精品解析：陕西省榆林市子洲中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

子洲中学2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因,， 则. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】命题“，”的否定为“，”. 3. 某市10000名考生参加某次模拟考试，若他们的数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩在分之间的考生约有（ ） （附：若，则） A. 1570人 B. 2720人 C. 3414人 D. 6827人 【答案】C 【解析】 【分析】利用正态分布关于均值对称的性质，结合给定的区间概率计算出成绩在分的概率，再乘以总考生数得到人数. 【详解】由题知数学成绩，因此均值，标准差，正态分布曲线关于对称， 数学成绩在之间的概率，即， 总考生共10000人，因此该分数段人数约为人. 4. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合二次函数的图象与性质，列出不等式，即可求解. 【详解】设函数， 因为不等式的解集为，即在上恒成立， 则满足，解得，所以， 即实数的取值范围为. 5. 某地区为研究居民用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温，并得到了如下数据： 气温 3 6 9 12 用电量度 24 20 14 10 由表中数据得到的经验回归方程为，若，则的值为（ ） A. 27 B. 29 C. 34 D. 36 【答案】B 【解析】 【分析】求出中心点坐标，代入方程求解． 【详解】由已知，， 所以，解得， 故选：B． 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先根据分式不等式的解法，求得不等式的解集，结合充分条件、必要条件的判定方法，即可求解. 【详解】由不等式，可得，解得， 所以“”是“”的充要条件. 7. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据切点坐标满足原函数和切线方程可得出，对原函数求导，根据切线斜率等于导数在该点的值可得出，从而可以求解. 【详解】，则，， 因为曲线在点处的切线方程为， 所以有，，即，， 所以. 8. 已知关于的不等式（，，）的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】关于的不等式的解集为， 所以，得， 所以， 当且仅当即时，等号成立， 此时，即的取值范围为. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】逐项分析利用作差法和举反例验证即可求解. 【详解】对于A，，因为， 所以，所以，故A正确； 对于B，，所以，故B正确； 对于C，举反例验证：取 ，，满足 ，但此时 ，，不满足  ， 故C不正确； 对于D，，所以，故D正确； . 10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】根据函数的单调性与导数值的正负关系可判断A和B，根据函数的极值点和导数的关系可判断C，根据函数的单调性与导数值的正负关系及函数单调性的概念可判断D. 【详解】在区间上，故函数在区间上单调递增，故A正确； 当时，，单调递增；当时，，单调递减，故B错误； 由在区间上单调递增，可知函数在处取不到极大值，故C错误； 在区间上，故函数在区间上单调递减，所以，故D正确. 故选：AD. 11. 袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】由取到个白球，则可得取到个黑球，所以得分， 所以，故A正确； 由，得，解得，所以，故B错误； 由，得，解得，所以，故C正确； 由题意可得，， ，， 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为________．（请用数字作答） 【答案】 28 【解析】 【详解】二项式的展开式通项为，其中. 对于，取，，，可得其展开式通项为：，. 令，对应系数为， 计算得：. 13. 某公司，两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，组生产的芯片合格率为，公司决定再将这些产品送专家鉴定，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为__________. 【答案】0.86 【解析】 【详解】设事件抽到A组芯片，抽到B组芯片，芯片合格， ，，， . 14. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 【分析】令，可得，构建，若函数有三个不同的零点，即与有三个不同交点，对求导，利用导数分析其单调性和极值，结合图象即可得结果. 【详解】令，可得， 构建， 若函数有三个不同零点，即与有三个不同交点， 因为， 令，解得；令，解得或； 可知在内单调递减，在内单调递增， 则有极小值，极大值， 且当趋近于，趋近于；当趋近于，趋近于0， 可得图象，如图所示：    由函数图象可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）根据集合的基本运算即可求解； （2）利用得，解出即可. 【小问1详解】 当时，，， 根据并集的概念可得， 所以或； 【小问2详解】 由，，得， 所以，解得， 所以实数的取值范围为． 16. 小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米，则大小达标，着色度不低于90%，则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 （1）完成上面的列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 （2）认为苹果的大小达标和色泽达标有关．【解析】 【分析】（1）根据列联表行、列总和的关系，即可求出各空的数据；（2）提出零假设，计算出卡方值，与小概率值对应的临界值对比，判断是否拒绝独立的原假设，即可得出两者是否有关. 【小问1详解】 （1）列联表如下： 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 30 50 着色度不低于90% 30 120 150 合计 50 150 200 【小问2详解】零假设为：苹果的大小达标和色泽达标无关． 根据列联表中的数据，经计算得到， 根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立， 即认为苹果的大小达标和色泽达标有关． 17. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中．（结果均用数字表示） （1）共有多少种不同的放法？ （2）每盒至多放一个球，有多少种不同的放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？ 【答案】（1）256 （2）24 （3）144 【解析】 【分析】（1）每个小球有4种方法，利用分步乘法计数原理直接计算总放法数； （2）每盒至多一个球，即每个盒子都只能放1个球，利用排列数直接计算即可； （3）利用分步计数原理，先计算在4个球中任选2个，放入1个盒子中的放法，再求出在剩下的3个盒子中，任选2个，放入剩下2个小球的放法，即可计算出所有不同的放法. 【小问1详解】 根据题意，每个小球有4种放法，则4个小球有种放法． 【小问2详解】 根据题意，每盒至多一个球，即每个盒子都只能放1个球，有种放法． 【小问3详解】 根据题意，分2步进行分析：在4个球中任选2个，放入1个盒子中，有种放法， 在剩下的3个盒子中，任选2个，放入剩下2个小球，有种放法，则共有种放法． 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求函数在上的最小值与最大值； （3）设，证明：. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）最小值为，最大值为 （3）证明：由，得，即， 令，则， 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增， 则，即恒成立， 所以． 【解析】 【分析】（1）利用导数研究单调性，进而求极值即可； （2）利用导数研究单调性，进而求最值即可； （3）由，得，令，利用导数研究单调性，进而得即可得证. 【小问1详解】 函数的定义域为， 所以， 因为，所以，令得， 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减， 因此只有极小值，无极大值，且极小值为； 【小问2详解】 由（1）的单调性可知在单调递减，在单调递增， 因此最小值为， 计算区间端点值，， 因为，所以，所以， 故在上的最大值为． 【小问3详解】 略 19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望为； （3） 【解析】 【分析】（1）利用条件概率公式求解；（2）求出的可能值，再利用二项分布的概率求出分布列及期望. （3）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出概率，再结合已知建立不等式求解. 【小问1详解】 记事件为“甲答对了某道题”，事件为“甲自己答对”， 则，， 所以. 【小问2详解】 可能取值为0，1，2，3，4，甲答对某道题的概率， 则， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望. 【小问3详解】 记事件为“甲答对了道题”，事件为“乙答对了道题”， 其中甲答对某道题的概率为，答错某道题的概率为， 则， ， ， 所以甲答对题数比乙多的概率为： ，解得， 所以甲的亲友团答对的概率的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 子洲中学2025~2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题 注意事项： 1.本试卷共4页，满分150分，时间120分钟. 2.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级和准考证号填写在答题卡上. 3.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.涂写在本试卷上无效. 4.作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效. 5.考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 某市10000名考生参加某次模拟考试，若他们的数学成绩近似服从正态分布，则数学成绩在分之间的考生约有（ ） （附：若，则） A. 1570人 B. 2720人 C. 3414人 D. 6827人 4. 若关于的不等式的解集为，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 某地区为研究居民用电量（单位：度）与气温（单位：）之间的关系，随机统计了某4天的用电量与当天的气温，并得到了如下数据： 气温 3 6 9 12 用电量度 24 20 14 10 由表中数据得到的经验回归方程为，若，则的值为（ ） A. 27 B. 29 C. 34 D. 36 6. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 已知函数，若曲线在点处的切线方程为，则（ ） A. B. 4 C. D. 2 8. 已知关于的不等式（，，）的解集为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则下列选项一定正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 定义在上的函数的导函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. 函数在上单调递增 B. 函数在上单调递减 C. 函数在处取得极大值 D. 11. 袋中有7个大小相同的球，其中4个黑球、3个白球，现从中任取3个球，记随机变量为其中白球的个数，若取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分，随机变量为得分，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在的展开式中，的系数为________．（请用数字作答） 13. 某公司，两个研发小组同时设计生产出了相同规格、相同数量的芯片，经初步鉴定：组生产的芯片合格率为，组生产的芯片合格率为，公司决定再将这些产品送专家鉴定，专家从这些芯片中随机取一个，则该芯片合格的概率为__________. 14. 已知函数有三个不同的零点，则实数a的取值范围是_______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数的取值范围. 16. 小张水果店对出售的苹果按大小和色泽两项指标进行分类，最大横切面直径不小于70毫米，则大小达标，着色度不低于90%，则色泽达标，大小和色泽均达标的苹果为一级果；大小和色泽有一项达标另一项不达标的苹果为二级果；两项均不达标的苹果为三级果．已知小张购进了一批苹果，从中随机抽取200个进行检验，得到如下统计表格： 色泽 大小 合计 直径小于70毫米 直径不小于70毫米 着色度低于90% 20 50 着色度不低于90% 120 合计 （1）完成上面的列联表； （2）依据小概率值的独立性检验，能否认为苹果的大小达标和色泽达标有关？ 附：，其中． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17. 将4个不同的小球放入4个不同的盒子中．（结果均用数字表示） （1）共有多少种不同的放法？ （2）每盒至多放一个球，有多少种不同的放法？ （3）恰好有一个空盒，有多少种不同的放法？ 18. 已知函数. （1）求函数的极值； （2）求函数在上的最小值与最大值； （3）设，证明：. 19. 某电台举办有奖知识竞答比赛，选手答题规则相同．甲每道题自己有把握独立答对的概率为，若甲自己没有把握答对，则在规定时间内连线亲友团寻求帮助，其亲友团每道题能答对的概率为p，假设每道题答对与否互不影响． （1）当时，若甲答对了某道题，求该题是甲自己答对的概率； （2）当时，甲答了4道题，计甲答对题目的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列和数学期望； （3）乙答对每道题的概率为（含亲友团），现甲乙两人各答两个问题，若甲答对题目的个数比乙答对题目的个数多的概率不低于，求甲的亲友团每道题答对的概率p的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $