专题05 直线与圆位置关系判定（专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

专题05 直线与圆位置关系判定 常考题型·精准突破 题型1直线与圆位置关系判定 题型2直线与圆交点求解 题型3由直线与圆位置关系求参数 题型4弦长问题 题型5切线长 题型6切线方程求解 题型7坐标法应用 题型8直线与圆中最值问题 题型9圆内接三角形问题 题型10切点弦问题 题型11直线与圆实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1直线与圆位置关系判定 ( 解题贴士 ： 判断直线与圆的位置关系的方法 （ 1 ） 几何法 ： 由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断 ； （ 2 ） 代数法 ： 根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断 . ) 【例1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【变式1】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【变式2】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【变式3】（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【变式4】（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【变式5】（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． ◆题型2直线与圆交点求解 【例2】（2026·江苏苏州·模拟预测）过点作直线l交圆于点M，N，若，则点N的横坐标是（    ） A． B．2 C． D． 【变式1】（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【变式2】（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式4】（25-26高二上·重庆南岸·期中）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． ◆题型3由直线与圆位置关系求参数 【例3】（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【变式1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则实数（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 ◆题型4弦长问题 ( 解题贴士 ： 求弦长常用的 3 种方法 （ 1 ） 利用圆的半径 r ， 圆心到直线的距离 d ， 弦长 l 之间的关系 ＋ d 2 ＝ r 2 解题 ； （ 2 ） 利用交点坐标 ， 若直线与圆的交点坐标易求出 ， 求出交点坐标后 ， 直接用两点间距离公式计算弦长 ； （ 3 ） 利用弦长公式 ， 设直线 l ： y ＝ kx ＋ b 与圆的两交点 （ x 1 ， y 1 ），（ x 2 ， y 2 ）， 将直线方程代入圆的方程 ， 消元后利用根与系数的关系得弦长 l ＝ ｜ x 1 － x 2 ｜＝ ) 【例4】（26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【变式2】（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式3】（2026·海南儋州·二模）若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 【变式4】（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． ◆题型5切线长 ( 解题贴士 ： 求切线长 （ 最值 ） 的两种方法 （ 1 ） 代数法 ： 直接利用勾股定理求出切线长 ， 把切线长中的变量统一成一个 ， 转化成函数求最值 ； （ 2 ） 几何法 ： 把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题 ) 【例5】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【变式2】（25-26高二上·湖南邵阳·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）由点向圆引切线，则切线长为（    ） A．2 B．4 C．6 D． ◆题型6切线方程求解 ( 解题贴士 ： 1 . 求过圆上一点 （ x 0 ， y 0 ） 的圆的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k ， 再由垂直关系得切线的斜率为 － ， 由点斜式可得切线方程 . 如果切线斜率为零或不存在 ， 则由图形可直接得切线方程 y ＝ y 0 或 x ＝ x 0 . 2 . 求过圆外一点 （ x 0 ， y 0 ） 的圆的切线方程 设切线方程为 y － y 0 ＝ k （ x － x 0 ）， 由圆心到直线的距离等于半径建立方程 ， 可求得 k ， 也就得切线方程 . 当用此法只求出一个方程时 ， 另一个方程应为 x ＝ x 0 ， 因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况 ， 而过圆外一点的切线有两条 . ) 【例6】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【变式1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【变式2】（24-25高二上·河南许昌·期中）直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 【变式3】（24-25高二上·福建三明·阶段检测）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【变式4】（模块三较难第1套模拟卷（高二期中备考模拟））过点引圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 ◆题型7坐标法应用 ( 解题贴士 ： 解决与圆有关的方法步骤 （ 1 ） 建坐标系 ： 充分利用线段及其垂直平分线 ， 建立平面直角坐标系 ； （ 2 ） 求出方程 ： 根据几何性质 ， 确定圆心与半径 ， 求圆的标准方程 ； （ 3 ） 计算求值 ： 利用圆的方程 ， 确定点的坐标 ， 转化为实际问题的解 . ) 【例7】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）直线截圆所得劣弧所对圆心角为（    ） A． B． C． D． 【变式1】若直线，与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为（    ） A． B． C． D．5 【变式2】（2026·陕西渭南·二模）已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能 【变式3】（2026·河北·模拟预测）单位圆中，为一条直径，为圆上两点且弦长为，则的取值范围是___________. 【变式4】（2026·高二·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． ◆题型8直线与圆中最值问题 【例8】（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【变式1】（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】（25-26高二上·浙江·阶段检测）过点作直线与曲线交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【变式4】（基础点31弦长、距离相关问题的求解）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【变式5】（25-26高二上·北京·阶段检测）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． ◆题型9圆内接三角形问题 【例9】（2026·高二·辽宁铁岭·阶段检测）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（    ） A． B． C．8 D．13 【变式1】（2026·高一·湖南·期末）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(　　) A． B． C． D． 【变式2】（2026·高二·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【变式3】（2026·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【变式4】（2026·高二·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【变式5】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． ◆题型10切点弦问题 【例10】过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 【变式1】（2026·高二·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______. 【变式2】（2026·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________． 【变式3】（2026·高二·广东广州·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________. 【变式4】如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为______，直线所经过的定点的坐标为______． ◆题型11直线与圆实际应用 ( 解题贴士 ： 直线与圆的方程实际应用的步骤 ) 【例11】（25-26高二下·广东·阶段检测）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式1】一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（　　） A．2.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2.0米 【变式2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 【变式3】（25-26高二上·天津河西·期中）如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________.    综合攻坚·知能拔高 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 3．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 7．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 8．（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 9．（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 10．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 11．（广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题）已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 12．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 13．（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 14．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 15．（2026高三·全国·专题练习）已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）若直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)求与直线平行的圆的切线方程． 17．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知点，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)求直线被曲线E截得的弦长． 18．（2026高三·全国·专题练习）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 19．（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 20．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知圆经过点，圆心在直线：上，圆被直线：截得的弦长为， (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线：对称，过原点的直线交圆于，两点，求弦中点的轨迹方程. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 直线与圆位置关系判定 常考题型·精准突破 题型1直线与圆位置关系判定 题型2直线与圆交点求解 题型3由直线与圆位置关系求参数 题型4弦长问题 题型5切线长 题型6切线方程求解 题型7坐标法应用 题型8直线与圆中最值问题 题型9圆内接三角形问题 题型10切点弦问题 题型11直线与圆实际应用 综合攻坚·知能拔高 常考题型·精准突破 ◆题型1直线与圆位置关系判定 ( 解题贴士 ： 判断直线与圆的位置关系的方法 （ 1 ） 几何法 ： 由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关系判断 ； （ 2 ） 代数法 ： 根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断 . ) 【例1】（26-27高三·全国·一轮复习）直线与圆的位置关系是 （   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．都有可能 【答案】C 【详解】圆的圆心坐标为，半径为， 圆心到直线的距离为， 即，所以直线l与圆C的位置关系是相离. 【变式1】（2026·陕西商洛·三模）直线：与圆：的位置关系是（    ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定的 【答案】A 【详解】因为圆心到直线的距离为， 又圆的半径. 由可知，直线与圆相离. 【变式2】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）直线与圆的位置关系是（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．无法确定 【答案】A 【分析】先求圆心到直线距离，再与半径比较即可判断位置关系. 【详解】由圆，可得圆心，半径， 则圆心到直线的距离为， 故直线与圆相交. 【变式3】（河北衡水中学2024届高三年级下学期二调考试数学试题）直线与圆的位置关系为（   ） A．相交 B．相切 C．相离 D．与m的取值有关 【答案】A 【详解】圆，则圆心，半径， 所以圆心C到直线l的距离，所以直线l与圆C相交． 【变式4】（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交，所以，化简得. 【变式5】（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以在直线上，所以，解得. ◆题型2直线与圆交点求解 【例2】（2026·江苏苏州·模拟预测）过点作直线l交圆于点M，N，若，则点N的横坐标是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设，，根据用N的坐标表示M的坐标，再根据M、N满足圆的方程，联立方程组消去y即可求出x． 【详解】设，∵点在圆上，∴． 已知，则， ∵，∴． 设，则， 则，则． ∵点在圆上，∴． 将代入上式可得：，解得，故选：A． 【变式1】（25-26高二上·湖北荆州·期末）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（    ） A． B．或 C．或 D． 【答案】B 【分析】为直角，故在以为直径的圆上，确定圆方程，取计算得到答案. 【详解】为直角，故在以为直径的圆上， 圆心为，半径为， 圆方程为，取得到或， 即点坐标为或.故选：B. 【变式2】（25-26高三下·江苏苏州·开学考试）过点作直线l交圆于点，，若 ，则点的横坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出点的坐标，结合题意可得点的坐标，又两点都在圆上，代入计算即可得点的横坐标. 【详解】设，故有，即， 由，则点为中点，故，故有， 即有，整理得，即.故选：A. 【变式3】（25-26高二上·江苏宿迁·期中）直线与曲线的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】联立方程后考虑方程组的解，从而可得交点的个数. 【详解】联立直线方程和曲线方程可得可得， 即，解得或，故方程组的解为或.故选：C 【变式4】（25-26高二上·重庆南岸·期中）在平面直角坐标系中，为直线上在第一象限内的点，，以为直径的圆与直线交于另一点.若，则点的横坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先设 点坐标，然后表示出圆的方程，将直线与圆的方程联立，求出点坐标，然后根据向量垂直求出参数，求出点坐标. 【详解】解：设，因为，所以， 则圆的方程为， 联立， 解得，由， 得，解得 或 ， 又 ，所以，即 ， 所以点 的横坐标为4故选：A ◆题型3由直线与圆位置关系求参数 【例3】（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 【变式1】（2026·贵州贵阳·模拟预测）已知直线被圆截得的弦长为，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题可得圆的圆心为，半径为， 直线被圆截得的弦长为，则直线过圆心， 圆心代入直线得，解得. 【变式2】（2026·辽宁抚顺·一模）已知圆M：与直线恰有2个交点，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可得圆M的圆心为，由题意得圆心M到直线的距离为， 又因为圆M与直线恰有2个交点，所以，所以， 解得，所以a的取值范围是． 【变式3】（2026·北京·模拟预测）若直线与圆无公共点，则（     ） A．或 B． C． D．或 【答案】A 【详解】由得，则圆心，半径. 因为直线与圆无公共点， 所以圆心到直线的距离， 即，化简得，，解得，或. ◆题型4弦长问题 ( 解题贴士 ： 求弦长常用的 3 种方法 （ 1 ） 利用圆的半径 r ， 圆心到直线的距离 d ， 弦长 l 之间的关系 ＋ d 2 ＝ r 2 解题 ； （ 2 ） 利用交点坐标 ， 若直线与圆的交点坐标易求出 ， 求出交点坐标后 ， 直接用两点间距离公式计算弦长 ； （ 3 ） 利用弦长公式 ， 设直线 l ： y ＝ kx ＋ b 与圆的两交点 （ x 1 ， y 1 ），（ x 2 ， y 2 ）， 将直线方程代入圆的方程 ， 消元后利用根与系数的关系得弦长 l ＝ ｜ x 1 － x 2 ｜＝ ) 【例4】（26-27高三·全国·一轮复习）直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线被圆截得的弦长为，而该圆半径为2， 因此圆心到该直线的距离，又， 即，所以直线的斜率. 【变式1】（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）直线被圆截得的弦长为（    ） A．2 B． C．3 D．4 【答案】D 【详解】圆可化为，得圆心，半径 用点到直线的距离公式，直线，圆心到直线的距离： 弦长 【变式2】（24-25高二下·浙江·期中）设圆，直线，直线与圆相交所得到的弦长为2，则圆的半径为（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】D 【详解】将圆方程化为标准方程，，所以圆心坐标，半径， 圆心到直线的距离为，所以弦长为， 所以，解得，所以圆的半径为. 【变式3】（2026·海南儋州·二模）若过点的直线的倾斜角为，则直线被圆所截得的弦长为________． 【答案】 【解析】由直线的倾斜角为，可得直线斜率， 结合直线过点，可得直线的方程为，即. 圆的圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 因此，直线被圆截得的弦长. 【变式4】（2026·吉林·三模）设直线与圆交于，两点，若，则实数的值为______． 【答案】 【解析】可化为， 则圆心，半径为，且，即. 圆心到直线的距离. 由垂径定理得，，即，整理得， 解得，此时满足条件， ◆题型5切线长 ( 解题贴士 ： 求切线长 （ 最值 ） 的两种方法 （ 1 ） 代数法 ： 直接利用勾股定理求出切线长 ， 把切线长中的变量统一成一个 ， 转化成函数求最值 ； （ 2 ） 几何法 ： 把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题 ) 【例5】（25-26高二上·陕西商洛·期末）已知点是圆外一点，过P作圆C的两条切线，切于A，B两点，则切线长（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用切线长公式计算. 【详解】由题意知，，半径，则.故选：A 【变式1】（24-25高二上·浙江金华·期末）点P为直线上一动点，过点P作圆的切线，切点为Q，则的最小值为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】C 【分析】由题意可求出的最小值，结合圆的性质，利用勾股定理可求得的最小值. 【详解】设点的坐标为，，圆的圆心坐标为，半径， 则 由圆的几何性质可得， 又， 当且仅当时取等号，所以的最小值为． 故选：C 【变式2】（25-26高二上·湖南邵阳·期中）从点向圆引切线，则切线长的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的切线长公式求解. 【详解】由圆，则圆心，半径为， 则切线长为， 当时，切线长取得最小值， 此时点，且，即点在圆外，满足题意.故选：A 【变式3】（25-26高二上·河北张家口·期中）过点的直线与圆相切，则切线长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点为，连接，则，求出的值，结合勾股定理可求得切线长为. 【详解】设切点为，连接，则，如图所示：    圆心为，半径为，， 故切线长为.故选：D. 【变式4】（25-26高二上·江苏淮安·阶段检测）由点向圆引切线，则切线长为（    ） A．2 B．4 C．6 D． 【答案】C 【分析】求出，利用切线长公式求出结果. 【详解】圆的圆心为，半径为， ，点在圆外， 则切线长为.故选：C. ◆题型6切线方程求解 ( 解题贴士 ： 1 . 求过圆上一点 （ x 0 ， y 0 ） 的圆的切线方程 先求切点与圆心连线的斜率 k ， 再由垂直关系得切线的斜率为 － ， 由点斜式可得切线方程 . 如果切线斜率为零或不存在 ， 则由图形可直接得切线方程 y ＝ y 0 或 x ＝ x 0 . 2 . 求过圆外一点 （ x 0 ， y 0 ） 的圆的切线方程 设切线方程为 y － y 0 ＝ k （ x － x 0 ）， 由圆心到直线的距离等于半径建立方程 ， 可求得 k ， 也就得切线方程 . 当用此法只求出一个方程时 ， 另一个方程应为 x ＝ x 0 ， 因为在上面解法中不包括斜率不存在的情况 ， 而过圆外一点的切线有两条 . ) 【例6】（25-26高二下·全国·期中）设直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径，直线过点， 而圆心到直线的距离为1，因此直线是圆的一条切线； 当直线的斜率存在时，设其方程为，即， 由，解得，方程为，所以直线的方程为或. 【变式1】（25-26高二上·山东泰安·期中）过点作圆的切线，则的方程为（   ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】A 【分析】利用切线定义结合点到直线距离公式，分斜率存在与不存在讨论即可得. 【详解】当斜率不存在时，，圆的圆心到的距离为， 故此时是圆的切线，符合； 当斜率存在时，设，即， 则圆的圆心到的距离， 解得，则； 综上所述：的方程为或.故选：A. 【变式2】（24-25高二上·河南许昌·期中）直线过点，且与圆相切，则直线的方程为（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质，结合点到直线距离公式列式计算即得. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为，此时与圆不相切， 则直线的斜率一定存在，设直线方程为，化简得， 依题意，圆心到直线的距离为1，即，解得或， 所以直线的方程为或.故选：D 【变式3】（24-25高二上·福建三明·阶段检测）已知圆C：，过点作圆C的切线，则切线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用点到直线的距离公式求出切线的斜率，再求直线方程即可，特别要注意直线斜率是否存在. 【详解】因为，所以圆心，半径， ①当切线斜率不存在时，无法与圆相切，舍； ②当切线斜率存在时，不妨设，则，解得. 所以切线方程为.故选：D. 【变式4】（模块三较难第1套模拟卷（高二期中备考模拟））过点引圆的切线，则切线方程为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】分斜率存在和斜率不存在两种情况讨论；当斜率不存在时，直线与x轴垂直，只需判断圆心到直线的距离是否等于半径即可；当斜率存在时，设出直线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出斜率即可. 【详解】当直线的斜率不存在时，直线方程为， 此时，圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线方程为， 即， ∵直线与圆相切， ∴圆心到直线的距离等于半径， 即，解得， ∴所求切线方程为. 综上，切线方程为或.故选：D. ◆题型7坐标法应用 ( 解题贴士 ： 解决与圆有关的方法步骤 （ 1 ） 建坐标系 ： 充分利用线段及其垂直平分线 ， 建立平面直角坐标系 ； （ 2 ） 求出方程 ： 根据几何性质 ， 确定圆心与半径 ， 求圆的标准方程 ； （ 3 ） 计算求值 ： 利用圆的方程 ， 确定点的坐标 ， 转化为实际问题的解 . ) 【例7】（25-26高三上·福建龙岩·阶段检测）直线截圆所得劣弧所对圆心角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先写出圆心和半径，再根据几何法求出弦长，然后根据余弦定理求出圆心角． 【详解】由题意有，该圆圆心为，半径为2， 圆心到直线的距离， ∴弦长， 由余弦定理得圆心角的余弦值，∴圆心角．故选：D． 【变式1】若直线，与两坐标轴围成的四边形有外接圆，则此四边形的面积为（    ） A． B． C． D．5 【答案】C 【分析】根据对角互补的四边形有外接圆，可得直线与垂直，求出，进而可得两直线与坐标轴交点坐标，以及两直线的交点坐标，结合面积公式，即可求出结果. 【详解】圆的内接四边形对角互补，因为x轴与y轴垂直， 所以与垂直. 所以有，解得. 又直线与坐标轴的交点为， 直线与坐标轴的交点为，， 两直线交点的纵坐标为，所以四边形的面积.故选C 【变式2】（2026·陕西渭南·二模）已知的三边长为，满足直线与圆相离，则是 A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．以上情况都有可能 【答案】C 【详解】圆心到直线的距离,所以，在中，，所以为钝角．为钝角三角形．选C 【变式3】（2026·河北·模拟预测）单位圆中，为一条直径，为圆上两点且弦长为，则的取值范围是___________. 【答案】 【分析】由题设，再根据数量积坐标运算计算即可. 【详解】解：如图，由弦长为，可得， 不妨设， 则， 所以 . 【变式4】（2026·高二·四川·期中）已知三点，点在圆上运动． (1)若直线与圆有唯一公共点，求； (2)求的最小值． 【解析】（1）由题意知，圆的圆心为，半径， 故， 由题意可得直线与圆相切，且唯一公共点为点， 在中，由勾股定理可得． （2）设，且， 故 ， 而，当时，取得最小值． ◆题型8直线与圆中最值问题 【例8】（2026·河南濮阳·二模）圆上的点到直线距离的最大值是（   ） A．7 B．5 C．3 D．2 【答案】A 【详解】圆的圆心，半径， 直线可化为， 令，得，故直线过定点， 由图知，当且仅当时，点到直线距离取得最大值：， 故圆上的点到直线距离最大值为. 【变式1】（2026·云南·模拟预测）已知直线与圆相交于、两点，则的最小值为（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】C 【分析】由直线的方程可确定直线过定点，则当点到直线的距离的最大值为时，取最小值. 【详解】直线，可化为，则直线过定点， 圆配方得，可得圆心，半径， 所以，即点在圆内， 则当点到直线的距离的最大值为时，，故选：C． 【变式2】（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）长度为2的线段的两个端点分别在轴及轴上运动，则线段的中点到直线距离的最大值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】确定线段的中点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，结合圆的几何性质即可求得答案. 【详解】设，由题意可得：， 设的中点坐标为，则，，所以，即， 即线段的中点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 圆心到直线的距离为：， 所以线段的中点到直线距离的最大值为，故选：C 【变式3】（25-26高二上·浙江·阶段检测）过点作直线与曲线交于，两点，为坐标原点，则面积的最大值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】作图，由图知，当面积取最大值时，，计算即可求解. 【详解】由，则，，即， 所以曲线，是以原点为圆心，2为半径的半圆，如图. 因为，所以当面积取最大值时，，即.故选：C. 【变式4】（基础点31弦长、距离相关问题的求解）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】根据直线与圆的位置关系可知，点P到直线的距离的最小值为圆心到直线的距离减去圆的半径． 【详解】圆C的方程可化为， 所以，半径，则C到直线l：的距离为， 所以所求距离的最小值为．故选：C 【变式5】（25-26高二上·北京·阶段检测）圆上的动点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先得到圆的圆心与半径，再利用点到直线的距离公式即可得解. 【详解】因为圆，所以其圆心，半径， 所以圆心到直线的距离， 则所求距离的最小值为.故选：A. ◆题型9圆内接三角形问题 【例9】（2026·高二·辽宁铁岭·阶段检测）已知圆的方程为，设该圆过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD面积为（    ） A． B． C．8 D．13 【答案】B 【解析】圆的方程为，化为标准方程：， 圆心为，半径为， 当过点的直线与垂直时，弦长最短，且， 当过点的直线且过圆心时，弦长最长，且， 此时，， 所以四边形ABCD面积为， 故选：B 【变式1】（2026·高一·湖南·期末）过点引直线与曲线相交于，两点，为坐标原点，当的面积取最大值时，直线的斜率等于(　　) A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由得， 所以曲线是以为圆心，半径的半圆， 因为直线与曲线相交于，两点，为坐标原点， 所以， 因此当面积取最大值时，， 此时， 所以圆心到直线的距离为， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，显然不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即， 则圆心到直线的距离为，解得 因为点在的右侧，所以，因此.故选：B. 【变式2】（2026·高二·浙江杭州·期中）直线与圆相交于两点，当面积最大时，的值为（    ） A．2 B． C． D．4 【答案】C 【解析】圆心到直线的距离， 则弦长， ， 当且仅当，即时， 面积取得最大值. 【变式3】（2026·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【解析】直线过定点，圆， 易知 设到距离为，， 当时，.故选:B． 【变式4】（2026·高二·云南曲靖·期中）点在圆上运动，直线与圆交于、两点，则面积的最大值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 则， 点到直线距离的最大值为， 所以，面积的最大值为.故选：A. 【变式5】（2026·高二·广东佛山·阶段检测）已知直线过定点A，过定点B，与交于点P（异于A，B两点），则的面积的最大值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将直线变形为：，知过定点， 将直线变形为：，知过定点， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 当且时，两直线的斜率乘积知：此时， 因为，由直径所对的圆周角为知， 点在以线段为直径的圆上（不含、两点）， 所以点到线段的距离即为的高，设为， 易知，因为，所以 所以，即的面积的最大值是,故选：D ◆题型10切点弦问题 【例10】过点作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为______． 【答案】 【解析】  方法一：直接在一般式方程里用“留一代一”：需注意“Ey”要代成“”，切点弦所在直线方程为，整理得．   方法二：将方程化为标准形式得，根据“留一代一”可知，所求切点弦所在直线方程为，即． 方法三：将方程化为标准形式得，观察圆的方程和点坐标可知， 过点且与圆相切的两条直线中，有一条斜率不存在，此时切线方程为， 将代入圆的方程中得，故此直线与圆相切于点． 由圆的切线的性质可知，，． 又直线过点，直线的方程为，即． 【变式1】（2026·高二·福建福州·期中）若一个圆的圆心为，且该圆与直线相切，则该圆的标准方程为__________，过点作该圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为__________. 【答案】 【解析】①点到直线距离等于半径， ∴，∴圆的标准方程为 ②当斜率不存在时，切线：，与圆相切与点； 由圆的切线的性质可知，， ∴∴，即 【变式2】（2026·高二·云南昆明·期末）过点作圆的切线，，则切线长为__________；过切点A，B的直线方程为__________． 【答案】 【解析】圆，则圆心，半径， 在中，，， ，． 以为直径的圆的方程，即以为圆心， 以为半径的圆的方程为：， 又圆，两圆方程相减可得． 【变式3】（2026·高二·广东广州·期中）过点作圆的两条切线，设两切点分别为A、B，则直线的方程为_________. 【答案】 【解析】根据题意，过点作圆的两条切线，设两切点分别为、， 则， 则以为圆心，为半径为圆为，即圆， 为两圆的公共弦所在的直线，则有， 变形可得：；即直线的方程为， 【变式4】如图，圆，点为直线上一动点，过动点作圆的两条切线，切点分别为．则直线的方程为______，直线所经过的定点的坐标为______． 【答案】 【解析】如图，连接， 方法一 ：因为都是圆的切线，所以，，所以四点共圆， 且为直径，所以切点弦实际上是以为直径的圆与圆的公共弦， 则以为直径的圆的圆心为，半径为， 故以为直径的圆的方程为， 两圆方程相减得直线的方程为， 令，则，所以直线过定点． 方法二：实际上是以为圆心，为半径的圆与圆的相交弦． ，，所以， 在中，， 所以以为圆心，为半径的圆的方程为， 两圆方程相减，可得圆和圆的公共弦所在直线的方程为， 即，令，则，所以直线过定点． 方法三：直线的方程为，即， 令，得，所以直线过定点． ◆题型11直线与圆实际应用 ( 解题贴士 ： 直线与圆的方程实际应用的步骤 ) 【例11】（25-26高二下·广东·阶段检测）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为的圆形区域内，已知小岛中心位于轮船正西处，港口位于小岛中心正北处，如果轮船沿直线返港，不会有触礁危险，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意得到，解得答案. 【详解】小岛到航线的距离为，解得.故选：C 【变式1】一辆货车宽1.6米，要经过一个半径为3.6米的半圆形单行隧道，则这辆货车的平顶车篷的篷顶距离地面高度最高约为（　　） A．2.4米 B．3.5米 C．3.6米 D．2.0米 【答案】B 【分析】当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高，可建系求解. 【详解】以半圆所在直径为x轴，过圆心且与x轴垂直的直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 易知半圆所在的圆的方程为 （）， 由图可知，当货车恰好在隧道中间行走时车篷最高， 此时x＝0.8或x＝－0.8，代入， 得（负值舍去）．故选：B 【变式2】（25-26高三上·山东青岛·开学考试）在气象台正西方向处有一台风中心，它正向北偏东方向移动，移动速度的大小为，距台风中心以内的地区都将受到影响，若台风中心的这种移动趋势不变，则气象台所在地受到影响的持续时间为___________小时． 【答案】5 【分析】以气象台为圆心，作半径为100的圆交台风轨迹于CD两点，计算CD两点的长度即可求得气象台所在地受到台风影响的时间． 【详解】如图所示，可设台风中心初始位置为，气象台为，， 以A为圆心，为半径作圆A交台风运动轨迹于C、D两点，CD为圆A的弦， 而台风向北偏东移动，可知， 过作BD的垂线，垂足为E，在直角中，，则， 在直角中，由勾股定理得， 所以，故持续时间为小时． 【变式3】（25-26高二上·天津河西·期中）如图，隧道的截面是半径为的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，假设货车的最大宽度为，那么要正常驶入该隧道，货车的限高为多少__________.    【答案】 【分析】画出如图的货车截面图矩形，在圆上时，货车最高，求出的长即得． 【详解】如图，矩形是货车截面图，，则，    综合攻坚·知能拔高 1．（2026·山东聊城·模拟预测）已知圆C：与直线：，则圆C与直线的位置关系为（   ） A．相交 B．相离 C．相切 D．相交或相切 【答案】A 【详解】圆C：的圆心为，半径为， 圆心到：的距离 ， 则圆C与相交，故A正确.. 2．（25-26高二下·广东深圳·期末）已知圆，直线与圆O相交于A，B两点．若，则实数（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用垂径定理的弦长公式建立圆心到直线距离的方程，再结合点到直线的距离公式求解实数的值. 【详解】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，将直线整理为一般式：； 设 为圆心到直线 的距离，则 ， 所以 ，解得 ，即 ， 由点到直线的距离公式： ，解得 ，即 . 3．（2026高三·全国·专题练习）圆在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出过点的半径所在直线的斜率，由垂直关系得切线斜率，从而可得切线方程． 【详解】圆的标准方程是，圆心坐标是, 过点的半径所在直线的斜率, 所以所求切线斜率为，切线方程为，即． 4．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得，，半径，直线为， 设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得， 若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以. 5．（25-26高二下·浙江杭州·期中）已知点在圆上，点在直线上，则的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】由题意求出圆的圆心到直线的距离，减半径得答案． 【详解】圆的圆心， 圆心到直线的距离, 故直线与圆相离． 的最小值为． 6．（25-26高二下·湖南郴州·期末）已知直线与：交于，两点，当面积为时，（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】利用点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合弦长公式表示出的面积，建立方程求解参数. 【详解】由圆的方程，得圆心，半径. 设圆心到直线的距离为，由点到直线距离公式得. 由弦长公式，得弦长. ∵ 的面积为， ∴ . 将上式两边平方得：，令，则， 整理得，解得或. ① 当时，，即， 展开化简得，解得或，均符合题意. ② 当时，，即， 展开化简得，其判别式，无实根. 综上，的值为或. 7．（25-26高二下·海南·期末）已知点在上，过点作圆的两条切线，切点分别为，，则四边形面积的最大值为（     ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】点在圆上，分析可得，要使四边形面积取到最大，只需取得最大值，根据点与圆的位置关系，分析计算，可求出，进而可得，计算即可得答案. 【详解】设圆的圆心为，则圆心坐标为，半径， 圆的圆心坐标为，半径， 所以点P到圆心C的最大距离为， 因为A为切点，所以， 所以， 所以四边形面积的最大值. 8．（2026·湖南长沙·一模）一个小岛的周围有环岛暗礁，暗礁分布在以小岛中心为圆心，半径为25 nmile的圆形区域内.现有一艘货船在小岛中心的正东方向40 nmile处，沿北偏西60°的方向直线航行，则该货船在暗礁区内航行的路程为（   ） A．0 nmile B．15 nmile C．30 nmile D．40 nmile 【答案】C 【详解】以小岛中心为原点，建立如图所示直角坐标系， 则，， 所以直线的斜率为，方程为， 即，则到的距离为， 所以，即该货船在暗礁区内航行的路程为30 nmile. 9．（2025·江苏南通·三模）已知直线与圆交于A，B两点，则的最大值为（    ） A．2 B．4 C．5 D．10 【答案】B 【分析】确定直线所过的定点，再求出圆心到该定点的距离，进而确定圆心到直线距离的取值范围，最后根据三角形面积公式求出面积的最大值. 【详解】直线过定点，圆， 易知 设到距离为， ， 当时，. 故选:B． 10．（25-26高二下·四川泸州·期末）已知直线，圆，则（   ） A．过定点 B．与圆C总有两个不同的公共点 C．存在实数，使圆关于对称 D．被圆C截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【分析】求出直线所过定点判断A；确定定点与圆的位置判断B；由圆心与直线关系判断C；求出最短弦判断D. 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确； 对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误； 对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确. 11．（广东省汕头市潮阳实验学校2025-2026学年高二上学期1月期末数学试题）已知直线：与圆：，则下列说法正确的是（    ） A．直线恒过定点 B．当时，直线与圆相切 C．当时，直线与圆相交 D．当时，直线与圆相离 【答案】AC 【分析】根据点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，与圆的半径进行比较，即可判断直线与圆的位置关系. 【详解】圆：，配方得，圆心坐标，半径. 选项A：令，则，与无关，所以直线恒过定点，A正确. 选项B：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，B错误. 选项C：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，C正确. 选项D：当时，直线方程为. 圆心到直线的距离为，所以直线与圆相交，D错误. 故选：AC. 12．（25-26高二下·云南德宏·期末）已知直线，圆，则下列说法中正确的是（    ） A．圆心坐标为 B．对，直线与圆一定相交 C．直线被圆截得的最短弦长为 D．当时，圆上存在着4个点到直线的距离为 【答案】ABD 【分析】对于A，将圆一般方程化为标准方程，据此可得圆心坐标；对于B，注意到直线过定点，由定点与圆关系可判断选项正误；对于C，设直线到圆心距离为，求出的最大值，可得弦长最小值；对于D，计算出直线到圆心距离，结合图形可判断选项正误. 【详解】对于A：，从而圆心坐标为，故A正确； 对于B：，则直线过定点，又， 则定点在圆内，则过该定点直线一定与圆相交，故B正确； 对于C：设直线到圆心距离为，直线被圆所截弦长为，圆半径为.由AB分析可得，直线过定点且该点到圆心距离为， 当直线与定点和圆心连线垂直时，最大为，则直线被圆截得的最短弦长为，故C错误； 对于D：当时，直线到圆心距离为，如下图，设直线与圆交于，中点为， 连接并延长交圆于，由垂径定理可得.易得， 则在劣弧上存在两点到直线的距离为，在优弧上也存在两点到直线的距离为， 综上圆上存在着4个点到直线的距离为，故D正确. 13．（26-27高三·全国·一轮复习）过圆上的点的切线方程为______. 【答案】 【详解】法1：圆心坐标为， 因为点在圆上，故圆心与该点连线的斜率不存在， 故切线的斜率为零，故切线方程为. 法2：过圆上的点的切线方程为： ，即. 14．（25-26高二下·福建厦门·期末）圆上的点到直线的距离的最小值为_______. 【答案】2 【分析】先计算出圆心到直线的距离，判断圆与直线的关系，根据圆与直线的关系进行求解. 【详解】该圆的圆心为，半径，到直线的距离， 所以圆与直线相离，其上一点到的距离的最小值为. 15．（2026高三·全国·专题练习）已知直线与圆相交于A、B两点，且，则实数a的值等于______． 【答案】 【分析】设点坐标，联立直线与圆方程，根据韦达定理以及向量数量积的坐标公式得到关于参数的等式，即可计算结果． 【详解】设，， 由可得； 因为直线与圆有两个交点，故，解得， 因为，故； 根据韦达定理可得，； 则； 因为，； 则，解得． 16．（25-26高一下·全国·课后作业）若直线是圆的一条对称轴． (1)求圆的圆心坐标与半径； (2)求与直线平行的圆的切线方程． 【分析】（1）根据直线经过圆心，可求的值，进而求得圆心和半径. （2）利用圆心到直线的距离等于圆的半径求切线方程. 【详解】（1）由圆的方程可知，圆心， 由题意可知直线过圆心，即，解得， 所以圆心，半径. （2）设与直线平行的直线方程为，可得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或， 所以所求的直线的方程为或． 17．（25-26高二上·河南郑州·期末）已知点，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)求直线被曲线E截得的弦长． 【分析】（1）设，由利用两点间的距离公式化简可得答案； （2）求出圆心到直线的距离，再利用勾股定理可得答案. 【详解】（1）由题意得，所以， 设，因为点， 所以，化简得． 所以曲线E的方程为； （2）由（1）知，曲线E是圆心为，半径的圆， 所以圆心到直线的距离为：， 所以直线被曲线截得的弦长为． 18．（2026高三·全国·专题练习）已知经过点，且方向向量为的直线l与圆相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)求证：为定值； (3)若O为坐标原点，且，求k的值． 【分析】（1）根据直线的方向向量和过点坐标，得到直线方程，因为直线与圆相交，故圆心到直线的距离小于半径，可列出不等式得到斜率的取值范围； （2）过圆外一点作圆的切线，则切线长为定值，根据切割线定理即可证明结论； （3）设点坐标，联立直线与圆的方程，利用韦达定理和向量积的坐标运算求斜率的值． 【详解】（1）∵直线l过点且方向向量， ∴直线l的方程为，则，整理得， 即，得． （2）证明：设过A点的圆C的一条切线为，T为切点， 则． ， 为定值． （3）设，， 将代入方程 得， ， ． ，解得． 又当时，，． 19．（25-26高二上·广东·期中）已知圆的圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)是否存在斜率为1的直线与圆交于A，B两点，且以AB为直径的圆恰好经过坐标原点？若存在，求的方程；若不存在，请说明理由． 【分析】（1）先由圆的一般方程通过配方得到圆心坐标，然后代入直线方程求出，从而得圆的方程； （2）根据斜率设直线方程，联立方程组，将“以AB为直径的圆恰好经过坐标原点”等价于，借助韦达定理进行转化，从而得出直线方程. 【详解】（1）将圆的一般方程配方得：， 所以圆心， 因为圆心在直线上，代入得：，得， 将代入原方程，得圆C的方程为：， 配方为标准方程：. （2）假设存在斜率为1的直线，设， 联立方程组，消去得； 因为直线与圆有两个交点，所以， 解得， 由韦达定理得， 所以， 因为以为直径的圆过原点，所以，即， 所以，即， 代入得：， 化简得：，解得或.且满足， 故存在这样的直线，方程为或. 20．（25-26高二上·广东惠州·期末）已知圆经过点，圆心在直线：上，圆被直线：截得的弦长为， (1)求圆的标准方程； (2)若圆与圆关于直线：对称，过原点的直线交圆于，两点，求弦中点的轨迹方程. 【分析】（1）设圆心，求出圆心到直线的距离，再结合弦长，弦心距和半径的关系列方程求出的坐标，进而写出圆的方程； （2）先利用对称性求出的坐标，再由点在为直径的圆上，求出轨迹方程. 【详解】（1）设圆心，圆心到的距离， 由题意易知半径为， 因为圆经过点， 所以，解得，即， 则圆的标准方程为. （2）设圆心关于的对称点为， 则，解得，则， 因为过原点的直线交圆于，两点，弦中点为， 当点与点都不重合时，，则在以为直径的圆上， 显然点在此圆上，因此此圆的圆心为，即， 此圆的半径为， 则轨迹方程为，即. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $