第06讲 2.3直线的交点坐标与距离公式专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以“代数方程-几何度量-变换应用”为主线，系统整合直线交点、距离公式及对称问题，通过题型分类与方法提炼，培养数学运算与几何直观素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|5知识点+8即学即练|交点与方程组解的关系；距离公式直接应用；对称问题中点法/联立方程法|从代数（交点）到几何（距离）再到变换（对称），形成概念-公式-应用递进链| |题型精讲|16题型+典例变式|三线共点参数求法；距离最值转化；对称直线方程求法|按“基础计算-参数应用-综合拓展”分层，典例覆盖高考高频考法|

第06讲 2.3直线的交点坐标与距离公式 （2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式 +2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式） 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【即学即练1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】联立直线方程求解即可. 【详解】联立，解得，即l1与l2的交点坐标为． 知识点02：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【即学即练2】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得. 故选：C 知识点03：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【即学即练3】（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式计算即得. 【详解】点到直线的距离为. 故选：B. 知识点04：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【即学即练4】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 【答案】 【分析】利用两平行线间距离公式计算即可得. 【详解】. 知识点05：对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 【即学即练5】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 【答案】 【分析】根据一条直线将点与对称点的连线相互垂直平分列出方程组，进而求得结果. 【详解】设关于直线对称点坐标为， 则，解得，所以对称点为. 故答案为：. 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 【即学即练6】已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 【答案】 【分析】分别求出直线上点关于点的对称点，进而求出所求直线的斜率，利用点斜式方程求解直线即可. 【详解】在直线上任意取出两个点， 设点C关于对称的点为， 则，解得，所以， 同理可求得关于点对称点为，设， 由题意可得是所求直线上的两个点，则直线斜率为， 所以所求直线方程为，即． 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【即学即练7】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【答案】A 【分析】先求两直线的交点，再求另一点的对称点根据两点可求方程. 【详解】由可得交点为， 在直线上取一点，设其关于直线的对称点为， 则，解得，即， 由两点式方程可得，即. 故选：A 【即学即练8】（24-25高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 【答案】. 【分析】由于两条直线平行，所以可设，利用对称的性质，可求得，进而求得直线方程为. 【详解】由题意知，设直线，在直线上取点， 设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即， 将代入的方程得， 所以直线的方程为. 故答案为： 第三部分 题型精讲 题型01求直线交点坐标 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 【典例2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【答案】 【分析】利用方程组求解交点即可. 【详解】由题意可得：，解得， 所以交点坐标为， 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解两直线构成的方程组即可. 【详解】由，解得， 所以直线和的交点坐标为， 故选：B 【变式2】（25-26高二上·青海·阶段检测）直线和直线的交点的坐标为__________． 【答案】 【分析】根据直线交点的性质，联立直线方程求出交点坐标． 【详解】设直线交点坐标为，则交点位于直线上， 联立直线方程，解得， 直线交点坐标为． 故答案为：． 【变式3】（25-26高二上·四川遂宁·期中）直线与直线的交点的坐标为________________. 【答案】 【分析】联立两直线方程，求解即得. 【详解】联立方程得：， 解得：， 所以交点坐标为 故答案为： 题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)不相交，重合 (3)不相交， 【分析】（1）解方程组得到两直线的交点坐标； （2）通过方程组的解判断两直线的位置关系； （3）通过方程组的解判断两直线的位置关系. 【详解】（1）解方程组，得 因此直线和相交，交点坐标为． （2）方程组有无数个解，这表明直线和重合． （3）方程组无解，这表明直线和没有公共点，故． 【典例2】分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【答案】(1)相交，交点为； (2)重合； (3)平行. 【分析】（1）联立方程求解，即可判断与关系； （2）（3）根据各项系数比值关系，即可判断与关系. 【详解】（1）由，解得，所以交点坐标为，故与相交. （2）由，显然，即方程无解，故与重合. （3）由，显然，即方程无解，故与平行. 【变式1】判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)相交， (2)重合 【分析】（1）联立方程求出交点坐标； （2）化简得到，可得两直线重合. 【详解】（1）解方程组，得， 所以这两条直线相交，交点坐标是. （2）由化为方程可知， 所以有无数多个解， 故与重合， 【变式2】分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【答案】(1)与相交，交点坐标为 (2)与平行 【分析】联立两直线方程，通过其解可判断两者关系，且其解为交点，从而得解. 【详解】（1）因为，， 联立，解得， 所以与相交，交点坐标为. （2）因为，可化为， 联立，两式相减得，显然不成立，故方程组无解， 所以与平行. 【变式3】判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 【答案】(1)相交，交点坐标为 (2)平行 (3)重合 【分析】（1）联立直线方程得到方程组，求出方程组的解，即可得到两直线的交点坐标； （2）联立直线方程得到方程组，判断方程组无解，即可得到两直线平行； （3）联立直线方程得到方程组，得到方程组有无数解，即可判断. 【详解】（1）由，解得， 因此直线和相交，交点坐标为． （2）因为，， 由， 得，矛盾， 由此可知方程组无解，因此直线与平行． （3）由， 得， 说明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解． 因此直线与重合． 题型03由直线交点的个数求参数 【典例1】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【答案】C 【分析】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行，利用直线平行即求. 【详解】由题意可得三条直线中，有两条直线互相平行， ∵直线和直线不平行， ∴直线和直线平行或直线和直线平行， ∵直线的斜率为1，直线的斜率为，直线的斜率为， ∴或. 故选：C. 【典例2】已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【分析】把方程组中的两个方程对应两条直线，结合两直线的位置关系，即可求解. 【详解】由方程组中的两个方程对应两条直线， 则方程组的解就是两直线的交点， 要使得两直线只有一个交点，则满足， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解法，以及两直线位置关系的应用，其中解答中把方程组的解转化为两直线的位置关系是解答的关键，注重考查转化思想，以及计算能力. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 【变式2】写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可） 【答案】，3，（写出一个即可） 【分析】根据方程组无解，讨论其中一方程无解、两方程表示的直线平行、一方程表示直线过，另一方程表示直线不过该点的情况得解. 【详解】显然，当时，不表示直线，无解，故方程组无解； 当时，由方程组可看作求两直线（）与的交点，则方程组无解，即直线无交点， 若两直线平行，则，解得. 若两直线不平行时，过点，即，解得或， 此时，不过点，方程组无解. 综上，的取值为. 故答案为：，3，（写出一个即可） 【变式3】若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 【答案】/ 【分析】由题给方程组有唯一解，可得方程有唯一解，进而得到实数a满足的条件 【详解】由，可得， 由关于，的方程组有唯一解， 可得方程有唯一解，则 故答案为： 题型04由直线的交点求参数 【典例1】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 【典例2】（23-24高二上·海南·期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出直线与轴的交点坐标，代入直线得，即可求出直线斜率. 【详解】在直线方程中，令，得， 即直线与轴的交点为， 因为点在直线上，所以，即， 所以：，即，所以直线的斜率为. 故选：D. 【变式1】（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求出两条直线的交点，并根据交点在第一象限，解出的取值范围即可. 【详解】由得， 因为两直线的交点在第一象限，所以， 解得：. 故选：B. 【变式2】已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】联立两直线方程求出交点坐标，由交点在第四象限，列方程组求实数k的取值范围. 【详解】由题意可得，两条直线不平行，故它们的斜率不相等，即， 由，解得， 两直线的交点在第四象限，则有，解得或， 所以实数k的取值范围为. 故选：D. 【变式3】（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 【答案】 【分析】先联立两条已知系数的直线方程，求得交点，再代入剩下那条直线方程，即可求解. 【详解】先由与相交于一点， 联立方程组， 代入消元可得：，则， 所以交点坐标为，又由题意可知直线也经过点， 所以代入可得. 故答案为： 题型05三线围成（不能围成）三角形问题 【典例1】（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】BCD 【分析】利用直线平行以及三条直线交于一点，即可求解. 【详解】联立，可得，即两直线交点为. 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线和直线平行，不能围成三角形; 当时，直线经过点，三线共点，不能围成三角形; 当时，三条直线两两相交且不共点，可以围成三角形，不符合题意. 故选：BCD 【典例2】两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解. 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， ，不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 两直线与轴相交且能构成三角形， 直线不能经过原点，； 直线与轴不能平行，，即； 直线与直线不能平行，，即， 综上得满足的条件是：且. 【变式1】（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 【变式2】（25-26高二上·天津·阶段检测）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 【答案】且 【分析】找出直线过的定点，由题意可得：直线不能经过原点，与轴不能平行，与直线不能平行，即可求解． 【详解】由得：， 联立，得， 所以直线过定点， 因为，所以不在直线上， 直线与轴相交于原点， 直线的斜率为，直线的斜率为. 因为两直线与轴相交且能构成三角形， 所以，直线不能经过原点，∴； 直线与轴不能平行，∴，即； 直线与直线不能平行，∴，即， 综上得满足的条件是：且． 故答案为：且． 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参；    （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得         即与的交点坐标为，             由题意知点在上，所以，         解得. （2）由（1）知，             当时，，所以，             当时，，所以，             当，，三条直线可以围成三角形，则且且，             故的取值范围为. 题型06直线交点系方程及其应用 【典例1】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 【答案】 【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程. 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 【典例2】求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【答案】 【分析】解法1：设过点的直线方程为，代入点坐标可得答案；解法2：解方程组求出点坐标，由直线两点式方程可得答案． 【详解】解法1：设过点的直线方程为， ，解得， 则，即． 又点不在上，直线不合题意． 故所求直线方程为． 解法2：由，得，即． 所求直线过与， 由得， 故所求直线方程为． 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【答案】 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 【变式2】（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【答案】 【分析】点坐标代入方程可得答案. 【详解】由题意可设的方程为． 因为过点， 所以，解得， 所以的方程为， 即． 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 【答案】 【详解】法一：解方程组得 所以两条直线的交点坐标为． 又所求直线的斜率为3，故所求直线的方程为，即． 法二：设所求直线为，因为过已知两条直线的交点，所以直线的方程可设为（其中为常数），即①， 又直线的斜率为3，所以，解得，将代入①，整理得． 题型07两点间的距离公式 【典例1】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】应用两点的距离公式求距离即可. 【详解】由题意. 故选：C 【典例2】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【答案】C 【分析】利用两点间的距离公式求解即可. 【详解】因为点到点的距离为5，所以， 所以，所以，解得或. 故选：C. 【变式1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【答案】D 【分析】利用两点之间的距离公式计算即得. 【详解】点和点之间的距离为. 故选：D. 【变式2】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知点和，则等于______． 【答案】 【分析】根据两点间的距离公式求解. 【详解】. 故答案为： 【变式3】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 【答案】8或． 【分析】根据两点间的距离公式即可得． 【详解】点和点，且， 则， 解得或． 故答案为：8或． 题型08距离公式的应用 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值. 【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得： ， 故当时，. 故选：A 【典例2】（2025高二上·河南安阳·专题练习）已知函数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】整理函数解析式，可转化为到点的距离之和，结合图象，可得答案. 【详解】， 转化为x轴上的动点到两定点，的距离之和最小， 由图可知，距离之和的最小值为5． 故答案为：. 【变式1】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】首先求出直线过定点，则到直线的最远距离为，此时直线垂直于，求出，即可得解. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点，不妨设为， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于． 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故选：B 【变式2】著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】函数表示点到点和的距离之差，结合图形即可得解. 【详解】因为， 所以它表示点到点和的距离之差，如图所示： 因为， 所以的最大值为. 故答案为：. 【变式3】点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是________． 【答案】 【分析】首先求出直线恒过点，再求出，即可求出点到直线的距离的最大值. 【详解】将直线方程变形为， 令，解得，由此可得直线恒过点， 所以到直线的最远距离为，此时直线垂直于， 又， 所以到直线的距离的最大值为． 故答案为： 题型09求点到直线的距离 【典例1】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】直线方程变形得， 所以点到直线的距离为. 故选：A. 【典例2】（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 【答案】 【详解】点到直线的距离是. 【变式1】（24-25高二上·湖南常德·期中）点到直线的距离是__________. 【答案】/ 【分析】利用点到直线的距离公式计算求解即可. 【详解】点到直线的距离. 故答案为： 【变式2】点到直线的距离为______． 【答案】 【分析】将直线方程化成一般式，由点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由得到， 所以点到直线的距离为. 故答案为：. 【变式3】（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 【答案】/0.6 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】根据点到直线的距离公式可得. 故答案为：. 题型10已知点到直线的距离求参数 【典例1】（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式得到方程，解得即可. 【详解】点到直线的距离公式得，解得或． 故选：C 【变式1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】由点到直线的距离公式，即得解 【详解】由点到直线的距离公式得，即， 又，所以． 故选：B. 【变式2】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（    ） A．1或-4 B．-1或4 C．-7或3 D．-3或7 【答案】D 【分析】根据点到直线的距离公式进行求解即可. 【详解】由题可知，解得或7． 故选：D. 【变式3】若点到直线的距离不大于，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】利用点到直线距离公式计算. 【详解】点到直线的距离， 整理可得，解得． 故答案为：. 题型11求点关于直线的对称点 【典例1】（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，根据点关于直线对称列式求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，得， 所以对称点的坐标为. 故选：C. 【典例2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用轴对称的意义列式求解. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： 【变式1】（25-26高二上·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用对称点思想列方程组求解坐标. 【详解】设点关于直线的对称点的坐标为， 则， 所以对称点的坐标为， 故选：A. 【变式2】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设对称点的坐标为，由题意可得，求解即可. 【详解】设对称点的坐标为， 由题意可得，解得， 所以点关于直线的对称点的坐标为. 故选：C 【变式3】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 【答案】 【分析】设出点的坐标，再利用轴对称列出方程求解. 【详解】设点，由点与点关于直线对称， 得，解得， 所以点的坐标为. 故答案为： 题型12求到两点距离相等的直线方程 【典例1】（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据点到直线的距离相等，可得过的中点，或的斜率与的斜率相等，进而两种情况进行判断. 【详解】由题知，过的中点，或的斜率与的斜率相等， 又的中点为， 则过点的直线为AD选项； 又的斜率为，则B选项符合条件. 故选：ABD 【典例2】（23-24高二上·山东·阶段检测）过原点作直线，若点，到直线的距离相等，则直线的方程为______． 【答案】或 【分析】分直线的斜率不存在和存在两种情况讨论，再结合点到直线的距离公式求出直线的斜率，即可得解. 【详解】当直线的斜率不存在时，则方程为，此时不符题意， 当直线的斜率存在时，设方程为，即， 因为点，到直线的距离相等， 所以，解得或， 所以直线的方程为或. 故答案为：或. 【变式1】（23-24高二上·重庆永川·阶段检测）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为__________. 【答案】或 【分析】根据点到直线的距离公式，即可根据直线有无斜率求解. 【详解】当直线有斜率时，设直线方程为， 到直线的距离相等，则，解得， 所以直线方程为，即， 当直线无斜率时，则直线方程为，此时到直线的距离均为3，符合题意， 综上可得：或， 故答案为：或 【变式2】过点且和的距离相等的直线方程是_________． 【答案】或 【分析】当斜率不存在时，验证不满足条件；当若斜率存在时，设直线方程为，利用点到直线的距离公式，列出方程求得的值，即可求解. 【详解】若斜率不存在时，过点的直线为，此时不满足条件； 若斜率存在时，设过点的直线，即． 根据题意，可得，解得或， 当时，直线方程为， 当时，直线方程为 综上可得，直线方程为或． 故答案为：或 【变式3】（23-24高二上·重庆开州·阶段检测）已知点，直线过点， (1)若A到直线距离为2，求直线的方程； (2)若A、B到直线距离相等，求直线的方程. 【答案】(1)或者 (2)或者 【分析】（1）先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线写出点到直线的距离公式求解即可； （2）先考虑斜率不存在的情况，再考虑斜率存在的情况，设出直线分别写出两点到直线的距离，相等求解即可； 【详解】（1）①若直线斜率不存在，此时过点的直线为直线，点到直线的距离为2，符合要求； ②若直线斜率存在，设为，则直线方程为， 所以点到直线的距离为，解得， 直线为，即， 所以直线方程为或者； （2）①若直线斜率不存在，此时过点的直线为直线，点到直线的距离为2，点到直线的距离为0，不符合条件； ②若直线斜率存在，设为，则直线方程为， 此时点到直线的距离为， 点到直线的距离为，又，所以， 解得或者，所以直线为或者， 即或者. 题型13直线关于直线对称 【典例1】（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出图象，找出一个对称点和直线与直线的交点，即可求出对称直线的方程. 【详解】由题意， 在直线中，作出图象如下图所示， 由图可知，点关于直线对称的点为, 直线与直线的交点为, ∴关于直线对称的直线方程为：，即， ∴关于直线对称的直线方程是：. 故选：B. 【典例2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为__________. 【答案】或 【分析】利用数形结合计算l的斜率结合直线与的交点计算即可. 【详解】    易知与纵轴交于，交横轴于点， 联立直线与方程，得两直线交点为， 如上图所示网格中构造直角三角形，易知， 即， 又， 所以， 即为两直线与夹角的平分线， 所以直线符合题意，易知其方程为； 当直线l过点C且与垂直时，也符合题意，此时直线方程为. 故答案为：或. 【变式1】求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 【答案】B 【分析】结合两平行线间的距离公式求得正确选项. 【详解】设对称直线方程为， ，解得或（舍去）. 所以所求直线方程为. 故选：B 【变式2】直线关于直线对称的直线方程是__. 【答案】 【分析】在直线上任取一点，求该点关于的对称点的坐标，并代入直线即可得出所求方程. 【详解】设所求直线上任一点的坐标为，该点关于的对称点的坐标为， 则,得对称点的坐标为， 又点在直线上， 所以，即. 所以所求直线方程为. 故答案为：. 【变式3】直线关于直线对称的直线方程是________. 【答案】 【分析】设点，根据中点公式和斜率关系可得，代入即可. 【详解】设所求直线上任意一点， 点P关于的对称点为, 如图所示： 则有，得 ∵点P′(x0，y0)在直线2x－y＋3＝0上， ∴2(y－2)－(x＋2)＋3＝0， 即x－2y＋3＝0. 故答案为： 题型14平行线间的距离问题 【典例1】（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【答案】A 【详解】直线，直线，即， 故两直线平行，则根据平行直线的距离公式. 【典例2】（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 【答案】 【分析】利用两条平行线间的距离公式即可求出答案. 【详解】由题设，两直线平行，故它们的距离. 【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】∵直线与直线之间的距离为，   ，，或（负值舍去）． ． 【变式3】（多选）（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】根据平行线间距离公式列方程，解方程即可. 【详解】由题意可知，所以与间的距离， 解得或. 故选：BC 题型15直线关于点对称的直线 【典例1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】根据线关于点对称即可得两直线平行，进而根据点的对称代入求解即可. 【详解】由于直线与直线关于点对称， 所以两直线平行，故，则， 由于点在直线上，关于点的对称点为， 故在上，代入可得，故， 故选：A 【典例2】（23-24高二上·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______． 【答案】 【分析】在直线上取点、，求出这两点关于点的对称点的坐标，并求出所求直线的斜率，利用点斜式可得出所求直线的方程. 【详解】在直线上取点、， 点关于点的对称点为，点关于点的对称点为， 直线的斜率为， 所以，所求直线方程为，即. 故答案为：. 【变式1】关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】将直线方程中的换为，换为，即可得到关于原点对称的直线方程. 【详解】解：对于直线，将换为，换为得到，即， 所以直线关于原点对称的直线是. 故选：C 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为__________． 【答案】 【分析】根据点关于点对称的坐标关系，即可将关于点对称的点代入已知直线中求解. 【详解】在对称直线上任取一点,设关于点对称的点为，由于在直线上，所以，即， 故答案为： 【变式3】直线关于点的对称直线方程是______． 【答案】 【分析】由直线关于点对称的直线与已知直线平行，设出所求直线方程，再根据点到两条直线的距离相等可解出答案. 【详解】设对称直线为， 则有，即 解这个方程得（舍）或. 所以对称直线的方程中. 故答案为：. 题型16将军饮马问题 【典例1】（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作点关于直线的对称点为，则最短路程为.根据点关于 直线的对称问题，列方程组，可求得，再应用两点间的距离公式求即可. 【详解】如图，作点关于直线的对称点为，    则，解得， 所以. 则“将军饮马”的最短总路程为. 故选：C. 【典例2】（23-24高二上·吉林·阶段检测）已知直线和两点，若点为直线上一动点，则的最小值为______． 【答案】12 【分析】作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，再求出点的坐标，利用两点间线段最短求出最小值. 【详解】如图，作出点关于直线的对称点，连接，交直线于，则， 于是，当三点共线，即与重合时取等号， 设，则，解得，即， 所以的最小值. 故答案为：12 【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】借助几何图形，并求出点关于直线的对称点的坐标，再求出线段长即得. 【详解】如图，显然点在直线的同侧，设点关于直线的对称点为点， 则，解得，，即点， 由对称性知， 当且仅当点为线段与直线的交点时取等号， 所以的最小值是. 故选：C 【变式2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【答案】 【分析】求出点关于直线对称点的坐标，再利用两点间距离公式计算得解. 【详解】设点关于对称点，则，解得， 即，所以“将军饮马”的最短总路程为. 故答案为：    【变式3】（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知点是直线上一点，则的最小值为__________． 【答案】5 【分析】根据点关于直线对称，可得可得对称点为，即可利用三点共线求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得， 故，故, 故最小值为：5 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】直线，即， 所以直线与直线之间的距离. 2．（24-25高二下·上海·期中）已知两条直线 ，“”是“直线”（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 【答案】A 【分析】根据求出，根据的取值进而验证即可求解. 【详解】当时，，解得， 所以，所以是直线的充分不必要条件. 3．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据两直线平行求出实数的值，再利用平行线间的距离公式可求得结果. 【详解】因为，则，解得，即直线的方程为，可化为， 故与的距离为. 4．（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 【答案】A 【分析】利用两直线平行的关系和两平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与平行，它们之间的距离是， 所以，解得， 即直线为：，即， 又两条直线之间的距离是， 所以有：，解得：或（舍去）， 所以． 5．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】先求出点A关于直线的对称点C坐标，根据反射的性质，结合两点间距离公式，即可得答案. 【详解】可设光线与直线交于点P， 由题意可得，点关于直线的对称点C在反射光线上， 设点，则，解得，即， 故光线从点A到点B所经过的路程是.    故选：B 6．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式求解. 【详解】到直线：的距离为， 到直线：的距离为， ，两点到直线：的距离相等， ，，， ，或， 或. 故选：C. 二、多选题 7．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知，直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则之间的距离为 【答案】AC 【分析】先求出直线和的方向向量和，由两直线垂直，可得，求出a值，即可判断A、B的正误；由两直线平行，求出a值，可判断C的正误；当时，根据两平行线间距离公式，求出距离，可判断D的正误. 【详解】直线方向向量为，直线方向向量为. 选项A、B：若，则，即，解得，故A正确；B错误； 选项C：当时，，解得， 当时，，，符合题意， 当时，，，即， 符合题意，故C正确； 选项D：当时，，之间的距离为，故D错误. 故选：AC. 8．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知两条平行直线，，则，之间的距离可能为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】AB 【分析】先根据两直线平行公式列式求得或，然后代入两平行线距离公式求解即可. 【详解】因为，所以，解得或. 当时，直线，的方程分别为和，则，之间的距离为2； 当时，直线，的方程分别为和， 则，之间的距离. 故选：AB 三、填空题 9．（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 【答案】 【详解】，， 因为，所以到和距离相等的点在这两条直线的中位线上， 设中位线的方程为， 根据平行线间的距离公式可得到的距离为，到的距离为， ，解得，即， 当时，代入可得，即到直线和的距离相等. 10．（25-26高二上·山东济南·期中）若直线与之间的距离为，则实数__________. 【答案】4或/或4 【分析】根据两平行线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】由题意知，直线，可变形为， 所以两平行线与之间的距离为 ，解得或4. 故答案为：或4 B能力提升 1．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 【答案】A 【分析】设直线的方程为，根据所过的点得，再根据点到直线的距离公式求出或. 【详解】设直线的方程为，因为直线经过定点， 故即，故直线的方程为， 而点和点到直线的距离相等，故， 所以，所以或，A正确. 2．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 【答案】B 【分析】通过整理含参的直线方程得出直线恒过的定点，将点到直线的最大距离转化为点到定点之间的距离即可求得. 【详解】把直线的方程重新整理得：， 因为该等式对任意都成立，所以，解得， 即直线恒过定点. 当直线绕点旋转时，点到直线的距离会发生变化， 而当时，距离达到最大值，即点到直线的最大距离，就是点到定点的距离， 此时. 3．（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 【答案】ACD 【分析】先求出两条已知直线的交点，再分别考虑第三条直线过该交点或与其中一条直线平行这三种不能构成三角形的情况，从而排除对应的值. 【详解】由得所以两条直线交于点． 当也过时，，解得，此时三条直线交于同一点，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形； 当与平行时，有，则，不能构成三角形，所以且且． 故选：ACD． 4．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）因为，故，故或. （2）因为，故，即，故或， 若，则，，此时与重合， 故，故，即， 故直线与之间的距离. 5．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. 【答案】(1) (2)① ；②或 【详解】（1）直线： 的斜率为， 由，得直线的斜率存在且为， 由得，即，解得. （2）当 时，直线：， 由，得，则， ①直线的斜率为， 因为，所以，得， 因为直线经过，其方程为， 化简得直线的方程为. ②若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 此时点到直线的距离等于1，符合题意； 若直线的斜率存在且过点， 设直线的方程为，即， 因为点到直线的距离等于1，则， 化简得，解得，所以直线的方程为， 综上所述，直线的方程为或. C综合素养 1．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据条件，将问题转化成求两平行直线，间的距离，即可求解. 【详解】由，得到，， 因为表示点到点间的距离， 又点在直线上，点在直线上， 易知直线与直线平行， 则两直线，间的距离为， 所以的最小值为. 2．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 【答案】A 【分析】设，则的几何意义即为，结合对称可求前者的最小值. 【详解】设原点关于直线的对称点为， 则，故，故. 设，因为，为非负实数，且，欲求的最小值， 即求线段上的点到轴的距离与到原点距离之和最小， 即为的最小值，如图，设在轴上的垂足为， 则， 当且仅当共线时等号成立， 故的最小值为. 3．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 【答案】 【分析】先求出动直线恒过的定点，原点到直线距离的最大值即为原点到该定点的距离，计算该距离即可。 【详解】将直线方程分离参数，变形为， 由于对任意实数等式恒成立，因此需满足，解得， 即直线恒过定点， 根据几何性质，原点到动直线的距离，当且仅当直线与垂直时取等号， 故距离的最大值为，由两点间距离公式得：， 因此原点到直线距离的最大值为. 4．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 【答案】 【分析】根据代数式的几何意义作图求解. 【详解】表示点到点的距离与到点的距离之差. 如图，则当点为线段的延长线与轴的交点时，距离之差最大， 最大值为两点间的距离，即， 所以函数的最大值为. 故答案为：. 5．（25-26高二上·四川南充·期中）平面内有两点与，定义这两点间的“物理距离”为，“光学距离”为.已知圆，定点，过点的直线上有一个动点，若的最小值为，则直线的方程为________. 【答案】或 【分析】即与的距离，由最小值转换成点到线的距离即可求解. 【详解】易知圆的圆心， 由，即与的距离， 设过点的直线方程为，因为过圆心，可得， 即方程为， 由题意，若的最小值为，即到的距离为， 可得， 平方化简可得，解得或，即， 所以直线方程为或. 故答案为：或. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第06讲 2.3直线的交点坐标与距离公式 （2.3.1两条直线的交点坐标+2.3.2两点间的距离公式 +2.3.3点到直线的距离公式+2.3.4两条平行线间的距离公式） 第一部分 思维导图 第二部分 知识梳理 知识点01：两条直线的交点坐标 直线：（）和：（）的公共点的坐标与方程组的解一一对应. 与相交方程组有唯一解，交点坐标就是方程组的解； 与平行方程组无解； 与重合方程组有无数个解. 【即学即练1】（25-26高三·全国·一轮复习）直线：与：相交，则交点是（    ） A． B． C． D． 知识点02：两点间的距离 平面上任意两点，间的距离公式为 特别地，原点与任一点的距离. 【即学即练2】（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 知识点03：点到直线的距离 平面上任意一点到直线：的距离. 【即学即练3】（25-26高二上·江西赣州·期末）点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 知识点04：两条平行线间的距离 一般地，两条平行直线：（）和：（）间的距离. 【即学即练4】（25-26高二下·云南昭通·阶段检测）平行直线与之间的距离为__________. 知识点05：对称问题 1、点关于点对称问题(方法：中点坐标公式) 求点关于点的对称点 由： 2、点关于直线对称问题（联立两个方程） 求点关于直线：的对称点 ①设中点为利用中点坐标公式得，将代入直线：中； ② 整理得： 【即学即练5】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点关于直线的对称点为_____. 3、直线关于点对称问题(求关于点的对称直线，则） 方法一：在直线上找一点，求点关于点对称的点，根据，再由点斜式求解； 方法二：由，设出的直线方程，由点到两直线的距离相等求参数. 方法三：在直线任意一点，求该点关于点对称的点，则该点在直线上. 【即学即练6】已知直线，试求直线关于对称的直线方程. 4、直线关于直线对称问题 4.1直线：（）和：（）相交,求关于直线的对称直线 ①求出与的交点 ②在上任意取一点(非点），求出关于直线的对称点 ③根据，两点求出直线 4.2直线：（）和：（）平行,求关于直线的对称直线 ① ②在直线上任取一点，求点关于直线的对称点，利用点斜式求直线. 【即学即练7】（2026·新疆·一模）在平面直角坐标系中，直线关于直线对称的直线的方程是（   ） A．3 B．3 C．3 D．3 【即学即练8】（24-25高三·全国·一轮复习）已知直线，直线，若直线关于直线l的对称直线为，则直线的方程为_______________． 第三部分 题型精讲 题型01求直线交点坐标 【典例1】（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为    （  ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·陕西咸阳·期中）直线：与直线：的交点坐标为__________. 【变式1】（25-26高二上·浙江·期中）直线和的交点坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·青海·阶段检测）直线和直线的交点的坐标为__________． 【变式3】（25-26高二上·四川遂宁·期中）直线与直线的交点的坐标为________________. 题型02由方程组解的个数判断直线的位置关系 【典例1】（24-25高二上·全国·课后作业）分别判断下列直线是否相交，若相交，求出它们的交点；若不相交，说明它们的位置关系． (1)和； (2)和； (3)和． 【典例2】分别判断下列直线l1与l2的位置关系，若相交，求出它们的交点坐标. (1)； (2)； (3). 【变式1】判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标. (1)，； (2)，. 【变式2】分别判断下列两条直线的位置关系.如果相交，求出它们的交点坐标. (1)，； (2)，. 【变式3】判断下列各组中直线的位置关系，若相交，求出交点的坐标： (1)，； (2)，； (3)，． 题型03由直线交点的个数求参数 【典例1】若三条直线，与共有两个交点，则实数的值为（    ） A．1 B．-2 C．1或-2 D．-1 【典例2】已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是__________. 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【变式2】写出使得关于的方程组无解的一个的值为______.（写出一个即可） 【变式3】若关于，的方程组有唯一解，则实数a满足的条件是________. 题型04由直线的交点求参数 【典例1】（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·海南·期中）已知直线：与直线：的交点在轴上，则直线的斜率为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（24-25高二上·河北保定·期中）若直线与直线的交点在第一象限，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式2】已知直线与的交点在第四象限，则实数k的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·福建福州·期末）已知三条直线与相交于一点，则___________. 题型05三线围成（不能围成）三角形问题 【典例1】（多选）（25-26高二上·江苏南通·期中）已知三条直线和不能围成一个三角形，则实数的可能取值为（    ） A． B．3 C． D． 【典例2】两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是__________. 【变式1】（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【变式2】（25-26高二上·天津·阶段检测）两直线与轴相交且能构成三角形，则满足的条件是_____． 【变式3】（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 题型06直线交点系方程及其应用 【典例1】若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 【典例2】求经过点和两直线和的交点的直线方程． 【变式1】（23-24高二上·全国·课后作业）经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【变式2】（25-26高三·全国·三轮复习）已知直线，直线过与的交点且过点，求的方程． 【变式3】（24-25高二上·全国·课前预习）求过直线和的交点，且斜率为3的直线方程． 题型07两点间的距离公式 【典例1】（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）点到点间的距离（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】（25-26高二上·新疆喀什·阶段检测）已知点到点的距离为5，则实数的值为（   ） A．5 B． C．5或 D．无解 【变式1】（24-25高二上·山东菏泽·期中）在平面直角坐标系中，点和点之间的距离为（   ） A．2 B．3 C． D．5 【变式2】（25-26高二上·北京顺义·期中）已知点和，则等于______． 【变式3】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知点和点，且，则实数______． 题型08距离公式的应用 【典例1】（25-26高三上·北京海淀·期末）已知点，点，当变化时，的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【典例2】（2025高二上·河南安阳·专题练习）已知函数，则的最小值为______． 【变式1】（24-25高二上·广东汕头·期中）点到直线（为任意实数）的距离的最大值是（ ） A．5 B． C．4 D． 【变式2】著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微.数形结合百般好，隔裂分家万事休”事实上，有很多代数问题可以转化为几何问题加以解决.请你运用数形结合的思想，得出函数的最大值为__________. 【变式3】点到直线：（为任意实数）的距离的最大值是________． 题型09求点到直线的距离 【典例1】（25-26高二上·北京朝阳·阶段检测）点到直线的距离为（    ） A． B．3 C． D． 【典例2】（25-26高一下·海南海口·期末）点到直线的距离是________． 【变式1】（24-25高二上·湖南常德·期中）点到直线的距离是__________. 【变式2】点到直线的距离为______． 【变式3】（2026·上海·高考真题）在平面直角坐标系中，点到直线的距离为____________. 题型10已知点到直线的距离求参数 【典例1】（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【典例2】（24-25高二上·全国·课后作业）若点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【变式1】（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知点到直线的距离为，则等于（    ） A． B． C．或 D． 【变式2】（25-26高二上·河北邢台·阶段检测）已知点到直线的距离与到轴的距离相等，则（    ） A．1或-4 B．-1或4 C．-7或3 D．-3或7 【变式3】若点到直线的距离不大于，则的取值范围是______． 题型11求点关于直线的对称点 【典例1】（25-26高二上·广东揭阳·期中）点关于直线对称的点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【变式1】（25-26高二上·浙江衢州·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26高二上·江苏南通·期中）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26高二上·福建莆田·期中）已知点与点关于直线对称，则点的坐标为_____. 题型12求到两点距离相等的直线方程 【典例1】（多选）（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知点与到直线的距离相等，则的方程可以是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·山东·阶段检测）过原点作直线，若点，到直线的距离相等，则直线的方程为______． 【变式1】（23-24高二上·重庆永川·阶段检测）已知直线经过点，且点到直线的距离相等，则直线的方程为__________. 【变式2】过点且和的距离相等的直线方程是_________． 【变式3】（23-24高二上·重庆开州·阶段检测）已知点，直线过点， (1)若A到直线距离为2，求直线的方程； (2)若A、B到直线距离相等，求直线的方程. 题型13直线关于直线对称 【典例1】（23-24高三上·广东·期末）直线关于直线对称的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知直线，，若直线与关于直线l对称，则直线l的方程为__________. 【变式1】求直线x＋2y－1＝0关于直线x＋2y＋1＝0对称的直线方程（    ） A．x＋2y－3＝0 B．x＋2y＋3＝0 C．x＋2y－2＝0 D．x＋2y＋2＝0 【变式2】直线关于直线对称的直线方程是__. 【变式3】直线关于直线对称的直线方程是________. 题型14平行线间的距离问题 【典例1】（25-26高一下·重庆·期末）直线与间的距离为（    ） A． B．1 C． D． 【典例2】（25-26高二下·上海·期中）平行线与之间的距离为________． 【变式1】（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【变式2】（2026高三·全国·专题练习）若直线与直线：之间的距离是，则（    ） A．0 B．1 C． D．2 【变式3】（多选）（25-26高二上·西藏拉萨·期末）已知直线与直线之间的距离为，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 题型15直线关于点对称的直线 【典例1】（23-24高二上·江苏常州·期中）已知直线与直线关于点对称，则实数的值为（    ） A．2 B．6 C． D． 【典例2】（23-24高二上·山东·阶段检测）直线关于点对称的直线方程为______． 【变式1】关于原点对称的直线是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24高二上·全国·课后作业）直线关于点对称的直线方程为__________． 【变式3】直线关于点的对称直线方程是______． 题型16将军饮马问题 【典例1】（24-25高二上·福建福州·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（   ） A． B． C． D． 【典例2】（23-24高二上·吉林·阶段检测）已知直线和两点，若点为直线上一动点，则的最小值为______． 【变式1】（23-24高二上·河北石家庄·期中）已知两定点，动点P在直线上，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25高二上·内蒙古赤峰·阶段检测）唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为__________. 【变式3】（24-25高二上·湖南·阶段检测）已知点是直线上一点，则的最小值为__________． 第四部分 题型精练 A夯实基础 B能力提升 C综合素养 A夯实基础 一、单选题 1．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）直线与直线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二下·上海·期中）已知两条直线 ，“”是“直线”（   ）条件 A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分又不必要 3．（2026·山东聊城·二模）已知直线，，且，则与的距离为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏常州·期末）若两平行直线与之间的距离是，则（   ） A．12 B． C． D．6 5．（25-26高二上·安徽阜阳·期末）一束光线从点出发，经直线反射后又经过点，则光线从点A到点B走过的路程为（    ） A．5 B． C．6 D． 6．（25-26高二上·湖南邵阳·阶段检测）已知，两点到直线：的距离相等，则a的值为（ ） A．或1 B．或 C．或 D．或1 二、多选题 7．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知，直线和直线，下列说法正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则之间的距离为 8．（25-26高二上·河南南阳·期中）已知两条平行直线，，则，之间的距离可能为（    ） A．2 B． C． D． 三、填空题 9．（2026·江苏南通·模拟预测）写一个到直线：，：的距离相等的点的坐标_____． 10．（25-26高二上·山东济南·期中）若直线与之间的距离为，则实数__________. B能力提升 1．（25-26高二下·贵州·阶段检测）已知直线经过定点且与直线垂直．若点和点到直线的距离相等，则实数的值为（   ） A．1或 B．1或 C． D．1 2．（2026·重庆·模拟预测）点到直线：的最大距离是（   ） A．4 B．5 C．6 D． 3．（多选）若三条直线，，能围成一个三角形，则的值不可能是（     ） A． B．1 C． D． 4．（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知直线和. (1)若，求实数的值； (2)当时，求直线与之间的距离. 5．（25-26高二上·福建厦门·阶段检测）已知直线： ，直线： ，其中为实数. (1)当时，求的值； (2)当 时，直线，的交点为， ①直线经过，且与直线 垂直，求直线的方程； ②设，若直线过交点，且点到直线的距离等于1，求直线的方程. C综合素养 1．（25-26高三下·江西赣州·期中）已知实数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北·一模）已知非负实数，满足，则的最小值为（   ） A．8 B． C．7 D． 3．（河北武邑中学2026届高三下学期学生全过程纵向评价（六）数学试题）对任意实数，坐标原点到直线距离的最大值为_____． 4．（25-26高二上·江苏连云港·期中）函数的最大值为__________. 5．（25-26高二上·四川南充·期中）平面内有两点与，定义这两点间的“物理距离”为，“光学距离”为.已知圆，定点，过点的直线上有一个动点，若的最小值为，则直线的方程为________. 学科网（北京）股份有限公司 $