1.1 有理数的引入 课时作业 2026-2027学年华东师大版数学七年级上册

华东师大版 七年级上册 第1章 有理数 课时作业 1.1 有理数的引入 课时作业 班级：__________ 姓名：__________ 学号：________ 用时：______分钟 一、学习目标 1．了解负数产生的实际背景，会用正数、负数表示具有相反意义的量。 2．理解有理数的意义，知道整数、分数统称为有理数。 3．能按照不同标准对有理数进行分类，体会分类讨论的数学思想。 二、知识点梳理 知识点1　正数和负数 （1）像 3，1.8，，2026 这样大于 0 的数叫做正数。正数前面可以加上“+”号，如 +3，也可以省略不写。 （2）像 −3，−1.8，− 这样在正数前面加上“−”号的数叫做负数。“−”读作“负”，如 −3 读作“负三”。 （3）0 既不是正数，也不是负数，它是正数与负数的分界。 知识点2　用正数、负数表示具有相反意义的量 在生活中，经常会遇到具有相反意义的量，如：零上温度与零下温度、收入与支出、上升与下降、向东与向西、盈利与亏损、高于海平面与低于海平面等。通常把其中一种意义的量规定为正，那么与它意义相反的量就用负数表示。 例如：如果把零上 5 ℃ 记作 +5 ℃，那么零下 3 ℃ 就记作 −3 ℃；如果收入 100 元记作 +100 元，那么支出 60 元记作 −60 元。 注意：①具有相反意义的量必须是同一类量，并且成对出现，如“向东走”与“向西走”；②哪种意义规定为正是人为约定的，但一般遵循习惯，如上升、收入、盈利、高于通常规定为正。 图1　用温度计表示零上与零下温度（甲地 6 ℃，乙地 −4 ℃） 知识点3　有理数的概念 （1）正整数、0、负整数统称为整数，如 5，0，−12。 （2）正分数、负分数统称为分数，如 ，−，3.5，−0.25。 （3）整数和分数统称为有理数。 说明：有限小数和无限循环小数都可以化成分数，因此都是有理数，如 0.25 = ，0.333… = ；而圆周率 π = 3.14159… 是无限不循环小数，不是有理数。 知识点4　有理数的分类 有理数可以按不同的标准进行分类，分类时要做到“不重复、不遗漏”。 分类标准 第一层 第二层 按定义分类 整数 正整数、0、负整数 按定义分类 分数 正分数、负分数 按正负分类 正有理数 正整数、正分数 按正负分类 0 （0 单独成一类） 按正负分类 负有理数 负整数、负分数 知识点5　几个常用术语 非负数：正数和 0；非正数：负数和 0；非负整数：正整数和 0（也叫自然数）；非正整数：负整数和 0。 易错提醒：①带“−”号的数不一定是负数（学习相反数后会进一步体会）；②0 是整数，也是有理数，但既不是正数也不是负数；③小数 3.5 是分数，不是整数。 三、典型例题 例1　某仓库运进货物 15 吨记作 +15 吨，那么运出货物 8 吨记作________；如果水位下降 0.5 米记作 −0.5 米，那么 +1.2 米表示________。 分析：“运进”与“运出”、“上升”与“下降”是具有相反意义的量。运进记为正，则运出记为负；下降记为负，则 +1.2 米表示上升。 解答：−8 吨；水位上升 1.2 米。 例2　把下列各数填入相应的集合中： 7，−，0，−2.4，，−16，0.75，+1，π。 正数集合：{　　　　　　　…}；负数集合：{　　　　　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　…}；分数集合：{　　　　　　　…}； 有理数集合：{　　　　　　　…}。 分析：先判断每个数的正负，再判断是整数还是分数。注意 0 既不是正数也不是负数，但它是整数；π 不是有理数，不能填入有理数集合。 解答：正数集合：{7，，0.75，+1，π，…}；负数集合：{−，−2.4，−16，…}； 整数集合：{7，0，−16，+1，…}；分数集合：{−，−2.4，，0.75，…}； 有理数集合：{7，−，0，−2.4，，−16，0.75，+1，…}。 例3　某食品厂生产的袋装饼干标准质量为 200 克，质检员抽取 5 袋，超过标准质量的克数记为正数，不足的克数记为负数，结果如下：+3，−1.5，0，−4，+2。 （1）质量最接近标准的是第几袋？（2）哪一袋质量最轻？它的实际质量是多少克？ 解答：（1）第 3 袋记为 0，恰好等于标准质量，最接近标准。 （2）第 4 袋记为 −4，表示比标准轻 4 克，是最轻的一袋，实际质量为 200 − 4 = 196（克）。 点拨：用正负数表示偏差时，数字表示“偏离标准的多少”，符号表示“偏离的方向”。 四、基础巩固 （一）选择题 1．下列各数中，是负数的是（　　） A．+6 B．0 C．− D．2.5 2．如果向北走 30 米记作 +30 米，那么 −50 米表示（　　） A．向南走 50 米 B．向北走 50 米 C．向南走 −50 米 D．向东走 50 米 3．下列说法正确的是（　　） A．0 是最小的正数 B．0 是正数也是负数 C．0 是整数 D．0 不是有理数 4．在 −3，，0，−1.25，8，− 中，分数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 5．下列各组量中，不具有相反意义的是（　　） A．收入 200 元与支出 80 元 B．上升 6 米与下降 2 米 C．向东 5 千米与向北 5 千米 D．盈利 3 万元与亏损 1 万元 6．下列各数中，不是有理数的是（　　） A．−0.5 B． C．π D．0 7．某种药品的说明书上标明保存温度是（20 ± 2）℃，则下列温度中不适合保存该药品的是（　　） A．18 ℃ B．19.5 ℃ C．21 ℃ D．23 ℃ 8．下列说法中，正确的是（　　） A．整数就是正整数和负整数 B．有理数分为正有理数和负有理数 C．分数包括正分数和负分数 D．非负数就是正数 （二）填空题 9．如果盈利 500 元记作 +500 元，那么亏损 200 元记作________元。 10．某地海拔比海平面高 1200 米记作 +1200 米，吐鲁番盆地最低处低于海平面约 155 米，记作________米。 11．在数 +8，−7，0，，−0.3 中，正数有________，负数有________。 12．若规定向右移动为正，那么 −4 个单位长度表示________________。 13．最小的正整数是________，最大的负整数是________。 14．− 既是________数，又是________数（填“正”“负”“整”或“分”）。 15．某零件的直径要求为（30 ± 0.02）毫米，则合格零件的直径最大为________毫米，最小为________毫米。 16．既不是正数也不是负数的有理数是________，非负整数中最小的是________。 （三）解答题 17．写出下列各句中具有相反意义的量，并用正数、负数表示： （1）小明向东走了 12 米，又向西走了 7 米； （2）某商店上午盈利 350 元，下午亏损 120 元； （3）一架飞机先上升 800 米，再下降 300 米。 18．把下列各数填入相应的集合里： −15，+6，−2，−0.9，1，，0，3，0.63，−4.95，−。 正数集合：{　　　　　　　　　　　　…}； 负数集合：{　　　　　　　　　　　　…}； 整数集合：{　　　　　　　　　　　　…}； 分数集合：{　　　　　　　　　　　　…}； 非负整数集合：{　　　　　　　　　　…}。 图2 19．某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加 10 分，答错一题扣 10 分，不回答得 0 分。若加 10 分记作 +10 分，那么扣 10 分记作什么？第一小组 5 名同学的得分依次为 +20，−10，0，+30，−20，请说出每个数表示的实际意义。 20．下表是某周五个城市某日的最低气温（单位：℃）： 城市 哈尔滨 北京 上海 广州 拉萨 最低气温 −12 −3 2 11 −6 （1）哪些城市的最低气温在零下？（2）哪个城市的最低气温最高？哪个城市最低？ 五、能力提升 21．下列说法中，正确的个数有（　　） ①正数与负数统称为有理数；②整数和分数统称为有理数；③0 是最小的整数；④− 是负分数；⑤一个有理数不是正数就是负数。 A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 22．观察下面一列数的规律，并填空：1，−2，3，−4，5，−6，…，则第 11 个数是________，第 2026 个数是________。 23．某粮库一周内粮食进出记录如下（运进记为正，运出记为负，单位：吨）：+25，−30，+18，−12，+40，−26，+10。 （1）这一周中哪天运出的粮食最多？（2）这一周内运进粮食共多少吨？运出粮食共多少吨？（3）若本周初库存 500 吨，本周末库存多少吨？ 24．如图3，两个圈分别表示整数集合和负数集合，请在两圈重叠部分写出 3 个符合条件的数，并说出重叠部分表示的是什么数的集合。 图3 25．（1）把下列各数分别填入图4对应的集合中：−8，，0，−0.6，12，−，4.4，−3。 图4 （2）你能说出“非负整数集合”与“正有理数集合”中都有的数有什么特点吗？ 六、拓展探究 26．有一列数：−1，，−，，−，…，按此规律， （1）第 8 个数是________，第 9 个数是________； （2）这列数中的第 n 个数是正数还是负数？请说明它与 n 的关系； （3）在这列数中，第 2025 个数是正数还是负数？ 27．某出租车司机某天下午的营运全在一条东西走向的大街上进行。规定向东为正，向西为负，他这天下午行车里程（单位：千米）依次为：+15，−3，+14，−11，+10，−12，+4，−15，+16，−18。 （1）他这天下午第几次行车离出发点最远（只需判断，不必计算距离的准确值，可逐次推算位置）？ （2）写出每次行车后他所在的位置（用正负数表示在出发点东侧或西侧多少千米）。 七、易错专练 28．（易错点：误认为带“+”号的才是正数）下列各数：5，+0.8，−7，，0，−3.2，其中正数的个数是（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 29．（易错点：忽视 0 的特殊性）“一个数不是正数就是负数”，这句话对吗？请说明理由。 30．（易错点：混淆小数与分数）判断下列说法是否正确（填“对”或“错”）：−0.5 是负分数（　　）；3.0 是分数（　　）； 是分数（　　）；0.333… 是有理数（　　）。 31．（易错点：规定的“正方向”不同）如果把“比标准身高矮 2 厘米”记作 +2 厘米，那么“比标准身高高 3 厘米”应记作________厘米。 32．（易错点：分类不全）下列关于有理数的分类，正确的是（　　） A．有理数分为正数和负数 B．有理数分为正整数、负整数和分数 C．有理数分为整数和分数 D．有理数分为正有理数和负有理数 33．（易错点：相反意义量的“基准”）某次数学测验，全班平均分为 85 分，把高于平均分的部分记为正数。小丽得了 92 分，记作________分；小刚记作 −6 分，则他的实际得分是________分；小华记作 0 分，表示______________。 34．（易错点：对“非负”“非正”理解不清）在 −2，0，，−0.1，7，− 中，非负数有____________，非正数有____________，非负整数有____________。 【课后反思】 本课时我掌握得最好的知识：______________________________________________ 我还存在疑惑的地方：__________________________________________________ 我的易错题题号及错因：________________________________________________ 参考答案与解析 一、选择题 1．C　解析：负数是在正数前面加“−”号的数，− 是负数；+6，2.5 是正数；0 既不是正数也不是负数。 2．A　解析：向北记为正，则向南记为负，−50 米表示向南走 50 米。C 中“向南走 −50 米”重复表示了方向，错误。 3．C　解析：0 不是正数也不是负数，没有“最小的正数”；0 是整数，也是有理数。 4．C　解析：分数有 ，−1.25，−，共 3 个；−3，0，8 是整数。 5．C　解析：“向东”与“向北”不是相反方向，不具有相反意义。 6．C　解析：π 是无限不循环小数，不是有理数； 是分数，是有理数。 7．D　解析：适合的温度范围是 18 ℃～22 ℃，23 ℃ 超出范围。 8．C　解析：整数包括正整数、0、负整数，A 错；有理数按正负分为正有理数、0、负有理数，B 错；非负数包括正数和 0，D 错。 二、填空题 9．−200　解析：盈利与亏损意义相反，盈利记正，则亏损记负。 10．−155　解析：高于海平面记正，低于海平面记负。 11．+8，；−7，−0.3　解析：0 既不是正数也不是负数。 12．向左移动 4 个单位长度 13．1；−1 14．负；分 15．30.02；29.98　解析：30 + 0.02 = 30.02，30 − 0.02 = 29.98。 16．0；0　解析：非负整数包括正整数和 0，最小的是 0。 三、解答题 17．解：（1）向东走 12 米记作 +12 米，向西走 7 米记作 −7 米； （2）盈利 350 元记作 +350 元，亏损 120 元记作 −120 元； （3）上升 800 米记作 +800 米，下降 300 米记作 −300 米。 （规定哪一种为正都可以，但另一种必须用负数表示。） 18．解：正数集合：{+6，1，，3，0.63，…}； 负数集合：{−15，−2，−0.9，−4.95，−，…}； 整数集合：{−15，+6，−2，1，0，…}； 分数集合：{−0.9，，3，0.63，−4.95，−，…}； 非负整数集合：{+6，1，0，…}。 解析：0 属于整数、非负整数，但不属于正数或负数集合；3 是带分数，属于正分数。 19．解：扣 10 分记作 −10 分。+20 表示加 20 分（答对 2 题）；−10 表示扣 10 分；0 表示不加分也不扣分；+30 表示加 30 分；−20 表示扣 20 分。 20．解：（1）最低气温在零下的城市是哈尔滨、北京、拉萨； （2）广州的最低气温最高（11 ℃），哈尔滨的最低气温最低（−12 ℃）。 四、能力提升 21．B　解析：①错，有理数还包括 0；②对；③错，整数没有最小的；④对；⑤错，0 既不是正数也不是负数。正确的有②④，共 2 个。 22．11；−2026　解析：各数的数字部分依次为 1，2，3，…，奇数位上为正，偶数位上为负。 23．解：（1）运出记为负，−30 表示运出 30 吨，是运出最多的，为第二天。 （2）运进：25 + 18 + 40 + 10 = 93（吨）；运出：30 + 12 + 26 = 68（吨）。 （3）500 + 93 − 68 = 525（吨），本周末库存 525 吨。 24．解：如 −1，−5，−100（答案不唯一）；重叠部分表示既是整数又是负数的数，即负整数集合。 25．解：（1）负分数集合：{−0.6，−，…}；非负整数集合：{0，12，…}；正有理数集合：{，12，4.4，…}。 （2）两个集合都有的数是正整数（如 12），因为它们既是非负整数，又是正有理数。 五、拓展探究 26．解：（1）；−。 （2）第 n 个数的分子是 1，分母是 n；当 n 为奇数时，这个数是负数；当 n 为偶数时，这个数是正数。 （3）2025 是奇数，所以第 2025 个数是负数，即 −。 27．解：逐次推算位置（东侧为正，西侧为负）： 第1次后：东 15 千米（+15）；第2次后：东 12 千米（+12）；第3次后：东 26 千米（+26）； 第4次后：东 15 千米（+15）；第5次后：东 25 千米（+25）；第6次后：东 13 千米（+13）； 第7次后：东 17 千米（+17）；第8次后：东 2 千米（+2）；第9次后：东 18 千米（+18）；第10次后：在出发点以东 0 千米，即回到出发点（0）。 （1）第 3 次行车后离出发点最远，为出发点以东 26 千米。 （2）见上面推算，第 10 次行车后恰好回到出发点。 说明：本题推算中用到的“加、减”在后面的有理数加减法中会系统学习，这里可以借助“向东、向西”的实际意义直接推算。 六、易错专练 28．B　解析：正数前面的“+”号可以省略，5，+0.8， 都是正数，共 3 个；0 既不是正数也不是负数；−7，−3.2 是负数。 29．解：不对。0 既不是正数，也不是负数，所以一个数可能是正数、负数，也可能是 0。 30．对；错；错；对　解析：−0.5 = −，是负分数；3.0 = 3，是整数； = 2，是整数；0.333… = ，是无限循环小数，是有理数。 31．−3　解析：本题把“矮”规定为正，那么与之相反的“高”就记为负。 32．C　解析：A、D 都漏掉了 0；B 漏掉了 0；按定义，有理数分为整数和分数，C 正确。 33．+7；79；小华的得分恰好等于平均分 85 分　解析：92 − 85 = 7，记作 +7 分；85 − 6 = 79（分）。 34．0，，7；−2，0，−0.1，−；0，7　解析：非负数是正数和 0；非正数是负数和 0；非负整数是正整数和 0。 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $