精品解析：陕西榆林市第十中学2026-2027学年高三上学期第二次模拟考试数学试题

榆林市第十中学2026-2027学年第一学期第二次模拟考试 高三年级数学试卷 考试时长：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设是第三象限角，且，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 5. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 6. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h 7. 已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A. 0 B. C. D. 8. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 10. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______. 13. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______． 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 四、解答题：（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为． （1）求和的值； （2）求的值． 16. 已知幂函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数，且在的最小值为，求的值. 17. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）求的极小值． 18. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 19. 已知函数. （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）设是函数的两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 榆林市第十中学2026-2027学年第一学期第二次模拟考试 高三年级数学试卷 考试时长：120分钟 试卷总分：150分 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡的指定位置. 2.请按题号顺序在答题卡上的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚. 4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交. 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：（本题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，解得，， 又， 所以. 2. 设是第三象限角，且，则是（ ） A. 第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角 【答案】B 【解析】 【分析】由是第三象限角推断是第二或第四象限角，结合即可判断所在象限. 【详解】因是第三象限角，则， 所以， 当时，，即是第二象限角； 当时，，即是第四象限角. 又由可知， 所以是第二象限角. 3. 已知，，，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】∵ ，，且， ∴ ， 当且仅当，即时等号成立. 将代入，解得，，满足，等号可取. ∴的最小值为. 4. 已知函数的图象如下，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【详解】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D 5. 若直线与曲线相切，则实数（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据导数的几何意义，结合题意求出切点坐标，进而求解值. 【详解】对，求导得. 由题意知，解得，即切点的横坐标为，故切点坐标为. 代入曲线方程得，所以. 6. 一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（ ） A. 2h B. 4h C. 20h D. 40h 【答案】B 【解析】 【分析】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【详解】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 7. 已知函数满足，若函数与图像的交点为则 A. 0 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】[方法一]：直接法. 由得关于对称， 而也关于对称， ∴对于每一组对称点， ∴，故选B． [方法二]：特值法. 由得 不妨设因为，与函数的交点为 ∴当时，，故选B． [方法三]：构造法. 设，则，故为奇函数. 设，则，故为奇函数. ∴对于每一组对称点. 将，代入，即得 ∴，故选B． [方法四]： 由题意得,函数和的图象都关于对称, 所以两函数的交点也关于对称, 对于每一组对称点和，都有. 从而.故选B. 考点：函数的性质. 【易错点睛】本题主要考查了函数的性质.本题作为高考选择题的压轴题,考生的易错点是不明确本题要考察的知识点是什么,不知道正确利用两个函数的对称性（中心对称）,确定两个函数的交点也是关于对称,最后正确求和得出结论.本题考查了函数的对称性,但不是从奇偶性的角度进行考查,从而提高了考试的难度. 8. 已知定义在上的可导函数满足恒成立，且，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】构造，求导得到其单调性，从而得到不等式，得到答案 【详解】设，则， 所以在上单调递增. 于是，即，解得. 二、选择题：（本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 下列求导运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】，A选项正确； ，B选项错误； ，C选项错误； ，D选项正确. 10. 下列等式计算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式依次化简选项即可求解. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，,故B正确； 对于C，,故C正确； 对于D，,故D正确. 11. 设函数，若函数有四个零点分别为，且，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】先分析分段函数的图像特征，确定与有四个交点时的取值范围，再根据交点横坐标的关系判断各选项. 【详解】作出的函数图像如下， 因为函数有四个零点，所以函数的图像有4个不同的交点，，所以，故A错误； 由图可得关于对称，所以，故B正确； 由图可得且，则有，即，所以，故C正确， 令解得，所以，由，得， 根据对勾函数性质可知在区间上单调递增， 所以，即，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：（本题共3个小题，每小题5分，共15分.） 12. 扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为_______. 【答案】 【解析】 【详解】因为扇形的弧长是，半径是，则该扇形的面积为. 13. 若函数在上单调递减，则实数a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据函数在上单调递减得到在上恒成立，接着参变分离求得参数的取值范围即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上恒成立， 因为， 所以在上恒成立， 参变分离得在上恒成立， 根据二次函数的图像性质得到：函数在上的最大值为， 所以实数a的取值范围是， 故答案为：. 14. 已知是定义在上的奇函数，当时，，则关于的方程的实根个数是________． 【答案】7 【解析】 【分析】画出时函数的图象，数形结合即可求出方程解的个数. 【详解】 如图，我们先绘制出时函数的图象，因为当时，， 故将时的函数图象向右平移2个单位，纵坐标缩小为原来的，即可得到时函数图象， 再利用前述规则即可画出整个的函数图象（三条虚直线方程依次是，和）． 方程的解为或，由图可知的解有3个． 因为是奇函数，由对称性可知方程的解的个数与的解的个数相等，显然此方程有4个解． 综上，方程的所有实根个数为7． 四、解答题：（本题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它的终边与单位圆的交点为． （1）求和的值； （2）求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）利用任意角的三角函数的定义求得，的值，即可求出，再根据二倍角公式求出的值； （2）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解． 【详解】解：（1）由题意，，则，． ， ； （2） ． 16. 已知幂函数为偶函数. （1）求函数的解析式； （2）若函数，且在的最小值为，求的值. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义和幂函数的奇偶性求解即可； （2）利用二次函数的性质以及分类讨论法，根据函数的最值分析即可. 【小问1详解】 由为幂函数，则， 即，解得：或， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为偶函数，满足题意， 当时，，由函数的定义域关于原点对称，且， 此时函数为奇函数，不满足题意， 综上所述，函数. 【小问2详解】 由（1）知，则函数， 所以函数为开口向上，对称轴为的二次函数， ①当时，在上单调递增， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，满足题意， ②当时，在上单调递减，在上单调递增， 所以， 又在的最小值为， 所以，解得：（舍去）或， ③当时，在上单调递减， 此时， 又在的最小值为， 所以，解得：，不满足题意， 综上所述，的值为或. 17. 已知函数． （1）若，求的取值范围； （2）求的极小值． 【答案】（1）； （2）4 【解析】 【分析】（1）列出不等式直接求解即可. （2）求出函数的导数，并探讨单调性，再确定极值点并求出极值. 【小问1详解】 由，解得，所以x的取值范围为. 【小问2详解】 函数的定义域为，求导得， 当时，在上单调递增；当时，在上单调递减； 当时，在单调递减；当时，在上单调递增， 所以当时，取得极小值. 18. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用同角公式及差角的余弦公式计算即得. （2）由（1）结合同角公式，利用差角的余弦公式计算即得. 【小问1详解】 由，得，又， 则，， 所以 . 【小问2详解】 由（1）知，而，则， 因此， 又，所以. 19. 已知函数. （1）若函数有两个零点，求的取值范围； （2）设是函数的两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2） 因为是函数的两个极值点， 所以，由（1）可知：，不妨设， 要证明，只需证明，显然， 由（2）可知：当时，单调递增，所以只需证明， 而，所以证明即可， 即证明函数在时恒成立， 由， 显然当时，，因此函数单调递减， 所以当时，有，所以当时，恒成立，因此命题得以证明. 【解析】 【分析】（1）根据函数零点定义，结合常变量分离法、构造函数法，结合导数的性质进行求解即可； （2）根据所证明不等式的结构特征，构造新函数，结合导数的性质进行求解即可. 【小问1详解】 ， 该方程有两个不等实根，由， 所以直线与函数的图象有两个不同交点， 由， 当时，单调递减， 当时，单调递增，因此， 当时，，当，， 如下图所示： 所以要想有两个不同交点，只需，即的取值范围为； 【小问2详解】 略 【点睛】关键点睛：常变量分离构造新函数，利用新函数的单调性求解证明是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $