1.2.4绝对值讲义2026-2027学年人教版七年级数学上册

答案： 1．A　解析： 表示 的绝对值，即表示 的点到原点的距离，是 6 个单位长度，所以 ＝．故选 A． 2．C　解析：＝，C 正确；A 中 ＝，不是 ；B 中 ＝，不是 ；D 中 ＝，不是 ．故选 C． 3．B　解析： 与 互为相反数，它们到原点的距离都是 4 个单位长度，所以 ＝＝，相等且都等于 ．故选 B． 4．C　解析： 的绝对值是 ，C 正确； 的绝对值是 ，不是正数，A 错；绝对值等于它本身的数是正数和 ，B 错；绝对值表示距离，不可能是负数，D 错．故选 C． 5．C　解析：到原点距离是 5 个单位长度的点有两个，分别表示 和 ，所以绝对值等于 的数是 和 ．故选 C． 6．C　解析： 的绝对值是 5， 的绝对值是 4，两个负数绝对值大的反而小，所以 ＜，C 正确；A 中应为 ＜；B 中 ＝＞＝，所以 ＜；D 中 大于一切负数．故选 C． 7．B　解析： 与 互为相反数，它们到原点的距离相等，所以 ＝； 与 只有符号不同，A 错；当 是负数时 ＝，C 错；两数的大小与谁是正数有关，D 不一定成立．故选 B． 8．D　解析：＝，它的相反数是 ．故选 D． 9．A　解析：＝，＝，因为 ＞，所以 ＞；从图上看，点 A 到原点的距离是 5 个单位长度，点 B 到原点的距离是 2 个单位长度，点 A 更远．故选 A． 10．；；　解析： 是正数，绝对值等于它本身； 是负数，绝对值等于它的相反数 ； 的绝对值是 ． 11．；；　解析：＝，所以 ＝；＝，所以 ＝＝；＝，＝＝，再添上外面的"−"号，得 ． 12．2；；；相反数　解析：到原点距离是 个单位长度的点有两个，分别表示 和 ，它们只有符号不同，互为相反数． 13．；；　解析：＝，表示 的点到原点的距离是 5 个单位长度，这样的点表示 或 ，因为 在原点左边，所以 ＝；绝对值是 的数只有 ；＝ 说明绝对值等于它本身，所以 是正数或 ． 14．＞；＜；＜；＞　解析：＝＞＝；＝＜＝（两个负数绝对值大的反而小）；＝＞＝，所以 ＜； 大于负数，所以 ＞． 15．；；；距离　解析：低于海平面 20 m 记作 m；＝，＝，绝对值表示到海平面的距离，即甲地、乙地分别高于、低于海平面的高度． 16．；；　解析：到原点距离是 3.5 个单位长度的点有两个，分别在原点右边、左边，表示 和 ，它们的绝对值都是 ． 17．；；＞　解析：＝、＝，到原点的距离分别是 3 个、7 个单位长度，又都在原点左边，所以 ＝，＝；两个负数绝对值大的反而小，＜，所以 ＞，即 ＞． 18．解：＝，＝，＝，＝，＝．在数轴上， 表示原点左边 3 个单位长度处的点， 表示原点右边 2.5 个单位长度处的点， 就是原点， 表示原点左边 1.5 个单位长度处的点， 表示原点右边 4 个单位长度处的点．按从小到大排列：＜＜＜＜． 19．解：（1）＝，表示 的点到原点的距离是 4 个单位长度，这样的点表示 或 ；因为 在原点左边，所以 ＝；同理，＝ 且 在原点左边，所以 ＝；（2） 表示原点左边 4 个单位长度处的点， 表示原点左边 6 个单位长度处的点，如图所示；（3）＞．理由：＝，＝，因为 ＜，两个负数绝对值大的反而小，所以 ＞；也可以从数轴上看，表示 的点在表示 的点的右边，右边的数大；（4）＝＜＝，发现：两个负数中，绝对值大的那个数反而小． 20．解：（1）＝，＝，＝，＝；（2）点 A 表示的数与点 D 表示的数绝对值相等（都等于 ），点 B 表示的数与点 C 表示的数绝对值相等（都等于 ）；它们表示的数都只有符号不同，所以 与 、 与 分别互为相反数；（3）从大到小排列：＞＞＞，即点 D、C、B、A 表示的数依次减小；（4）＝，所以点 E 表示 ，它在原点右边 6 个单位长度处，与点 D 重合；点 E 表示的数 与点 A 表示的数 只有符号不同，互为相反数． 21．解：（1） 表示实际长度与标准长度相差的数量，也就是误差的大小，它与相差的方向无关；（2）甲：＝，不超过 ，合格；乙：＝，不超过 ，合格；丙：＝，超过了 ，不合格．所以甲、乙两个零件合格，丙不合格；（3）＝ 说明实际长度与标准长度相差 ，即这个零件的实际长度正好是 cm． 22．解：（1）＝＝，＝＝，因为 ＞，两个负数绝对值大的反而小，所以 ＜；（2）＝，＝；＝＞＝，两个负数绝对值大的反而小，所以 ＜，即 ＜；（3）＝，＝，两个式子的值相等，所以 ＝；（4） 大于一切负数，所以 ＞． 23．解：（1）规定向东为正：第一次向东 km，记作 km；第二次向西 km，记作 km；第三次向东 km，记作 km；第四次向西 km，记作 km；（2）＝，＝，＝，＝；它们的实际意义分别是这四次行驶的路程（行驶的距离），绝对值越大，说明这一次行驶得越远，与行驶的方向无关；（3）第二次．因为 ＞＞＞，即 最大，所以第二次行驶的路程最长． 24．解：（1） 与 互为相反数，所以 ＝；＝，表示 的点到原点的距离是 2 个单位长度，这样的点表示 或 ，因为 在原点左边，所以 ＝；（2）＝＝，＝＝；（3）＝＞＝，两个负数绝对值大的反而小，所以 ＜；又 大于一切负数，所以 ＜＜，即 ＜＜；（4）＝＝＝；＝＝＝． 25．解：＝，＝；＝，＝；＝．（1）一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值是 ；（2）若 ＝，则 是正数或 ；若 ＝，则 是负数或 ；（3）不对．例如 ＝，而 ≠，即 的绝对值不等于它本身．完整的结论是：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数， 的绝对值是 ；也就是说，任何一个数的绝对值都是正数或 ，不可能是负数． 26．解：（1）＝，＝；它们的几何意义分别是：点 A 到原点的距离是 个单位长度，点 B 到原点的距离是 个单位长度；（2）点 A 在原点左边 个单位长度处，点 B 在原点右边 个单位长度处，从 向右数到 ，共 ＋＝＝ 个单位长度，所以点 A 与点 B 之间的距离是 8 个单位长度；（3）到原点距离是 4 个单位长度的点有两个，分别表示 和 ；（4） 即 ， 即 ，在数轴上从左到右依次是 、、、，所以 ＜＜＜． 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2.4　绝对值 精讲精练含答案 要点同步精讲 要点一　绝对值的概念与几何意义 1. 绝对值的定义：一般地，数轴上表示数 的点与原点的距离叫做数 的绝对值，记作 ，读作" 的绝对值"． 2. 几何意义： 表示数轴上表示 的点到原点的距离．因为距离不可能是负数，所以任何一个数的绝对值都是正数或 （即不可能是负数）． 3. 举例：＝，＝，＝． 注意：①绝对值表示"距离"，所以绝对值不可能是负数；②互为相反数的两个数的绝对值相等，如 ＝＝；③绝对值相等的两个数，要么相等，要么互为相反数． 【例1】如图，数轴上点 A、B 表示的数分别是 和 ．（1）点 A、点 B 到原点的距离分别是多少个单位长度？这两个距离相等吗？（2）求 与 ；（3）再举一个例子说明"互为相反数的两个数的绝对值相等"． 【分析】 绝对值就是数轴上的点到原点的距离，先从数轴上读出两点表示的数，再看它们到原点相距几个单位长度；互为相反数的两个数到原点的距离相等，所以它们的绝对值相等． 【解答】 解：（1）点 A 表示 ，它在原点左边 4 个单位长度处，到原点的距离是 4 个单位长度；点 B 表示 ，它在原点右边 4 个单位长度处，到原点的距离也是 4 个单位长度；这两个距离相等； （2）＝，＝； （3）如 与 互为相反数，它们到原点的距离都是 个单位长度，所以 ＝＝，即互为相反数的两个数的绝对值相等（答案不唯一）． 【总结】 绝对值的本质是"距离"：一个数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离；互为相反数的两个数分居原点两侧，但到原点的距离相等，所以绝对值相等． 要点二　绝对值的性质 1. 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 的绝对值是 ． 2. 用字母表示：当 ＞ 时，＝；当 ＝ 时，＝；当 ＜ 时，＝． 3. 绝对值的非负性：任何一个数的绝对值都是正数或 ，即绝对值不可能是负数． 注意：①求一个数的绝对值，先判断它是正数、负数还是 ，再按性质求值，不要只看符号；②＝ 中的 不一定是负数，当 是负数时， 是正数；③已知绝对值求原数时，除 以外一般有两个答案，这两个数互为相反数． 【例2】（1）求下列各数的绝对值：，，，；（2）若 ＝，且 在数轴上对应的点在原点左边，求 ；（3）若 ＝，则 是什么数？若 ＝，则 是什么数？ 【分析】 求绝对值先判正负；已知绝对值求原数，要想到到原点距离相等的点有两个；＝ 说明这个数的绝对值等于它本身，只有正数和 满足． 【解答】 解：（1） 是正数，绝对值等于它本身，所以 ＝； 是负数，绝对值等于它的相反数，所以 ＝； 是负数，所以 ＝； 的绝对值是 ，即 ＝； （2）＝，说明表示 的点到原点的距离是 个单位长度，这样的点有两个：一个在原点右边，表示 ；一个在原点左边，表示 ．因为 在原点左边，所以 ＝； （3）＝，说明这个数的绝对值等于它本身，所以 是正数或 ；＝，说明这个数的绝对值等于它的相反数，所以 是负数或 ． 【总结】 "先判正负，再求绝对值"；已知绝对值求原数，除 外要想到两个答案；＝ 时 是正数或 ，＝ 时 是负数或 ． 要点三　有理数的大小比较 1. 利用数轴比较：数轴上，左边的点表示的数小于右边的点表示的数，即从左到右数越来越大． 2. 利用正负性比较：正数大于 ， 大于负数，正数大于负数． 3. 利用绝对值比较两个负数：两个负数，绝对值大的反而小． 4. 比较两个负数的步骤：一求——分别求出两个负数的绝对值；二比——比较两个绝对值的大小；三结论——绝对值大的反而小． 注意：①两个正数比较，绝对值大的就大；两个负数比较，绝对值大的反而小，结论正好相反；②比较含有绝对值或多重符号的式子（如 ）时，要先化简，再比较大小；③比较多个有理数的大小时，也可以在数轴上描点，按从左到右的顺序排列． 【例3】比较下列各组数的大小，并说明理由：（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 ；（4）把 ，，， 按从小到大的顺序用"＜"连接起来． 【分析】 比较两个数的大小：两个负数比较，先求绝对值，绝对值大的反而小；异号两数比较，正数大于负数；含绝对值或多重符号的式子要先化简；多个数比较可在数轴上描点． 【解答】 解：（1）＝＝，＝＝，因为 ＞，即 ＞，而两个负数绝对值大的反而小，所以 ＜； （2）＝，＝；＝，＝，因为 ＞，两个负数绝对值大的反而小，所以 ＜，即 ＜； （3） 大于一切负数，所以 ＞； （4）如图，在数轴上描出这四个点，从左到右依次表示 、、、，所以 ＜＜＜． 【总结】 比较两个负数的大小抓三步："求绝对值、比绝对值、绝对值大的反而小"；多个有理数比较大小，画数轴描点最直观． 典题精练 一、选择题 1．（2025·广西南宁·期中） 的值是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 2． （2025·广东广州·期中）下列各式中，正确的是（　　） A．＝　　B．＝　　C．＝　　D．＝ 3．（2025·四川成都·期中） 与 的绝对值（　　） A．不相等　　B．相等，都等于 　　C．相等，都等于 　　D．无法比较 4．（2025·河南洛阳·期中）下列关于绝对值的说法中，正确的是（　　） A．一个数的绝对值一定是正数　　B．绝对值等于它本身的数只有 　 C． 的绝对值是 　　D．负数的绝对值是负数 5． （2025·湖北武汉·期末）绝对值等于 的数有（　　） A．只有 　　B．只有 　　C． 和 　　D．不存在 6．（2025·山西太原·期中）下列各组数中，大小关系正确的是（　　） A．＞　　B．＞　　C．＜　　D．＜ 7．（2025·河北石家庄·期末）若 与 互为相反数，则下列式子中一定成立的是（　　） A．＝　　B．＝　　C．＝　　D．＞ 8．（2025·山东·中考） 的相反数是（　　） A．　　B．　　C．　　D． 9．（2025·辽宁大连·期中）如图，数轴上点 A、B 表示的数分别是 和 ，则下列说法正确的是（　　）A．＞　　B．＜　　C．＝　　D．＞ 二、填空题 10．（2025·吉林长春·期中）＝＿＿＿；＝＿＿＿；＝＿＿＿． 11．（2025·云南昆明·期末）化简：＝＿＿＿；＝＿＿＿；＝＿＿＿． 12．（2025·贵州贵阳·期中）绝对值等于 的数有＿＿＿个，它们分别是＿＿＿和＿＿＿，这两个数互为＿＿＿． 13．（2025·黑龙江哈尔滨·期末）若 ＝，且 在数轴上对应的点在原点左边，则 ＝＿＿＿；若 ＝，则 ＝＿＿＿；若 ＝，则 是正数或＿＿＿． 14．（2025·江西南昌·期中）比较大小（填"＞""＜"或"＝"）：＿＿＿；＿＿＿；＿＿＿；＿＿＿． 15．（2025·甘肃兰州·期末）如图，甲、乙两地的海拔高度如图所示（单位：m），海平面记为 ．甲地高于海平面 30 m，记作 m，则乙地低于海平面 20 m，记作＿＿＿m；＝＿＿＿，＝＿＿＿，它们分别表示两地到海平面的＿＿＿． 16．（2025·天津·期中）在数轴上，与原点的距离是 个单位长度的点表示的数是＿＿＿和＿＿＿，这两个数的绝对值都是＿＿＿． 17．（2025·新疆乌鲁木齐·期末）若 ＝，＝，且 、 在数轴上对应的点都在原点左边，则 ＝＿＿＿，＝＿＿＿；此时 ＿＿＿（填"＞"或"＜"）． 三、解答题 18．（2025·内蒙古呼和浩特·期中）求下列各数的绝对值，并在数轴上把这些数表示出来，最后按从小到大的顺序用"＜"连接起来：，，，，． 19．（2025·重庆·期中）已知 ＝，＝，且 、 在数轴上对应的点都在原点的左边．（1）求 、 的值；（2）在数轴上描出表示 、 的点；（3）比较 与 的大小，并说明理由；（4）比较 与 的大小，你发现了什么？ 20．（2025·吉林长春绿园区·期末）如图，数轴上点 A、B、C、D 表示的数分别是 、、、．（1）分别求出这四个数的绝对值；（2）哪两个数的绝对值相等？它们表示的数有什么关系？（3）把这四个数按从大到小的顺序用"＞"连接起来；（4）在数轴上描出表示 的点 E，点 E 与哪个点重合？点 E 表示的数与哪个点表示的数互为相反数？ 21．（2025·海南海口·期末）某工厂生产的一种零件，标准长度是 cm，实际长度与标准长度的差记为 cm，规定当 不超过 时零件合格．（1） 表示什么意义？（2）测得甲、乙、丙三个零件的 值分别是 、、，哪些零件合格？请说明理由；（3）若某个零件的 ＝，说明什么？ 22．（2026·广西南宁·模拟）比较下列各组数的大小，并说明理由：（1） 与 ；（2） 与 ；（3） 与 ；（4） 与 ． 23．（2026·四川成都·模拟）【综合应用】一辆货车从仓库出发，在一条东西向的公路上送货，规定向东为正．四次行驶记录如下：第一次向东 km，第二次向西 km，第三次向东 km，第四次向西 km．（1）用正数或负数表示这四次行驶的路程；（2）分别求出这四个数的绝对值，并说明它们的实际意义；（3）这四次中哪一次行驶的路程最长？请说明理由． 24．（2025·河南郑州·期末）已知 与 互为相反数， 的绝对值是 ，且 在数轴上对应的点在原点左边．（1）求 、 的值；（2）求 与 ；（3）比较 、、 的大小，用"＜"连接起来；（4）化简 与 ． 25．（2025·北京海淀区·期末）【规律探究】先计算，再回答问题：＝＿＿＿，＝＿＿＿；＝＿＿＿，＝＿＿＿；＝＿＿＿．（1）一个正数的绝对值是什么？一个负数的绝对值是什么？ 的绝对值是什么？（2）若 ＝，则 可能是哪些数？若 ＝，则 可能是哪些数？（3）有人说"一个数的绝对值一定等于它本身"，这句话对吗？请举例说明，并把绝对值的结论完整地写出来． 26．（2025·陕西西安·期末）数轴上点 A 表示的数是 ，点 B 表示的数是 ．（1）求 与 ，并说明它们的几何意义；（2）点 A 与点 B 之间的距离是多少个单位长度？（3）在数轴上，到原点的距离等于 4 个单位长度的点表示的数是什么？这样的点有几个？（4）把 、、、 按从小到大的顺序用"＜"连接起来． 学科网（北京）股份有限公司 $