专题09 直线的圆的方程的最值与范围问题十类综合题型（压轴题专项训练）高二数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以距离公式、圆几何性质等四大核心为统领，通过“通法+题型+挑战”三阶体系，系统构建直线与圆最值问题的解题方法，强化几何直观与逻辑推理的融合。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解题通法|核心解法总结|几何优先、代数检验原则，四大核心方法迁移|从概念原理到方法应用，构建基础逻辑| |题型归纳（10题型）|每题型含典例+3变式|题型模版（特征+方法），如距离最值用圆心距与半径关系|从基础距离到圆位置关系，再到代数式几何意义，层层递进| |压轴挑战|选择/填空/解答题|综合应用通法与题型技巧，突破复杂情境|整合多知识点，提升数学思维与问题解决能力|

专题09 直线的圆的方程的最值与范围问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点到直线的距离最值与范围 题型六、几种代数式的最值与范围（截距，距离，斜率） 题型二、两点之间的距离最值与范围 题型七、直线和圆的位置关系中与向量有关的最值 题型三、平行线间的距离最值与范围 题型八、直线与圆其他类的范围与最值 题型四、圆外定点到圆上的动点的距离最值 题型九、圆与圆的位置关系中的范围与最值 题型五、直线与圆相交最短弦长问题 题型十、直线与圆相切中的最值与范围问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线与圆的最值、范围问题是平面解析几何高频重难点 所有题型均围绕距离公式、圆几何性质、位置关系、代数式几何意义四大核心展开 解题贯穿两条底线原则 一是优先挖掘几何意义能几何求解不强行代数运算 二是代数法求解必须注意变量取值范围所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点到直线的距离最值与范围 典例1 （河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 题型模版 1.特征：定点，动直线 点到直线距离公式 动直线常过定点，求距离的最大值、最小值 2.方法：1.若动直线过定点，则距离最大值为|PM|，最小值为 2.直线不过定点，直接代入距离表达式结合函数求值域 3.几何角度分析，定点到动直线距离，最大值出现在时 4.注意直线斜率不存在的特殊情况 变式1-1（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 变式1-2（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1-3（25-26高二下·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 类型二、两点之间的距离最值与范围 典例2 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 题型模版 1.特征：一个定点，一个动点，动点在直线或者圆上运动 两点间距离公式 求距离或者距离平方的最值范围 2.方法：1.动点在直线上，定点向直线作垂线段，垂线段长为最小值，无最大值 2.动点在圆上，利用圆心与定点距离结合半径，为最小值，为最大值 3.距离平方可以去掉根号简化计算 4.区分动点轨迹是直线还是圆，优先几何法 变式2-1（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 变式2-2（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 变式2-3（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为________ 题型三、平行线间的距离最值与范围 典例3 （25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：两条互相平行直线，一条定一条动 平行线距离公式 2.方法：1.将直线方程x、y系数化为完全相同 2.代入距离公式转化为函数求取值范围 3.注意两条直线必须平行，避免出现重合的无效情形 4.结合动直线的约束条件限定参数范围 变式3-1（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 变式3-2（25-26高二上·重庆·期中）已知点P是直线上一动点，点Q是直线：上一点，且两直线平行，则点P到点Q的最短距离是_____. 变式3-3（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 题型四、圆外定点到圆上的动点的距离最值 典例4 （2026·云南·模拟预测）点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：定点，圆半径，|PC|为定点到圆心距离 距离最大值： 距离最小值： 2.方法：1.计算定点到圆心的距离|PC| 2.两点连线与圆的交点即为取到最值的动点 3.区分定点在圆内、圆上、圆外三种情况 4.求距离平方最值可以直接对运算 变式4-1（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 变式4-2（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 变式4-3（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型五、直线与圆相交最短弦长问题 典例5 （25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 题型模版 1.特征：过圆内一定点作圆的动直线，求弦长最大、最小值 弦长公式，是圆心到直线距离 2.方法：1.最长弦为过该定点的直径 2.最短弦：定点与圆心连线垂直于动直线时弦最短 3.越大弦长越小，的最大值为圆心到圆内定点的距离 4.代入勾股关系计算弦长 变式5-1（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 变式5-2（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 变式5-3（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 题型六、几种代数式的最值与范围（截距，距离，斜率） 典例6 （2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 题型模版 1.特征：1.斜率型，表示动点与定点连线斜率 2.距离型，两点距离几何意义 3.截距型，，代表直线纵截距 动点在圆上运动 2.方法：1.斜率：转化定点与圆上点切线，求切线斜率作为临界值 2.距离：直接使用圆心定点加减半径 3.截距：平移直线，直线与圆相切时得到临界值 4.优先画图，借助几何直观，也可以用参数方程代数求值域 变式6-1（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 变式6-2已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 变式6-3（25-26高二上·福建泉州·期末）（多选）已知点，动点与点的距离是它与点的距离的，则（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹方程为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 题型七、直线和圆的位置关系中与向量有关的最值 典例7 （25-26高二下·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型模版 1.特征：圆上动点，定点P、Q，求等向量数量积最值 2.方法：1.向量分解，将向量拆分为圆心相关向量简化运算 2.坐标法，设圆上动点参数坐标，转化三角函数求值域 3.展开数量积表达式，转化距离相关式子 4.利用圆的几何性质，优先几何分析，再代数计算验证 变式7-1（25-26高三下·山东·阶段检测）直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式7-2（25-26高二上·广东·期中）（多选）已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（    ） A．弦长没有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 变式7-3（2025·黑龙江·一模）已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 题型八、直线与圆其他类的范围与最值 典例8 （24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：结合直线圆条件，求参数、线段长、面积等变量取值范围 2.方法：1.抓住位置关系，相交或者圆心距与半径不等式 2.面积最值优先转化弦长、距离表达式 3.建立目标函数，结合变量隐含定义域求值域 4.临界情况通常为相切，把相切作为边界讨论 变式8-1（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 变式8-2（24-25高二上·广东·阶段检测）（多选）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．m的取值范围为 C．n的取值范围为 D．n的取值范围为 变式8-3（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 题型九、圆与圆的位置关系中的范围与最值 典例9 （25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 题型模版 1.特征：两动圆或者一动一定圆，求圆心距、公共弦长、参数取值范围 2.方法：1.根据两圆位置关系写出满足的不等式 2.公共弦长，利用一个圆的半径、圆心到公共弦距离计算 3.公共弦长的最值转化两圆圆心距的变化 4.注意半径恒大于0隐藏条件 变式9-1（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 变式9-2（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式9-3（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 题型十、直线与圆相切中的最值与范围问题 典例10 （25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 题型模版 1.特征：直线与圆相切，满足圆心到直线距离，求相关代数式、参数范围 2.方法：1.利用相切条件建立等式约束参数 2.将目标量转化单变量函数，求值域 3.切线长公式，圆外点，圆心 4.注意切线斜率存在、不存在两种情况分开讨论 变式10-1（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式10-2（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知点，点，点满足，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值是_______． 变式10-3（24-25高三上·北京海淀·阶段检测）已知圆：，点是圆上动点，点是圆外动点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于A，两点，若的取值范围是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 5．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·河北衡水·一模）若非负数，满足，则的最大值为（   ） A． B．42 C． D．40 8．（2026·北京通州·一模）已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 9．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点M，N在圆上，点在直线上，点为MN中点，若，则的取值范围是（    ） A．[1,3] B． C．[0,4] D． 10．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）已知点为圆上两点，，点为线段 的中点，点为直线上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知实数满足曲线的方程，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 12．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 13．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知点，点为圆上的动点，则（   ） A． B．存在点使 C．若恒成立，则 D．A、B、C构成的三角形面积最大值为 三、填空题 14．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 15．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 16．（2026高三·全国·专题练习）已知点是圆上的动点，若为定值，则的最小值为________． 17．（25-26高二下·云南曲靖·开学考试）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为________ 18．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 19．（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 20．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知直线：和圆C：，点P是直线上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为T，则线段长度的最小值为______. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 直线的圆的方程的最值与范围问题 目 录 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点到直线的距离最值与范围 题型六、几种代数式的最值与范围（截距，距离，斜率） 题型二、两点之间的距离最值与范围 题型七、直线和圆的位置关系中与向量有关的最值 题型三、平行线间的距离最值与范围 题型八、直线与圆其他类的范围与最值 题型四、圆外定点到圆上的动点的距离最值 题型九、圆与圆的位置关系中的范围与最值 题型五、直线与圆相交最短弦长问题 题型十、直线与圆相切中的最值与范围问题 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 解题通法—明晰核心解法，助力能力迁移 直线与圆的最值、范围问题是平面解析几何高频重难点 所有题型均围绕距离公式、圆几何性质、位置关系、代数式几何意义四大核心展开 解题贯穿两条底线原则 一是优先挖掘几何意义能几何求解不强行代数运算 二是代数法求解必须注意变量取值范围所有参数结果最终均需合规检验. 题型归纳—精讲典型题法，夯实解题根基 题型一、点到直线的距离最值与范围 典例1 （河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 题型模版 1.特征：定点，动直线 点到直线距离公式 动直线常过定点，求距离的最大值、最小值 2.方法：1.若动直线过定点，则距离最大值为|PM|，最小值为 2.直线不过定点，直接代入距离表达式结合函数求值域 3.几何角度分析，定点到动直线距离，最大值出现在时 4.注意直线斜率不存在的特殊情况 变式1-1（25-26高二下·贵州黔南·阶段检测）已知点到直线的距离是，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】由题意可得点为单位圆上的点，再利用点到直线距离公式计算可求出距离最大值，即可得A、B；利用点到直线距离公式结合圆的半径计算即可得C、D. 【详解】易知点的轨迹为单位圆； 对于A，B，圆心O到直线的距离为， 则，当时等号成立， 所以或5取不到，因此A，B均错误； 对于C，D，由，可知点M到直线的最大距离， 即，解得，所以C正确，D错误. 变式1-2（2026·北京顺义·二模）已知直线过点，其倾斜角为，设原点到直线的距离为.当时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，设直线的方程为，再结合点到直线的距离公式列不等式求解即可. 【详解】由题意，直线过点，且原点到直线的距离， 则直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 则，由，则，解得或， 又，则的取值范围是. 变式1-3（25-26高二下·广西钦州·开学考试）已知坐标原点到直线的距离为，则的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件得到，令，可得，即可求解. 【详解】因为坐标原点到直线的距离为，则，整理得到， 令，则，其中， 所以，当且仅当时取等号， 故的最大值为. 类型二、两点之间的距离最值与范围 典例2 （25-26高一下·全国·课堂例题）已知、，则函数的最小值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】A 【分析】将函数看作点和点与的距离之和，可得，由此求得函数的最小值. 【详解】函数的几何意义是点和点与的距离的和． 由不等式，可得当，，三点共线，且点在线段上时，等号成立． 此时取得最小值，最小值为． 故选：A． 题型模版 1.特征：一个定点，一个动点，动点在直线或者圆上运动 两点间距离公式 求距离或者距离平方的最值范围 2.方法：1.动点在直线上，定点向直线作垂线段，垂线段长为最小值，无最大值 2.动点在圆上，利用圆心与定点距离结合半径，为最小值，为最大值 3.距离平方可以去掉根号简化计算 4.区分动点轨迹是直线还是圆，优先几何法 变式2-1（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】设，则的几何意义即为，结合对称可求前者的最小值. 【详解】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 变式2-2（25-26高二上·山东烟台·期末）已知，则动点与点的距离的最小值是________． 【答案】1 【分析】根据两点间距离公式列出表达式，经整理并换元，令，可将问题转化为求函数（）的最小值. 【详解】由题意可得 ， 令，由于，函数在上单调递增， 故， 则， 由于，在上单调递增，故， 即的最小值为1，故动点与点的距离的最小值是1， 故答案为：1 变式2-3（25-26高二上·广东东莞·期中）已知实数满足，则的最小值为________ 【答案】 【分析】表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值，即可求解． 【详解】， ， 则表示：直线上的点到点和的距离之和的最小值， 如图所示： 设点关于直线的对称点为， 得，解得， 得， 则 ， 等号成立时，三点共线， 故答案为： 题型三、平行线间的距离最值与范围 典例3 （25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 题型模版 1.特征：两条互相平行直线，一条定一条动 平行线距离公式 2.方法：1.将直线方程x、y系数化为完全相同 2.代入距离公式转化为函数求取值范围 3.注意两条直线必须平行，避免出现重合的无效情形 4.结合动直线的约束条件限定参数范围 变式3-1（25-26高二上·重庆九龙坡·阶段检测）、分别为与上任一点，则的最小值为（    ） A． B．3 C． D．6 【答案】C 【分析】先通过直线平行的判定公式判断已知直线互相平行，再利用平行线的距离公式计算求解． 【详解】直线和直线满足， 两条直线互相平行， 又、分别为与上任一点， 的最小值就是平行线（即）与之间的距离， . 故选：C 变式3-2（25-26高二上·重庆·期中）已知点P是直线上一动点，点Q是直线：上一点，且两直线平行，则点P到点Q的最短距离是_____. 【答案】1 【分析】点P到点Q的最短距离为这两条平行线间的距离，利用平行线间的距离公式求解即可． 【详解】直线与直线平行，则，解得， 此时两直线为与． 点P到点Q的最短距离为这两条平行线间的距离． 故答案为：1． 变式3-3（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知实数满足，，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为两条平行直线间距离的求解问题，利用公式即可求得结果. 【详解】的几何意义为直线上的点到直线上的点的距离的平方， 直线与直线平行， ，的最小值为. 故选：D. 题型四、圆外定点到圆上的动点的距离最值 典例4 （2026·云南·模拟预测）点在以为直径的单位圆上运动，则的最大值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意可得，然后令，则，再换元后利用二次函数的性质可求得答案. 【详解】如图，设P到的距离分别为， 因为点P是以为直径的单位圆上的动点，所以， 因为P到的距离分别为x，y，所以， 令（）， 所以， 令， 则，所以， 所以， 因为，所以当时， 可得取得最大值. 题型模版 1.特征：定点，圆半径，|PC|为定点到圆心距离 距离最大值： 距离最小值： 2.方法：1.计算定点到圆心的距离|PC| 2.两点连线与圆的交点即为取到最值的动点 3.区分定点在圆内、圆上、圆外三种情况 4.求距离平方最值可以直接对运算 变式4-1（25-26高二下·安徽阜阳·开学考试）数学家华罗庚曾说:“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决，例如，与相关的代数问题，可以转化为点与点之间的距离的几何问题.结合上述观点，已知x，y满足，则的取值范围为____. 【答案】 【分析】根据方程确定圆心及半径，再利用定点到圆上的点的距离的范围即可求解． 【详解】可化为， 所以表示圆心为，半径为2的圆上的点. ， 所以的几何意义是圆上的点与的距离的平方减8， ， 所以， 所以． 变式4-2（25-26高二上·河北雄安·期末）实数满足，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】由的几何意义即可求解. 【详解】如图： 点为圆上一点，， 则表示线段的长度． 所以， 可得的取值范围为． 变式4-3（25-26高二上·广东深圳·期末）已知直线和，和的交点记为，若点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据两直线过定点，且两直线垂直，求出点的轨迹，即可求出答案. 【详解】直线过定点，直线过定点， 因为两直线始终保持相互垂直， 因此交点的轨迹是以为直径的圆，且为圆心，半径，如下图所示： 由于不包含直线，不包含直线， 所以点轨迹不经过点， 圆上的点到点距离最大值为， 此时点的位置不在处，满足题意，故的最大值为. 故选：B. 题型五、直线与圆相交最短弦长问题 典例5 （25-26高二下·安徽宣城·期末）过点的直线与圆：交于、两点，则的最小值是_________． 【答案】 【分析】首先确定圆的圆心与半径，判断点P在圆内部，根据圆的几何性质：过圆内一点的最短弦为与过该点的半径垂直的弦，结合弦长公式计算最小值. 【详解】∵ 圆的方程为，∴ 圆心坐标为，半径. ∵ 点坐标为，∴ 圆心到点的距离，即点在圆内部. ∵ 过圆内一点的所有弦中，当直线与垂直时，圆心到直线的距离最大，等于，此时弦长最短， ∴ 最短弦长. 【点睛】方法归纳：过圆内定点的弦长最值问题，最长弦为过该点的直径，长度等于；最短弦为与过该点的半径垂直的弦，弦长公式为（为圆心到定点的距离）. 题型模版 1.特征：过圆内一定点作圆的动直线，求弦长最大、最小值 弦长公式，是圆心到直线距离 2.方法：1.最长弦为过该定点的直径 2.最短弦：定点与圆心连线垂直于动直线时弦最短 3.越大弦长越小，的最大值为圆心到圆内定点的距离 4.代入勾股关系计算弦长 变式5-1（2026·湖南长沙·三模）已知直线与圆交于，两点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．4 D．2 【答案】C 【分析】根据直线过定点，结合弦长公式计算即可． 【详解】由可变形为，则该直线过定点， 又可变形为，该圆的圆心为，半径为， 设圆心到直线的距离为，则， 所以当直线与直线垂直，即最大时，最小， 又的最大值为,所以， 故的最小值为． 变式5-2（2026·河南郑州·二模）已知直线，圆，直线与圆交于，两点，则的最小值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定直线恒过的圆内定点，再利用弦长公式，结合“圆心到直线的距离最大时弦长最小”的几何性质求解. 【详解】将直线 整理为 ， 令 ，得直线 恒过定点 . 圆 的圆心为 ，半径 ， ，故点 在圆 内. 设圆心 到直线 的距离为 ，弦长 . 要使 最小，需 取最大值. 当 时，， 此时 . 变式5-3（2026·安徽合肥·模拟预测）圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时，. 题型六、几种代数式的最值与范围（截距，距离，斜率） 典例6 （2026高三·全国·专题练习）已知实数满足．求： (1)的最大值； (2)的最小值； (3)的最值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为，最大值为． 【分析】（1）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （2）设，利用直线与圆相切时，取得最大值或最小值即可求解； （3）解法一：通过的几何意义即可求解；解法二：令，，，通过三角函数求解的最值即可. 【详解】（1）已知原式可化为，它表示以为圆心，以为半径的圆，    设，则，直线与圆相切时，取得最大值或最小值， 此时，解得或（舍去）， 所以的最大值为． （2）设，即直线，为直线在轴上的截距， 由图可知，当直线与圆切于点时，有最小值，此时圆心到直线的距离为半径， 即，解得或（舍去）， 故的最小值为． （3）解法一：记，则，其中为圆上任一动点．易求， 由图可知，当点位于点时，最大；当点位于点时，最小． 因此所求的最大值为，最小值为， 即的最大值为，最小值为. 解法二：设为圆上任一动点，令，，， 则，其中， 由于，所以，所以， 即的最大值为，最小值为. 题型模版 1.特征：1.斜率型，表示动点与定点连线斜率 2.距离型，两点距离几何意义 3.截距型，，代表直线纵截距 动点在圆上运动 2.方法：1.斜率：转化定点与圆上点切线，求切线斜率作为临界值 2.距离：直接使用圆心定点加减半径 3.截距：平移直线，直线与圆相切时得到临界值 4.优先画图，借助几何直观，也可以用参数方程代数求值域 变式6-1（2026高一·全国·专题练习）已知圆：，为圆上任意一点． (1)求的最大值和最小值； (2)求的最大值和最小值； (3)求的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为． (2)最大值为，的最小值为． (3)最大值为，最小值为． 【分析】（1）将转化为圆上点与定点连线的斜率，利用圆心到切线的距离等于半径，求出斜率的最值； （2）将转化为直线在轴截距的线性函数，利用圆心到直线的距离等于半径，求出截距的最值，进而得到所求； （3）将转化为圆上点到定点的距离的平方，利用定点到圆心的距离与半径的和、差，求出距离平方的最值. 【详解】（1）表示圆上的点与点连线的斜率， 设为，圆心，则过点的圆的切线方程为，即， 由圆心到切线的距离等于半径，可得，求得， 故的最大值为，最小值为． （2）令，即，表示斜率为、在轴上的截距为的直线， 故当此直线和圆相切时，取最值． 圆心到直线的距离为半径， 可得，求得，或， 故的最大值为，的最小值为． （3）与的距离为， 所以的最大值为，最小值为． 变式6-2已知实数满足方程.求： (1)的最大值和最小值； (2)的最大值和最小值； (3)的最大值和最小值． 【答案】(1)最大值为，最小值为 (2)最大值为，最小值为 (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）根据圆心坐标和半径可知表示圆上的点与原点连线的斜率，再由直线与圆相切即可得出结果； （2）令，可知其几何意义表示直线在轴上的截距，由点到直线距离计算可得结果； （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方，又圆心到原点的距离为2，得出圆上的点到原点距离的最大值和最小值，再平方即可. 【详解】（1）原方程表示以点为圆心，为半径的圆． 设，即，则当直线与圆相切时，斜率取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （2）设，即， 则当直线与圆相切时，纵截距取得最大值和最小值， 此时，解得， 故的最大值为，最小值为. （3）易知表示圆上的点与原点距离的平方． 由平面几何知识知，它在原点与圆心所在的直线与圆的两个交点处取得最大值和最小值． 又圆心到原点的距离为2， 故，. 变式6-3（25-26高二上·福建泉州·期末）（多选）已知点，动点与点的距离是它与点的距离的，则（    ） A．的轨迹方程为 B．的轨迹方程为 C．的取值范围为 D．的取值范围为 【答案】AC 【分析】选项AB，由求解判断；选项C令，由圆心到直线的距离小于等于半径求解判断；选项D令，由圆心到直线的距离小于等于半径求解判断. 【详解】由，得，化简得，故A正确，B错误； 令，即，圆心到直线的距离为，解得，所以的取值范围为，故C正确； 令，即，圆心到直线的距离为，解得，所以的取值范围为，故D错误； 故选：AC 题型七、直线和圆的位置关系中与向量有关的最值 典例7 （25-26高二下·浙江·期中）已知是圆上的动点，，点是直线上的动点，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】取线段的中点，可得，依题意即求的最小值，由图可知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时，最小，利用点到直线的距离公式与圆的弦长公式计算即得. 【详解】如图，取线段的中点，连接，则， 由图知，当且仅当且(三点共线且点在线段上)时， 点到直线的距离与点到直线的距离之差的绝对值取得最大值， 即的最小值为，故此时取得最小值为. 题型模版 1.特征：圆上动点，定点P、Q，求等向量数量积最值 2.方法：1.向量分解，将向量拆分为圆心相关向量简化运算 2.坐标法，设圆上动点参数坐标，转化三角函数求值域 3.展开数量积表达式，转化距离相关式子 4.利用圆的几何性质，优先几何分析，再代数计算验证 变式7-1（25-26高三下·山东·阶段检测）直线与圆交于，两点，且的面积为2，已知是圆上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据圆的方程求出圆心坐标和半径，根据的面积可判断的形状，进而可求得圆心到直线的距离即弦长，根据向量的线性运算可将的最大值转化为圆上的点到弦中点距离的最大值问题. 【详解】由圆，即得 圆的圆心为，半径，取的中点D，则，如图： 因为的面积为2， 所以，解得， 所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 所以 ， 所以当取得最大值时，取得最大值，， 所以的最大值为. 变式7-2（25-26高二上·广东·期中）（多选）已知圆，直线与C交于A，B两点，点M为弦AB的中点，，则（    ） A．弦长没有最小值 B．有最大值为 C．面积的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】根据圆的性质，得到直线，弦取得最小值，验证斜率关系可判定A；连接，得到，求得点的轨迹方程，结合圆的性质，可判定B错误；由，求得点到直线的距离最大值，结合面积公式，可得判定C正确；设，得到，结合直线与圆有公共点，列出不等式，求得的范围，可得判定D正确. 【详解】对于A，由圆，可得圆心为，半径为 又由直线，可得，可得过定点，则点在圆内部， 根据圆的性质，只有当直线，弦取得最小值，但，但直线的斜率为k， 所以无法成立，弦长没有最小值，所以A正确； 对于B，因为是弦的中点，连接，可得， 设，可得，整理得， 即点的轨迹为以为圆心，半径为的圆， 因为，可得点在圆外， 所以的最大值为，所以B不正确； 对于C，由， 要使得的面积最大，只需点到直线的距离最大即可， 又由的方程为，即，则圆心到直线的距离为， 所以点到直线的最大距离为， 所以的面积最大值为，所以C正确； 对于D，设，且， 可得，所以， 因为动点的轨迹方程为， 设，可得， 则直线与圆必有公共点， 可得，即，解得， 所以得最大值为，所以D正确. 故选：ACD.    变式7-3（2025·黑龙江·一模）已知，是圆上的两个动点，且，为直线上的动点，则的最小值为（   ） A．3 B．4 C．15 D．16 【答案】C 【分析】若为的中点，利用向量加法的几何意义及数量积的运算律得 ，数形结合最小时取最小值，即可得答案. 【详解】若为的中点，如下图示，，， 所以 ， 由，即圆心，半径，所以， 到的距离，即直线与圆相离， 结合图知，最小，此时. 故选：C. 题型八、直线与圆其他类的范围与最值 典例8 （24-25高三下·江苏南京·开学考试）已知点P为直线上的一点，过点P作圆的切线PA，切点为A，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图像得到，问题转换成求最小值即可求解； 【详解】解：根据题意，圆其圆心为半径 过点P作圆的切线PA， 则 则 设圆心C到直线l的距离为d， 则 故 所以的最大值为 故选：A 题型模版 1.特征：结合直线圆条件，求参数、线段长、面积等变量取值范围 2.方法：1.抓住位置关系，相交或者圆心距与半径不等式 2.面积最值优先转化弦长、距离表达式 3.建立目标函数，结合变量隐含定义域求值域 4.临界情况通常为相切，把相切作为边界讨论 变式8-1（24-25高二下·湖北荆州·开学考试）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点A、B及动点，若（且），则点的轨迹是圆．后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆（简称“阿氏圆”）．在平面直角坐标系中，已知，直线，直线，若为的交点，则的最小值为_______． 【答案】 【分析】由已知可得，则点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，得到的轨迹方程为， 由阿氏圆性质找到点，将转化为，问题转化为求解到两定点距离之和最小即可. 【详解】 当时，，此时交点为， 当时，由直线，斜率为k； 由直线，斜率为，， 又，所以直线恒过点， ，所以直线恒过， 若M为，的交点，则， 所以点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点，E点, 综合以上两种情况，点M的轨迹是以为直径的圆，除去F点， 则圆心为的中点，圆的半径为， 故M的轨迹方程为，即， 又,易知在该圆内，又由题意可知圆C上一点 满足，取，则，满足.下面证明任意一点都满足，即， 因为， 又,所以, 所以， 又，， 如图,当且仅当三点共线,且M位于N,D之间时,等号成立,即的最小值为. 故答案为： 【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点D，构造，转化线段和结合三角形三边关系计算即可. 变式8-2（24-25高二上·广东·阶段检测）（多选）已知，，是曲线上的任意一点，若的值与x，y无关，则（   ） A．m的取值范围为 B．m的取值范围为 C．n的取值范围为 D．n的取值范围为 【答案】BC 【分析】由方程知曲线为半圆，再由题意转化为半圆夹在两平行直线之间，求出相切与过端点的情况即可得解. 【详解】由曲线，得，则， 所以曲线表示圆心为，半径的半圆（x轴及以上部分）. 设为点到直线的距离，为点到直线的距离. 已知， 即表示点到直线和的距离和的倍.   由图可知，该曲线在两平行直线，之间时， 点到直线和的距离和为两平行线之间的距离. 当与曲线相切时，， 解得，则m的取值范围为； 当经过点时，，解得，则的取值范围为. 故选：BC. 变式8-3（24-25高二上·江苏苏州·期中）已知圆C经过，且圆心在直线上. (1)求圆C的标准方程； (2)已知斜率为直线l经过第三象限，且与圆C交于点M，N，求的面积的取值范围. 【答案】(1) (2)的面积的取值范围为 【分析】（1）设圆的方程为，利用点在圆上，圆心在直线上，列出方程组求解即可； （2）设出直线方程，表示出的面积，根据参数范围即可求出的面积的取值范围． 【详解】（1）设圆的方程为， 因为点在圆上，圆心在直线上， 所以，解得，，， 所以圆的方程为，即． （2）设所求直线方程为，且,即，    由圆心到直线的距离为，所以 由垂径定理有， 由于，且直线与圆交于两点，因此，又，即， 所以， 由于，则，因此， 所以的取值范围为． 题型九、圆与圆的位置关系中的范围与最值 典例9 （25-26高二下·内蒙古·期末）已知，若圆上存在点，使得，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】圆的圆心，半径为， 依题意，以点为圆心，1为半径的圆与圆有公共点，则， 而，因此，解得， 所以的取值范围为. 题型模版 1.特征：两动圆或者一动一定圆，求圆心距、公共弦长、参数取值范围 2.方法：1.根据两圆位置关系写出满足的不等式 2.公共弦长，利用一个圆的半径、圆心到公共弦距离计算 3.公共弦长的最值转化两圆圆心距的变化 4.注意半径恒大于0隐藏条件 变式9-1（2026高二·全国·专题练习）已知圆和两点，若圆C上存在点P，使得，则a的最小值为（ ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【详解】根据条件，将问题转化成圆与圆C有公共点，再利用圆与圆的位置关系即可求出结果. 【分析】由，可得点P在以线段为直径的圆上，其方程为上， 又点P在圆C上，所以两圆有公共点， 因为圆的圆心为原点O，半径为a，圆C的圆心为，半径为2， 所以，因， 故得， 解得，所以a的最小值为3. 变式9-2（2026·山东淄博·三模）已知两点，，若圆上存在点P使得，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知可得点在以为直径的圆上，再利用圆与圆的位置关系求出的范围. 【详解】由点及，得点在以为直径的圆上， 其圆心，半径，而圆的圆心，半径， 又点在圆上，因此，即，则， 又点与点都不重合，即，则，即， 所以实数m的取值范围是. 变式9-3（2026·广东广州·二模）已知圆，若直线上至少存在一点，使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，则实数的取值范围是____________． 【答案】 【分析】求出圆的圆心和半径，由已知可得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交，并求出的范围，再结合圆的性质建立不等式求解. 【详解】圆的圆心，半径， 由圆上恰有两个点与点的距离都为2，得以点为圆心，2为半径的圆与圆相交， 则，即，令圆心到直线的距离为， 于是直线上任意点到圆心距离都不小于，又直线上至少存在一点， 使得圆上恰有两个点与点的距离都为2，因此，即，解得， 所以实数的取值范围是. 题型十、直线与圆相切中的最值与范围问题 典例10 （25-26高二上·安徽·阶段检测）已知圆经过点，，且圆心在直线上，直线. (1)若直线与圆相切，求的值; (2)若，过直线上一点作圆的切线、，切点分别为、，求四边形面积的最小值及此时点的坐标. 【答案】(1)或； (2)四边形面积的最小值为， 【分析】（1）设出圆心坐标，利用半径相等得到方程，求出，进而确定圆心和半径，得到圆的方程； （2）由对称性可知，四边形的面积，且当最小时，切线长最短，由点到直线距离公式得到的最小值，从而求出最小值，从而求出面积的最小值，并根据垂直关系求出直线方程为，联立求出点的坐标. 【详解】（1）圆心C在直线上，不妨设圆心C的坐标为， 则，解得， 故半径为， 故圆C的方程为； 由已知得圆心到直线的距离等于半径， 即，解得或. （2）当时，直线l的方程为， 如图，圆的半径为，即，其中， 由对称性可知，四边形的面积. 由勾股定理得，故当最小时，切线长最短， 显然当时，，所以， 四边形的面积的最小值， 直线的斜率为，由垂直关系可知此时， 又，故直线方程为，即， 联立与得，即.    题型模版 1.特征：直线与圆相切，满足圆心到直线距离，求相关代数式、参数范围 2.方法：1.利用相切条件建立等式约束参数 2.将目标量转化单变量函数，求值域 3.切线长公式，圆外点，圆心 4.注意切线斜率存在、不存在两种情况分开讨论 变式10-1（2025·山东·模拟预测）已知圆，直线.若过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得圆心到直线l的距离，解该不等式即可得解. 【详解】因为圆的半径为， 且过直线上任意一点都能作圆的两条切线，切点为P，Q，且， 所以圆心到直线l的距离，解得或， 故实数的取值范围是. 故选：D 变式10-2（24-25高二上·江苏南京·阶段检测）已知点，点，点满足，过点作圆：的两条切线，切点分别为，，则的最小值是_______． 【答案】 【分析】首先求点的轨迹方程，再根据几何关系计算数量积，转化为关于的式子，结合对勾函数的单调性，即可求解. 【详解】，因为，所以， 化简得，所以点在以原点为圆心，为半径的圆上． 设，则 ． 因为，所以，所以． 因为在上单调递增，所以在时取最小值， 最小值为． 故答案为： 变式10-3（24-25高三上·北京海淀·阶段检测）已知圆：，点是圆上动点，点是圆外动点，过点作圆的两条切线，分别与圆切于A，两点，若的取值范围是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据圆的性质可得，根据切线的性质可得，进而分析取值范围. 【详解】由题意可知：圆的半径，则， 当且仅当为时，；当且仅当为时，； 设， 因为，则， 当且仅当时，取到最小值；当且仅当时，取到最大值； 可得，即的取值范围是. 故选：A. 压轴挑战—攻克高难压轴，突破思维上限 一、单选题 1．（25-26高二上·四川自贡·期末）数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微.”事实上，很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.函数下列结论正确的是（    ） A．的最小值为6 B．的最小值为 C．方程6有两解 D．方程7无解 【答案】B 【分析】将函数变形为，分析出其几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，求出的最小值，即可判断A，B，C，D. 【详解】因为，所以的几何意义是轴上的动点到两个定点和的距离之和，，作点关于轴的对称点，，当，，三点共线时，取得最小值， ，所以，故A错误，B正确， 因为，所以无解，故C错误，因为，所以有两解，故D错误. 故选：B. 2．（25-26高一上·浙江杭州·期中）关于的方程在上有实数解，其中为实数，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看成两点间距离的平方，再利用点到直线距离求解. 【详解】由 ，得. 设，当时为增函数，而， 所以. 所以方程转化为. 而即为点到点的距离的平方， 而点满足， 则的最小值即为点到直线距离的平方的最小值， 即的最小值.而， 设，则在为增函数， 所以，则. 所以最小值为. 3．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）已知直线，且与不垂直，则直线与之间距离的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据两直线平行可得，利用两平行线之间的距离公式求得距离表达式，再利用判别式法求得函数值域即可求得距离范围. 【详解】由可得，又与不垂直，所以； 将直线化为，也即； 因此直线与之间的距离为， 令，整理可得， 易知，整理可得，解得； 当时，，此时两直线重合； 当时，，满足条件，因此. 故选：C 4．（2026·山东青岛·模拟预测）已知点是圆：上一点，点，，的最大值为（     ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】依题意设，根据数量积的坐标表示，辅助角公式，及正弦函数的性质即可求解． 【详解】依题意设，则，， 则 ，其中， 又，则， 所以的最大值为． 5．（2026·河南开封·三模）若实数x，y满足，则的最大值为（   ） A．3 B．5 C．2 D． 【答案】C 【分析】换元，，将转化为关于的三角函数，利用辅助角公式求最值 【详解】因为，所以，令，，， 其中，所以的最大值为 6．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）直角中，斜边，，动点满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为，根据条件建立的关系式求解 【详解】 以C为坐标中心建立平面直角坐标系，设P坐标为， ，，， ， ， ， ， ， 即， 配方得：， 所以在以为圆心以2为半径的圆上， ，， ,其关于x单调递增， 所以取P为圆的最右边的点可取得最大， 此时，代入得. 7．（2026·河北衡水·一模）若非负数，满足，则的最大值为（   ） A． B．42 C． D．40 【答案】C 【分析】利用换元法转化为圆的方程，再利用点与圆的位置关系即可求解. 【详解】令，，所以，则. 因为，所以， 则（，）， 则点的轨迹为圆不在第二、四象限的部分， 则表示点到坐标原点的距离， 由图可知，该距离的最大值为， 此时，，即，，所以的最大值为. 8．（2026·北京通州·一模）已知直线与圆交于点M，N．当k变化时，的最小值为（   ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以圆心为，半径为. 设圆心到直线的距离为，则， 所以当取最大值时，最小. 因为直线过定点，所以的最大值为， 所以的最小值为. 9．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点M，N在圆上，点在直线上，点为MN中点，若，则的取值范围是（    ） A．[1,3] B． C．[0,4] D． 【答案】D 【分析】根据垂径定理可得点在以为圆心，为半径的圆上，再利用点到直线的距离公式及圆上点到定直线距离最值求法，即可得解. 【详解】由题意可得圆的标准方程为， 设圆心为，半径为，则，， 所以由垂径定理可得，故点在以为圆心，半径的圆上， 又因为圆心到直线的距离， 故直线与圆相切， 又因为点在直线上， 结合图象可知，的取值范围为，即. 故选：D. 10．（25-26高三上·河北秦皇岛·阶段检测）已知点为圆上两点，，点为线段 的中点，点为直线上的动点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出，得到点 P 在以 C 为圆心、为半径的圆上，圆心 C 到直线的距离为，所以的最大值为. 【详解】由题可得圆心，半径 ， 因为点为线段 的中点，所以， 因为弦长，所以由勾股定理， 所以，即点 P 在以 C 为圆心、为半径的圆上， 圆心 C 到直线的距离为， 所以的最大值为. 故选：C. 11．（25-26高二上·广东深圳·阶段检测）已知实数满足曲线的方程，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式，以及直线和圆的位置关系，求出最小值即可. 【详解】因为曲线的方程， 所以，表示圆心为，半径为的圆， 又表示动点到直线距离的倍， 因为圆心到直线的距离为， 故圆上的点到直线距离的最小值为， 故. 故选：D. 二、多选题 12．（25-26高一下·四川德阳·阶段检测）已知实数满足方程，则下列错误的有（    ） A．的最小值为 B．的范围是 C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】ABD 【分析】先根据方程判断出图形是上半圆，再把每个选项里的代数式转化为对应的几何意义，分别用三角函数、斜率、点到定点距离、点到直线距离来求最值或范围，最后结合图形位置判断结果是否正确即可. 【详解】由，得. 对于A，令，，则， 因为，所以当时，取得最小值， 此时取得最小值，最小值为，故A错误； 对于B，如图所示，表示以为圆心，为半径的半圆， 则可看作是半圆上的点与点连线的斜率. 因为，， 由图知，的范围是，故B错误； 对于C，， 则可看作是半圆上的点到点的距离， 如图所示，其最小值为， 所以的最小值为，故C正确； 对于D，可看作半圆上的点到直线的距离. 设与直线平行，且与半圆相切的直线方程为 (). 由，得. 此时，切点到直线的距离为； 点到直线的距离为， 所以的最大值为. 所以的最大值为，故D错误. 13．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）已知点，点为圆上的动点，则（   ） A． B．存在点使 C．若恒成立，则 D．A、B、C构成的三角形面积最大值为 【答案】AC 【分析】先求出圆心和半径，得到，再根据直线和圆的关系以及点和圆的相关知识逐项判断即可. 【详解】因为圆的方程为，所以圆心为 ，半径为， 则， 当 时，有最小值，即， 所以，故A正确； 在中，由正弦定理得：， 因为且， 故. 所以不存在点使，故B错误； 因为的最小值为，要恒成立， 则，即， 化简得到，解得或，故C正确； 三角形ABC的面积为,（h 为B到AC的距离） 因B在圆上，h的最大值为圆的半径1，故面积最大值为, 因为，当时，， 所以三角形ABC的面积无最大值，故D错误； 故选：AC. 三、填空题 14．（2026高三·全国·专题练习）点到直线的最大距离是______． 【答案】 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 15．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【分析】根据条件判断出点的轨迹，然后根据三角形面积公式结合图象可求解出的面积的最大值. 【详解】设，因为，所以， 化简可得， 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 又因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为. 16．（2026高三·全国·专题练习）已知点是圆上的动点，若为定值，则的最小值为________． 【答案】 【分析】表示出，根据为定值，可得，结合圆的性质可求答案. 【详解】设，则，即， 所以 ， 因为为定值，所以，解得， 此时，则， 由圆，即，圆心为，半径为， 显然点在圆内部，且，则的最小值为， 所以的最小值为． 17．（25-26高二下·云南曲靖·开学考试）已知P是：上的动点，则P到直线l：距离的最小值为________ 【答案】 【详解】将圆的方程配方得, 因此圆心为，半径， 根据点到直线的距离公式，圆心C到直线l：的距离：， 则P到直线l：距离的最小值为. 18．（25-26高二上·福建厦门·期末）已知点在直线：上，过作圆：的两条切线，切点为，，则的最大值为___________________. 【答案】/ 【分析】根据直线与圆的位置关系及几何关系求解即可. 【详解】圆化为标准形式为，圆心，半径. 圆心到直线的距离为，即直线与圆相离. 因为，故， 故当时，最小，此时最大，则也取得最大值.， 此时，所以，所以. 故答案为：. 19．（25-26高二上·安徽·期中）由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【答案】1 【分析】由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 20．（25-26高二上·海南儋州·期末）已知直线：和圆C：，点P是直线上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为T，则线段长度的最小值为______. 【答案】 【分析】根据圆的切线性质，将切线长转化为与圆心到点距离相关的表达式，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线上点的最小距离，进而求得切线长的最小值. 【详解】根据圆的切线性质可知，，在中，由勾股定理可得， 已知圆的方程为，则半径，所以， 要使最小，则需最小，所以的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式可得：， 将代入，可得， 因此，线段长度的最小值为. 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $