陕西省榆林中学2024-2025学年高三上学期第七次统练数学试卷

榆林中学2024—2025学年度高三上学期第七次统练 数学试题 一、单选题（每题5分，共40分） 1．若集合，，则（    ） A． B． C． D． 2．若复数满足，则的虚部与实部之差为（    ） A． B． C． D． 3．在空间中，“a、b为异面直线”是“a、b不相交”的（    ）． A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 4．在ΔABC中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．8 D．9 5．加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”. 在特定条件下，可食用率与加工时间（单位：分钟）满足的函数关系（、、是常数），下图记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据，求最佳加工时间为多少分钟？ A．3.50分钟 B．3.75分钟 C．4.00分钟 D．4.25分钟 6．已知函数为上的奇函数，且当时，，则（    ） A． B． C． D． 7．若函数在区间恰存三个零点，两个极值点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．宋代理学家周敦颐的《太极图》和《太极图说》是象数和义理结合的表达．《朱子语类》卷七五：“太极只是一个混沦底道理，里面包含阴阳、刚柔、奇偶，无所不有”．太极图（如下图）将平衡美、对称美体现的淋漓尽致．定义：对于函数，若存在圆C，使得的图象能将圆C的周长和面积同时平分，则称是圆C的太极函数．下列说法正确的是（    ） ①对于任意一个圆，其太极函数有无数个 ②是的太极函数 ③太极函数的图象必是中心对称图形 ④存在一个圆C，是它的太极函数 A．①④ B．③④ C．①③ D．②③ 二、多选题（每题6分，共18分） 9．已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．直线过定点 B．直线一定不与坐标轴垂直 C．直线与直线一定平行 D．直线与直线一定垂直 10．将三角函数经如下变换后得到的图象， ①将图象向右平移个单位；   ②将图象向左平移个单位； ③将图象向下平移个单位；   ④将图象上所有点的横坐标扩大至原来的2倍. 以下变换顺序正确的是（    ） A．④①③ B．④③①① C．②②③④ D．③①④ 11．已知ΔABC内角，，的对边分别为，，，为ΔABC的重心，，，则（    ） A． B． C．ΔABC的面积的最大值为 D．的最小值为 三、填空题（每题5分，共15分） 12．在等差数列中，已知，则 . 13．求函数f（x）＝﹣2sin2x﹣3cosx在[0，2π）的零点 . 14．已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，，则 . 四、解答题（共5题，总分77分） 15．（13分）在ΔABC中，已知，边上的中线所在直线方程是，边的高线所在直线方程是. (1)求点的坐标； (2)求ΔABC的外接圆的标准方程. 16． （15分）已知ΔABC的三个内角的对边依次为，外接圆半径为2，且满足. (1)求角A； (2)求ΔABC面积的最大值. 17．（15分）如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面，，，，分别是，的中点. (1)求证：； (2)设为线段上的动点，若线段长的最小值为，求二面角的余弦值. 18（Ⅰ). （17分）已知数列的前项和为，且. (1)求证：数列是等比数列； (2)数列满足 求数列的前项和； (3)若是等差数列，．求的前项和． 18（Ⅱ).（17分） 如图，设椭圆：()，长轴的右端点与抛物线：的焦点重合，且椭圆的离心率是. （1）求椭圆的标准方程； （2）过作直线交抛物线于，两点，过且与直线垂直的直线交椭圆于另一点，求△ABC面积的最小值，以及取到最小值时直线的方程. 19（Ⅰ)．（17分）小明同学是班上的“数学小迷精”，高一的时候，他跟着老师研究了函数当时的图像特点与基本性质，得知这类函数有“双钩函数”的形象称呼，感觉颇有趣味.后来，他独自研究了函数当时的图像特点与基本性质，发现这类函数在轴两边“同升同降”，且可以“上天入地”，他高兴地把这类函数取名为“双升双降函数”.现在小明已经上高二了，目前学习了一些导数知识，前些天，他研究了如下两个函数：和.得出了不少的“研究成果”，并且据此他给出了以下两个问题，请你解答： (1)当，时，经过点作曲线的切线，切点为. 求证：不论p怎样变化，点总在一个“双升双降函数”的图像上； (2)当，，时，若存在斜率为的直线与曲线和都相切，求的最小值. 19（Ⅱ).（17分） 设函数，. （1）①当时，证明：； ②当时，求的值域； （2）若数列满足，，， 证明：（）. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$