2.4 圆的方程（七大重点题型）专项训练-2026-2027学年高二数学上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以圆的定义为起点，通过方程形式（标准/一般）、要素（圆心/半径）、位置关系到综合应用的递进训练，系统构建圆的方程知识体系，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |圆的定义|6题|轨迹判断与距离计算|从定义出发构建圆的概念基础| |标准/一般方程|各6题|方程求解与参数范围|方程形式转换，体现代数表达几何性质| |圆心半径|8题|方程化归与要素提取|连接方程形式与几何要素的桥梁| |位置关系|8题|点与圆位置判定|深化距离公式的应用逻辑| |最值问题|7题|定点到圆上点距离范围|结合几何性质与代数运算| |综合应用|8题|轨迹方程与切线问题|整合知识解决复杂情境|

专题2.4 圆的方程 目录●重难点题型分布 重难点题型1 圆的定义 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2026·辽宁朝阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知动点到坐标原点的距离是其到点的距离的，则点到直线：的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．（25-26高二下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 5．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 6．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 重难点题型2 圆的标准方程 1．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 2．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 6．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程为______. 重难点题型3 圆的一般方程 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 4．（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 5．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆经过三点，，，则圆的方程为______. 6．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 重难点题型4 求圆心和半径 1．（25-26高二上·江苏淮安·期末）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 3．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26高二上·浙江宁波·期末）若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 5．（25-26高二上·河北邯郸·期末）若圆的半径为1，则______. 6．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是一个圆的方程，则圆心的坐标_____. 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则圆的半径最大时圆的方程为______． 8．（24-25高二下·上海·期末）已知圆，则圆的圆心坐标为__________. 重难点题型5 点与圆的位置关系 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 2．若点，圆的一般方程为，则点A与圆位置关系（    ） A．圆外 B．圆内且不是圆心 C．圆上 D．圆心 3．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 6．点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 7．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 8．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 重难点题型6 定点到圆上的点的最值问题 1．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 2．已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 5．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 6．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知正方形ABCD的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为____________. 7．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为______. 重难点题型7 综合应用 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． 2．（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 3．（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 4．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 5．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 6．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆． (1)求直线到直线 的距离； (2)若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． 7．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 8．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知平行四边形的两条边所在直线方程分别为，，且它的对角线交点. (1)求顶点、的坐标； (2)求此平行四边形的面积； (3)求外接圆的标准方程. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.4 圆的方程 目录●重难点题型分布 重难点题型1 圆的定义 1．（26-27高二上·全国·课后作业）已知半径为3的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】求得动圆圆心轨迹方程，根据圆上点到直线距离最值计算公式计算求解. 【详解】半径为3的圆经过点，可得该圆的圆心轨迹是以为圆心，3为半径的圆，，， 所以圆心到原点距离的最小值是． 2．（2026·辽宁朝阳·二模）已知线段，点满足，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.55 【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——圆 【分析】先建立平面直角坐标系，根据已知条件，求出点的轨迹为圆，进而将向量用坐标形式表示，利用数量积的坐标表示， 将数量积的取值范围，转化成求横坐标的相关范围，从而最终求出的取值范围. 【详解】解：以线段中点为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，，设点为， 由，所以，两边平方化简整理得： ，因此，点的轨迹是以为圆心，半径为的圆. 因为，，所以， 又因为点满足，所以， 化简得：. 由圆方程可知，，所以， 即. 3．（25-26高三上·贵州黔南·期末）已知动点到坐标原点的距离是其到点的距离的，则点到直线：的距离的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求平面两点间的距离、求点到直线的距离、轨迹问题——圆 【分析】设，由利用两点间的距离公式得到动点的方程，从而得到的轨迹是以为圆心，半径为2的圆，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线 的距离，从而得到点到直线的距离的最小值. 【详解】设，由， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为2的圆， 圆心到直线：的距离为， 所以点到直线：的距离的最小值为. 故选：A. 4．（25-26高二下·湖北武汉·期末）在平面直角坐标系中，已知，动点满足，且到一定点的距离为定值，则该定值为___________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】数量积的坐标表示、轨迹问题——圆 【详解】设，则，， 由题意可知，则， 化简可得，即， 所以动点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 到一定点的距离为定值，则该定值为. 5．（2026·重庆九龙坡·模拟预测）在平面坐标系中，，动点满足，则的面积的最大值为___________． 【答案】 【难度】0.64 【知识点】轨迹问题——圆 【分析】根据条件判断出点的轨迹，然后根据三角形面积公式结合图象可求解出的面积的最大值. 【详解】设，因为，所以， 化简可得， 所以点的轨迹是圆心为，半径的圆， 又因为，所以， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的面积的最大值为. 6．（26-27高三上·浙江·开学考试）已知点在圆：上，则圆的半径为__________． 【答案】 【难度】0.95 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【详解】由点在圆上，且， 则，解得． 所以圆的半径为． 重难点题型2 圆的标准方程 1．（26-27高三上·贵州·开学考试）已知点，，若以线段为直径作圆，则该圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.88 【知识点】求平面两点间的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由直径的两个端点确定圆心和半径，再代入圆的标准方程即可． 【详解】线段的中点为，故圆心为． 又，所以． 因此所求圆的标准方程为． 2．（2026高三·全国·专题练习）圆心在x轴上，半径为2，且过点的圆的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】由标准方程确定圆心和半径 【分析】确定圆的圆心与半径，从而根据圆的标准方程进行求解. 【详解】设圆心为，根据圆过点且半径为2， 可得，解得，即圆心坐标为. 因此所求圆的方程是． 3．（25-26高二下·河南·阶段检测）过点的面积最小的圆的标准方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【详解】圆的面积最小时线段为直径，圆心为线段的中点，坐标为，半径为， 故所求的圆的标准方程为． 4．（25-26高三下·江西·阶段检测）已知，两点，且是圆M的直径，则圆M的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】根据直径端点的坐标可得圆心和半径，进而可求圆的方程. 【详解】由题意得圆M的圆心坐标为，，所以圆M的方程为. 5．（25-26高二下·上海·期中）以为圆心且经过点的圆的标准方程为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】先计算圆心到点的距离得到圆的半径，再代入圆的标准公式即可求解. 【详解】根据两点间距离公式： ， 所以所求圆的标准方程为. 6．（25-26高二上·天津滨海新区·阶段检测）以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程为______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】由点到直线的距离求出圆的半径即可得解. 【详解】由题可得所求圆的半径为点到直线的距离， 则. 所以圆的标准方程为. 故答案为： 重难点题型3 圆的一般方程 1．（25-26高二下·贵州铜仁·期末）若方程表示圆，则k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.86 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径 【详解】方程可化为，因为该方程表示圆， 故，，A正确． 2．（25-26高二下·浙江杭州·期末）以，为直径的圆的方程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】求圆的一般方程 【分析】设圆上任意一点为，由题可得，据此可得圆方程. 【详解】设圆上任意一点为，因为圆直径，当不同于两点时，有， 当点与两点中任意一点重合时，可得或为，则. 综上对圆上任意一点，.从而, 即 3．（25-26高二下·河南周口·阶段检测）已知，方程表示圆，则圆心的坐标为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【详解】因为方程表示圆，所以，解得或. 当时，方程化为，此时，方程不表示圆； 当时，方程化为，即，所得圆的圆心坐标为. 综上，圆心坐标为. 4．（2026高二·全国·专题练习）在中，是坐标原点，，，则的外接圆方程为_________． 【答案】 【难度】0.7 【知识点】求圆的一般方程 【详解】设的外接圆的方程为（）， 则，解得， 所以的外接圆方程为． 5．（25-26高二上·湖北武汉·期末）已知圆经过三点，，，则圆的方程为______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求过已知三点的圆的标准方程 【分析】设圆的一般方程，用待定系数法可得圆的方程. 【详解】设圆的方程为，由圆经过点，得； 由圆经过，得，即①； 再由圆经过，得，即②； 联立①②解得，所以圆的方程为， 故答案为： 6．（25-26高二上·上海·期末）曲线表示一个圆，则实数的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系 【分析】将曲线转化为，根据圆的性质即可求解. 【详解】依题意，表示一个圆，所以，解得，即实数的取值范围为. 故答案为：. 重难点题型4 求圆心和半径 1．（25-26高二上·江苏淮安·期末）圆的圆心坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程配方化成标准方程即得. 【详解】由配方得， 故圆的圆心坐标为. 故选：A. 2．（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.92 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 3．已知圆的方程为，则圆的圆心和半径分别是（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】整理圆的方程为标准形式，进而求出其圆心和半径. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆的圆心和半径分别是，. 故选：B. 4．（25-26高二上·浙江宁波·期末）若圆的一般方程为，则圆的圆心和半径分别为（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将圆的一般方程化为标准方程求解即可. 【详解】将圆的一般方程，化为标准方程得到， 所以圆的圆心为，半径为. 故选：A. 5．（25-26高二上·河北邯郸·期末）若圆的半径为1，则______. 【答案】/ 【难度】0.85 【知识点】圆的一般方程与标准方程之间的互化、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将一般式方程化为标准方程，再根据半径求解即可. 【详解】原方程可化为标准方程得：， 所以，解得. 故答案为： 6．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是一个圆的方程，则圆心的坐标_____. 【答案】/ 【难度】0.94 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据题意，把圆的方程化为圆的标准方程，即可求得圆心坐标，得到答案. 【详解】由圆的方程，可化为， 所以圆的圆心坐标为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则圆的半径最大时圆的方程为______． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】将一般方程转化成标准方程，再由半径最大求出的值，即可得出结果. 【详解】易知圆的标准方程为， 可得，因此当时，圆的半径最大， 此时圆的方程为. 故答案为： 8．（24-25高二下·上海·期末）已知圆，则圆的圆心坐标为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】应用圆的一般方程圆心坐标公式计算求解. 【详解】由圆，则圆的圆心坐标为. 故答案为：. 重难点题型5 点与圆的位置关系 1．（2026·山东·一模）点与圆的位置关系是（    ） A．点P在圆上 B．点P在圆外 C．点P在圆内且不是圆心 D．点P在圆内且是圆心 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆的一般方程与标准方程之间的互化、判断点与圆的位置关系 【分析】将圆方程变为标准方程，可得圆心和半径，根据两点间距离公式，可得点P到圆心的距离，分析即可得答案. 【详解】圆变为标准方程为， 圆心为，半径， 所以点P到圆心的距离， 所以点P在圆内，且不是圆心. 故选：C 2．若点，圆的一般方程为，则点A与圆位置关系（    ） A．圆外 B．圆内且不是圆心 C．圆上 D．圆心 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据题意，将点A的坐标代入圆的方程，结合点与圆的位置关系，分析的答案． 【详解】解：根据题意，圆的一般方程为， 将点代入，可得，则点A在圆上， 故选：C. 3．（25-26高二上·广东·期末）若点在圆：的内部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.94 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】根据点在圆内，得出不等关系，解不等式即可求得结果. 【详解】由在圆内，得， 即，可化为； 解得，即. 故选：A 4．（25-26高二上·福建福州·期中）若点在圆的外部，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】根据圆的一般方程及点与圆的位置关系可得不等式，解不等式即可． 【详解】由已知圆，则， 又点在圆外，则， 即， 解得， 故选：B． 5．（24-25高二上·青海海南·期中）点在圆的______．（请从“外部”、“内部”、“圆周上”中选择恰当的填入横线） 【答案】外部 【难度】0.94 【知识点】判断点与圆的位置关系 【分析】根据点与圆的位置关系分析判断即可. 【详解】因为，所以点在圆C的外部． 故答案为：外部. 6．点与圆的位置关系是_____________．（填“在圆内”、“在圆上”、“在圆外”） 【答案】在圆内 【难度】0.94 【知识点】判断点与圆的位置关系、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】利用点到圆心的距离与圆的半径的大小关系去判断点与圆的位置关系即可. 【详解】圆的圆心坐标为，半径为2 点到圆心的距离， 因为，所以点在圆内． 故答案为：在圆内 7．（25-26高二上·河南开封·期末）已知点为圆外一点，则的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】二元二次方程表示的曲线与圆的关系、点与圆的位置关系求参数 【分析】由点与圆位置关系的表示结合圆的定义列方程组即可求解. 【详解】由题可得， 所以的取值范围为. 故答案为： 8．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）若点在圆外，则实数k的取值范围为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】点与圆的位置关系求参数 【分析】根据及由点在圆外列式即可求解. 【详解】方程表示圆，则有，解得， 点在圆外，有，解得， 所以实数k的取值范围为. 故答案为：. 重难点题型6 定点到圆上的点的最值问题 1．（25-26高一下·甘肃兰州·阶段检测）已知，，，若点满足，则的最大值为（    ） A．4 B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】坐标计算向量的模、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】先确定在上，再表示出，将转化为到点的距离，最后利用圆的性质求解即可. 【详解】设，则，而， 可得，而，，， 则，得到， 即表示到点的距离， 而由两点间距离公式得点到圆心的距离为， 得到的最大值为，故D正确. 2．已知半径为3，圆心为的圆，则圆上的点到原点的距离的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【难度】0.84 【知识点】定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据圆外一点到圆上的距离的最小值等于这个点到圆心的距离减去半径可得. 【详解】由半径为3，圆心为的圆，则圆心到原点的距离，. 由，，所以原点O在圆的外部，如图：所以圆上的点到原点的距离的最小值为． 故选：B． 3．（25-26高二上·甘肃武威·期末）已知圆C：，定点，点A为圆C上任意一点，若点P满足，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】根据题意，将点轨迹方程表示出来，即以为圆心，为半径的圆，再根据圆外一点到圆上点的距离范围求解即可. 【详解】设，，由得：， 即，解得：，即， 又因为点A为圆C上任意一点，所以， 化简整理得：．故点P的轨迹是以为圆心，为半径的圆， C点坐标， 而的取值范围为，经计算易知. 故选：A． 4．（25-26高二下·广东潮州·期末）已知点是矩形内的动点，且，，，点为边上的动点，则的最小值为________． 【答案】 【难度】0.42 【知识点】向量与几何最值、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】建系后由距离关系得的轨迹为圆，在定直线上，将对称转化，问题化为圆上点到定点距离的最小值，再减去半径可得结果. 【详解】如图，以为原点，为轴，为轴建立直角坐标系， 则，，，，设动点， 由平方得整理配方得 ，即的轨迹是以为圆心，半径的圆在矩形内的部分. 在直线上，作关于的对称点，由对称性质得， 因此，对圆上动点，的最小值为定点到圆心的距离减去半径. 由于，故，即的最小值为. 5．（25-26高二上·云南保山·期末）已知点，点在圆上运动，则的取值范围为_________． 【答案】 【难度】0.81 【知识点】求平面两点间的距离、由标准方程确定圆心和半径、定点到圆上点的最值（范围） 【详解】圆的标准方程为， 则圆心为，半径， 又圆心到点A的距离，所以点A在圆外， 则的最大值为，的最小值为， 则的取值范围为 6．（25-26高二上·江苏苏州·期中）已知正方形ABCD的边长为2，点在以为圆心，1为半径的圆上，则的最小值为____________. 【答案】 【难度】0.4 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】建立直角坐标系，取点，探讨满足条件的点的轨迹，再结合已知条件，求出两条线段长度和的最小值作答. 【详解】依题意，以点为原点，直线分别为轴建立平面直角坐标系，则，如图， 取点，设，当时，，化简整理得， 即点的轨迹是以为圆心，1为半径的圆， 而点在以为圆心，1为半径的圆上，因此， 显然点在圆：外， 则， 当且仅当为线段与圆的交点时取等号， 而， 所以的最小值为. 故答案为：. 7．（25-26高二上·江苏盐城·期中）点在动直线上的投影为点M，若点，那么的最小值为______. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】易知直线过定点，再由题意得，进而得到M的轨迹是以为直径的圆，然后利用点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为直线即过定点， 因为点在动直线上的投影为点M， 所以，所以M的轨迹是以为直径的圆， 且圆心为，半径， 由得，点N在圆C的外部， 如图：   ， 故答案为：. 重难点题型7 综合应用 1．（25-26高二下·安徽马鞍山·阶段检测）在平面直角坐标系中，点，动点满足． (1)求动点的轨迹的方程； (2)若直线过点且与轨迹相切，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、由直线与圆的位置关系求参数、过圆外一点的圆的切线方程 【分析】（1）因为，由两点间距离公式列出方程后化简即可求得轨迹的方程； （2）由点斜式设出直线的方程，因为与相切，且的轨迹是圆，则有圆心到直线的距离等于半径，结合点到直线距离公式即可求得当斜率存在时直线的方程，再考虑直线的斜率不存在即可． 【详解】（1）因为，由，得， 化简得，即， 所以点的轨迹的方程为. （2）由（1）知，轨迹表示圆心为，半径为2的圆， 当直线的斜率不存在时，方程为， 此时圆心到直线的距离，等于圆的半径， 故直线与相切，满足题意； 当直线的斜率存在时，设，即， 于是圆心到的距离等于半径2， 即，解得， 因此直线的方程为，即， 所以直线的方程为或. 2．（2026高二下·上海·专题练习）已知平面直角坐标系中定点，，O为坐标原点．动点M满足，记M的轨迹为曲线C． (1)求曲线C的方程； (2)求线段AM中点P的轨迹方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、求平面轨迹方程 【分析】（1）根据题意建立方程化简即可得解； （2）利用中点公式表示的坐标，代入曲线的方程求解即可. 【详解】（1）设，由，， 可得， 两边同时平方，整理可得， 即， 故曲线C的方程是； （2）设， 因为，所以由中点坐标公式可得， 将点M坐标代入 得到，化简可得， 即点P的轨迹方程为. 3．（2026高二·全国·专题练习）已知圆的圆心在直线上，且圆过点，. (1)求圆的一般方程； (2)若圆与圆关于直线对称，求圆的标准方程. 【答案】(1) (2) 【难度】0.74 【知识点】求点关于直线的对称点、求圆的一般方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）设圆的一般方程，结合已知列方程求解的值，即可求得圆的一般方程； （2）由于圆与圆关于直线对称，根据点关于直线对称坐标特点求得的坐标，则得圆心，由对称可知半径不变，故可得圆的标准方程. 【详解】（1）设圆C的方程为，其圆心为， 已知圆的圆心在直线上，且圆过点，， 则，解得，即圆C的方程为； （2）由（1）得圆C的圆心，半径， 设圆的圆心坐标为，∵圆与圆C关于直线对称， 则有，解得，即. ∴圆的标准方程为. 4．（25-26高二上·江西景德镇·期末）已知圆的圆心为点，其在直线上，且与轴交于两点、． (1)求的面积； (2)求圆的标准方程； (3)已知，点在圆上运动，求线段中点的轨迹方程． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、轨迹问题——圆、由圆心（或半径）求圆的方程 【分析】（1）求出线段的中垂线方程，分析可知点为直线与线段中垂线的交点，联立两直线方程，可得出点的坐标，即可求得的面积； （2）求出圆的半径，即可得出圆的标准方程； （3）设点、，利用中点坐标公式得出，再将点的坐标代入圆的方程，化简可得出点的轨迹方程. 【详解】（1）因为、，所以线段的中垂线方程为， 易知点为直线与直线的交点， 联立得，故点，故. （2）由（1）可知圆的半径为， 故圆的标准方程为. （3）设点、，由线段中点坐标公式可得，所以， 因为点在圆上，所以，化简得. 故点的轨迹方程为. 5．（25-26高二上·浙江湖州·期末）已知圆经过点，且圆心在直线上． (1)求圆的方程； (2)设点在圆上运动，求的最大值与最小值． 【答案】(1) (2)最大值与最小值分别为49和9 【难度】0.65 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）求得直线的中垂线为，根据几何法列式计算可得圆的方程； （2）方法1：设，由计算即可求解；方法2：设，代入化简由三角函数性质计算即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线为， 因为圆心在直线上，所以圆心满足： ，解得，即圆心 又半径，所以圆C的方程为； （2）方法1：设，则， 又因为， ，所以， 当且仅当三点共线时等号成立 所以，即最大值与最小值分别为49和9． 方法2：设， 则 所以的最大值与最小值分别为49和9． 6．（25-26高二上·上海·期末）已知直线与圆． (1)求直线到直线 的距离； (2)若 三个点在圆上，求圆的圆心和半径． 【答案】(1)； (2)圆心为，半径为． 【难度】0.65 【知识点】求平行线间的距离、求过已知三点的圆的标准方程、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】（1）将两条直线化简后，直接利用两条平行线间的距离公式求解即可； （2）利用待定系数法求出D,E,F的值，即可得到圆的方程，从而得到圆心半径. 【详解】（1）将直线，化为一般式得到： 直线，化简得到， 因为直线与直线平行， 则两直线之间的距离为. （2）由题设可得， 所以圆的方程为，即， 所以圆心为，半径为． 7．（25-26高二上·辽宁丹东·阶段检测）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧几里得､阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，.点满足，设点的轨迹为曲线， (1)求曲线的方程； (2)若点，求的最小值和最大值. (3)求曲线上的点到直线的最小距离. 【答案】(1) (2)最小值为，最大值为 (3) 【难度】0.65 【知识点】轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围）、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】（1）根据条件列出方程求出曲线的轨迹方程即可； （2）求出点与圆心的距离，即可求出最值； （3）根据圆心到直线的距离求最值即可. 【详解】（1）设， 则， 化简得，， 即. （2）由知，圆心为，半径， 因为， 所以点在圆外， ， 所以. （3）因为圆心到直线的距离为， 所以曲线上的点到直线的最小距离为. 8．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）已知平行四边形的两条边所在直线方程分别为，，且它的对角线交点. (1)求顶点、的坐标； (2)求此平行四边形的面积； (3)求外接圆的标准方程. 【答案】(1)， (2)20 (3) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、直线围成图形的面积问题、求过已知三点的圆的标准方程 【分析】（1）利用平行四边形的性质、平行直线的关系、两直线交点坐标的求法求解即可. （2）利用平行直线的关系、两点间距离公式、点到直线的距离公式及平行四边形面积公式求解即可. （3）利用平行直线的关系、两直线交点坐标的求法、圆的标准方程求法求解即可. 【详解】（1）联立，解得. 因为为平行四边形对角线交点，所以为中点，设，则，解得. （2）因为四边形为平行四边形，所以，所以. 设，则，解得， 所以. 又点到距离为： （3）因为四边形为平行四边形，所以，设直线方程为， 代入得，解得，所以直线方程为. 联立和得，解得. 设圆的方程为，又三个顶点为，，， 则，解得. 故外接圆的标准方程为 1 学科网（北京）股份有限公司 $