2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系（十一大重点题型）专项训练-2026-2027学年高二数学上学期重点•题型（人教A版选择性必修第一册）

**基本信息** 聚焦直线与圆、圆与圆位置关系，以11类重难点题型构建从基础判断到综合应用的递进训练体系，强化直观想象与逻辑推理。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |直线与圆基础|9题|位置关系判断、参数求解|从d与r关系判定到参数范围，体现数形结合| |弦长与切线|13题|弦长计算、切线及切点弦|基于垂径定理与勾股定理，构建几何量计算链| |距离与最值|12题|距离个数、点线距离最值|结合圆性质分析距离分布，培养空间观念| |圆与圆关系|11题|位置判断、参数求解|类比直线与圆，通过圆心距与半径关系展开| |公共弦与公切线|12题|公共弦长、公切线方程|两圆方程相减得公共弦，结合几何性质求切线| |综合应用|8题|实际问题、多知识点综合|整合知识提升数学建模与应用意识|

专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录●重难点题型分布 重难点题型1 判断直线与圆的位置关系 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【难度】0.88 【知识点】求点到直线的距离、由标准方程确定圆心和半径、判断直线与圆的位置关系 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 3．（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、判断直线与圆的位置关系 【分析】先求出圆心及半径，再应用圆心到直线距离与半径比较即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆C的圆心坐标为，半径为2， 直线的方程为，圆心到直线的距离为， 所以直线与圆C的位置关系是相交. 故选:A. 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断直线与圆的位置关系 【分析】由圆的方程可得圆心以及半径，利用点到直线距离计算圆心到直线的距离，将其与半径进行比较，可得答案. 【详解】由圆可知：圆心为，半径， 圆心到直线的距离为，由，则直线与圆相交. 故选：A. 重难点题型2 由直线与圆的位置关系，求参数 1．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 2．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 3．“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、充要条件的证明 【分析】根据圆与直线相切以及圆的标准方程求解即可. 【详解】圆配方. 因此，即，圆心为，半径. 因为直线与圆相切， 所以圆心到直线的距离，即， 整理，解得或.结合圆的条件，因此直线与圆相切等价于. 因此是直线与圆相切的充要条件. 4．直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.82 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【详解】直线被圆截得的弦长为，而该圆半径为2， 因此圆心到该直线的距离，又， 即，所以直线的斜率. 5．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 6．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【详解】圆的圆心为，半径. 由直线与圆相切，则得， 解得. 7．（23-24高二上·上海宝山·阶段检测）若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】曲线C：是以原点为圆心半径为1的上半圆，画出图象，平行移动直线观察与半圆有交点的情况，得出的取值范围. 【详解】如图所示，曲线C：是以原点为圆心半径为1的上半圆， 直线是斜率为的直线，是直线的纵截距. 当直线过点时，取得最小值，此时； 当在第二象限与曲线相切时，取得最大值， 此时，到，即的距离为1， 所以，所以. 显然，所以. 所以实数b的取值范围是. 重难点题型3 弦长 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.78 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由标准方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程化为标准方程，再由弦长公式求解. 【详解】原方程：，配方整理， 所以圆心为 ，半径 （需满足 ，即 ）, 圆心 到直线的距离是 由弦长公式，得 ，得, 由 ，得. 2．（2026·山东威海·二模）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【难度】0.72 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据点到直线的距离公式、圆的标准方程、弦心距公式求解即可. 【详解】圆可化为， 圆心坐标为，半径为. 圆心到直线的距离为. 由弦心距公式可知，，即，解得. 3．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】切线长、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【详解】圆即为，可知圆心为，半径， 在直线上取一点P，过P向圆引切线，设切点为A，连接CA， 在中，．要使最小，则应最小． 又当PC与直线垂直时，最小，其最小值为． 故的最小值为． 4．（2026·天津南开·模拟预测）若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 【答案】或 【难度】0.73 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】由点到直线距离公式及垂径定理列出方程即可求解． 【详解】设直线方程为，圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离， 由垂径定理得或， 所以直线方程为或． 5．（25-26高二下·上海·期中）若直线被圆截得的弦长为6，则的值为___ 【答案】 【难度】0.75 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【详解】圆的圆心，半径， 圆心到直线的距离，依题意，， 因此，所以. 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）若直线截圆所得的弦长是8，则________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】已知圆的弦长求方程或参数 【分析】根据弦长和半径先求出圆心到直线的距离，然后根据点到直线的距离公式求出结果. 【详解】因为直线截圆所得的弦长是8， 而圆的半径为5，那么根据勾股定理，圆心到直线的距离为. 圆心到直线的距离为，化简得， 解得或. 故答案为：10或-68 重难点题型4 切线、切线长与切点弦问题 1．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 【答案】B 【难度】0.69 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长、求点到直线的距离 【分析】连接，则有，当最小时，最小， 则为圆心到直线的距离，从而得到的最小值． 【详解】连接，则， 当最小时，最小，又圆的圆心为，半径为， 则，故的最小值为． 故选：B． 2．过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】切线长、切点弦及其方程 【分析】先求以及切线长，再根据等面积法即可得结果. 【详解】圆，即， 易知，圆C的半径，所以切线长． 所以四边形的面积为． 所以根据等面积法知：， 所以． 故选：B． 3．（23-24高二上·山东济宁·期中）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】切点弦及其方程、过圆外一点的圆的切线方程、圆的弦长与中点弦、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据题意，可知圆的圆心为，半径，由切线长公式求出的长，进而可得以为圆心，为半径为圆，则为两圆的公共弦所在的直线，联立两个圆的方程，两方程作差后计算可得答案． 【详解】根据题意，可知圆的圆心为，半径， 过点作圆的两条切线，设切点分别为、， 而，则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 所以为两圆的公共弦所在的直线，则有， 作差变形可得：； 即直线的方程为. 故选：B. 4．已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】切线长、求点到直线的距离、切点弦及其方程 【分析】根据给定条件，利用圆的切线的性质，结合面积法求解作答. 【详解】连接，由切圆于知，， 因为直线与平行，则，，而圆半径为， 于是，由四边形面积，得， 所以.    故选：C 5．若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为___________. 【答案】 【难度】0.62 【知识点】求平面两点间的距离、切线长 【分析】利用，用含的表达式表示，用代数的方法求出其最小值即可. 【详解】由题意，圆的半径， 由直线与圆相切，故连接,有， 即，当时取等号， 故. 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】切线长 【详解】 如图示，由已知得，，且， 则，即线段的长为. 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 【答案】2 【难度】0.55 【知识点】相交圆的公共弦方程、垂直关系的向量表示、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】利用两圆的相交关系，求出相交弦方程，再由已知及点线距离公式列方程求参数r. 【详解】由圆，得圆心为，半径， 由圆，得圆心为，半径为， 所以两圆的圆心距， 两圆方程相减，得公共弦的方程：， 化简得，则到直线的距离为， 要使两圆相交，需使,解得， ，可得，因，则， 由，解得，满足， 因此的值为. 重难点题型5 圆上的点到直线距离的个数问题 1．（2026·贵州毕节·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先求圆心到直线的距离，再找距离直线为1的两条平行线，通过分析圆与这两条平行线的位置关系，确定半径的取值范围. 【详解】由题可知，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离， 设与直线距离为的平行线为， 由，可解得或， 则圆心到直线的距离，圆心到直线的距离， 因为圆上到直线距离为的点有且仅有个， 所以圆与这两条平行线一个相交、一个相离，即. 故选：D. 2．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线：，则曲线：上到直线的距离为的点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】由有，即曲线表示以为圆心，半径为的半圆，设与直线平行的直线为，由直线上的点到直线的距离为，解出，作出图象，利用数形结合即可求解. 【详解】由有，所以曲线表示以为圆心，半径为的半圆. 又直线，圆心到直线上的距离为：， 所以设与直线平行的直线为，使得直线到直线的距离为， 所以，解得，所以， 由圆心到直线的距离为： ，所以直线与曲线相交， 圆心到直线的距离为： ， 所以直线与曲线相交， 作出图象： 由图可知，曲线上有个点到直线的距离为， 故选：C. 3．（24-25高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、已知点到直线距离求参数、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径 【分析】若圆上有4个点到直线的距离等于1，则到直线的距离小于1，代入点到直线的距离公式，可得答案. 【详解】圆心为，半径为， 若圆上有四个点到直线的距离等于1， 所以到直线的距离小于， 所以，所以， 所以实数的取值范围为. 故选：B. 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、由标准方程确定圆心和半径 【分析】先确定圆心到直线的距离，再由题意得到，进而求解即可． 【详解】由圆，圆心为，半径为， 则圆心到直线的距离为， 因为圆上的点到直线的距离为的点有且仅有2个，所以， 解得， 即r的取值范围是． 故选：C． 5．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（多选题）已知圆和直线，则下列说法正确的是（ ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 【答案】BCD 【难度】0.4 【知识点】切点弦及其方程、由直线与圆的位置关系求参数、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、圆的弦长与中点弦 【分析】先由题求出圆心和半径r，由圆心到直线的距离结合弦长公式即可求解判断A；即可判断B；由，时取得最小值即可计算求解判断C；设是圆上一点，推导出点处的切线方程，进而得到点处的切线方程，利用两切线的交点即可分析得到直线的方程，进而求出其所过定点即可判断D. 【详解】由圆得圆的圆心，半径， 对于A，当时，圆心到直线的距离， ∴直线被圆截得的弦长为，A错误； 对于B，当时，圆心到直线的距离， ∵，∴圆上到直线的距离为1的点有4个，B正确； 对于C，∵为圆的两条切线，∴， ∴，∴， ，∵当时，取得最小值， ∴四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为； 当或时，在处切线的斜率为， ∴在处切线方程为：， 又，整理可得该切线方程为； 当或，在处切线满足方程； 综上所述，在圆上一点处的切线方程为； 设， 则直线，直线， 设，则 ∴坐标满足方程， 即直线方程为：， ∵为直线上的动点，∴， ∴直线，整理可得， 令，解得， ∴直线恒过定点，D正确. 故选：BCD 6．（25-26高二上·江苏南京·期中）（多选题）已知圆和直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 【答案】ACD 【难度】0.65 【知识点】切线长、切点弦及其方程、圆的弦长与中点弦、直线与圆中的定点定值问题 【分析】根据垂径定理可求得A正确；根据圆心到直线距离等于和可知B错误；根据垂直关系可求得，知C正确；根据圆心与切点连线垂直可推导得到圆上任一点处的切线方程，进而推导得到直线的方程，根据直线过定点的求法可构造方程组求得定点坐标，知D正确. 【详解】由圆知：圆心，半径； 对于A，当时，圆心到直线的距离， 直线被圆截得的弦长为，A正确； 对于B，当时，圆心到直线的距离， ，圆上到直线的距离为的点有个，B错误； 对于C，为圆的两条切线，，， ，， ，当时，取得最小值， 四边形面积的最小值为，C正确； 对于D，设是圆上一点，圆方程可整理为：； 当或时，在处切线的斜率为， 在处切线方程为：， 又，整理可得该切线方程为：； 当或，在处切线满足方程； 综上所述：在圆上一点处的切线方程为； 设， 则直线，直线， 设，则， 坐标满足方程， 即直线方程为：； 为直线上的动点，， 直线，整理可得：， 令，解得：， 直线恒过定点，D正确. 故选：ACD. 7．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围是___________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】先求得圆心到直线的距离，结合题意可得，求解不等式即得圆的半径的范围. 【详解】由题意，圆心到直线的距离为， 因圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，所以， 故，解得. 故答案为：. 8．（24-25高二上·福建福州·期中）已知圆，直线，圆上至少有三个点到直线的距离都等于2，则b的范围是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数 【分析】由圆的方程可得圆心与半径，求得圆心到直线的距离，由题意建立不等式，可得答案. 【详解】由圆，可得圆心与半径， 则圆心到直线的距离， 由题意可得，解得. 故答案为：. 重难点题型6 直线与圆的位置关系中的最值（范围）问题 1．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最小值为. 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆，则圆上一点到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.7 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【详解】直线可化为， 所以直线经过直线与的交点， 点到直线距离的最大值为， 所以圆上的一点到直线的最大距离等于， 当且仅当三点共线且时取得． 4．（25-26高二下·上海·期中）圆上的点到直线的最小距离是______. 【答案】1 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【详解】圆的圆心为，半径为2， 因为圆心到直线的距离， 所以圆上的点到直线的最小距离是. 5．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知点为圆上的动点，直线，则点到直线的距离的最大值为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点到直线的距离、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出圆心到直线的距离，再加上半径即是点到直线的最大值. 【详解】由题可得：圆心，半径， 圆心到直线的距离， 故点到直线的距离的最大值为. 故答案为： 6．（25-26高二上·河北承德·阶段检测）已知点在圆上运动，则到直线距离的最大值为__________. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据圆上的点到直线的距离的最大值等于圆心到直线的距离加上半径即可求解. 【详解】依题意，圆的圆心为，半径为， 又圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离的最大值为. 故答案为：. 重难点题型7 判断圆与圆的位置关系 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 2．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】D 【难度】0.9 【知识点】求平面两点间的距离、判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【详解】圆的圆心，半径， 圆的圆心，半径， 而， 所以圆与圆内切. 3．（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 【答案】A 【难度】0.7 【知识点】求二次函数的值域或最值、判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径 【分析】根据圆心距和两圆半径的关系判断即可. 【详解】圆的圆心为，半径为； 圆的圆心为，半径为. 所以， 即，所以圆与圆外离. 4．（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先求出两圆的圆心和半径，再求出圆心距，然后与两圆的半径和差比较可得答案 【详解】由，得， 所以圆的圆心，半径， 由，得， 所以圆的圆心，半径， 所以， 所以两圆内切， 故选：A 5．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】判断圆与圆的位置关系 【分析】求出两圆圆心和半径，再求出圆心距，判断其与半径之差和半径之和的大小关系即可得到答案. 【详解】化简，则其圆心，半径， 化简，则其圆心，半径， 则，而， 则，故两圆相交. 故选：B. 重难点题型8 由圆与圆的位置关系，求参数 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.6 【知识点】圆的公切线条数、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】解法一：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合辅助角公式，正弦函数的性质即可求解． 解法二：先根据圆与圆的位置关系得到，令，从而得到关于的一元二次方程，再结合，求解即可． 解法三：先根据圆与圆的位置关系得到，令，，结合求解即可． 【详解】解法一：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，，（其中为参数）， 则（其中）． 解法二：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，则，代入， 整理得， 由，解得， 所以，所以． 解法三：依题意，圆心分别为，，半径，， 因为两圆恰有一条公切线，所以两圆内切，所以， 即，解得， 令，， 又，则， 当且仅当，共线，且时，即，取得最大值． 2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】对，可化为，圆心，半径 对，可化为，圆心，半径 圆心距的平方 因为两圆有2条公切线，所以得，平方得 左不等式： ，解得或 右不等式： ，解得 综上 3．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.88 【知识点】判断圆与圆的位置关系、由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【分析】本题考查两圆内切的位置关系，利用两圆内切的充要条件：圆心距等于两圆半径之差的绝对值，建立等量关系即可求解a的值. 【详解】解：由题知： 圆方程可化为：，所以圆心为，半径， 由圆的方程可知，圆心为，半径， 所以圆心距. 因为圆与圆内切，所以圆心距，即，所以或，而，因此. 4．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】圆的公切线条数、由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】由圆，得圆， 所以圆心，半径， 由，可得，半径为， 所以， 因为圆与圆恰有3条公切线，所以圆与圆相外切， 所以，解得. 5．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若圆与圆相切，则实数的一个取值为__________. 【答案】或 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出两圆的圆心坐标与半径，从而求出圆心距，再分两圆相外切与两圆相内切两种情况讨论，分别计算可得. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆，即，圆心为，半径； 又点与点的距离， 因为两圆相切， 若两圆相外切，则，即，解得； 若两圆相内切，则，即，解得； 综上可得或. 故答案为：或. 6．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】由两圆相交可得，结合条件即可解得的取值范围. 【详解】由题意得圆的圆心为，半径为，圆的圆心，半径为， 且， 由两圆相交，可得，解得，即的取值范围为， 故答案为：. 重难点题型9 两圆的公共弦问题 1．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.75 【知识点】两圆的公共弦长 【分析】两圆方程相减，求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式求出到直线AB的距离，根据几何法求弦长即可. 【详解】由两圆方程相减即得， 此为公共弦AB所在的直线方程. 圆的圆心，半径. 到直线AB的距离为， 故公共弦长. 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【难度】0.72 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程 【详解】将圆与圆的方程作差可得， 所以两圆相交弦所在直线的方程为， 圆的圆心为原点，半径为， 原点到直线的距离为， 所以两圆的公共弦长为. 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为109 【答案】C 【难度】0.45 【知识点】两圆的公共弦长、求点到直线的距离、定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】求出圆心和半径，再结合中垂线知识可判断A，利用点到直线的距离公式结合勾股定理可判断B，由题意可知，当点和重合时，的值最小，当四点共线时，的值最大，进而可判断C，求出关于直线对称点的坐标，再结合两点间距离公式可判断D. 【详解】对于A，圆，即， 所以其圆心和半径分别是； 圆的圆心和半径分别是. 则中点为. 点不在直线上，即直线不过的中点， 即不关于直线对称，故A错误； 对于B，圆与圆的公共点的坐标均满足两圆方程， 因此两圆相减可得其公共弦所在直线方程为， 即， 到直线的距离， 故公共弦长为，B错误； 对于C，圆心距为，当点和重合时，的值最小， 当四点共线时，的值最大为， 故的取值范围为，C正确； 对于D，如图，设关于直线对称点为， 则，解得，即关于直线对称点为， 连接交直线于点，此时最小， ， 即的最小值为，D错误. 4．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）（多选题）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 【答案】BCD 【难度】0.65 【知识点】判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、定点到圆上点的最值（范围）、圆的公切线长 【分析】对于A，由圆的方程明确圆心与半径，利用圆心距与半径差和的大小关系，可得其正误；对于B，根据圆的性质，可得圆上点的位置，可得其正误；对于C，根据圆切线的性质，结合直角梯形的性质以及勾股定理，可得其正误；对于D，联立两圆的方程，作差化简，可得其正误. 【详解】对于A，由圆可知圆心与半径， 圆可知圆心与半径， 因为，且，即，所以两圆相交，故A错误； 对于B，由圆的性质可知，故B正确； 对于C，由过圆心的半径垂直于切线，则公切线的长度为，故C正确； 对于D，联立方程可得，即， 两式相减可得，则相交弦所在直线的方程为，故D正确. 故选：BCD. 5．（24-25高二上·江苏镇江·期中）（多选题）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 【答案】AC 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、圆的公切线长 【分析】对于A，两圆方程相减可求出直线的方程，对于B，利用弦心距、弦和半径的关系可求公共弦的长，对于C，求出，再由可求得结果，对于D，线段的中垂线就是直线，求出直线的方程即可. 【详解】由，得，则，半径， 由，得，则，半径， 对于A，公共弦所在的直线方程为， 即，所以A正确， 对于B，到直线的距离， 所以公共弦的长为，所以B错误， 对于C，因为，，， 所以圆与圆的公切线长为，所以C正确， 对于D，根据题意可知线段的中垂线就是直线，因为， 所以直线为，即，所以D错误， 6．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 【答案】4 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、求点到直线的距离、相交圆的公共弦方程、由标准方程确定圆心和半径 【分析】联立两圆方程，求得公共弦所在直线方程，根据圆心到公共弦所在直线的距离，由几何法求得公共弦长. 【详解】圆与圆相交于，两点， 所以，两点坐标均满足两圆方程. 由，可得，即， 故两圆公共弦所在的直线方程为； 因为圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离为， 所以， 则公共弦的长为4． 7．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】两圆的公共弦长、由圆心（或半径）求圆的方程、相交圆的公共弦方程、圆的一般方程与标准方程之间的互化 【详解】根据题意，圆及圆， 则联立方程组，消去二次项，变形可得：， 即两圆的公共弦所在的直线方程为； 联立方程组， 解得交点坐标为， 所以公共弦的中点为， 以公共弦为直径的圆的半径， 所以以公共弦为直径的圆的标准方程为. 重难点题型10 两圆的公切线问题 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、圆的公切线长 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，两圆方程作差即可判断B，求出即可判断C，根据公切线的性质判断D. 【详解】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D 2．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】圆的公切线条数、判断圆与圆的位置关系、相交圆的公共弦方程、圆的公切线长 【分析】利用之间的数量关系确定判断圆与圆的位置关系可判断A；通过两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程即判断B；由结合勾股定理求解可判断C;根据两圆位置关系结合半径大小可知公切线，由此判断D. 【详解】解：由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误; 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误; 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误; 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点P， 即过点P可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确; 故选：D. 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是______． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 【答案】①③④ 【难度】0.65 【知识点】两圆的公共弦长、相交圆的公共弦方程、圆的公切线长、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】求出圆Ck的圆心坐标即可判断①；根据两圆有公共点的条件求出的范围即可判断②；求出公共弦所在直线方程，结合公共弦长和垂径定理求出的值即可判断③；根据的值求出圆的半径，利用两圆的半径求出外公切线长即可判断④. 【详解】对于①，圆的圆心坐标为，在直线上，①正确； 对于②，若圆O与圆有公共点，则，即，解得或，②错误； 对于③，将圆O与圆的方程作差可得公共弦所在直线的方程为， 则圆心O到该直线的距离，则，解得或，③正确； 对于④，当时，圆心距为3，圆O与圆外切，半径差为1，则外公切线长为，④正确． 故答案为：①③④    重难点题型11 综合应用 1．（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.75 【知识点】由圆的位置关系确定参数或范围 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 2．（25-26高二下·湖南怀化·期末）全向信标台（）是机场飞机航路引导的核心设备．已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投影区域可近似看作圆：．一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线：上进行沿线巡检．当无人机飞行至某位置时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点．若要在该位置使得四边形的面积最小，则巡检无人机此时的坐标应为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】直线与圆的位置关系求距离的最值、切线长、由标准方程确定圆心和半径 【详解】由定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点， 可得， 当最小时，最小，又最小时，即为到直线的距离， 即此时，又，所以， 又因为，所以此时直线的方程为，即， 由，得，所以巡检无人机此时的坐标应为. 3．（25-26高二下·上海闵行·期末）某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）．运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切．以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2），若，，则直线的一般式方程为_____________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】结合题意求得，设直线的斜率为，由与内侧分道线相切建立等式结合图形计算求解即可. 【详解】由题意可得， 因为，， 所以，即， 因为点在轴上，所以， 由题意可得以点为圆心的半圆形内弯道所在方程为， 设直线的斜率为，则直线方程为，即， 因为与内侧分道线相切， 所以，解得， 结合图形可知，代入直线方程化简可得. 4．（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy中，直线过定点A，以原点为圆心的圆O过点A，不与x轴垂直的直线与圆O交于B，C两点，若，则直线的纵截距为________． 【答案】 【难度】0.55 【知识点】直线的斜截式方程及辨析、直线过定点问题、圆的弦长与中点弦 【分析】求出点坐标，再由正三角形性质求出弦中点坐标并求出直线的方程即可. 【详解】直线，即，则，    由，得是圆的内接正三角形，连接并延长交于， 则，即点，直线的斜率为，且， 因此直线的斜率为，方程为，即， 所以直线的纵截距为. 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 【答案】(1)或 (2)或 【难度】0.68 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】（1）根据直线与圆相切时的性质，对斜率的存在进行分类讨论，根据点到直线距离公式，求出参数值，求出方程； （2）根据圆的内切和外切时的性质，判定半径之间的关系，进而列出方程，求出参数值. 【详解】（1）若直线斜率不存在，此时方程为，满足与圆相切； 若直线斜率存在，则直线的方程可表示为：，即， 由直线与圆相切，设圆心到直线的距离为，则有，解得， 此时的方程为：， 综上可知方程为：或． （2）因为圆，可得圆心，半径． 又因为圆，可得圆心，半径． 所以圆心距，且， 因为圆与圆有且只有一条公切线， 所以圆与圆内切， 所以，得，解得或． 故实数的值为或． 6．（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.72 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）联立两直线方程，可得点坐标，由题意，设圆心，则，根据两点间距离公式，求出值，可得圆心和半径，即可得答案. （2）根据弦长公式，可得圆心到直线l的距离，分别讨论垂直轴和不垂直轴两种情况，根据点到直线的距离公式，分析求解，综合即可得答案. 【详解】（1）联立与，解得交点， 由圆心在轴上，则设圆心，则， 所以，解得， 则，半径， 所以圆的标准方程为 （2）因为，半径，设圆心到直线的距离为， 则，解得， 当直线垂直轴时，方程为，此时圆心到直线的距离为2，符合题意； 当直线不垂直轴时，设斜率为，则直线的方程为， 即， 则圆心到直线的距离，解得， 则的方程为，即， 综上，直线的一般方程为或. 7．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 【答案】(1) 由直线，整理成， 由，解得，则直线恒过定点 (2) (3)或 【难度】0.65 【知识点】由直线与圆的位置关系求参数、直线过定点问题、已知圆的弦长求方程或参数 【详解】（1）略 （2）根据题意，圆. 则圆的标准方程，圆心为，半径. 若直线与圆相切，则有，解得， 即当时，直线与圆相切． （3）设圆心到直线的距离为， 依题意，有，即，解得， 又由，解得或. 直线的方程为或. 8．（25-26高二下·上海·阶段检测）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 【答案】(1)或 (2)点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分 【难度】0.65 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求平面轨迹方程、两条直线的到（夹）角公式、圆的弦长与中点弦 【分析】（1）利用两直线夹角公式求出直线的斜率，再求直线方程即可. （2）利用垂径定理得到，根据向量垂直的坐标表示结合直线与圆的位置关系即可求出点的轨迹. 【详解】（1）圆可化为，圆心坐标为，半径为. 直线：，斜率为. 设直线的斜率为，则，即， 解得或. 当时，直线方程为，即； 当时，直线方程为，即； 所以直线方程为或. （2） 设，因为是弦中点，所以，所以. 又，， 所以，即， 整理得. 因为直线与圆相交于两点，所以点应在圆的内部. 所以点的轨迹为以为圆心，以为半径的圆且在圆内的部分. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.5 直线与圆、圆与圆的位置关系 目录●重难点题型分布 重难点题型1 判断直线与圆的位置关系 1．（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 2．（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 3．（25-26高二上·广东湛江·期末）直线：与圆C：的位置关系是（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．无法确定 4．（25-26高二上·湖南衡阳·期末）已知直线，圆，则直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 重难点题型2 由直线与圆的位置关系，求参数 1．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 2．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 3．“”是“直线与圆相切”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 6．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________． 7．（23-24高二上·上海宝山·阶段检测）若直线l：与曲线C：有公共点，则实数b的取值范围是_______ 重难点题型3 弦长 1．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆截直线所得弦的长度为4，则实数的值是（     ） A． B． C． D． 2．（2026·山东威海·二模）已知直线被圆截得的弦长为，则（    ） A． B． C． D．1 3．（26-27高三·全国·一轮复习）由直线上的一点向圆引切线，则切线长的最小值为（   ） A．1 B． C． D．3 4．（2026·天津南开·模拟预测）若斜率为1的直线，被圆截得的弦长为，则该直线方程为____________． 5．（25-26高二下·上海·期中）若直线被圆截得的弦长为6，则的值为___ 6．（25-26高二上·上海·阶段检测）若直线截圆所得的弦长是8，则________． 重难点题型4 切线、切线长与切点弦问题 1．（25-26高三上·广西贵港·开学考试）已知圆，过直线上的动点P作圆C的一条切线，切点为A，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D．3 2．过点作圆的两条切线，设切点为A，B，则切点弦AB的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（23-24高二上·山东济宁·期中）过点作圆C：的两条切线，切点分别为A，B，则直线的方程为（　　） A． B． C． D． 4．已知是上一点，过点作圆的两条切线，切点分别为，当直线与平行时，（    ） A． B． C． D．4 5．若，圆，则过作圆的切线，切点为，则的最小值为___________. 6．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 7．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆与圆相交于两点，且，则___________． 重难点题型5 圆上的点到直线距离的个数问题 1．（2026·贵州毕节·一模）已知圆上到直线的距离为的点有且仅有个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北武汉·期中）已知直线：，则曲线：上到直线的距离为的点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25高二上·江苏扬州·阶段检测）已知圆上有四个点到直线的距离等于1，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·河北邯郸·模拟预测）若圆上到直线的距离为的点有且仅有2个，则半径的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·黑龙江齐齐哈尔·阶段检测）（多选题）已知圆和直线，则下列说法正确的是（ ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 6．（25-26高二上·江苏南京·期中）（多选题）已知圆和直线，则下列说法正确的是（    ） A．当时，直线被圆截得的弦长为 B．当时，圆上到直线的距离为的点有个 C．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则四边形面积最小值为 D．当时，过直线上一点作圆的两条切线，切点分别为，则直线恒过定点 7．（25-26高二上·贵州六盘水·阶段检测）已知圆上到直线的距离为2的点有且仅有2个，则的取值范围是___________． 8．（24-25高二上·福建福州·期中）已知圆，直线，圆上至少有三个点到直线的距离都等于2，则b的范围是______. 重难点题型6 直线与圆的位置关系中的最值（范围）问题 1．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26高二上·浙江杭州·期中）设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知直线与圆，则圆上一点到直线的距离最大值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·上海·期中）圆上的点到直线的最小距离是______. 5．（25-26高二上·福建宁德·阶段检测）已知点为圆上的动点，直线，则点到直线的距离的最大值为__________. 6．（25-26高二上·河北承德·阶段检测）已知点在圆上运动，则到直线距离的最大值为__________. 重难点题型7 判断圆与圆的位置关系 1．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（     ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 2．（25-26高二下·上海闵行·期中）圆：与圆：的位置关系是（   ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 3．（25-26高二下·浙江·开学考试）圆与圆的位置关系是（   ） A．外离 B．相交 C．相切 D．内含 4．（25-26高二上·广东湛江·期末）圆与的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．内含 5．（25-26高二上·广东广州·期末）已知圆，圆，则圆与圆的位置关系是（    ） A．内切 B．相交 C．外切 D．外离 重难点题型8 由圆与圆的位置关系，求参数 1．（2026·福建泉州·模拟预测）已知圆与恰有一条公切线，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知两圆和有2条公切线，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖南长沙·阶段检测）已知圆，圆，若圆与圆内切，则实数a的值为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·重庆·阶段检测）已知圆与圆恰有3条公切线，则______． 5．（25-26高二上·陕西咸阳·期末）若圆与圆相切，则实数的一个取值为__________. 6．（25-26高二上·河北沧州·期末）已知圆与圆相交，则的取值范围为__________. 重难点题型9 两圆的公共弦问题 1．（25-26高二下·上海·期中）已知圆与相交于、两点，则公共弦的长为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）圆与圆的公共弦的长为（    ） A．2 B． C．4 D． 3．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆交于两点，点在圆上运动，点在圆上运动，则下列说法正确的是（    ） A．圆和圆关于直线对称 B．圆和圆的公共弦长为 C．的取值范围为 D．若为直线上的动点，则的最小值为109 4．（25-26高二上·浙江湖州·阶段检测）（多选题）点P在圆：上，点Q在圆：上，则（   ） A．两圆的位置关系为外切 B．的最大值为12 C．两圆公切线段长为 D．两圆相交弦所在直线的方程为 5．（24-25高二上·江苏镇江·期中）（多选题）圆与圆相交于，两点，下列说法正确的是（    ） A．的直线方程为 B．公共弦的长为 C．圆与圆的公切线段长为1 D．线段的中垂线方程为 6．（25-26高二上·江苏常州·期末）已知圆与圆相交于，两点，则两圆公共弦的长为______． 7．（25-26高二上·江苏南通·阶段检测）两圆及的公共弦所在直线方程为____________，以该公共弦为直径的圆的标准方程为___________________________. 重难点题型10 两圆的公切线问题 1．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（   ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 2．（24-25高二上·广西百色·期末）已知圆和圆，则（    ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点P，使得过点P能作两条与两圆都相切的直线 3．（24-25高二上·上海·课后作业）已知圆O：圆：，则下列结论正确的是______． ①无论k取何值，圆心始终在直线上； ②若圆O与圆有公共点，则实数k的取值范围为； ③若圆O与圆的公共弦长为，则或； ④与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线，如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线，当时，两圆的外公切线长为． 重难点题型11 综合应用 1．（25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·湖南怀化·期末）全向信标台（）是机场飞机航路引导的核心设备．已知某机场信标台在地面上的核心信号覆盖投影区域可近似看作圆：．一架负责信号测试的巡检无人机在规划的水平直线航线：上进行沿线巡检．当无人机飞行至某位置时，由于测试需要，其两侧的定向接收天线发出的探测射线，恰好分别切于圆的，两点．若要在该位置使得四边形的面积最小，则巡检无人机此时的坐标应为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·上海闵行·期末）某学校操场的每条跑道由两段直道和两段半圆形弯道组成（如图1）．运动员比赛时，从某条跑道弯道处的起跑线上选取一点P作为起跑点，沿直线加速后从点Q切入弯道内侧分道线，即与内侧分道线相切．以半圆的圆心O为原点，建立平面直角坐标系（如图2），若，，则直线的一般式方程为_____________． 4．（2026·四川资阳·模拟预测）已知平面直角坐标系xOy中，直线过定点A，以原点为圆心的圆O过点A，不与x轴垂直的直线与圆O交于B，C两点，若，则直线的纵截距为________． 5．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知圆． (1)若直线经过点且与圆相切，求直线的方程； (2)若圆与圆有且只有一条公切线，求实数的值． 6．（25-26高二上·江西萍乡·期中）已知直线与的交点为，圆的圆心在轴上，且过点和点. (1)求的标准方程； (2)若过点的直线与交于两点，且，求的一般方程． 7．（25-26高二上·湖南岳阳·期末）已知圆，直线． (1)求证：直线恒过定点； (2)当为何值时，直线与圆相切； (3)当直线与圆相交于，两点，且时，求直线的方程． 8．（25-26高二下·上海·阶段检测）如图，已知圆方程为，直线方程为，过点的一条动直线与直线相交于点. (1)若直线与夹角为，求直线的方程； (2)若直线与圆相交于两点，是弦中点，求点的轨迹. 1 学科网（北京）股份有限公司 $