2.3 直线的交点坐标与距离公式（十大重点题型）专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线交点与距离公式，以10类重难点题型构建从基础计算到综合应用的递进训练，强化运算能力与空间观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |交点坐标|5题|直接求解两直线交点|从联立方程求交点切入，夯实基础| |交点参数|5题|由交点位置/存在性求参数范围|深化方程解的应用，培养推理意识| |距离公式|7题|两点间、点到直线距离计算|公式直接应用，强化数学表达| |平行直线距离|6题|平行直线间距离公式应用|距离公式拓展，建立知识联系| |直线系方程|11题|过交点/平行/垂直直线方程|体现直线关系的系统性，发展模型观念| |对称问题|8题|点关于直线对称及应用|综合中点与垂直关系，提升空间观念| |光线反射|8题|反射光线方程及路径问题|对称思想迁移，培养转化能力| |三线围三角形|9题|三角形构成条件及面积计算|综合直线位置关系，强化逻辑推理| |综合应用|4题|实际情境中的直线问题|知识整合应用，发展应用意识|

专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 目录●重难点题型分布 重难点题型1 两条直线的交点坐标 1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标、已知直线垂直求参数 【分析】根据两直线垂直，求出值，代入方程，联立即可求得交点. 【详解】由直线与互相垂直，可得，解得， 将代入直线，得到， 联立方程组，解得，交点坐标为. 故选：C 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立方程求解即可. 【详解】由方程组，得，即交点为． 故选：C． 3．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）直线与直线的交点坐标为________. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标 【分析】把直线方程联立成方程组，解方程组可得交点坐标. 【详解】由. 所以直线与的交点坐标为. 故答案为： 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）直线和的交点坐标为_____________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求直线交点坐标 【分析】联立两直线的方程即可求解. 【详解】联立，解得， 故交点坐标为， 故答案为： 5．已知直线l1：与l2：相交于点，则__． 【答案】﹣1 【难度】0.94 【知识点】由直线的交点坐标求参数 【分析】把分别代入直线l1和直线l2的方程，可得和的值，从而得解． 【详解】解：把分别代入直线l1和直线l2的方程， 得， 所以， 所以． 故答案为：-1． 重难点题型2 由两条直线的交点，求参数 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.72 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】由两直线相交，求得交点坐标，再根据交点所在位置，得不等式组，求解即可. 【详解】由题意得，解方程组，得， 因为直线与的交点在第二象限， 所以，解得， 即实数的取值范围是． 2．（23-24高二上·安徽·阶段检测）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求直线交点坐标、由直线的交点坐标求参数 【分析】联立不含参直线求出交点坐标，再代入含参直线方程求参数即可. 【详解】由，即两直线交点坐标为， 代入得：. 故选：C 3．已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由直线交点的个数求参数 【分析】根据题意联立方程得，再解不等式即可得答案； 【详解】联立，得， ∵直线与射线恒有公共点， ∴， 解得. ∴m的取值范围是. 故选：C. 【点睛】本题考查直线与的交点问题，考查运算求解能力，是基础题.本题解题的关键在于注意到射线的取值范围,进而求两直线交点的横坐标并解不等式即可. 4．直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由直线交点的个数求参数 【分析】根据两直线相交的条件即可求解. 【详解】因为直线与直线，即相交， 所以，解得. 所以m的取值范围为. 故答案为： 5．已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】由直线交点的个数求参数、由直线的交点坐标求参数 【分析】把方程组中的两个方程对应两条直线，结合两直线的位置关系，即可求解. 【详解】由方程组中的两个方程对应两条直线， 则方程组的解就是两直线的交点， 要使得两直线只有一个交点，则满足， 即，解得. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查了二元一次方程的解法，以及两直线位置关系的应用，其中解答中把方程组的解转化为两直线的位置关系是解答的关键，注重考查转化思想，以及计算能力. 重难点题型3 两点间的距离公式 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得. 故选：C 2．（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：, 如图：    由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 3．在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 【答案】C 【难度】0.94 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】方法一先计算，结合中点再计算；方法二先计算的中点的坐标，再计算； 【详解】方法一  由题意，，又为的中点，所以． 方法二  因为为的中点，所以点的坐标为，所以． 故选：C. 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 【答案】5 【难度】0.85 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】先求得中点的坐标，再根据两点之间距离公式计算即可. 【详解】因为是的中点，所以，即， 所以的长为． 故答案为：5． 5．（25-26高二上·江苏盐城·期中）若，则为_______. 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求平面两点间的距离 【分析】根据题意，利用平面上两点间的距离公式，即可求解. 【详解】由题意，根据平面上两点间的距离公式，可得， 故答案为：. 重难点题型4 点到直线的距离公式 1．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】求点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离公式求解即可. 【详解】由点到直线的距离公式可知， 点到直线的距离为. 故选：C. 2．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 【答案】D 【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离 【分析】由点到直线距离公式直接计算即可求解. 【详解】由题意有：点到直线的距离为. 故选：D. 3．（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】已知点到直线距离求参数、求点到直线的距离 【分析】利用点到直线公式结合题目信息列式可得答案. 【详解】点到直线的距离为， 点到直线的距离为， 由题意得，解得或. 故选：C. 4．点到直线的最大距离是______． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、求点到直线的距离 【分析】分析直线恒过定点，进而利用几何关系结合两点间距离公式求解最大距离. 【详解】由，得，对任意， 当时，恒成立，即直线恒过定点. 设点到直线的距离，满足：， 当且仅当直线时，等号成立，即最大距离为. ， 因此点到直线的最大距离为. 5．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）原点到直线的距离___________. 【答案】5 【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离 【分析】由题意，根据点到直线的距离公式计算直接得出结果. 【详解】原点到直线的距离为. 故答案为：5 6．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线的距离为_____． 【答案】 【难度】0.94 【知识点】求点到直线的距离 【分析】利用点到直线距离公式直接求解即可. 【详解】点到直线的距离. 故答案为：. 7．已知点到直线的距离为3，则实数________. 【答案】0或 【难度】0.65 【知识点】已知点到直线距离求参数 【分析】应用点到直线距离计算求参数. 【详解】点到直线的距离为， 则实数或. 故答案为：0或 重难点题型5 两条平行直线间的距离 1．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由，解得．利用平行线之间的距离公式即可得出． 【详解】因为直线互相平行， 所以，解得：， 所以直线， 由两直线之间的距离为，可得，解得：或， 当时，直线，满足条件； 当时，直线，满足条件； 故选：C 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】由直线平行关系求，根据平行直线距离公式求结论. 【详解】因为直线与直线平行，所以，解得， 因此直线与直线两平行线间的距离为 故选：D. 3．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】先利用两直线平行关系求出m，然后利用条平行直线间的距离公式求解即可. 【详解】因为直线与直线平行， 所以，解得， 则直线与直线之间的距离是. 故选：C 4．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】先将直线方程化为与方程形式相同的方程，再利用两平行直线间的距离公式计算. 【详解】直线的方程可化为，， 故直线与间的距离. 故选：D. 5．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 【答案】 【难度】0.75 【知识点】已知直线平行求参数、求平行线间的距离 【分析】首先根据两直线平行求，再代入两直线间的距离公式求解. 【详解】因为直线与平行，所以，解得， 即直线方程为， 将化为， 故这两平行直线间的距离为. 6．（25-26高二下·上海·阶段检测）直线与直线间的距离为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求平行线间的距离 【分析】根据两平行直线之间的距离公式计算即可求解. 【详解】直线可化为：，则. 重难点题型6 直线系方程 1．过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】设过两直线交点的直线系方程为，代入原点坐标，得，求解即可. 【详解】设过两直线交点的直线系方程为， 代入原点坐标，得，解得， 故所求直线方程为，即. 故选：D. 2．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】利用直线方程垂直的条件求出目标直线斜率，进而得到直线方程即可. 【详解】对于直线方程，其斜率为， 而目标直线与垂直，则目标直线斜率为， 则目标直线方程为，化简得，故C正确. 故选：C 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】由两条直线垂直求方程 【分析】根据两直线垂直的条件求解即可. 【详解】设垂直于直线的直线方程为， 因为直线过，所以，解得， 所以垂直于直线的直线方程为. 故选：Ａ. 4．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【详解】直线 的斜率为 。 因为所求直线与已知直线平行，故设所求直线方程为 。 将点 代入方程得： ， 因此，所求直线方程为：。 5．（25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.88 【知识点】直线的一般式方程及辨析、由两条直线平行求方程 【分析】由已知设所求直线方程为，根据直线过原点求得c，即得答案. 【详解】与平行的直线的方程可以设为， 又直线过原点，所以． 所以过原点且与l平行的直线的方程为． 6．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】已知斜率求参数、斜率公式的应用、直线交点系方程及应用 【分析】先设经过交点的直线系，应用斜率求出参数即可得直线方程. 【详解】设直线l的方程为（其中为常数），即 ①． 又直线l的斜率为，则，解得． 将代入①式并整理，得，此即所求直线l的方程． 故答案为：. 7．经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】直线交点系方程及应用 【分析】设所求直线方程为，将点代入方程，求得，即可求解. 【详解】设所求直线方程为， 点在直线上， ， 解得， 所求直线方程为，即． 故答案为：. 8．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【详解】直线的斜率为， 设待求直线斜率为，则由题意，得，解得. 所以待求直线方程为，即. 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 【答案】 【难度】0.88 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、由两条直线垂直求方程 【详解】垂直于直线的直线斜率为，又过点， 由点斜式可得所求直线方程为，即. 10．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 【答案】 【难度】0.88 【知识点】由两条直线平行求方程 【详解】设直线， 依题意得直线l过点， 则， 得， 故l的方程为． 11．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】由两条直线平行求方程 【分析】根据截距的概念和两直线平行的性质，设出直线方程，根据截距求出参数，求出结果即可. 【详解】设与直线平行的直线的方程为， 在轴上的截距为5，即当时，得，解得， 所以直线的方程为. 故答案为：. 重难点题型7 对称问题 1．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】先设对称点坐标，再利用两个核心条件列方程：一是两点中点在已知直线上，代入得关于对称点坐标的方程；二是两点连线与已知直线垂直，由斜率乘积为-1得另一方程,联立方程组求解，最终得对称点为. 【详解】设点关于直线的对称点为， 直线，即，因此斜率为1，又垂直直线斜率乘积为-1， 所以的斜率为-1，即，化简得， 又的中点在直线上，代入得 ，化简得，联立和， 解得故对称点为. 故答案选：B. 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点关于直线的对称点 【分析】求出对称点坐标，根据将军饮马模型即可求出最小值. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得，即. 连接与直线相交于点，则的最小值为. 故选：A. 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】设对称点为，由，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点为， 则， 解得，即. 故选：A 4．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知，，动点在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．10 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】首先求出点关于直线的对称点，将目标式子转换为，结合三角形三边关系即可求解. 【详解】如图所示，易知点关于直线的对称点， 由对称性即三角形三边关系可得： . 故选：B. 5．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点 【分析】根据给定条件，利用轴对称的意义列式求解. 【详解】设点关于直线的对称点为，则，解得， 所以点关于直线对称的点的坐标为. 故答案为： 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求两点的对称轴 【分析】根据垂直关系和中点在直线上可求，从而可求的值. 【详解】因为，故，而的中点为， 故，所以，所以， 故答案为：. 7．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】（1）根据中点和斜率列方程组来求得对称点的坐标. （2）在直线上取一点，并求其关于直线的对称点，然后结合直线与直线的交点来求得对称直线的方程. 【详解】（1）直线的斜率为， 设，又，依题意可得， 解得，所以. （2）在直线上取一点，则关于直线的对称点必在直线上，设对称点， 则，解得，故. 设直线与直线的交点为，则由，解得，即. 所以直线经过点， 则，所以直线的方程为，即.    8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，直线相交于点. (1)若直线经过点，且在轴上的截距为2，求直线的方程； (2)若直线，关于直线对称，求直线的方程. 【答案】(1) (2)或 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、求点到直线的距离、直线关于直线对称问题、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）联立两直线，求得交点，根据在轴上的截距为2，分析即可得答案. （2）方法1：直线上任取一点，由题意可得，该点到两直线距离相等，代入距离公式，即可得答案；方法2：设出直线方程，在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上，求出B点坐标，代入方程，即可得答案. 【详解】（1）联立，可得交点， 因为直线过点，且在轴上的截距为2， 所以直线的方程为； （2）方法1：在直线上任取一点，因为直线，关于直线对称， 所以，即， 所以直线的方程为：或. 方法2：因为直线，关于直线对称，所以直线必过点，易知直线的斜率存在， 设直线的方程为，即， 在直线上取一点，则其关于直线的对称点必在直线上， 所以，解得， 代入直线，得，解得或， 所以直线的方程为：或. 重难点题型8 光线反射问题 1．一条光线沿直线入射到直线后反射， 则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.94 【知识点】由两条直线垂直求方程、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据反射光线过已知直线的交点以及入射光线上的点与反射光线上的点关于对称即可求解. 【详解】联立解得，所以反射光线过点， 取直线上一点关于对称的点为， 则有解得， 所以反射光线过点和，则反射光线的斜率， 根据点斜式得，即， 故选:B. 2．如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】直线的点斜式方程及辨析、求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】根据关于直线对称的点是，关于轴对称的点都在直线即可求解. 【详解】, 所以直线的直线方程为 ， 设关于直线对称的点是， 则有， 即， 所以，即， 又因为的中点在直线上， 所以，即， 联立，解得，所以， 又有关于轴对称的点， 由对称性可知，均在直线上， 所以, 由点斜式得，即. 故选:D. 3．与直线关于y轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先求出已知直线和轴的交点，再求出要求直线的斜率，用斜截式求出要求直线的方程． 【详解】解：直线，即，它与轴的交点为， 它关于轴对称的直线的斜率为，故要求直线的方程为，即. 故选：C． 4．（25-26高二上·甘肃甘南·期中）一束光线从点射到轴上，经反射后反射光线与轴交于点，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】设点关于轴的对称点，则直线为反射光线所在的直线，求出直线的方程即可. 【详解】设点关于轴的对称点，所以直线为反射光线所在的直线， 直线的斜率为，故直线的方程为， 故反射光线所在直线的方程为. 故选：A. 5．（23-24高二上·河北·阶段检测）一条光线从点射入，经轴反射后沿直线射出，则_________． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】先求出点关于轴对称的点，由题意可知反射光线经过点，代入求解即可. 【详解】点关于轴对称的点为， 由题意可知，反射光线经过点， 将点的坐标代入方程，解得． 故答案为：. 6．光线由点射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般式方程为______． 【答案】 【难度】0.85 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】首先求点关于直线的对称点，再根据点也在反射光线上，即可求解. 【详解】设点关于直线的对称点， 则，解得：，即， 点在反射光线上，则， ，整理为， 所以反射光线所在直线方程的一般式为. 故答案为： 7．（23-24高二上·江西新余·开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】分别求点关于轴和直线的对称点，再根据几何关系求得直线的方程. 【详解】点关于轴的对称点为，设点关于的对称点为， 则，解得：，即, 由对称性可知，点在直线上， 所以，直线的方程为， 即.    故答案为： 8．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】光线反射问题(2)——直线关于直线对称 【分析】求得关于直线的对称点，直线即反射光线所在直线方程. 【详解】设关于直线的对称点为， 则线段的中点为，直线的斜率为， 则，解得，则. 所以反射光线所在直线为直线， 直线的方程为，整理得. 故答案为： 重难点题型9 三线围成三角形问题 1．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 【答案】A 【难度】0.62 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数、三线能围成三角形的问题 【详解】因为直线，，能构成三角形， 所以不平行于且不平行于且，，不共点， 当不平行于时，可得， 当不平行于时，可得， 当，，不共点时，由，解得， 所以，解得， 所以且且，所以， 所以的子集个数为. 2．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】已知两点求斜率、由斜率判断两条直线垂直 【分析】由已知求得重心与外心坐标，进而利用直线的两点式方程可求的欧拉线方程. 【详解】因为，所以的重心，即， 又因为，，所以， 所以，所以的外心为的中点，即， 所以直线的方程为，即， 又三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上， 所以的欧拉线方程为. 故选：B. 3．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、三线能围成三角形的问题 【分析】三直线不能构成三角形时共有4种情况，即三直线中其中有两直线平行或者是三条直线经过同一个点，在这四种情况中，分别求出实数的值． 【详解】当直线平行于时，． 当直线平行于时，， 当 平行于时，，无解． 当三条直线经过同一个点时，把直线 与的交点，代入， 得，解得：或， 综上，满足条件的的集合为为. 故选：C． 4．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 【答案】且且 【难度】0.65 【知识点】已知直线平行求参数、三线能围成三角形的问题 【分析】根据题意，分类讨论三条直线交于一点和三条直线有两条直线平行，即可得到答案. 【详解】当三条直线交于一点或有两条直线平行或重合时，这三条直线不能围成三角形． 若三条直线交于一点，由，得直线，交点坐标为， 把代入到直线，得； 若直线平行，则可得， 若直线平行，可得， 所以或． 综上，且且时，直线与能围成三角形, 故答案为：且且 5．直线l：，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，若的面积为4，则满足条件的直线有______条． 【答案】3 【难度】0.65 【知识点】三线能围成三角形的问题 【分析】求出直线在两坐标轴上的截距，由三角形的面积公式可求解直线的斜率，即可得出结果． 【详解】解：当时，显然不成立．当，对直线l：， 时，；时，，∴，， ∵，∴，解得或，∴共三条， 故答案为：3． 6．若三条直线围成三角形，则k的取值范围是___________. 【答案】且且 【难度】0.65 【知识点】三线能围成三角形的问题 【解析】先的斜率，然后求得与的交点坐标，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围. 【详解】的斜率为，的斜率为， 由解得， 所以与的交点坐标为. 当时，，即，此时直线不过点且与不平行，三条直线围成三角形，符合题意. 当时，要使三条直线能围成三角形，则须 ，解得且且. 所以的取值范围是且且. 故答案为：且且 【点睛】本小题主要考查直线与直线的位置关系，属于中档题. 7．已知直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则直线的方程为_________． 【答案】或 【难度】0.65 【知识点】三线能围成三角形的问题、由两条直线平行求方程 【分析】设方程为，根据三角形的面积公式即可求出的值，问题得以解决． 【详解】直线与平行，则设方程为， 令，可得，令，可得， 直线与两坐标轴围成面积为8的三角形， ， ， 直线的方程为，或． 故答案为：，或． 【点睛】本题考查求直线的方程，考查三角形面积的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题 8．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 【答案】(1) (2)当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题、由斜率判断两条直线平行 【分析】（1）分别求出各自与轴的交点与两条直线的交点求解即可； （2）分斜率相同的情况和不同的情况进行讨论即可． 【详解】（1）解：当时，，， 当时，和，解得：和， 与轴的交点，与轴的交点， 联立，解得：， 与的交点， ，点到轴的垂直距离为：， ； （2）解：若两直线平行或重合，则斜率相等， 的斜率为：，的斜率为：， ，解得：或， 当时，，，两直线重合； 当时，，，两直线平行； 故当时，两直线重合；当时，两直线平行；当时，两直线相交． 9．（25-26高二上·广西钦州·开学考试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【难度】0.65 【知识点】求直线交点坐标、三线能围成三角形的问题、直线截距式方程及辨析 【分析】（1）联立两条直线构成方程组，求解方程组即可得到交点坐标； （2）在两坐标轴上的截距相等时，设出直线方程，分截距为和不为两种情况讨论即可； （3）直线与直线能构成三角形时要考虑不能构成三角形的三种情况即可. 【详解】（1）由题意得，，解得，点的坐标为． （2）设所求直线为， （ⅰ）当直线在两坐标轴上的截距不为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即； （ⅱ）当直线在两坐标轴上的截距为0时，设直线方程为，则，解得， 直线的方程为，即． 综上，直线的方程为或． （3）（ⅰ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅱ）当直线与平行时，不能构成三角形，此时，解得； （ⅲ）当直线过与的交点时，不能构成三角形，此时，解得． 综上，当，且，且时，能构成三角形． 重难点题型10 综合应用 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 【答案】(1) (2) 【难度】0.62 【知识点】三角形面积公式及其应用、坐标法的应用——点到直线的距离 【详解】（1）因为，所以直线AN的方程是， 设点，且点P到直线AM的距离为3，故． 由点P到直线AN的距离为，可得， 解得或（舍去），所以点． （2）显然，直线BC的斜率存在． 设直线BC的方程为， 令，得．由，解得， 故，解得， 故公路BC所在直线的方程为. 2．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知平面直角坐标系中，，. (1)求的面积； (2)求点O关于直线AB的对称点C的坐标； (3)若点P在直线AB上，，求的最小值. 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【知识点】将军饮马问题求最值、求点到直线的距离、求点关于直线的对称点、求平面两点间的距离 【分析】（1）由两点距离公式求底边，由点到直线距离公式求高，代入面积公式计算； （2）由“垂直”、“平分”列式求解对称点坐标； （3）由求解. 【详解】（1）设边上的高为，则就是点到所在直线的距离， 因为边所在直线的方程为，即， 所以点到直线的距离， 因为， 所以的面积为； （2）因为，所以直线AB方程为， 设，则，解得， 所以点C的坐标为； （3）由（2）知，， 所以， 当C，P，Q三点共线时等号成立，的最小值为. 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线方程为. (1)求直线的方程； (2)在线段上是否存在点，满足，若存在，求点坐标，若不存在，说明理由. 【答案】(1)； (2)存在，. 【难度】0.65 【知识点】求点关于直线的对称点、已知直线垂直求参数 【分析】（1）设写出的中点，由中点在直线上求得，令关于的对称点为，求坐标，最后应用点斜式写出直线方程即可. （2）联立直线方程求点坐标，由在线段上，设，根据垂直关系求参数n并判断点的存在性. 【详解】（1）由题意知，在直线上，设，则的中点在直线上， 所以，解得：，故. 设关于的对称点为，则，可得，即 由点在直线上，则， 所以直线的方程为，即. （2）为直线与直线的交点，联立可得 在线段上，直线方程为，即在线段上，设， 因为，所以，解得， 因为，所以存在满足题意. 4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线的方程为. (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 【答案】(1)证明见解析， (2)，最大距离为 【难度】0.65 【知识点】直线过定点问题、已知点到直线距离求参数、求点到直线的距离、求平面两点间的距离 【分析】（1）将方程变形成，再由，即可求解出定点，再利用点到直线的距离公式，即可求解； （2）根据条件可得当时，点到直线的距离最大，再利用两点间的距离公式及斜率公式，即可求解. 【详解】（1）将直线的方程整理得， 令，解得，所以直线l恒过点， 所以定点到直线的距离为. （2）由（1）可得直线过定点，设定点为， 当时，点到直线的距离最大，且最大距离， 即点到直线的最大距离为， 此时，而直线的斜率， 所以，解得. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.3 直线的交点坐标与距离公式 目录●重难点题型分布 重难点题型1 两条直线的交点坐标 1．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）直线与互相垂直，则这两条直线的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·黑龙江牡丹江·阶段检测）直线和的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津南开·阶段检测）直线与直线的交点坐标为________. 4．（25-26高二上·吉林长春·阶段检测）直线和的交点坐标为_____________. 5．已知直线l1：与l2：相交于点，则__． 重难点题型2 由两条直线的交点，求参数 1．（25-26高二下·河南新乡·阶段检测）若直线与的交点在第二象限，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·安徽·阶段检测）已知三条直线交于一点，则实数=（    ） A． B．1 C． D． 3．已知直线与射线恒有公共点，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 4．直线与直线相交，则m的取值范围为__________． 5．已知关于的方程组有唯一解，则实数a的取值范围是__________. 重难点题型3 两点间的距离公式 1．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（   ） A．26 B．18 C． D．6 2．（25-26高二上·北京东城·期中）已知，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 3．在数轴上，已知的中点为，则（    ） A． B．1 C．2 D． 4．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知，，，是的中点，则________ ． 5．（25-26高二上·江苏盐城·期中）若，则为_______. 重难点题型4 点到直线的距离公式 1．（25-26高二上·陕西商洛·阶段检测）已知点和直线，则点到直线的距离为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·新疆喀什·期末）点到直线的距离为（    ） A． B．2 C． D．1 3．（2025·江苏·模拟预测）已知，两点到直线的距离相等，则（    ） A．0 B．2 C．0或2 D．或2 4．点到直线的最大距离是______． 5．（25-26高二上·贵州铜仁·阶段检测）原点到直线的距离___________. 6．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线的距离为_____． 7．已知点到直线的距离为3，则实数________. 重难点题型5 两条平行直线间的距离 1．（25-26高二上·山东聊城·期末）若直线互相平行，且两直线之间的距离为，则的值为（   ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高二上·广东惠州·期中）若直线与直线平行，则两平行线间的距离为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·天津滨海新区·期末）已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖北·阶段检测）已知直线，直线，则直线与间的距离为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·上海·期中）两平行直线与间的距离为______． 6．（25-26高二下·上海·阶段检测）直线与直线间的距离为__________. 重难点题型6 直线系方程 1．过两直线和的交点和原点的直线方程为（　　） A．3x-19y=0 B．19x-3y=0 C．19x+3y=0 D．3x+19y=0 2．（25-26高二上·贵州铜仁·期末）过点且与直线垂直的直线方程是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江苏南京·期末）过点且垂直于直线的直线方程为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·河南信阳·阶段检测）经过点且与直线平行的直线方程为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二下·辽宁铁岭·阶段检测）已知直线，则过原点且与l平行的直线的方程为（   ） A． B． C． D． 6．若直线l经过两直线和的交点，且斜率为，则直线l的方程为______． 7．经过点和两直线；交点的直线方程为_________. 8．（25-26高二下·上海·期末）过点且与直线垂直的直线方程为_______. 9．（25-26高二下·上海·阶段检测）过点且垂直于直线的直线方程为______． 10．（25-26高二下·贵州遵义·阶段检测）直线l过点且与直线平行，则l的方程为____________ 11．（25-26高二上·贵州毕节·期末）在轴上的截距为5，且与直线平行的直线的方程为__________. 重难点题型7 对称问题 1．（25-26高二上·山东济宁·阶段检测）点关于直线的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高二上·福建厦门·期中）已知两定点，，动点在直线上，则的最小值为（ ） A． B． C． D．5 3．（25-26高二上·河南南阳·期中）点关于直线的对称点为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·辽宁大连·期末）已知，，动点在直线上，则的最小值为（   ） A．2 B． C． D．10 5．（25-26高二上·陕西汉中·阶段检测）已知点，直线，则点A关于直线l对称的点的坐标为_______． 6．（24-25高二上·江苏常州·期中）点与点关于直线l：对称，则的值为________． 7．（25-26高二上·江西·期中）已知直线，点．求： (1)点关于直线的对称点的坐标； (2)直线关于直线的对称直线的方程． 8．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知直线，直线相交于点. (1)若直线经过点，且在轴上的截距为2，求直线的方程； (2)若直线，关于直线对称，求直线的方程. 重难点题型8 光线反射问题 1．一条光线沿直线入射到直线后反射， 则反射光线所在的直线方程为（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知两点，，从点射出的光线经直线上的点反射后再射到直线上，最后经直线上的点反射后又回到点，则直线MN的方程为（    ） A． B． C． D． 3．与直线关于y轴对称的直线的方程为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·甘肃甘南·期中）一束光线从点射到轴上，经反射后反射光线与轴交于点，则反射光线所在直线的方程为（   ） A． B． C． D． 5．（23-24高二上·河北·阶段检测）一条光线从点射入，经轴反射后沿直线射出，则_________． 6．光线由点射到直线上，反射后过点，则反射光线所在直线的一般式方程为______． 7．（23-24高二上·江西新余·开学考试）光线从射向轴上一点，又从反射到直线上一点，最后从点反射回到点，则BC所在的直线方程为________． 8．已知入射光线经过点，被直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程为__________. 重难点题型9 三线围成三角形问题 1．（2026·广东·模拟预测）已知直线，，能构成三角形，设满足条件的k值构成集合A，则的子集个数为（   ） A．8 B．16 C．2 D．1 2．（25-26高二上·广西南宁·阶段检测）数学家欧拉在1765年发表的《三角形的几何学》一书中有这样一个定理：三角形的外心、垂心和重心都在同一条直线上．这条直线被后人称为三角形的欧拉线．已知的顶点，，则的欧拉线方程为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·江西九江·阶段检测）下面三条直线，，不能构成三角形，则的集合是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·湖南衡阳·阶段检测）三条直线与能围成三角形，则实数的取值集合为__________. 5．直线l：，直线l交x轴于点A，交y轴于点B，若的面积为4，则满足条件的直线有______条． 6．若三条直线围成三角形，则k的取值范围是___________. 7．已知直线与平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为8，则直线的方程为_________． 8．（25-26高二上·山东潍坊·期中）已知直线与． (1)当时，求直线与轴围成的三角形的面积； (2)讨论直线与的位置关系． 9．（25-26高二上·广西钦州·开学考试）已知两直线，． (1)求直线与的交点的坐标； (2)求过直线交点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程； (3)若直线与直线能构成三角形，求实数的取值范围． 重难点题型10 综合应用 1．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图，公路围成一块顶角为α的三角形土地，其中，在该块土地中的点P处有一小型建筑，经测量，它到公路的距离分别为，，现要过点P修建一条公路BC，将三条公路围成的区域建成一个工业园区． (1)以A为坐标原点，AM为x轴正方向，建立平面直角坐标系，求出点P的坐标； (2)在（1）的条件下，三条公路围成的工业园区的面积恰为，求公路BC所在直线的方程． 2．（25-26高二上·黑龙江绥化·阶段检测）已知平面直角坐标系中，，. (1)求的面积； (2)求点O关于直线AB的对称点C的坐标； (3)若点P在直线AB上，，求的最小值. 3．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的平分线所在直线方程为. (1)求直线的方程； (2)在线段上是否存在点，满足，若存在，求点坐标，若不存在，说明理由. 4．（25-26高二上·贵州贵阳·阶段检测）已知直线的方程为. (1)证明：直线过定点，并求定点到直线的距离； (2)当为何值时，点到直线的距离最大？最大距离是多少？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $