第五章 二次函数 单元培优测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

**基本信息** 本单元培优测试题以二次函数为核心，通过基础巩固、中档应用、综合拔高三层设计，覆盖定义、性质、图像变换及实际应用，适配单元复习，培养数学抽象、推理与建模能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数定义、图像基本性质（开口、对称轴、顶点）|选择1-3直接考查概念，填空11-13强化性质记忆，解答17-18基础计算，立足课标基础要求| |中档|图像平移、最值计算、与坐标轴交点|选择4-6结合变换规律，填空14-15考查判别式与交点距离，解答19-20综合性质应用，衔接课时重点| |拔高|实际问题建模（投篮、利润）、综合图像分析|选择7-10含运动情境与图像判断，填空16等腰三角形存在性，解答21-24涉及动态几何与最值探究，提升数学思维与应用能力|

第五章 二次函数 单元培优测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，共30分） 1．下列函数中，一定是二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（﹣x+1） C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y 2．抛物线y＝x2与y＝﹣x2相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴 3．抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（　　） A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1） 4．要得到函数y＝x2的图象，只要把函数y＝（2﹣x）2的图象（　　） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 5．二次函数y＝mx2﹣4x+m有最小值﹣3，则m等于（　　） A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或4 6．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x2+10x B．y＝x2﹣10x C．y＝﹣x2+20x D．y＝x2﹣20x 7．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（　　） A． B．2 C． D．4 8．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其几对对应值如表，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y 0.02 ﹣0.01 0.02 0.04 A．0 B．1 C．2 D．1或2 9．一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（　　） A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m 10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b．其中正确的选项是（　　） A．①③ B．①②④ C．②④ D．②③④ 二．填空题（共6小题，共18分） 11．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3开口　　 ，对称轴是　　 ，顶点坐标是　　 ． 12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣1与x轴的交点及顶点构成的三角形的面积等于　　 ． 13．火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药）、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器．在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且y与x的关系式为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第 　　 秒时的高度是最高的． 14．抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为_______． 15．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为________． 16．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为______________-． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．已知函数（m为常数）． （1）求当m为何值时y是x的二次函数； （2）在（1）的条件下，点（2，a）在此函数图象上，求a的值． 18．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣3）和点B（2，3） （1）求这条抛物线所对应的函数表达式． （2）点M（x1，y1）、N（x2，y2）在这条抛物线上，当1≤x2＜x1时，比较y1与y2的大小． 19．已知：抛物线的解析式为y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m， （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值． 20．如图，在▱ABCD中，点D的坐标是（0，8），以C为顶点的抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）经过x轴上的点A，B（A在B的左侧）． （1）求顶点C的坐标和抛物线表达式； （2）若抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式． 21．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣3经过点B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线BC下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线BC于点D，作PE⊥BC于点E．设点P的横坐标为m，连接PB，线段PD把△PEB分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为4：5，求出m的值． 22．某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同． （1）制作一件A和一件B分别获利多少元？ （2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式； （3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值． 23．如图，点A、B在yx2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）若函数yx2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　4　 个． 24．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式； （2）在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值． 参考答案 第五章 二次函数 单元培优测试题 2026-2027学年北师大版九年级数学上册 一．选择题（共10小题，共30分） 1．下列函数中，一定是二次函数是（　　） A．y＝ax2+bx+c B．y＝x（﹣x+1） C．y＝（x﹣1）2﹣x2 D．y 【解答】解：A、当a＝0时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意； B、y＝x（﹣x+1）＝﹣x2+x，符合二次函数的定义，是二次函数，故本选项符合题意； C、化简后不含二次项，不是二次函数，故本选项不符合题意； D、右边是分式，不是整式，不是二次函数，故本选项不符合题意； 故选：B． 2．抛物线y＝x2与y＝﹣x2相同的性质是（　　） A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．有最低点 D．对称轴是x轴 【解答】解：抛物线y＝x2的开口向上，对称轴为y轴，有最低点； 抛物线y＝﹣x2开口向下，对称轴为y轴，有最高点； 故抛物线y＝x2与y＝﹣x2相同的性质是对称轴都是y轴， 故选：B． 3．抛物线y＝3（x﹣1）2+1的顶点坐标是（　　） A．（1，1） B．（﹣1，1） C．（﹣1，﹣1） D．（1，﹣1） 【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+1是顶点时， ∴顶点坐标是（1，1）．故选：A． 4．要得到函数y＝x2的图象，只要把函数y＝（2﹣x）2的图象（　　） A．向左平移2个单位 B．向右平移2个单位 C．向上平移2个单位 D．向下平移2个单位 【解答】解：把函数y＝（2﹣x）2整理得y＝（x﹣2）2，顶点坐标为（2，0）．函数y＝x2的顶点坐标为（0，0）， ∴是向左平移2个单位得到． 故选：A． 5．二次函数y＝mx2﹣4x+m有最小值﹣3，则m等于（　　） A．1 B．﹣4 C．1或﹣4 D．﹣1或4 【解答】解：∵二次函数有最小值， ∴m＞0且3， 解得m＝1． 故选：A． 6．用一段20米长的铁丝在平地上围成一个矩形，该矩形的一边长为x米，面积为y平方米，则y关于x的函数关系式为（　　） A．y＝﹣x2+10x B．y＝x2﹣10x C．y＝﹣x2+20x D．y＝x2﹣20x 【解答】解：由题意得：矩形的周长为20米，一边长为x米， ∴矩形的另一边长为（10﹣x）米， ∴y＝（10﹣x）x ＝﹣x2﹣10x， 故选：A． 7．抛物线与x轴的两个交点之间的距离是（　　） A． B．2 C． D．4 【解答】解：当y＝0时，（2x﹣1）（x+3）＝0， 解得x1，x2＝﹣3， ∴抛物线与x轴的交点坐标为（﹣3，0）和（，0）， ∴抛物线与x轴的两个交点之间的距离（﹣3）． 故选：A． 8．已知函数y＝ax2+bx+c（a≠0），其几对对应值如表，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的根的个数（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y 0.02 ﹣0.01 0.02 0.04 A．0 B．1 C．2 D．1或2 【解答】解：∵x＝6.17时，y＝0.02＞0；x＝6.18时，y＝﹣0.01＜0， ∴抛物线与x轴的一个交点在点（6.17，0）与点（6.18，0）之间， 同样得到抛物线与x轴的另一个交点在点（6.18，0）与点（6.19，0）之间， ∴抛物线与x轴有两个交点， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）有2个不相等的实数根． 故选：C． 9．一位运动员在距篮下4m处跳起投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离为2.5m时，达到最大高度3.5m，然后准确落入篮圈．如图所示，建立平面直角坐标系，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m，该运动员身高1.9m，在这次跳投中，球在头顶上方0.25m处出手球出手时，他跳离地面的高度是（　　） A．0.1m B．0.2m C．0.3m D．0.4m 【解答】解：∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（0，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝ax2+3.5． 由图知图象过以下点：（1.5，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， 解得：a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2x2+3.5． 设球出手时，他跳离地面的高度为hm， 因为y＝﹣0.2x2+3.5， 则球出手时，球的高度为h+1.9+0.25＝（h+2.15）m， ∴h+2.15＝﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.1（m）． 故选：A． 10．抛物线y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，且过点（1，0），顶点位于第二象限，其部分图象如图所示，给出以下判断：①ab＞0且c＜0；②4a﹣2b+c＞0；③8a+c＞0；④c＝3a﹣3b．其中正确的选项是（　　） A．①③ B．①②④ C．②④ D．②③④ 【解答】解：∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，经过（1，0）， ∴1，a+b+c＝0， ∴b＝2a，c＝﹣3a， ∵a＜0， ∴b＜0，c＞0， ∴ab＞0且c＞0，故①错误， ∵抛物线对称轴为直线x＝﹣1，经过（1，0）， ∴（﹣2，0）和（0，0）关于对称轴对称， ∴x＝﹣2时，y＞0， ∴4a﹣2b+c＞0，故②正确， ∵抛物线与x轴交于（﹣3，0）， ∴x＝﹣4时，y＜0， ∴16a﹣4b+c＜0， ∵b＝2a， ∴16a﹣8a+c＜0，即8a+c＜0，故③错误， ∵c＝﹣3a＝3a﹣6a，b＝2a， ∴c＝3a﹣3b，故④正确， 故选：C． 二．填空题（共6小题，共18分） 11．抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3开口　向下　 ，对称轴是　直线x＝﹣1　 ，顶点坐标是　（﹣1，﹣3）　 ． 【解答】解：抛物线y＝﹣2（x+1）2﹣3开口向下，对称轴是直线x＝﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣3）， 故答案为：向下，直线x＝﹣1，（﹣1，﹣3）． 12．在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣1与x轴的交点及顶点构成的三角形的面积等于　1　 ． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣1＝（x﹣1）（x+1） ∴抛物线与x轴的交点坐标为：（1，0），（﹣1，0）， ∵x＝0时y＝﹣1， ∴抛物线与y轴的交点坐标为：（0，﹣1）， ∴三角形的面积为：2×1＝1． 故答案为：1． 13．火炮，发明于中国，是指利用机械能、化学能（火药）、电磁能等能源抛射弹丸，射程超过单兵武器射程，由炮身和炮架两大部分组成的武器．在某次训练中，向上发射一枚炮弹，经x秒后的高度为y米，且y与x的关系式为y＝ax2+bx（a≠0）．若此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等，则此炮弹飞行第 　9　 秒时的高度是最高的． 【解答】解：∵此炮弹在第5秒和第13秒时的高度相等， ∴由对称性可知，此炮弹飞行第秒时的高度是最高的． 故答案为：9． 14．抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点，则a的取值范围为a＞﹣1且a≠0　 ． 【解答】解：∵抛物线y＝ax2﹣2x﹣1与x轴有两个交点， ∴， 解得，a＞﹣1且a≠0， 故答案为：a＞﹣1且a≠0． 15．已知二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2），该图象与x轴的另一个交点为C，则AC长为　　 ． 【解答】解：∵二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），B（1，2）， ∴， 解得， ∴二次函数的解析式为y＝x2x， 令y＝x2x0， 解得x1＝﹣2，x2， 则点C的坐标为（，0）， 即AC长为（﹣2）， 故答案为 16．如图，抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为　（1，2）或（1，2）　 ． 【解答】解： ∵△PCD是以CD为底的等腰三角形， ∴点P在线段CD的垂直平分线上， 如图，过P作PE⊥y轴于点E，则E为线段CD的中点， ∵抛物线y＝﹣x2+2x+3与y轴交于点C， ∴C（0，3），且D（0，1）， ∴E点坐标为（0，2）， ∴P点纵坐标为2， 在y＝﹣x2+2x+3中，令y＝2，可得﹣x2+2x+3＝2，解得x＝1±， ∴P点坐标为（1，2）或（1，2）， 故答案为：（1，2）或（1，2）． 三．解答题（共8小题，共72分） 17．已知函数（m为常数）． （1）求当m为何值时y是x的二次函数； （2）在（1）的条件下，点（2，a）在此函数图象上，求a的值． 【解答】解：（1）解：由题意得，m2﹣7＝2且m+3≠0， 解得m＝3， ∴当m＝3时y是x的二次函数； （2）∵m＝3， ∴y＝﹣6x2﹣2x+1， ∵点（2，a）在此函数图象上， ∴a＝﹣6×22﹣2×2+1＝﹣27． 18．已知抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣3）和点B（2，3） （1）求这条抛物线所对应的函数表达式． （2）点M（x1，y1）、N（x2，y2）在这条抛物线上，当1≤x2＜x1时，比较y1与y2的大小． 【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣2x2+bx+c经过点A（﹣1，﹣3）和点B（2，3）， ∴， 解得：， ∴这条抛物线所对应的函数表达式为：y＝﹣2x2+4x+3； （2）∵x1，a＜0， ∴x＞1时，y随x的增大而减小， ∴当1≤x2＜x1时，y1＜y2． 19．已知：抛物线的解析式为y＝x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m， （1）求证：此抛物线与x轴必有两个不同的交点； （2）若此抛物线与直线y＝x﹣3m+4的一个交点在y轴上，求m的值． 【解答】证明：（1）令y＝0得：x2﹣（2m﹣1）x+m2﹣m＝0① ∵Δ＝（2m﹣1）2﹣4（m2﹣m）×1＞0 ∴方程①有两个不等的实数根， ∴原抛物线与x轴有两个不同的交点； （2）令：x＝0，根据题意有：m2﹣m＝﹣3m+4 解得m＝﹣1或﹣1． 20．如图，在▱ABCD中，点D的坐标是（0，8），以C为顶点的抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）经过x轴上的点A，B（A在B的左侧）． （1）求顶点C的坐标和抛物线表达式； （2）若抛物线y＝a（x﹣2）（x﹣6）向上平移后恰好经过点D，求平移后抛物线的表达式． 【解答】解：（1）在y＝a（x﹣2）（x﹣6）中，令y＝0，则a（x﹣2）（x﹣6）＝0， 解得x＝2或x＝6， ∴A（2，0），B（6，0）， ∴抛物线的对称轴为直线x4， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD∥AB， ∵点D的坐标是（0，8）， ∴顶点C的坐标为（4，8）， 把C（4，8）代入y＝a（x﹣2）（x﹣6）得，8＝﹣4a，解得a＝﹣2， ∴y＝﹣2（x﹣2）（x﹣6）＝﹣2x2+16x﹣24； （2）∵y＝﹣2x2+16x﹣24＝﹣2（x﹣4）2+8， ∴设平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+8+k， 把（0，8）代入得8＝﹣32+8+k，解得k＝32， ∴平移后抛物线的解析式为y＝﹣2（x﹣4）2+40， 即y＝﹣2x2+16x+8． 21．如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C．直线y＝x﹣3经过点B、C． （1）求抛物线的解析式； （2）P是直线BC下方的抛物线上一动点（不与点B、C重合），过点P作x轴的垂线，垂足为F，交直线BC于点D，作PE⊥BC于点E．设点P的横坐标为m，连接PB，线段PD把△PEB分成两个三角形，若这两个三角形的面积比为4：5，求出m的值． 【解答】解：（1）令直线y＝x﹣3＝0，x＝3， 令x＝0，y＝﹣3， ∴B（3，0），C（0，﹣3）， 把点B（3，0），C（0，﹣3）代入y＝x2+bx+c中， 得， 解得， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3； （2）过点E作EM⊥PD于点M， ∵点P的横坐标为m， ∴点P（m，m2﹣2m﹣3），点F（m，0），点D（m，m﹣3）， ∴PD＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，BF＝3﹣m， ∵OC＝OB， ∴∠ABC＝45°， 则∠BDF＝∠EDP＝45°， ∴△DEP为等腰直角三角形， ∴（﹣m2+3m）， ∵，， ∴， ①当时，； ②当时，． 综上所述，或． 22．某工厂制作A，B两种手工艺品，B每件获利比A多105元，制作16件A与制作2件B获利相同． （1）制作一件A和一件B分别获利多少元？ （2）工厂安排65人制作A，B两种手工艺品，每人每天制作2件A或1件B．现在在不增加工人的情况下，增加制作C工艺品．已知每人每天可制作1件C（每人每天只能制作一种手工艺品），要求每天制作A，C两种手工艺品的数量相等，设每天安排x人制作B，y人制作A．写出y与x之间的函数关系式； （3）在（1）（2）的条件下，每天制作B不少于5件．当每天制作B5件时，每件B获利不变，若B每增加1件，则当天平均每件B获利减少2元，已知C每件获利30元，求每天制作三种手工艺品可获得的总利润W（元）的最大值及相应x的值． 【解答】解：（1）设制作一件A获利x元，则制作一件B获利（105+x）元， 由题意得：16x＝2（105+x），解得：x＝15， 当x＝15时，x+105＝120， 答：制作一件A获利15元，制作一件B获利120元； （2）设每天安排x人制作B，y人制作A，则（65﹣x﹣y）人制作C， 2y＝（65﹣x﹣y）×1， ∴yx， 答：y与x之间的函数关系式为yx； （3）由题意得：W＝15×2×y+[120﹣2（x﹣5）]x+2y×30＝﹣2x2+130x+90y， 又∵yx， ∴W＝﹣2x2+130x+90y＝﹣2x2+130x+90（x）＝﹣2x2+100x+1950， ∵W＝﹣2x2+100x+1950，对称轴为x＝25，而x＝25时，y的值不是整数， 根据抛物线的对称性和增减性可得：当x＝24或x＝26时，W最大， 当x＝24时，yx不是整数，不符合题意； 当x＝26时，W最大＝﹣2×262+100×26+1950＝3198． 此时制作A产品的13人，B产品的26人，C产品的26人，获利最大，最大利润为3198元． 23．如图，点A、B在yx2的图象上．已知A、B的横坐标分别为﹣2、4，直线AB与y轴交于点C，连接OA、OB． （1）求直线AB的函数表达式； （2）求△AOB的面积； （3）若函数yx2的图象上存在点P，使△PAB的面积等于△AOB的面积的一半，则这样的点P共有 　4　 个． 【解答】解：（1）∵点A、B在yx2的图象上，A、B的横坐标分别为﹣2、4， ∴A（﹣2，1），B（4，4）， 设直线AB的解析式为y＝kx+b， ∴，解得， ∴直线AB的解析式为y2； （2）在y2中，令x＝0，则y＝2， ∴C的坐标为（0，2）， ∴OC＝2， ∴S△AOB＝S△AOC+S△BOC6． （3）过OC的中点，作AB的平行线交抛物线两个交点P1、P2，此时△P1AB的面积和△P2AB的面积等于△AOB的面积的一半， 作直线P1P2关于直线AB的对称直线，交抛物线两个交点P3、P4，此时△P3AB的面积和△P4AB的面积等于△AOB的面积的一半， 所以这样的点P共有4个， 故答案为4． 24．如图，已知抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）． （1）求直线BC与抛物线的解析式； （2）在（1）中的抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值． 【解答】解：（1）设直线BC的解析式为y＝kx+b， ∵B（5，0），C（0，5）， ∴， ∴， ∴直线BC的解析式为y＝﹣x+5； ∵抛物线y＝x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），与y轴交于点C（0，5）， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5； （2）如图1， ∵点A，B是抛物线y＝x2﹣6x+5与x轴的交点， ∴点A，B关于抛物线y＝x2﹣6x+5的对称轴为直线x＝3对称， ∵抛物线的对称轴上的点Q，使得△QAC的周长最小， ∴点Q就是抛物线的对称轴与直线BC的交点， ∴Q（3，2）； （3）如图2， ∵抛物线的解析式为y＝x2﹣6x+5； ∴A（1，0），B（5，0）， 设点M（m，m2﹣6m+5）（1＜m＜5）， ∴N（m，﹣m+5）， ∴MN＝﹣m+5﹣（m2﹣6m+5） ＝﹣m2+5m＝﹣（m）2， ∴当m时，MN最大是． 学科网（北京）股份有限公司 $