长，）为圆心角，是扇形面积． （2026•上海模拟）已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为 　 　 ． 【分析】由题意利用扇形的面积公式即可求解． 【详解】解：因为扇形的弧长为，面积为， 所以扇形的面积， 解得． 故答案为：3． 【点评】本题考查了扇形的面积公式的应用，属于基础题． （2026•黄浦区模拟）已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为　 　 ． 【答案】． 【分析】利用扇形面积公式，弧长公式即可得． 【详解】解：设该扇形的半径为， 又圆心角为扇形面积等于， 则有，， 则该扇形的弧长为． 故答案为：． 【点评】本题考查扇形面积公式，弧长公式，属于基础题． （2026•上海模拟）已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为　 　 ． 【答案】． 【分析】根据扇形的面积与弧长公式求解，即可得到本题的答案． 【详解】解：设扇形的半径为，， 根据扇形的面积，可得，解得， 所以扇形的弧长． 故答案为：． 【点评】本题主要考查扇形的弧长与面积公式等知识，考查了运算求解能力，属于基础题． 重点02 任意角的三角函数的定义 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量： （1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）． （2026•青浦区二模）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，则　 　 ． 【答案】． 【分析】利用任意角的三角函数的定义得出结论． 【详解】解：因为角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点， 所以． 故答案为：． 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义，考查学生的计算能力，属于基础题． （2026•嘉定区二模）若角的终边经过点，则的值为　 　． 【分析】由角的终边经过点，利用任意角的三角函数定义求出即可． 【详解】解：点， ，，， 因此，． 故答案为：． 【点评】此题考查了任意角的三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键． （2026•黄浦区三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为　 　 ． 【答案】． 【分析】利用任意角的三角函数的定义以及两角和的余弦公式即可求解． 【详解】解：设，则以为终边的角为， 又，， 所以， 所以点的横坐标为． 故答案为：． 【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及两角和的余弦公式在三角函数求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题． 重点03 运用诱导公式化简求值 利用诱导公式化简求值的思路 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得． （2026•浦东新区模拟）已知，则　 　 ． 【答案】3． 【分析】结合诱导公式即可求解． 【详解】解：． 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题． 2026•静安区模拟）已知，则　 　． 【答案】． 【分析】由题意利用诱导公式，计算求得结果． 【详解】解：，则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． （2026•上海模拟）已知，且，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】根据同角三角函数的关系算出，然后运用诱导公式化简，代入数据算出答案． 【详解】解：因为，且， 所以，可得． 故答案为：． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系与诱导公式，属于基础题． （2026•静安区二模）若，则　 　 ． 【答案】． 【分析】根据诱导公式以及二倍角公式即可求解． 【详解】解：因为， 所以， 故． 故答案为：． 【点评】本题考查诱导公式、二倍角公式，属于基础题． 重点04 求两角和与差的三角函数值 两角和差三角函数，熟记公式：，cos符号相反. 解题先判角的象限定符号，可拆凑角，能正向展开也可逆用公式.正切注意分母不为零，灵活用变形公式代入计算. （2026•浦东新区模拟）已知，则　 　． 【答案】． 【分析】根据齐次式可得，即可利用正切的和角公式求解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 【点评】本题考查两角和与差的三角函数的求值，属于基础题． （2026•闵行区模拟）已知，则　 　 ． 【答案】． 【分析】利用同角三角函数基本关系式可求得的值，进而利用两角和的正切公式即可求解． 【详解】解：因为， 所以，可得， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了同角三角函数基本关系式以及两角和的正切公式在三角函数求值中的应用，属于基础题． （2026•徐汇区模拟）若，，则　 　 ． 【答案】5． 【分析】根据，运用两角和正切公式进行求解，即可得到本题的答案． 【详解】解：因为， 所以． 故答案为：5． 【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，考查了运算求解能力，属于基础题． （2025•徐汇区二模）已知，则的值为 　 　． 【答案】7． 【分析】由已知结合同角基本关系及和差角公式即可求解． 【详解】解：因为，， 所以，， 则． 故答案为：7． 【点评】本题主要考查了同角基本关系及和差角公式的应用，属于基础题． 重点05 求二倍角的三角函数值 解题步骤 1．由已知三角函数，结合象限判断正负； 2．选合适二倍角公式代入； 3．降幂逆用：. （1）易错：漏看角范围；选错表达式. （2026•普陀区模拟）已知点是角终边上一点，则 　 　． 【答案】． 【分析】根据三角函数的定义求解正弦值，再利用二倍角的余弦公式求解即可． 【详解】解：因为点是角终边上一点， 所以， 所以， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了三角函数求值应用问题，是基础题． （2026•杨浦区三模）已知，若，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】把已知等式化切为弦求解． 【详解】解：由，得， 即，则， 可得． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数值的求法，考查同角三角函数的基本关系式与倍角公式的应用，是基础题． （2025•金山区三模）已知，则 　 　 ． 【答案】． 【分析】由二倍角余弦公式直接代入求解即可． 【详解】解：由， 得，解得． 故答案为：． 【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题． 方法点拨01 运用诱导公式和同角三角函数的关系求值 1．符号优洗原则：做三角求值题，先通过角的象限或取值范围确定三角函数的正负，再代入公式计算，从根源避免平方后符号选错的问题. 2．同角三角互求：依托 和 两个核心关系，正弦、余弦、正切知膜一就能推导出号外两个. 3．公式匹配变形：遇到半角、两角和差的结构，对应选用二倍角公式、两角和差公式，通过弦切互化、恒等变形简化计算. 4．最值巧解思路：求含 的分式最值，巧用＂ 1 的代换＂（乘 ）展开，搭配基本不等式快速求解，最后记得验证等号成立条件. （2026•金山区二模）已知角为第四象限角，且，则 ________. 【答案】． 【分析】根据为第四象限角，可知为正数，进而运用同角三角函数的平方关系求出答案． 【解答】解：根据为第四象限角，可得， 因为，所以． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了三角函数在各个象限的符号、同角三角函数的关系等知识，属于基础题． （2026•浦东新区模拟）已知且，则的值为 ________. 【答案】2． 【分析】根据，结合的范围求出，运用同角三角函数的关系求出，然后根据二倍角公式求解，即可得到本题的答案． 【解答】解：根据，可知， 所以，即， ， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式等知识，属于中档题． 若且，则 ________. 【答案】 【分析】由同角三角函数的关系，求出，进而可得，再利用两角差的正切公式计算求解即可． 【解答】解：，， ，， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查两角差的正切公式，考查同角三角函数的关系，属于基础题． 已知，则的最小值为 ________. 【答案】9． 【分析】利用“1”的代换求的最小值即可． 【解答】解：， 当且仅当，又，， 即，时取等号，则的最小值为9． 故答案为：9． 【点评】本题考查基本不等式，考查三角函数同角关系，属于基础题． 方法点拨02 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 对于与互求类题型，一般采用平方法，对两边平方，依托同角平方关系建立与的联系实现互推；解题先结合角的范围（象限、三角形内角等）判定三角函数正负，舍去平方产生的增根；遇到复数模、函数最值问题，先整理为的形式，再利用三角函数有界性求解最值. （24-25高三上·上海·阶段检测）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系 【分析】将两边平方，求出，即可得到且，最后根据计算可得. 【详解】因为，所以， 即，所以，即， 又是三角形的内角，所以，则， 所以. 故选：A （25-26高三上·上海闵行·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、正、余弦齐次式的计算 【分析】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为，根据已知可得，由同角三角函数关系化简得，结合角的范围求. 【详解】设大正方形的边长为，则小正方形的边长为， 依题意可得，故， 即， 解得或. 因为，则，故. 故选：C （2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为________. 【答案】3 【知识点】sinα±cosα和sinα·cosα的关系、求含sinx(型)函数的值域和最值、求复数的模 【分析】本题可先根据复数的模的计算公式求出的表达式，再结合三角函数的性质求出其最大值. 【详解】已知，则. 可得： 因为的取值范围是，所以当时，取得最大值. 此时. 那么的最大值为，即的最大值为. 故答案为：. 方法点拨03 正、余弦齐次式的计算 正、余弦齐次式计算类题型，核心技巧是弦化切，分子分母同除以（为齐次次数），将式子转化为仅含的表达式代入计算；式子中的常数项可通过＂1的代换＂，即用替换，补成齐次式后再化简；结合几何场景的题目，先利用体积不变、边长关系等条件求出，再代入齐次式或结合二倍角公式完成计算. （24-25高三上·上海·阶段检测）若，则________ 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、三角函数的化简、求值——诱导公式 【分析】首先根据商数关系及其诱导公式求出，然后再根据诱导公式化简目标式子，最后根据齐次式思想进行求解即可. 【详解】已知，解得：； ， 构造齐次式可得：， 代入，得：. 故答案为： （23-24高一下·上海嘉定·阶段检测）已知，则______________. 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算 【分析】利用同角三角函数的基本关系求解即可. 【详解】 . 故答案为： （2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 【答案】/ 【知识点】正、余弦齐次式的计算、三角函数的化简、求值——同角三角函数基本关系、二倍角的正弦公式、柱体体积的有关计算 【分析】延长，交直线于点,设,由水的体积不变可列式求出，再求出，由二倍角的正弦公式和同角三角函数的平方公式化简已知式，代入即可得出答案. 【详解】如图，延长，交直线于点， 由题意可得：，， 设，则， 因为密封透明正方体容器水平放置在桌面上与放在坡角为的斜坡上， 容器里的水的体积不变，且放在坡角为的斜坡上时， 水的体积等于长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积与长为9cm、宽为9cm、高为的长方体的体积的一半之和， 因为，解得：，即， 因为，所以， 因为，所以， 所以， . 易错点01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 易混易错提醒：已知两角正余弦求和、差角余弦类题型，坐标旋转题先由原坐标求出对应角的正余弦值，明确旋转后的角为原角加减旋转角，再代入两角和差公式计算新坐标；几何计算类题先根据圆的对称性、边长关系等几何条件求出相关角的三角函数值，再结合两角和差公式、余弦定理求解长度、角度，全程遵循＂符号先行＂原则，从源头避免符号错误. （2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 【详解】设，则以为终边的角为， 又，， 所以， 所以点的横坐标为    （24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知是第二象限角终边上的一个点，且，将OP绕原点O顺时针旋转至，则点的坐标为__________. 【答案】 【知识点】由终边或终边上的点求三角函数值、已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、二倍角的正切公式 【分析】根据题意正切函数的二倍角公式可得，利用三角函数定义以及两角差的正弦、余弦公式计算可得结果. 【详解】设， 由可得（舍）或， 由正切函数定义可得，解得； ，，， 可得 . 即点的坐标为. 故答案为： （25-26高三上·上海松江·期中）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是，，，且，则圆心到点B的距离约为______．（结果精确到） 【答案】4.1 【知识点】已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦、几何图形中的计算 【分析】利用圆的对称性及三角恒等变换、余弦定理计算即可. 【详解】如图所示，设圆心为，的中点为，则，由题意易知， 则，，，， ， 由余弦定理知， 所以. 故答案为：. 优题精练·专题实战通关 1．（2025•徐汇区模拟）的终边在第 　 　 象限． 【答案】三． 【分析】由终边相同的角的概念求出的终边相同的角为，判断其所在的象限即可． 【详解】解：因为， 故的终边在第三象限． 故答案为：三． 【点评】本题主要考查了象限角的概念，属于基础题． 2．（2025•上海模拟）已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为　 　． 【答案】8． 【分析】根据扇形的面积公式运算求解即可． 【详解】解：扇形的半径为2，弧长为8，该扇形的面积为． 故答案为：8． 【点评】本题考查了扇形的面积公式，属于基础题． 3．（2026•杨浦区模拟）若角的终边过点，则　 　． 【答案】． 【分析】利用任意角的三角函数的定义以及诱导公式即可求解． 【详解】解：因为角的终边过点， 所以， 则． 故答案为：． 【点评】本题考查了任意角的三角函数的定义以及诱导公式在三角函数求值中的应用，属于基础题． 4．（2025•浦东新区模拟）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则　 　．（用数值表示） 【分析】直接利用任意角的三角函数的定义，求出正弦函数以及余弦函数值，通过二倍角的正弦函数求解即可． 【详解】解：角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点， 由任意角的三角函数的定义可知，，． ． 故答案为：． 【点评】本题考查任意角的三角函数的定义的应用，二倍角的正弦函数的求法，考查计算能力． 5．（2024•普陀区二模）若，则　 　． 【分析】由题意利用诱导公式，求得所给式子的值． 【详解】解：，则， 故答案为：． 【点评】本题主要考查诱导公式的应用，属于基础题． 6．（2025•宝山区三模）已知，则　 　． 【答案】． 【分析】由已知结合诱导公式进行化简即可求解． 【详解】解：，则． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题． 7．（2025•青浦区模拟）已知锐角满足，则　 　． 【分析】由题意可知，，再利用二倍角公式求解． 【详解】解：为锐角，，， 由可得，， ， ． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了二倍角公式，属于基础题． 8．（2026•浦东新区模拟）已知且，则的值为　 　． 【答案】2． 【分析】根据，结合的范围求出，运用同角三角函数的关系求出，然后根据二倍角公式求解，即可得到本题的答案． 【详解】解：根据，可知， 所以，即， ， 所以． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的三角函数公式等知识，属于中档题． 9．（2026•闵行区模拟）已知向量，，且，则　 　． 【分析】利用两个向量共线的性质求得的值，再利用两角和的正切公式求得的值． 【详解】解：向量，，且，，， ， 故答案为：7． 【点评】本题主要考查两个向量共线的性质，两角和的正切公式，属于基础题． 10．（2026•杨浦区二模）已知函数（常数． （1）若，在△中，角、、的对边分别为、、．若，，求角的大小； （2）若的最小正周期为，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像．当时恒有，求的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用函数解析式由，求出角，再由，利用正弦定理求出，可得角的大小； （2）由函数图象的变换，求出解析式，由时，求出的取值范围． 【详解】解：（1）时，，， 则，，所以， 因为，可得，所以， 由，所以． （2）函数的最小正周期为， 所以，， 所以， 时，，则有，此时，， 当时恒有，则有，解得， 所以的取值范围为． 【点评】本题主要考查了正弦函数性质的综合应用，属于中档题． $,1.扇形公式 l=la, 任意角分类：正角（逆时针）、负角（顺时针）、零角 2.任意角、孤度制、象限角 终边相同的角：{B|B=a十2km,k∈Z 孤度换算：180°=π弧度，1孤度= 180)° 考点01正弦、余弦、正切、余抑 终边上取点方程式错误，r=√2+产： 3.任意角的三角比定义 sina= r cosa=tana= 2 cota= sina:一、二正，三、四负 4.三角比符号规律 c0sa:一、四正，二、三负 tana、cota:一、三正，二、四负 平方：sin2a+c0s2a=1 1.同角三角比的关系 商数：tana= sina cota= cosa cosa sina 倒数：tana·cota=1 2.公式应用 知一求其余、化简三角式、齐次式弦切互化 考点02同角三角比的基本关系与诱导公式 (sina土cosa)2=1士2 sina cos a 3.常用变形 1 sin2a+cos2a 三角函数的概念丐三角恒等变换 4.诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限） sin(a±)=sina cos8±cos a sin8 1.两角和与差公式 cos(a土B)=cos a cos B干sina sin8 tana士tanB tan(a士B)= 1干tanatan8 sin 2a =2 sina cosa ,2.二倍角公式 cos 2a=cos2a-sin2a =2 cos2 a-1 =1-2 sin2a 2tana tan 2a= 1-tan2a 3.降幂公式 sin2a= 1-cos2a 2 cos2a=1+cos2a 2 4.辅助角公式 asina+bcosa-=va2+sin(a+),其中tamp=名 /1-cosa 1+cosa sin 考点03常用三角公式 2= 2 cos2=±V 2 5.半角公式（正负由 所在象限确定) 2 a /1-cosa sina 1-cosa tan =Vi+cosa 1+cosa sina 1 sina cos B= sin(a+B)+sin(a-B)] 2 cosa sin B= [sin(a+8)-sin(a-) 6,积化和差 cos a cos B= 3eos(a+)+cos(a-刚 sin a sin B=- [cos(a+8)-cos(a-8)] 1 sina±sing=2sina± cosa于g 2 2 7.和差化积 cos a-8 cosa +cos 8=2 cos8c 2 2 cosa-cos8=-2sin sin 2 2专题06 三角函数的概念与三角恒等变换 目录导航 01知识脑图·核心脉络搭建——梳理专题框架，搭建知识体系 02考点深研·知能分层突破——深挖高频考点，分层突破重难点 基础梳理・自主夯基 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 考点01 正弦、余弦、正切、余切 考点02 同角三角比的基本关系与诱导公式 考点03 常用三角公式 1 / 78 学科网（北京）股份有限公司 03素养进阶·答题技法突破——提炼解题范式，提升答题素养 高考解密・母题探究 题型01 三角恒等变换 重点突破・考法深研 重点01 扇形面积公式 重点02 任意角的三角函数的定义 重点03 运用诱导公式化简求值 重点04 求两角和与差的三角函数值 重点05 求二倍角的三角函数值 技法提炼・审题点拨 方法点拨01 运用诱导公式和同角三角函数的关系求值 方法点拨02 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 方法点拨03 正、余弦齐次式的计算 易错剖析・避坑攻略 易错点01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 04优题精练·专题实战通关——精选优质试题，强化实战应用 知识脑图·核心脉络搭建 考点深研·知能分层突破 考点01 正弦、余弦、正切、余切 1．扇形的弧长公式、面积公式 2．任意角、弧度制、象限角 （1）任意角的概念：角可以看作平面内一条射线绕着端点从初始位置（始边）旋转到终止位置（终边）所成的图形。按逆时针方向旋转所形成的角为正角；按顺时针方向旋转所形成的角为负角；没有旋转的角为零角。 （2）与角终边相同的角：。 （3）把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做1弧度的角。 角度弧度换算：弧度， 1 弧度。 （4）象限角 - 第一象限角： - 第二象限角： - 第三象限角： - 第四象限角： （5）终边在轴上的角：； 终边在坐标轴上的角：。 3．任意角的正弦、余弦、正切、余切 （1）定义 在平面直角坐标系，角顶点在原点，始边为轴正半轴，终边上取非原点一点。。 （2）三角比符号 - ：一、二象限为正；三、四象限为负 - ：一、四象限为正；二、三象限为负 - 、：一、三象限为正；二、四象限为负 （2025·上海·阶段检测）周长为20的扇形的面积取到最大值时，扇形圆心角的大小是________． （2026·上海·阶段检测）在平面直角坐标系中，是第______象限角． “”是“”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件 考点02 同角三角比的基本关系与诱导公式 1．同角三角比的关系 （1）平方关系：，对任意角成立。 （2）商数关系： （3）倒数关系：。 2．公式应用 （1）已知一个三角比值，求其余三角比； （2）化简三角式； （3）处理齐次式。 3．变形： 4．诱导公式（口诀：奇变偶不变，符号看象限） 角度 已知是的内角，且 若，则是（      ） A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形． 已知，则（    ） A．1 B． C． D．0 已知，则（    ） A． B． C．1 D． 考点03 常用三角公式 1.两角和与差、二倍角公式 （1）两角和与差 （2）二倍角 （3）降幂公式 （4）辅助角公式 其中 2.简单三角恒等变换 （1）半角公式 半角的正负由所在象限确定。 （2）积化和差 （3）和差化积 若，则（    ） A． B． C． D． （2026·上海徐汇·二模）若，则______. 已知，则______. 素养进阶·答题技法突破 题型01 三角恒等变换 考情定位：上海高考基础必考点，以选择填空基础题、解答题第17题（三角化简／解三角形）为主，难度偏低，单题分值4－14分；同时作为计算工具，贯穿解三角形、函数、解析几何等大题的运算。 核心考法：①利用和差角、二倍角公式化简，求三角函数的周期、最值、单调区间；②已知单角三角函数值，通过凑角或套公式求目标角的三角函数值；③逆用恒等公式变形，结合解三角形、函数性质综合考查。 解题要点：①先观察角的关系（和差、二倍、互余），优先凑角再选对应公式；②求值必先判断角的象限、确定符号，结合同角关系补全所需三角函数；③化简目标为＂一角一名一次＂，正向展开与逆用公式灵活切换。 （2024•上海）下列函数的最小正周期是的是（　　） A． B． C． D． （2025•上海）已知，则　 　． （2026•上海）已知，则　 　． 重点01 扇形面积公式 弧长和扇形面积的计算方法 ①在弧度制下，计算扇形的面积和弧长比在角度制下更方便、简捷. ②从扇形面积出发，在弧度制下使问题转化为关于的不等式或利用二次函数求最值的方法确定相应最值. （3）记住下列公式： ①；②； （3）.其中是扇形的半径，是弧长，）为圆心角，是扇形面积． （2026•上海模拟）已知扇形的弧长为，面积为，则扇形所在圆的半径为 　 　 ． （2026•黄浦区模拟）已知圆心角为的扇形面积等于，则该扇形的弧长为　 　 ． （2026•上海模拟）已知扇形的圆心角为，面积为3，则扇形弧长为　 　 ． 重点02 任意角的三角函数的定义 利用三角函数的定义，求一个角的三角函数值，需确定三个量： （1）角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x；（2）纵坐标y；（3）该点到原点的距离r．若题目中已知角的终边在一条直线上，此时注意在终边上任取一点有两种情况（点所在象限不同）． （2026•青浦区二模）在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合、始边与轴的正半轴重合，其终边经过点，则　 　 ． （2026•嘉定区二模）若角的终边经过点，则的值为　 　． （2026•黄浦区三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为　 　 ． 重点03 运用诱导公式化简求值 利用诱导公式化简求值的思路 1．“负化正”，运用公式三将任意负角的三角函数化为任意正角的三角函数． 2．“大化小”，利用公式一将大于360°的角的三角函数化为0°到360°的三角函数，利用公式二将大于180°的角的三角函数化为0°到180°的三角函数． 3．“小化锐”，利用公式六将大于90°的角化为0°到90°的角的三角函数． 4．“锐求值”，得到0°到90°的三角函数后，若是特殊角直接求得，若是非特殊角可由计算器求得． （2026•浦东新区模拟）已知，则　 　 ． 2026•静安区模拟）已知，则　 　． （2026•上海模拟）已知，且，则 　 　 ． （2026•静安区二模）若，则　 　 ． 重点04 求两角和与差的三角函数值 两角和差三角函数，熟记公式：，cos符号相反. 解题先判角的象限定符号，可拆凑角，能正向展开也可逆用公式.正切注意分母不为零，灵活用变形公式代入计算. （2026•浦东新区模拟）已知，则　 　． （2026•闵行区模拟）已知，则　 　 ． （2026•徐汇区模拟）若，，则　 　 ． （2025•徐汇区二模）已知，则的值为 　 　． 重点05 求二倍角的三角函数值 解题步骤 1．由已知三角函数，结合象限判断正负； 2．选合适二倍角公式代入； 3．降幂逆用：. （1）易错：漏看角范围；选错表达式. （2026•普陀区模拟）已知点是角终边上一点，则 　 　． （2026•杨浦区三模）已知，若，则 　 　 ． （2025•金山区三模）已知，则 　 　 ． 方法点拨01 运用诱导公式和同角三角函数的关系求值 1．符号优洗原则：做三角求值题，先通过角的象限或取值范围确定三角函数的正负，再代入公式计算，从根源避免平方后符号选错的问题. 2．同角三角互求：依托 和 两个核心关系，正弦、余弦、正切知膜一就能推导出号外两个. 3．公式匹配变形：遇到半角、两角和差的结构，对应选用二倍角公式、两角和差公式，通过弦切互化、恒等变形简化计算. 4．最值巧解思路：求含 的分式最值，巧用＂ 1 的代换＂（乘 ）展开，搭配基本不等式快速求解，最后记得验证等号成立条件. （2026•金山区二模）已知角为第四象限角，且，则 ________. （2026•浦东新区模拟）已知且，则的值为 ________. 若且，则 ________. 已知，则的最小值为 ________. 方法点拨02 sinα±cosα和sinα·cosα的关系 对于与互求类题型，一般采用平方法，对两边平方，依托同角平方关系建立与的联系实现互推；解题先结合角的范围（象限、三角形内角等）判定三角函数正负，舍去平方产生的增根；遇到复数模、函数最值问题，先整理为的形式，再利用三角函数有界性求解最值. （24-25高三上·上海·阶段检测）已知是三角形的内角，若，则的值等于（    ） A． B． C． D． （25-26高三上·上海闵行·期中）《周髀算经》中给出的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示，直角三角形中最小的一个角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则（     ）    A． B． C． D． （2025·上海·三模）设复数（为虚数单位），则的最大值为________. 方法点拨03 正、余弦齐次式的计算 正、余弦齐次式计算类题型，核心技巧是弦化切，分子分母同除以（为齐次次数），将式子转化为仅含的表达式代入计算；式子中的常数项可通过＂1的代换＂，即用替换，补成齐次式后再化简；结合几何场景的题目，先利用体积不变、边长关系等条件求出，再代入齐次式或结合二倍角公式完成计算. （24-25高三上·上海·阶段检测）若，则________ （23-24高一下·上海嘉定·阶段检测）已知，则______________. （2026·上海杨浦·模拟预测）如图1，棱长为9cm的密封透明正方体容器水平放置在桌面上，水面高度.将此正方体放在坡角为的斜坡上，此时水面恰好与点齐平，其主视图如图2所示，则 __________. 易错点01 已知两角的正、余弦，求和、差角的余弦 易混易错提醒：已知两角正余弦求和、差角余弦类题型，坐标旋转题先由原坐标求出对应角的正余弦值，明确旋转后的角为原角加减旋转角，再代入两角和差公式计算新坐标；几何计算类题先根据圆的对称性、边长关系等几何条件求出相关角的三角函数值，再结合两角和差公式、余弦定理求解长度、角度，全程遵循＂符号先行＂原则，从源头避免符号错误. （2026·上海黄浦·三模）已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的横坐标为________． （24-25高三上·上海杨浦·开学考试）已知是第二象限角终边上的一个点，且，将OP绕原点O顺时针旋转至，则点的坐标为__________. （25-26高三上·上海松江·期中）一个机器零件的形状是有缺口的圆形铁片，如图中实线部分为裁剪后的形状．已知这个圆的半径是，，，且，则圆心到点B的距离约为______．（结果精确到） 优题精练·专题实战通关 1．（2025•徐汇区模拟）的终边在第 　 　 象限． 2．（2025•上海模拟）已知某扇形的半径为2，弧长为8，则该扇形的面积为　 　． 3．（2026•杨浦区模拟）若角的终边过点，则　 　． 4．（2025•浦东新区模拟）已知角的顶点在坐标原点，始边与轴的正半轴重合，角的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第二象限内的点，则　 　．（用数值表示） 5．（2024•普陀区二模）若，则　 　． 6．（2025•宝山区三模）已知，则　 　． 7．（2025•青浦区模拟）已知锐角满足，则　 　． 8．（2026•浦东新区模拟）已知且，则的值为　 　． 9．（2026•闵行区模拟）已知向量，，且，则　 　． 10．（2026•杨浦区二模）已知函数（常数． （1）若，在△中，角、、的对边分别为、、．若，，求角的大小； （2）若的最小正周期为，将其图像向左平移个单位，再向上平移个单位得到函数的图像．当时恒有，求的取值范围． $