精品解析：河南省郑州外国语学校2025-2026学年高二上学期第一次月考数学试卷

郑州外国语学校2025-2026学年高二上期月考1试卷 数学 （120分钟 150分） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知点，，若是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据两点坐标得到向量坐标，即可求得该直线的倾斜角. 【详解】已知点，，则， 斜率，又直线l的倾斜角， 则直线l的倾斜角. 故选：A. 2. 圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为2的圆的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由圆心在直线上，经过原点，可设圆的方程为，由在轴上截得弦长为2，可算得a，即可求解. 【详解】由圆心在直线上，经过原点，可设圆的方程为， 令，得， 由在轴上截得弦长为2，得，， 所以圆的方程为或. 故选：C 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】充分必要条件的判断：把两个命题分别作为条件和结论，判定由条件能否推出结论即可. 【详解】当时，，，显然，两直线平行，满足充分条件； 当与直线平行时，，则 ∴或， 当时显然成立，当时，，， 整理后与重合，故舍去， ∴，满足必要条件； ∴“”是“直线与直线平行”的充要条件 故选：C 4. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则 C. 已知O为空间中任意一点，A、B、C、P四点共面，且A、B、C、P中任意三点不共线，若，则 D. 直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为30°，则直线l与平面α所成的角为30° 【答案】B 【解析】 【分析】A选项，根据空间向量基本定理来判断；B选项，根据坐标可得直线的方向向量与平面的法向量平行即可判断；C选项，根据共面向量定理的推论判断；D选项，根据线面角的定义判断. 【详解】A选项， 由于，则共面，不能组成基底，A选项错误； B选项，由于 ，则，则，B选项正确； C选项，由题意，可得，故C选项错误； D选项，根据线面角的定义，直线l与平面α所成的角为，故选项错误； 故选：B. 5. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由定义得出两直线的法向量，数量积公式求出法向量的夹角余弦值. 【详解】由题意，平面和平面的法向量分别是 ，， 设平面和平面的夹角为， 故选：B. 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据，求出点的轨迹方程，令的轨迹圆与圆有公共点，列出不等式，即可求解. 【详解】设，则， 因为，可得，整理得， 即点的轨迹是以为圆心，以为半径的圆， 又因为在圆上，所以圆与圆有公共点，则满足， 即，解得， 即实数a的取值范围是. 故选：A. 7. 已知点P为椭圆上的动点，为圆N：的任一直径，求最大值（ ） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 【答案】C 【解析】 【分析】由为圆N：的任一直径，得到 ，且，求出，设，代入椭圆方程得到，又，求出，根据，解出 ，结合二次函数的图像求出最大值. 【详解】为圆N：的任一直径，，且，，设，则有，解得，又，，，，当时，取得最大值20，此时，的最大值为19. 故选：C. 8. 若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用几何意义得到要想的取值要想与x，y无关，只需圆位于直线与之间，利用点到直线距离公式列出不等式，求出或，通过检验舍去不合要求的解集. 【详解】可看作点到直线与的距离之和， 要想的取值与x，y无关， 只需圆位于直线与之间， 所以圆心到的距离大于等于半径， 即，解得：或， 当时，与位于圆心的同一侧，不合要求，舍去； 当时，与位于圆心的两侧，满足题意. 故选：D 二、多选题（本大题共3个小题，每个小题6分，共18分） 9. 有关直线，下列说法不正确的是（ ） A. 点到直线的最大距离为 B. 经过点，倾斜角为θ的直线方程为 C. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】求出直线定点后借助两点间距离公式即可得A；当时可得直线斜率不存在即可得B；考虑直线过原点即可得C；由倾斜角可得D. 【详解】对A：， 令，解得，故过定点， 则点到该直线的最大距离为，故A正确； 对B：当时，该直线斜率不存在，故B错误； 对C：当直线过原点时满足题意，此时直线l的方程为，故C错误； 对D：，又，则，故D错误. 故选：BCD. 10. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用正方体的性质，结合三棱锥体积公式、线线垂直判定、点到直线距离公式，线面角的定义来逐一分析选项. 【详解】对于A,,所以A正确. 对于B,连接，如图： 在正方体中，， 所以平面，又因为平面， 所以，所以B正确. 对于C,当E为线段的中点，以D为原点，建立如图所示空间直角坐标系： 则， 即 所以点E到直线的距离， 所以C正确. 对于D,由上面空间直角坐标系可知，， 所以平面的法向量，设， 则，设直线与平面所成角为，则 ， 若直线与平面所成角为， 则， 又，所以方程无解，D错误. 故选：ABC. 11. 已知椭圆C：，左、右焦点分别为、，点P是C上的动点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为、直径的圆经过点P，则满足条件的点P有2个 B. 的最小值为 C. 的最小值为5 D. 被点M平分的弦所在直线的斜率为 【答案】BD 【解析】 【分析】树形结合即可判断A；由椭圆定义结合基本不等式即可判断B；结合椭圆定义和三角形两边之差小于第三边即可求解判断C；由点差法结合两点间斜率公式即可求解判断D. 【详解】由题可得， 所以以、为直径的圆与椭圆交于四个点，如图， 所以若以、直径的圆经过点P，则满足条件的点P有4个，A错误； 由题意以及椭圆定义可得， 且， 所以 ， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，B正确； 如图， 所以的最小值为6，C错误； 设以为中点的弦两端端点分别为， 则，所以，D正确. 故选：BD 二、填空题（本大题共3个小题，每个小题5分，共15分） 12. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，解出即可得. 【详解】由可得， 则有，解得. 故答案为：. 13. 已知过点有且仅有一条直线与圆：相切，则______. 【答案】－1； 【解析】 【分析】 由为圆的方程可得，又过点有且仅有一条直线与圆：相切，则点在圆上，联立即可得解. 【详解】解：过点有且仅有一条直线与圆：相切， 则点在圆上， 则，解得或， 又为圆的方程， 则，即， 即， 故答案为：. 【点睛】本题考查了圆的方程及圆的切线问题，属基础题. 14. “若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用椭圆的光学性质，结合等腰三角形三线合一的推论与中位线定理分析得点的轨迹为圆，再利用点到圆上点的距离的最值求法即可得解. 【详解】因为椭圆，所以，，即， 如图，延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以， 又因为为的中点，则， 故点的轨迹为以为原点，为半径的圆，圆的方程为， 易知点到圆心的距离为， 所以的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是，利用椭圆的性质分析得点的轨迹是圆，从而得解. 四、解答题（共5个小题，共计77分） 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出直线的斜率，利用点斜式可得出直线的方程； （2）设点，求出线段的中点的坐标，将点的坐标代入直线的方程，求出的值，可得出点的坐标，再将点的坐标代入直线的方程，即可求出实数的值. 【小问1详解】 解：由条件知边上的高所在的直线的斜率为，所以直线的斜率为， 又因为，所以直线的方程为，即. 【小问2详解】 解：因为点在轴上．所以设，则线段的中点为， 点在直线上，所以，得，即， 又点在直线上，所以，解得． 16. 已知，，，，， （1）若、共线，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据空间向量的模长公式以及可求出、的值，可得出向量、的坐标，根据、共线，可得出关于实数的不等式，解之即可； （2）分析可知以及、不共线，结合空间向量的坐标运算可求得实数的取值范围. 【小问1详解】 解：因为，，，，， 则，可得，，解得， 所以，，所以，， 因为，所以，解得． 【小问2详解】 解；由（1）知，，， 因为向量与所成角为锐角， 所以，解得， 又当时，， 所以实数的范围为． 17. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）通过证明，得线面垂直； （2）建立空间之间坐标系，利用法向量的夹角的余弦值得二面角的余弦值. 【详解】（1）在三棱柱中， 平面， 故四边形为矩形. 又分别为的中点， ， 又， ， 平面，平面 平面. （2）由（1）知， 由平面， 平面. 如图建立空间直角坐称系. 由题意得， ， 设平面的法向量为， ， ， 令，则， 所以平面的法向量， 又平面的法向量为， . 所以二面角的余弦值为. 【点睛】此题考查线面垂直的证明和求二面角的大小，关键在于熟练掌握线面垂直的判定定理，利用向量的方法求解二面角的大小需要注意防止计算出错.属于中档题. 18. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为. （1）当时，求直线被圆截得的弦长； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程； （3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围. 【答案】(1) . （2）. （3）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）圆的方程化为标准式，可得圆心，半径，根据点到直线距离公式以及勾股定理可得直线被圆截得的弦长；（2）当所截弦长最短时，取最大值， 圆心到直线的距离，令，，利用配方法可得时取最大值，弦长取最小值，直线上方程为，（）设，当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时，，解得或，可得点横坐标的取值范围为． 试题解析：（）圆的方程为，圆心，半径． 当时，直线的方程为， 圆心到直线的距离， 弦长． （）∵圆心到直线的距离 ， 设弦长为，则， 当所截弦长最短时，取最大值， ∴，令， ． 令 ， 当时，取到最小值． 此时，取最大值，弦长取最小值， 直线上方程为． （）设， 当以为圆心，为半径画圆，当圆与圆刚好相切时， ， 解得或， 由题意，圆与圆C有两个交点时符合题意， ∴点横坐标的取值范围为． 19. 已知椭圆，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且，当直线轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程； （3）设直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意，列出关于的方程，代入计算，即可得到椭圆方程； （2）根据题意，设的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果； （3）根据题意，分别联立直线，直线与椭圆的方程，分别得到点的横坐标，结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 设椭圆右焦点，，则①， 由，得②， 直线轴时，，两点横坐标为， 将代入椭圆方程中，解得，所以③， 联立①②③解得，，， 椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 显然，直线不与轴垂直，可设的方程为， 联立椭圆方程，消去并整理得， 又设，，显然， 所以由一元二次方程的根与系数的关系可得， 所以， 即，化简可得，即， 所以直线方程为． 【小问3详解】 依题意直线的斜率存在且不为， 设直线的方程为：， 则直线的方程为． 联立直线与椭圆的方程可得：， 由，可得， 联立直线与椭圆的方程可得：，即， 即， 当且仅当，即时取等号， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郑州外国语学校2025-2026学年高二上期月考1试卷 数学 （120分钟 150分） 一、单选题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分） 1. 已知点，，若是直线l的方向向量，则直线l的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 圆心在直线上，经过原点，且在轴上截得弦长为2的圆的方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 3. “”是“直线与直线平行”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 B. 若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则 C. 已知O为空间中任意一点，A、B、C、P四点共面，且A、B、C、P中任意三点不共线，若，则 D. 直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角为30°，则直线l与平面α所成的角为30° 5. 在空间中，“经过点，法向量为的平面的方程（即平面上任意一点的坐标满足的关系式）为：”．用此方法求得平面和平面的方程，化简后的结果为和，则这两平面所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，为坐标原点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点P为椭圆上的动点，为圆N：的任一直径，求最大值（ ） A. 16 B. 17 C. 19 D. 20 8. 若对圆上任意一点，的取值与，无关，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 二、多选题（本大题共3个小题，每个小题6分，共18分） 9. 有关直线，下列说法不正确的是（ ） A. 点到直线的最大距离为 B. 经过点，倾斜角为θ的直线方程为 C. 已知直线过点，且纵截距为横截距的两倍，则直线l的方程为 D. 直线的倾斜角的取值范围是 10. 如图，正方体的棱长为2，点E在线段上运动，则（ ） A. 三棱锥的体积为定值 B. C. 若E为线段的中点，则点E到直线的距离为 D. 存在某个点E，使直线与平面所成角为 11. 已知椭圆C：，左、右焦点分别为、，点P是C上的动点，点，则下列结论正确的是（ ） A. 若为、直径的圆经过点P，则满足条件的点P有2个 B. 的最小值为 C. 的最小值为5 D. 被点M平分的弦所在直线的斜率为 二、填空题（本大题共3个小题，每个小题5分，共15分） 12. 若方程表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是______. 13. 已知过点有且仅有一条直线与圆：相切，则______. 14. “若点P为椭圆上的一点，，为椭圆的两个焦点，则椭圆在点P处的切线平分的外角”，这是椭圆的光学性质之一.已知椭圆，点P是椭圆上的点，在点P处的切线为直线l，过左焦点作l的垂线，垂足为M，则的最小值为______. 四、解答题（共5个小题，共计77分） 15. 已知的顶点，顶点在轴上，边上的高所在的直线方程为． （1）求直线的方程； （2）若边上的中线所在的直线方程为，求的值． 16. 已知，，，，， （1）若、共线，求实数； （2）若向量与所成角为锐角，求实数的范围． 17. 如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点，，. （1）求证：平面； （2）求二面角的余弦值； 18. 在平面直角坐标系中，已知圆的方程为：，直线的方程为. （1）当时，求直线被圆截得的弦长； （2）当直线被圆截得的弦长最短时，求直线的方程； （3）在（2）的前提下，若为直线上的动点，且圆上存在两个不同的点到点的距离为，求点的横坐标的取值范围. 19. 已知椭圆，，分别为椭圆的左顶点和右焦点，过作斜率不为的直线交椭圆于点，两点，且，当直线轴时，． （1）求椭圆的标准方程； （2）设直线，的斜率分别为，，且，求直线的方程； （3）设直线交轴于点，若过点作直线的平行线交椭圆于点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $