河南省实验中学2026-2027学年上学期第一次月考高二数学试卷

河南省实验中学2026一2027学年上期第一次月考 参考答案 题号 3 6 7 8 10 11 答案 B C B D D B AD BC ABC π3π 1 /-0.5 12. L44 13.2 14.V2 π3π 15.)油直线的倾斜角a的取值范围是44人， 得当直线的斜率存在，即当m≠2时，k<-1或k>1」 k=3-1.2 2 2 <-1 >1 m-2m-2,m-2 或m-2 ,解得0<m<2或2<m<4: 当直线的斜率不存在时，m=2,符合题意 综上，实数m的取值范围是(0,4)， 若∠A为直角，则AC⊥AB,k4ck4B=-1,解得m=0 若∠B为直角，则AB⊥BC,…kB~kC=-1,此时无解 若∠C为直角，则AC L BC,kckc=-1,解得m=-4 综上，实数m=0或m=-4 0-35 16.(1)解：因为直线BF的斜率为2+13 所以直线BF的倾斜角为150°： (2)解：如图，当点D在第一象限时，KB=cD,kAC=kD D y-1=1 x+1 y1+4 x=3 设D(x月，则x-2-1+2,解得U=5,故点D的坐标为3,5)： n (3)解：由题意得m-2为直线BE的斜率. hac =-1 1 当点E与点C重合时，直线BE的斜率最小， -1-23: 当点E与点A重合时，直线BE的斜率最大，k4B=1 有线BE的斜率的取值范围为l3,1 即m-2的取值范围为31 n 17.(1)证明由4C=A4知，四边形A4CC为菱形. 连接AC,则AC⊥AC,又AB1AC且AC∩AB=A,AC,ABc平面ACB, A =B AGL平面ACB,~BCC平面ACB,则AC L BC 又∠ACB=90°，即BC⊥AC,而AC∩AC,=A,AC,AC,C平面A4CC, “BC⊥平面4ACC,而BCc平面ABC,:.平面AACC1平面ABC, (2)解以C为坐标原点，CA,CB所在直线分别为x,y轴，平面AACC上过C且垂直于AC的直线 为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系。 AC=A4=4,BC=2,∠AAC=60° ∴.C(0,0,0).B(0,2,0).A4,0,0).4(2,0,25 设在线段AC上存在一点P(异于点A,C),满足AP=元AC(0<元<)，使平面BAP与平面4PC 3 夹角的余弦值为4，则4P=2(4,00)=(4九，0,0)】 ∴.Bp=BA+AP=(4,-2,0)+(-4,0,0)=(4-4元，-2,0） 4P=4A+AP=(2,0,-23)+(-42,0,0)=(2-4,0,-25 设平面B4P的法向量为m=(G,,), m·BP=(4-42)x-2y=0 平面4PC的一个法向量为元=(0,10). m 12-22 cos(m,)= m列 4 4 ×1 由cos(m, V1+(2-2)2+0-22 3 =3 ,解得3或4. = 3 AC 因为0<元<1，则 4. 故在线段AC上存在点P,满足 ,使平面BAP与平面APC夹 √5 角的余弦值为4. 18.(I)证明：因为平面ABC⊥平面ACEF,CEC平面ACEF,平面ABC∩平面ACEF=AC, AC⊥CE, 所以CE⊥平面ABC,又ABc平面ABC,所以CE⊥AB,又BC⊥AB,CE∩BC=C,CE, BCC平面BCE, 所以AB⊥平面BCE (2)如图，过点B作BO⊥AC于点O,则AB×BC=BO×AC, B0=4BBC=5 在△ABC中，AB=VAC2-BC2=2V5,所以0AC ,得 OC=BC2-BO2=1 过点C作z轴⊥平面ACEF,建立如图空间直角坐标系C-z, 设EF=a,则4(40,0）.B0,5),E(02,0).F(a2,0).AF=(a-42,0). BF=(a-1,2,-5.EF=(a,0,0), i.BF=(a-1)x+2y-V3z=0 设平面BEF的一个法向量为元=（伍，少2），则 i.EF=ax=0 令y=5,则x=0,=2,所以=0,5,2），所 A正. 2V5 27 sn0=o,刷同E+a-4万7 解得a=4,即EF=4. 19.1)根据题意，平面a的法向量=(，1)，平面B的法向量乃=(m,1), 所以4元=1×m+1×1+1x1=0,故m=-2. 不场2C0,在*面++c+D-0内R-合QQa2) 则向量 0-%+2) 取平面4K+By+C红+D=0的一个法向量万=(A,B,C), -列_++c,+D 所以点P(,,2)到平面4+y+Cz+D=0的距离为 V42+B2+C2 对于=《xz+川+=2} 当x,y,z>0时，x+y+z=2表示经过(2,0,0），(02,0），(0,0,2)的平面在第一象限的部分. 由对称性可知U表示（±2,0,0），(0，±2,0），(0,0，士2)这六个顶点形成的正八面体. 法1：设内切球的半径为r,则r即为原点O到平面+y+2=2的距离， r=0+0+0+2_25 S=4πr2=4元 23_16m 则VP+P+P3.所以内切球的表面积 3 3 法2：考虑0={《x,2+y+z≤2，x20,y20,z20}」 即为三个坐标平面与x+y+2=2国围成的四面体，其四个顶点分别为(0,0,0，(2,0,0，(0,2,0)， (0,0,2) 此四面体的体积为 x2*2x2 由对称性知，正八面体V的体积 =8那。=32 3， =8x22x2x =165 2 设内切球的半径为”，正八面体0的表面积为 =Sxr=32 25 = 所以 3 ,解得： 3. 所以内切球的表面积为 (3)由2)可知2=化，z小++川=2列所国几何体是关于平面0y,o,20r对称的，其在 第一卦限的形状为正三棱锥，如图其中OA、OB、OC两两垂直， 且OA=OB=OC=2」 类合7=(c人2+52，+≤2,4+冈≤2列所表示的几何图形w也关于平面0y,Jo,20m 对称，其在第卦限内的部分了'=《，2小+y≤2，y+2≤2,2+x≤2}的图形如图1. H 图1 如图2，就是把图1的几何图形进行分割的结果。 图2 所以T所构成的几何体W如图3所示 图3 法一：其中正方体ABCD-LJM记为集合P所构成的区域。 而E-ABCD构成了一个正四棱锥，且E到面ABCD的距离为1，所以'，=2×2×2=8， VE-A0CD-x1x2x2=4 3 所以几何体W的体积 =,+6e-m=2×2x2+6×4=16 3 法二：从图2可以看出，几何体W在第一卦限的部分为有公共底面EGH的两个三棱锥O-EGH和 C-EGH 设其体积为'.由正方体的性质可知OC⊥面EGH.因为EG=GH=EH=2V2, 0C=V2+12+12=5 所以其体积 x2x2V7xsimurxi ·所以几何体W的体积P=8?=8×2=16 河南省实验中学2026―2027学年上期第一次月考 高二数学 时间：120分钟　满分：150分 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．过，两点的直线的倾斜角为，则的值为（ ） A．或2 B． C． D． 2．已知直线的方向向量为，平面的法向量为，下列结论成立的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 3．四棱锥中，底面是平行四边形，，，，则直线与底面的关系是（ ） A．平行 B．垂直 C．在平面内 D．成角 4．如图，在平行六面体中，M为与的交点．若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A． B． C． D． 5．已知、，若斜率存在的直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 6．已知点，，，是的垂心，则点的坐标为（ ） A． B． C． D． 7．如图，在正方体中，点在线段上运动（包含端点）；则直线与所成角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 8．在棱长为1的正四面体中，点满足，点满足，当、最短时，（ ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．若两直线l1，l2的倾斜角分别为，，斜率分别是k1，k2，则下列命题正确的是（ ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．给出下列命题，其中正确的是（ ） A．若直线的方向向量，平面的法向量，则； B．若平面，的法向量分别为，，则； C．若平面经过三点，，，向量是平面的法向量，则； D．若点，，点是关于平面的对称点，则点与的距离为 11．已知平面的一个法向量为，，，则（ ） A．若与共线，则 B．向量在向量上的投影向量为 C．点到平面的距离为1 D．直线与平面所成角的余弦值为 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．若直线的方向向量是，则直线的倾斜角的取值范围是________． 13．正四面体的所有棱长都是2，，分别是，的中点，则________． 14．在四棱锥中，平面，底面为矩形，，，，点在线段上运动，则点到距离的最小值为________． 四、解答题（共77分） 15．（本题13分） ，， （1）若直线的倾斜角的取值范围是，求实数的取值范围． （2）若是直角三角形，求实数的值． 16．（本题15分） 已知坐标平面内四点，，，． （1）求直线的斜率和倾斜角； （2）若，，，可以构成平行四边形，且点在第一象限，求点的坐标； （3）若是线段上一动点，求的取值范围． 17．（本题15分） 已知三棱柱中，，，，． （1）求证：平面平面； （2）若，在线段上是否存在一点（异于点，），使平面与平面夹角的余弦值为？若存在，确定点的位置；若不存在，说明理由． 18．（本题17分） 如图1，五边形中，，，，．将三角形沿翻折，使得平面平面，如图2． （1）求证：平面； （2）记直线与平面所成角为．若，求的长． 19．（本题17分） 空间直角坐标系中，任何一个平面的方程都能表示成（其中，，，，），且为该平面的法向量． （1）若平面，，且，求实数的值； （2）请利用法向量和投影向量的相关知识证明：点到平面的距离为，若记集合所围成的几何体为，求的内切球的表面积； （3）记集合中所有点构成的几何体为．求的体积V的值； 学科网（北京）股份有限公司 $