1.1 定义与命题 课时作业 2026-2027学年青岛版数学 八年级上册

青岛版八年级上册 第1章 推理与证明　1.1 定义与命题 课时作业 青岛版数学八年级上册 · 第1章 推理与证明 1.1 定义与命题 课时作业 班级：__________　　姓名：__________　　学号：________　　用时：______分钟 一、学习目标 1．了解定义的含义，能说出一些常见概念的定义。 2．理解命题的概念，能区分命题的条件和结论，会把命题改写成“如果……那么……”的形式。 3．理解真命题、假命题的含义，会用举反例的方法说明一个命题是假命题。 4．初步认识互逆命题，能写出一个命题的逆命题并判断其真假。 课前预习 1．对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的________。 2．对某一事件作出正确或不正确判断的句子叫做________。 3．命题一般由________和________两部分组成，通常写成“如果……那么……”的形式。 4．正确的命题叫做________，不正确的命题叫做________。 二、知识梳理 知识点1　定义 对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，就是给出它们的定义。 例如：“有一个角是直角的三角形叫做直角三角形”是直角三角形的定义；“两条直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直”是垂直的定义。 定义既可以作为性质使用，也可以作为判定使用。 知识点2　命题 （1）对某一事件作出正确或不正确判断的句子叫做命题。命题必须是作出判断的句子（陈述句）。疑问句、祈使句、作图语句等都不是命题。 例如：“对顶角相等”“两直线平行，同位角相等”“2+3=6”都是命题；“画一条线段AB=3 cm”“∠A是锐角吗？”不是命题。 （2）命题的结构：每个命题都由条件和结论两部分组成。条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项。命题通常可以写成“如果……那么……”的形式，“如果”后面是条件，“那么”后面是结论。 例如：“对顶角相等”可改写为“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”。 知识点3　真命题与假命题 （1）正确的命题叫做真命题，不正确的命题叫做假命题。 （2）要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题条件、但不满足命题结论的例子，这样的例子叫做反例。 例如：命题“如果a2=b2，那么a=b”是假命题，反例：a=2，b=-2时，a2=b2=4，但a≠b。 知识点4　互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个叫做另一个的逆命题。 注意：原命题是真命题，它的逆命题不一定是真命题。例如“对顶角相等”是真命题，它的逆命题“如果两个角相等，那么这两个角是对顶角”是假命题。 三、典例精析 例1　下列语句中，哪些是命题？哪些不是命题？（1）两点之间，线段最短；（2）连接A，B两点；（3）鸟是动物；（4）不相交的两条直线叫做平行线；（5）平角是一条直线吗？（6）若|a|=a，则a>0。 【分析】判断一个语句是否是命题，关键看它是否对一件事情作出了判断。 【解答】（1）（3）（4）（6）是命题；（2）是作图语句，（5）是疑问句，都不是命题。 【点评】（6）虽然是假命题（a=0时也满足|a|=a），但它作出了判断，所以是命题。 例2　指出下列命题的条件和结论，并把它们改写成“如果……那么……”的形式：（1）同角的余角相等；（2）两直线平行，内错角相等；（3）等角的补角相等。 【解答】（1）条件：两个角是同一个角的余角；结论：这两个角相等。改写：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等。 （2）条件：两直线平行；结论：内错角相等。改写：如果两条平行直线被第三条直线所截，那么内错角相等。 （3）条件：两个角是两个相等角的补角；结论：这两个角相等。改写：如果两个角是两个相等角的补角，那么这两个角相等。 例3　判断下列命题的真假，若是假命题，请举出反例：（1）两个锐角的和是钝角；（2）若ab>0，则a>0，b>0；（3）内错角相等。 【解答】（1）假命题。反例：30°和40°都是锐角，它们的和70°不是钝角。 （2）假命题。反例：a=-1，b=-2时，ab=2>0，但a<0，b<0。 （3）假命题。反例：如图，直线a，b不平行时，被直线c所截得的内错角∠1与∠2不相等。 【点评】举反例时，所举的例子要满足命题的条件，但不满足命题的结论。 例4　写出命题“如果两个角都是直角，那么这两个角相等”的逆命题，并判断原命题和逆命题的真假。 【解答】逆命题：如果两个角相等，那么这两个角都是直角。原命题是真命题；逆命题是假命题，反例：两个角都等于45°，它们相等，但不是直角。 四、易错警示 易错点1：把疑问句、作图语句误认为命题；而把错误的判断句误认为不是命题（假命题也是命题）。 易错点2：改写“如果……那么……”时条件与结论分不清，或省略了命题中隐含的条件。 易错点3：举反例时所举的例子不满足命题的条件。 易错点4：误认为“原命题是真命题，逆命题也一定是真命题”。 五、课时作业 A组　基础巩固 一、选择题 1．下列语句中，是命题的是（　　） A．作线段AB的中点 B．直角都相等 C．你喜欢数学吗？ D．在直线l上取一点P 2．命题“同位角相等，两直线平行”的条件是（　　） A．两直线平行 B．同位角相等 C．两直线被第三条直线所截 D．同位角 3．下列命题中，是真命题的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．同旁内角互补 C．若a2=4，则a=2 D．同角的补角相等 4．能说明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题的一个反例是（　　） A．a=3，b=2 B．a=-2，b=-3 C．a=2，b=-1 D．a=4，b=1 5．下列句子中，是定义的是（　　） A．两点之间，线段最短 B．对顶角相等 C．有一个角是直角的三角形叫做直角三角形 D．三角形内角和是180° 6．命题“对顶角相等”的逆命题是（　　） A．相等的角是对顶角 B．不是对顶角的角不相等 C．对顶角不相等 D．两个角相等 7．下列命题的逆命题是真命题的是（　　） A．对顶角相等 B．两直线平行，同位角相等 C．如果a=b，那么a2=b2 D．直角都相等 8．对于命题“如果∠1+∠2=90°，那么∠1≠∠2”，能说明它是假命题的是（　　） A．∠1=50°，∠2=40° B．∠1=50°，∠2=50° C．∠1=∠2=45° D．∠1=40°，∠2=40° 二、填空题 9．把命题“两直线平行，同旁内角互补”改写成“如果……那么……”的形式：________________________________。 10．命题“直角三角形的两个锐角互余”的条件是________________，结论是________________。 11．命题“若a=b，则|a|=|b|”是________命题（填“真”或“假”），它的逆命题是________________，逆命题是________命题。 12．说明命题“一个数的平方一定大于这个数”是假命题，可举出的反例是________。 13．给出下列命题：①等角的余角相等；②两点确定一条直线；③若|a|=|b|，则a=b；④两个锐角的和一定是锐角。其中真命题是________（填序号）。 三、解答题 14．指出下列命题的条件和结论：（1）如果两个角互补，那么它们的和是180°；（2）等腰三角形的两个底角相等；（3）两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补。 15．判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出反例：（1）若a+b>0，则a>0，b>0；（2）有两边和一个角相等的两个三角形全等（此处可仅判断，不必证明）；（3）如果一个数能被4整除，那么这个数也能被2整除。 16．写出下列命题的逆命题，并判断逆命题的真假：（1）两直线平行，内错角相等；（2）如果a=0，那么ab=0；（3）全等三角形的对应边相等。 B组　能力提升 一、选择题 17．如图，直线a，b被直线c所截，下列条件中，能作为命题“若____，则a∥b”的条件，使该命题为真命题的是（　　） A．∠1=∠2 B．∠2=∠3 C．∠1=∠3 D．∠3+∠4=180° 18．下列命题中，原命题与逆命题都是真命题的是（　　） A．若a=b，则a2=b2 B．若a>0，b>0，则ab>0 C．两直线平行，同位角相等 D．对顶角相等 二、填空题 19．命题“如果a>b，那么ac>bc”是________命题，要使它成为真命题，可以添加条件：________。 20．用一组a，b的值说明命题“若a2>b2，则a>b”是假命题，这组值可以是a=________，b=________。 三、解答题 21．如图，给出下列三个论断：①∠B+∠D=180°；②AB∥CD；③BC∥DE。以其中两个作为条件，另一个作为结论，写出一个真命题，并说明理由。 22．小明说：“如果两个角的和是180°，那么这两个角一个是锐角，一个是钝角。”你认为这个命题正确吗？请说明理由。 C组　拓展探究 解答题 23．有甲、乙、丙三人，其中一人是医生，一人是教师，一人是律师。已知：①丙比律师年龄大；②甲和教师不同岁；③教师比乙年龄小。请推断甲、乙、丙各是什么职业，并写出推理过程。 24．已知命题：“如果一个三角形的三个内角的度数之比是1∶2∶3，那么这个三角形是直角三角形。”（1）判断这个命题的真假，并说明理由；（2）写出它的逆命题，并判断真假。 六、参考答案与解析 课前预习 1．定义　　2．命题　　3．条件；结论　　4．真命题；假命题 A组　基础巩固 1．【答案】B 【解析】“直角都相等”作出了判断，是命题；A、D是作图语句，C是疑问句，都不是命题。 2．【答案】B 【解析】改写为“如果同位角相等，那么两直线平行”，条件是“同位角相等”。 3．【答案】D 【解析】A、B都缺少条件或不成立；C中a还可能为-2；D是真命题。 4．【答案】B 【解析】a=-2，b=-3时，满足a>b，但a2=4<b2=9，不满足结论。其他选项都满足结论，不能作为反例。 5．【答案】C 【解析】C是对直角三角形这一名称的含义作出的明确规定，是定义。 6．【答案】A 【解析】交换条件与结论：如果两个角相等，那么它们是对顶角，即“相等的角是对顶角”。 7．【答案】B 【解析】B的逆命题“同位角相等，两直线平行”是真命题；A、C、D的逆命题都是假命题。 8．【答案】C 【解析】∠1=∠2=45°满足条件∠1+∠2=90°，但不满足结论∠1≠∠2。 9．【答案】如果两条平行直线被第三条直线所截，那么同旁内角互补 【解析】条件是两直线平行，结论是同旁内角互补。 10．【答案】一个三角形是直角三角形；它的两个锐角互余 【解析】改写为“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”。 11．【答案】真；若|a|=|b|，则a=b；假 【解析】逆命题的反例：a=3，b=-3时，|a|=|b|，但a≠b。 12．【答案】如12=1，1不大于1（答案不唯一，如，0等） 【解析】当这个数为0，1或0与1之间的数时，结论都不成立。例如()2=<。 13．【答案】①② 【解析】③反例a=1，b=-1；④反例50°+60°=110°。 14．【答案】（1）条件：两个角互补；结论：它们的和是180°。（2）条件：一个三角形是等腰三角形；结论：它的两个底角相等。（3）条件：两条直线被第三条直线所截；结论：同旁内角互补。 【解析】（3）是假命题，缺少“两直线平行”这个条件，但它仍然是命题，有条件和结论。 15．【答案】（1）假命题，反例：a=3，b=-1，a+b=2>0，但b<0；（2）假命题；（3）真命题。 【解析】（2）的反例可结合后面学习的全等三角形知识：两边及其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等。（3）4的倍数一定是2的倍数。 16．【答案】（1）内错角相等，两直线平行，真命题；（2）如果ab=0，那么a=0，假命题；（3）三边对应相等的两个三角形全等，真命题。 【解析】（2）的反例：a=1，b=0时ab=0，但a≠0。（3）逆命题的正确性将在2.2节学习（SSS判定）。 B组　能力提升 17．【答案】C 【解析】∠1与∠3是同位角，同位角相等，两直线平行。A中∠1与∠2是邻补角，相等只说明它们都是直角；B中∠2与∠3是同旁内角，相等不能推出平行；D中∠3与∠4是邻补角，无论a，b是否平行，它们的和都是180°。 18．【答案】C 【解析】C的逆命题“同位角相等，两直线平行”也是真命题；A、B、D的逆命题都是假命题。 19．【答案】假；c>0 【解析】当c=0时ac=bc；当c<0时ac<bc。所以需添加c>0。 20．【答案】-3；1（答案不唯一） 【解析】a=-3，b=1时，a2=9>b2=1，但a<b。 21．【答案】如：条件②③，结论①。即若AB∥CD，BC∥DE，则∠B+∠D=180°。 【解析】理由：∵AB∥CD，∴∠B=∠C（两直线平行，内错角相等）。 ∵BC∥DE，∴∠C+∠D=180°（两直线平行，同旁内角互补）。 ∴∠B+∠D=180°。（以①②为条件、③为结论，或以①③为条件、②为结论，也都可以组成真命题。） 22．【答案】不正确，这是一个假命题。 【解析】反例：两个角都是90°时，它们的和是180°，但它们都是直角，既不是锐角也不是钝角。 C组　拓展探究 23．【答案】甲是律师，乙是医生，丙是教师。 【解析】由③知乙不是教师；由②知甲不是教师，所以丙是教师。 由③知教师（丙）比乙年龄小，由①知丙比律师年龄大，所以律师比乙年龄小，乙不是律师，乙是医生，甲是律师。 【点评】这是一个由已知条件逐步推出结论的过程，体现了推理的思想。 24．【答案】（1）真命题；（2）逆命题：如果一个三角形是直角三角形，那么它的三个内角的度数之比是1∶2∶3，是假命题。 【解析】（1）设三个内角分别为x°，2x°，3x°，则x+2x+3x=180，x=30，最大角为90°，是直角三角形。（2）反例：内角为90°，45°，45°的直角三角形，三个内角之比为2∶1∶1。 七、课后反思 怎样判断一个语句是不是命题？说明一个命题是假命题有什么方法？ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ 第 页 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $