周口市2026-2027学年高二上学期数学第二次月考练习卷

河南省周口市2026一2027学年高二上学期第二次月考（练 习卷) 数学试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 考试范围 人教A版选择性必修第一册：第一章空间向量与立体几何；第二章直线和圆的方程；第 三章圆锥曲线的方程。 重点考查：空间向量的坐标运算与数量积、利用空间向量求空间角与距离、直线方程与两 直线位置关系、圆的方程与直线与圆的位置关系、椭圆/双曲线/抛物线的定义与几何性质、 直线与圆锥曲线的位置关系（弦长与中点弦）。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 1.已知空间向量a=(1,2-1少6=(-21,3则a-6=（） A.-3 B.-1 C.1 D.3 2.经过点A(1,-2)和B(-3,4)的直线的倾斜角为() C.2n 3 D.3n 4 x2 3.己知椭圆 5+片1的两个售点分别为P,F,P为椭圆上一点，题 PF+PF2=() A.5 B.8 C.10 D.16 4.直线：x-y+2=0被圆C:x2+y2=8截得的弦长为() A.2V7 B.4 c.2V5 D.2V6 5.已知双曲线号-兰=1a>0b>0的一条浙近线方程为y=子x则该双曲线的 a2 b2 4 离心率为() B专 c 6.在棱长为2正方体ABCD-A1BC1D1中，E为CC1的中点，则AE与平面 ABCD所成角的正弦值为() 1 B.2 4 1 c.3 D.26 5 7.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F的直线与抛物线交于A,B两 点。若|AF|=3,|BF=5,则p=() A.1 B.2 c.15 D. 15 4 2 8已知圆C:x-3P+(y-4}=4p为直线1：3x+4y-10=0上一点，过p作圆 C的两条切线PA,PB(A,B为切点)，则四边形PACB面积的最小值为 () A.4 B.25 C.6 D.2V7 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9已知室间向量ā=(10,26=(-21,1”=(3，-1，-2少，则下列说法正确的是（ A.a=5 B.aLb c向量a在向量6方向上的投影有量为名-2,1川 D.若d=a+λb与c共面，则入=1 10.已知圆C:x2+y2-4x+2y-4=0,直线1：kx-y-2k+1=0,则下列结论正确的 是() A.圆C的圆心坐标为(2，-1) B.直线1恒过定点(2,1) C.若直线1与圆C相交，则弦长的最小值为23 D.若直线1与圆C相切，则k=12 5 1.已知双曲线C:-兰=1a≥06>0的左、右焦点分别为F:P过F,作 a2 b2 垂直于X轴的直线与双曲线交于P,Q两点。若△F1PQ为等边三角形，则下列 说法正确的是() A.b2=2a2 B.双曲线C的离心率为V3 C.双曲线C的渐近线方程为y=±V2x D.若|PQ=42,则a=2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12已知空间向量ā=(2，-1,3》6=(1,2，-2)则12a-6= 13过点P(3,1)作圆C:x-1Y+y=4的切线，则切线方程为 14.已知抛物线C:y=4x的焦点为F,过F的直线交抛物线于A,B两点。若 |AB=8,O为坐标原点，则△OAB的面积为 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)已知圆C经过三点A(0,0),B(2,0),C(0,4). (1)求圆C的方程； (2)若直线I:kx-y+1=0与圆C相交于M,N两点，且IMW=23,求实 数k的值。 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面 ABCD,PA=AB=2,AD=1,E为PB的中点。 (1)求证：AD⊥平面PAB: (2)求平面ACE与平面ABCD夹角的余弦值。 1715分)己知椭圆C:X+y /3 2b乏=1a≥b>0)的离心率为3，且过点P1,2 (1)求椭圆C的标准方程： (2)若直线1：y=x+m与椭圆C交于A,B两点，且AB1=82 ，求实数m 的值。 18.(17分)己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点P(4,t)(t>0)在抛物 线C上，且PF=5. (1)求抛物线C的方程； (2)过点F的直线1与抛物线C交于A,B两点，若函·FB=-16,求直线1 的方程及AB。 9分》知猫品C+￥手a>b>0的石衡为下L0”高为卫 (1)求椭圆C的标准方程； (2)设过点F的直线1与椭圆C交于A,B两点，O为坐标原点。求证： 1 1 FAFB为定值，并求出该定值。 参考答案与提示 1.Aa-6=1×-2)+2×1+(-1)×3=-2+2-3=-3°选A 20长4子后是城到角810,8m8=是 3 ，a=π-arctan。本 题应选D。 3.C由椭圆定义，PF1+|PF2=2a=10。 4.D圆心(0,0)到直线距离d=2,弦长=2V8-2=2V6。 6.B建系A(0,0,0),A1(0,0,2),E(2,2,1)。平面ABCD法向量(0,0,1)， sine=+4+1 3 tan==V2 1=1 224,选c. 1 7.C设直线AB倾斜角为日，由抛物线焦点弦性质： 品即甘台 AFIBFIP' 8-2m-15 2,p=4° 15 &.B圆心3,4)到直线距离d=9+16-10=3,1PCn=3, 5 1 PA=V9-4=5,面积=2×号×2×5=25 9.ABA正确，|=1+0+4=5；a·b=-2+0+2=0,B正确：c中投影向量 36=0:C错误：0中ā+b=1-2以，1,2+与8夹面即存在m.。 d=ma+nC,D错误，答案AB。 10.A8A:配方得(x-2+(y+1P=9圆心(2，-1正确：B:直线1化为 k(x-2)-y+1=0,过定点(2,1)，但(2,1)到圆心距离V0+4=2<3,在圆内，B正 确；C:当1上圆心与定点连线时弦长最小，圆心到定点距离2，弦长最小值 =2V9-4=2V5,C中23错误；D：相切时圆心到直线距离等于3， 2k+1-2k+1=3:2=3:K+1=4无解，D错误。答案B。 k2+1 k2+1 11A8c过B垂直于X轴的直线与双曲线交于P,Q,PQ1=2 。△F1PQ为等 a 边三角形，则PQI=F,P=FQ1,且F到PQ的距离为2 1PQ1。F-c,0, F2c,0,PQ所在直线x=c,F1到PQ距离=2c,故2c= 93.2b2 2 a 2c=36 又b=2-a,代入得2ac=3(c2-a2),设e=9,2e=3(e2-1, 5e-2-9-0e2生严-若e-5正，黄e0,0正0. 日日262=2aA正确。新近线 e2=3=1+,b y=±2x'C正确。 1PQ1=2b=4a=42,a-R2,D中a=2错误，最终答案ABC. 12.892a-6=(4,-2,6)-(1,2,-2)=(3,-4,8'12à-=9+16+64=89° 13.x=3或3x-4y-5=0点P(3,1)在圆外(PC=4+1=5>2)。当切线斜 率不存在时，X=3,圆心到直线距离2，等于半径，成立。设斜率k:y-1=k(x-3), 12k+1/R2+1=2'(2k+1P=4(K+1)少'4k=3'k=3/4切线3X-4y-5=0 14. 2V3 p=2, |AB|=XA+XB+2=8, X4+XB=6。 Sos=5OF×yA-yol=-2×1×ly-yal。-由|AB=8可求直线斜率，得 1yAya=43:面积=23： 以下解答中，第16题第(1)问原题“ADL CE”不成立，已修正为“求证：ADL平面 PAB”;第19题第(2)问原题“1/1OA2+1/IOB2为定值”不成立，己修正为“1/小1A| +1/川FB|为定值”。其余题目按原题解答。 第15题(13分) 解答 (1)设圆的一般方程为 x+y2+Dx+Ey+F=0. 代入A(0,0),得F=0。 代入B(2,0),得4+2D=0,所以D=-2。 代入C(0,4),得16+4E=0,所以E=-4。 因此圆C的方程为 xX+y2-2x-4y=0(x-12+(y-22=5 配方得 (x-12+(y-2)2=5 (x-12+(y-22=5 所以圆心为1,2)，半径r=5。 (2)圆心(1,2)到直线：心-y+1=0的距离为 d=k1-2+1山=k-1L Vk2+1 k2+1 因为弦长1MW=2V3,由垂径定理得 -r-5-3=2 所以 k-1=2 k2+1 即 (k-1P=2(k2+1, k2-2k+1=2k2+2, k2+2k+1=0, (k+12=0. 解得 k=-1 所以实数k的值为-1。 第16题(15分) 解答 (1)因为PA⊥平面ABCD,且ADC平面ABCD,所以 PA⊥AD: 又因为底面ABCD是矩形，所以 AD⊥AB. 而PA0 AB=A,且PA,ABC平面PAB,所以 AD⊥平面. (2)以A为原点，AB所在直线为X轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为 2轴，建立空间直角坐标系。 则各点坐标为 A(0,0,0),B2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2 因为E为PB的中点，所以 E2+0,0+00+2」 2,2,2 =(1,0,1)1 平面ABCD的一个法向量为 i2=(0,0,1. 设平面ACE的法向量为1=(x,y,z)。 AC=(2,1,0),AE=(1,0,1) 由元，1AC:得 2x+y=0→y=-2x. 由元，1A证：得 X+z=0→Z=-X 取x=1,则y=-2,z=-1,所以 n1=(1,-2,-1). 设平面ACE与平面ABCD的夹角为日，则 cos0= nn Im =1,-2,-1(0,0,1儿 V12+(-22+(-12.1 1=6 =%6 所以平面ACE与平面ABCD夹角的余弦值为 V6 6 第17题(15分) 解答 (1)椭圆离心率 e-=3→￡2-3 a2a24 又c2=a2-b2,所以 C2=0-b20-b=31-b=3E=1a2=4b a24 a24a24 椭圆方程可写为 可 代入点P1,2 3,得 32 1 2 4b 63 -=1 、1 3 462461 、4 4631 →b2=1. 于是a2=4。椭圆C的标准方程为 4+y21. 2》将y=*m代入兰+y=1,得 +x+m=1 4 整理得 x2+4x2+2mx+m2)=4, 5x2+8mx+4m2-4=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则 Γ5，x水=4m4 +x2=-8m 5 判别式 △=(8m2-45:(4m2-4)=64m2-80m2+80=16(5-m2 因为直线与椭圆有两个交点，所以△>0，即m2<5。 弦长 1AB=1+12·|x1-x2 =2.45-m 5 =42V5-m. 5 由题意1AB1=82 ,所以 4/25-m_8V2 5 4V 两边约去5 ,得 V5-m2=2 平方得 5-m2=4→m2=1→m=±1. 此时m2=1<5,满足△>0。 所以实数m的值为 m=±1： 第18题(17分) 解答 (1) 抛物线y=2px 的准线为x=-卫，焦点为F .o 点P(4,t)在抛物线上，所以 t2=2p·4=8p: 由抛物线定义PF|等于点P到准线的距离，即 IPFF4+号 已知|PF|=5,所以 4+2=5→2=1→p=2. 2 因此抛物线C的方程为 y2=4x. (2)由(1)知F(1,0)。设直线1的方程为 x=ty+1. 代入y2=4x,得 y-4y-4=0. 设A(x1y1),B(x2,y2),则 y1+y2=4t,y1y2=-4. 又x1=ty1+1,x2=ty2+1。 向量 FA=(x1-1,y1)=(ty1,y1 Fi=(x2-1,y2)=(ty2y2 所以 丽·FB =ty'ty2+yiy2 =(t+1)y1y2 =-4(t2+1 代入y1y2=-4,得 丽·F=-4t2+1)月 己知A·FB=-16,所以 -4(t2+1)=-16=t2=3 因此直线1的方程为 x=±3y+1, 即 x±3y-1=0 弦长 |AB=R/1+2.y,+y2}-4y1y2 =V1+2.16t2+16=4(1+t2) 代入少=-4，得 |AB|=t:4t+4=4t2+4=4×3+4=16. 所以 |AB|=16. 第19题(17分) 解答 (1)右焦点F(1,0),所以c=1。 离心率 e-g-70=2 b2=a2-c2=4-1=3. 椭圆C的标准方程为 431 (2)设直线1的方程为 x=y+1. 代入椭圆方程 +=，符 43 3(y+1)2+4y2=12 展开整理： 3(ty2+2y+1)+4y2=12, (3t2+4)y2+6y-9=0 晋士 b+z18 I+AI 4*28 协T+L zb+18) (b+,1e)9e+19e b+e,+28) 98+ z198 b+28 b+38 t- =IK+'KI 6 49 V Kb-不+K)6= 1K-K=IK|+K 百 +28-6-=K刘 6 晋上‘各背不与门0+8 6 -=以1K士甲 T+=84 駐回 KIL+26= K+6= +I-x)6=H M‘T+'K=x百‘(0T)H图 +=以以+2-以+以 6 19 ㎡(x)a‘('Kx)V 1 1 FAFB 1_1+1 V2+11yy2 =1.y+|y2l Vt2+1 lylly2l 代入上面结果： 1 +1 FAIFB 12Vt2+1 1 、 3t2+4 V2+1 9 3t2+4 112Vt2+1 t2+1 9 -12=4 93 当直线1斜率不存在，即X=1时，A1,,B1,号》， ®高高品昔 1-2-4 因此无论直线1如何变化，恒有 1 1-4 FAFB 3 1 1 4 即面+FB为定值，定值为