第五章 二次函数 单元卷 2026—2027学年北师大版九年级数学上册

第五章 二次函数（原卷版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 2、根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 3、将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 4、若抛物线的对称轴位于直线的左侧，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 5、关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．图象与x轴有两个交点 D．y随x的增大而增大 6、抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 7、二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 8、随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 9、如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A． B. C. D. 10、二次函数图象的顶点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：（1）；（2）；（3）关于x的方程无实数根；其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 12、若抛物线过原点, 则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为____________． 13、若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为 . 14、点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）． 15、建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 16、在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数（）的最小值为，最大值为1，则的取值范围是 ． 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知二次函数． (1)填空：抛物线的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____； (2)列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象． … … 18、已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 19、前掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，某男生站在O处将实心球从B处抛出，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．若这位男生出手高度为米，实心球在运动过程中最高离地面3米，此时球与该男生的水平距离为4米． （1）根据以上信息，求实心球的竖直高度y与水平距离x之间的函数关系式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 20、“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 21、如图，某农户要建一个矩形菜地，菜地的一边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长为，设菜地边的长为，菜地面积为． (1)求出y与x的函数关系式； (2)当x为多少米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是多少？ 22、如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一动点，四边形是以为对角线的平行四边形，求平行四边形面积的最大值． 23、随着时代的进步，我国交通出行结构发生根本性变化．汽车出行成为交通常态．某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现，很多车部贴上了保持车距的贴纸．小组成员产生了一个困惑——“保持怎样的车距才能保障道路安全?”为解决这一困惑．小组成员分上开展活动： 成员小赵查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度与刹车距离的关系如下表．（刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离．） 某型号汽车行驶速度x（m/s）与刹车距离y（m）的关系 行驶速度（） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（） 0 3.25 9 17.25 28 41.25 57 (1)任务1： 小赵认为该型号汽车的行驶速度（）与刹车距离（）之间存在函数关系，请你协助小赵画出函数图像，并直接写出该函数解析式． (2)任务2： 成员小芳发现小区门口路段限速．请你帮小芳计算，如果该型号汽车以最高限速行驶，至少保持多少车距才能保障道路安全? (3)任务3： 实际驾驶过程中，驾驶员难以预估与前车的距离，且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离．是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案?小组成员带着困惑与陈老师进行交流，陈老师分享了他保持车距常用的方案“2秒定律”——跟车行驶时设定一个参照物，前车超越参照物后，后车如果在两秒内到达该参照物，说明与前车的距离不足，反之距离充足．你认为陈老师常用的“2秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶（）?如果适用，说明理由；如果不适用，请求出“2秒定律”的适用范围． 24、在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点A、，其坐标分别为和．当时，求的最小值． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $ 第五章 二次函数（解析版） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 1、下列函数关系式中，一定是的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、中当时．y是x的一次函数，则A不符合题意； B、不是二次函数，则B不符合题意； C、是二次函数，则C符合题意； D、是一次函数，则D不符合题意； 2、根据表格对应值： x 1.1 1.2 1.3 1.4 －0.59 0.84 2.29 3.76 判断关于x的方程的一个解x的范围是（   ） A． B． C． D．无法判定 【答案】A 【详解】解：令， 由表格可知：时，，当时，， ∴当，存在一个x的值使， ∴关于x的方程的一个解x的范围是； 3、将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位，可得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】解：根据抛物线平移规律：左加右减，上加下减即可解答． 将函数的图象向右平移1个单位，再向上平移3个单位， 得到的抛物线是， 4、若抛物线的对称轴位于直线的左侧，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：∵对称轴x= 且a=-1 ∴x= 又∵抛物线的对称轴位于直线的左侧 ∴ ∴ 5、关于抛物线，下列说法错误的是（   ） A．图象开口向上 B．对称轴为直线 C．图象与x轴有两个交点 D．y随x的增大而增大 【答案】D 【详解】解：∵抛物线， A、因为，开口向上，故说法正确，不符合题意； B、因为对称轴是直线，故说法正确，不符合题意； C、因为顶点坐标是，开口向上，所以图象与x轴有两个交点，故说法正确，不符合题意； D、当时，y随x的增大而增大，故说法不正确，符合题意． 6、抛物线和直线在同一坐标系内的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，故A选项不符合题意； B选项：直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故B选项不符合题意； C选项：直线经过第二、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向下，抛物线的对称轴为应在轴的左侧，故C选项不符合题意； D选项：直线经过第一、三、四象限， 可知，， 抛物线的开口方向向上，抛物线的对称轴为应在轴的右侧，故D选项不符合题意； 7、 二次函数（）的图象如图所示，下列结论正确的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【详解】解：∵抛物线的开口向下， ∴， ∵抛物线的对称轴在y轴右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴， 综上，，，． 8、随着自动化设备的普及，家庭庭院也引入自动喷灌系统．从喷水口喷出的水柱成抛物线形．如图是该喷灌器喷水时的截面示意图，喷水口点离地高度为，喷出的水柱在离喷水口水平距离为处达到最高，高度为，且水柱刚好落在庭院围墙和地面的交界点处．喷灌器与围墙的距离为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图，建立平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵点在函数图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，， 解得，（不符合题意，舍去）， ∴ 9、如图，在▱ABCD中，∠A=60°，AB=2，AD=1，点E，F在▱ABCD的边上，从点A同时出发，分别沿A→B→C和A→D→C的方向以每秒1个单位长度的速度运动，到达点C时停止，线段EF扫过区域的面积记为y，运动时间记为x，能大致反映y与x之间函数关系的图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】解：当0≤x≤1时，过点F作FG⊥AB于点G， ∵∠A=60°，AE=AF=x， ∴AG=x， 由勾股定理得FG=x， ∴y=AE×FG=x2，图象是一段开口向上的抛物线； 当1<x<2时，过点D作DH⊥AB于点H， ∵∠DAH=60°，AE=x，AD=1，DF= x-1， ∴AH=， 由勾股定理得DH=， ∴y=(DF+AE)×DH=x-，图象是一条线段； 当2≤x≤3时，过点E作EI⊥CD于点I， ∵∠C=∠DAB=60°，CE=CF=3-x， 同理求得EI=(3-x)， ∴y= AB×DH -CF×EI=-(3-x)2=-x2+x-，图象是一段开口向下的抛物线； 10、二次函数图象的顶点坐标为，其部分图象如图所示，下列结论：（1）；（2）；（3）关于x的方程无实数根；其中正确的个数为（ ） A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 【答案】D 【详解】解：∵开口向下，∴， 抛物线与y轴的交点在x轴的上方，， 由对称轴直线得， ∴，①正确； ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点在和之间， ∴抛物线与x轴的另一个交点在和之间， ∴时，，即， ∴，即，②正确； ∵抛物线开口向下，顶点为， ∴函数有最大值n， ∴抛物线与直线无交点， ∴一元二次方程无实数根，③正确． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。 11、某市今年第一季度的专项教育投入为亿元，第二季度比第一季度增长的百分比为，第三季度增长的百分比是第二季度增长百分比的倍，则第三季度专项教育投入（亿元）关于的函数关系式为 ．（不要求写自变量的取值范围） 【答案】 【详解】解：由题意得：今年第二季度的专项教育投入为亿元， ∴今年第三季度的专项教育投入为亿元， 故答案为：． 12、若抛物线过原点, 则该抛物线与x轴的另一个交点坐标为____________． 【答案】（4,0） 【详解】抛物线经过原点O(0，0)， ∵抛物线对称轴是x＝2， ∴该抛物线与x轴的另一个交点坐标为(4，0)． 故答案为(4，0)． 13、若二次函数的对称轴为直线，则关于的方程的解为 . 【答案】， 【详解】解：二次函数的对称轴为直线 因此方程为 所以可得 故答案为，. 14、点，是二次函数图象上的两个点，则 （填“”，“”或“”）． 【答案】 【详解】解：当时，； 当时，， ∵， ∴， 故答案为：． 15、建水双龙桥，俗称“十七孔桥”，位于云南省建水县，是一座具有极高历史，艺术和科学价值的古桥，如图，古桥横断面是抛物线形状，当水面在时，拱顶（拱桥洞的最高点）离水面，水面宽．则水面上升米后水面宽度为 米． 【答案】 【详解】解：如图，以抛物线的顶点为原点建立平面直角坐标系， 设抛物线解析式为，将点代入得，， 解得， ∴抛物线解析式为， 当时，， 解得， ∴当水面上升米后水面宽度为米， 故答案为：． 16、在平面直角坐标系中，若点的横坐标和纵坐标相等，则称点为完美点．已知二次函数（）的图象上有且只有一个完美点，且当时，函数（）的最小值为，最大值为1，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：令，即， 由题意可得，图象上有且只有一个完美点， ∴，即， 又∵方程的根为， ∴， ∴函数， ∴该函数图象的顶点为， 如图，在对称轴直线右侧，y随x的增大而减小，在左侧，y随x的增大而增大， 当时，函数的最小值为，最大值为1， 当时，解得或4， ∴． 故答案为： 三、解答题：本题共8小题，共72分，17-18，每题6分，19-21，每题9分, 22-24，每题11分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17、已知二次函数． (1)填空：抛物线的对称轴是直线_____，顶点坐标是_____； (2)列表，在如图所示的直角坐标系中画出的图象． … … 【答案】(1)， （2）见详解 【详解】（1）解： 故抛物线的对称轴是直线，顶点坐标是， 故答案为：，； （2）解： … … 18、已知抛物线的对称轴为直线，且过点． (1)求该抛物线的解析式； (2)该抛物线是由抛物线经过怎样的平移得到的？ (3)当在什么范围内时，随的增大而减小？ 【答案】(1)抛物线解析式为； (2)抛物线是由抛物线向左平移2个单位； (3)当时，y随x的增大而减小． 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴，即抛物线解析式为， ∵过点， ∴， 解得：， ∴抛物线解析式为； （2）解：由（1）得：抛物线解析式为， ∴抛物线是由抛物线向左平移2个单位长度得到的； （3）解：由（1）得：抛物线解析式为， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，y随x的增大而减小． 19、 前掷实心球是中考体育考试项目之一，实心球投掷后的运动轨迹可以看作是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，某男生站在O处将实心球从B处抛出，从投掷到着陆的过程中，实心球的竖直高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）近似满足函数关系（）．若这位男生出手高度为米，实心球在运动过程中最高离地面3米，此时球与该男生的水平距离为4米． （1）根据以上信息，求实心球的竖直高度y与水平距离x之间的函数关系式； （2）根据中考体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，即可得满分分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由． 【答案】（1）； （2）该男生在此项考试中能得满分． 【小问1详解】 解：依题意可知， 抛物线的顶点坐标为，， 即，， 代入解析式得：， 解得：， 则抛物线解析式为：； 【小问2详解】 令， 即， 解得：或（不合题意，舍去）， ， 答：该男生在此项考试中能得满分． 20、“一分钟跳绳”是中考体育考试科目之一，近年来受到社会各界的高度重视．某经销商抓住商机，以每件10元的价格购进一种跳绳，销售时该跳绳的销售单价不低于进价且不高于18元．经过市场调查发现，该跳绳的每天销售数量（条）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价元 … 15 16 17 … 每天销售数量条 … 30 28 26 … (1)求与之间的函数关系式； (2)设销售这种跳绳每天获利（元），当销售单价为多少元时，每天获利最大？最大获利是多少元？ 【答案】(1) (2)当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元 【详解】（1）解：设函数的解析式为， 根据题意，得， 解得：， ∴与之间的函数关系式． （2）解：设销售这种跳绳每天获利（元）， 根据题意，得 ， ， ∴有最大值， ∵，且点与对称轴的距离越小，函数值越大，且， 故当时，取得最大值，最大值为（元）， 答：当销售单价为18元时，每天获利最大，最大获利192元． 20、 如图，某农户要建一个矩形菜地，菜地的一边靠墙（墙长度等于），另外三边用木栏围成，木栏总长为，设菜地边的长为，菜地面积为． (1)求出y与x的函数关系式； (2)当x为多少米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当x为米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是 【详解】（1）解：根据题意得，， ∴y与x的函数关系式为； （2）解：， ∵墙长度等于， ∴， 解得， ∵， ∴当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值，最大值为， 答：当x为米时，围成的菜地的面积最大，最大面积是． 21、 如图，抛物线与轴相交于点，，与轴相交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）点是抛物线上一动点，四边形是以为对角线的平行四边形，求平行四边形面积的最大值． 【答案】（1） （2）25 【小问1详解】 解：（1）根据题意，得，将点，代入 得 解得， ∴ 【小问2详解】 设点的坐标为， ∴ 当时，最大，最大值为， ∴平行四边形面积的最大值为 23、随着时代的进步，我国交通出行结构发生根本性变化．汽车出行成为交通常态．某数学兴趣小组观察校门口的汽车发现，很多车部贴上了保持车距的贴纸．小组成员产生了一个困惑——“保持怎样的车距才能保障道路安全?”为解决这一困惑．小组成员分上开展活动： 成员小赵查阅某型号汽车官网数据得到汽车行驶速度与刹车距离的关系如下表．（刹车距离：从发现前方道路有异常情况到车辆完全停止所行驶的距离．） 某型号汽车行驶速度x（m/s）与刹车距离y（m）的关系 行驶速度（） 0 5 10 15 20 25 30 刹车距离（） 0 3.25 9 17.25 28 41.25 57 (1)任务1： 小赵认为该型号汽车的行驶速度（）与刹车距离（）之间存在函数关系，请你协助小赵画出函数图像，并直接写出该函数解析式． (2)任务2： 成员小芳发现小区门口路段限速．请你帮小芳计算，如果该型号汽车以最高限速行驶，至少保持多少车距才能保障道路安全? (3)任务3： 实际驾驶过程中，驾驶员难以预估与前车的距离，且难以实时计算不同行驶速度对应的安全距离．是否存在简单、实用且能维持适当安全距离的方案?小组成员带着困惑与陈老师进行交流，陈老师分享了他保持车距常用的方案“2秒定律”——跟车行驶时设定一个参照物，前车超越参照物后，后车如果在两秒内到达该参照物，说明与前车的距离不足，反之距离充足．你认为陈老师常用的“2秒定律”是否适用于该型号汽车的日常驾驶（）?如果适用，说明理由；如果不适用，请求出“2秒定律”的适用范围． 【答案】(1)见详解， (2)至少保持米车距才能保障道路安全 (3)不适用，“2秒定律”的适用范围为（或） 【详解】（1）解：描点、连线，如图所示， 设该函数解析式为， 将点代入， 可得，解得， ∴函数解析式为； （2）， 当时，， ∴如果以最高限速60km/h行驶，至少保持米车距才能保障道路安全； （3）不适用 由图像可知，当图像位于图像下方时， 意味着与前车距离充足，即适用于“2秒定律”； 当图像位于图像上方时， 意味着与前车距离不足，即不适用“2秒定律”， 联立与可得：， 整理可得， 解得，， 由图像可知，当时，图像位于图像下方， ∵， ∴“2秒定律”的适用范围为（或）． 24、在平面直角坐标系中，已知抛物线． （1）当时， ①求证：该抛物线的顶点不在第三象限； ②若为自然数，且该抛物线与轴有两个不同交点和，求的值． （2）若，直线与该抛物线有两个交点A、，其坐标分别为和．当时，求的最小值． 【答案】（1）①见详解； ②； （2） 当时，取最小值为； 当时，取最小值为0； 当时，取最小值为． 【小问1详解】 ①证明：当时，抛物线为， ∴顶点坐标为， 若顶点在第三象限，则解得：，即该不等式组无解． ∴抛物线的顶点不在第三象限． ②解：∵抛物线与轴有两个不同交点， ∴． ∴． ∵自然数， ∴． ∴抛物线为． 当时，，．则． 【小问2详解】 解：∵直线与抛物线有两个交点和， ∴．解得：． ∴． ∵， ∴． ∴， ∵直线与该抛物线有交点， ∴，解得：， ∴抛物线为． ∴的图象开口方向向上，对称轴为直线． ①当，即时，，随的增大而减小， ∴当时，取最小值为． ②当，即时，，随的增大而减小， ，随的增大而增大， ∴当时，取最小值为0． ③当时，，随的增大而增大， ∴当时，取最小值为． 综上可知：当时，取最小值为； 当时，取最小值为0； 当时，取最小值为． —　1　— 学科网（北京）股份有限公司 $