精品解析：陕西西安市周至县第六中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试题

周至六中2025－2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题（卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 3. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 4. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 5. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 6. 下列说法错误的是（ ） A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 7. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 8. 若正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. 16 C. D. 25 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 某校随机调查了40名高三学生某周参加体育锻炼的次数，得到如下频数分布表： 锻炼次数x 0 1 2 3 4 5 频数n 4 6 10 12 6 2 根据以上数据，下列结论正确的是（ ） A. 这组样本数据的中位数为2.5 B. 这组样本数据的平均数为2.4 C. 从这40名学生中随机抽取2名，恰有1名学生该周锻炼次数不少于 3次的概率为 D. 若从锻炼次数不少于3次的学生中按分层抽样抽取10人，则应从锻炼次数为4次的学生中抽取4人 10. 设事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若互斥，则 C. 若，则 D. 若独立，则 11. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若关于x的方程没有实数根，则关于的不等式的解集为 B. 关于x的一元二次不等式在上恒成立的条件是，且 C. 若关于x的不等式的解集为，则 D. 若，则的最小值为2 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，则________（用数字作答）. 13. 已知某种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为___________. 14. ，不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 四、解答题（共5道题，满分77分） 15. 已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． （1）求n的值； （2）求展开式中各项系数的和． 16. 现有9名学生，其中有5名男生4名女生，若要从中选4人参加一项活动，求 （1）一共有几种选法： （2）抽取4人中恰好有两名女生的选法有几种： （3）抽取4人中至少有1名女生的概率． 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望； 18. 已知，命题p：，；命题q：，． （1）若命题p为假命题，求a的取值范围； （2）若p和q均为真命题，求a的取值范围． 19. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒．某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 合计 男 8 14 女 4 24 合计 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； （2）补全上表，并在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据：参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 周至六中2025－2026学年度第二学期期末考试 高二数学试题（卷） 考试时间：120分钟；满分：150分 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由判别式小于0可得解. 【详解】由中，，可得解集为. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的求解，属于基础题. 2. 已知集合，，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，， 所以． 3. 为庆祝端午节，某班级组织了一台晚会，有3个唱歌节目、2个小品节目和1个戏曲节目，要求3个唱歌节目互不相邻，则这台晚会节目的不同安排方法种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】先排列2个小品和1个戏曲节目，排列数为：， 3个非唱歌节目排好后，形成4个空位，将3个唱歌节目插入4个空位中， 排列数为：， 故总安排方法数为：． 4. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分非必要条件 B. 充要条件 C. 必要非充分条件 D. 既非充分也非必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】复数为纯虚数， ，解得， 则“”是“复数为纯虚数”的既非充分也非必要条件． 5. 若随机变量服从正态分布，且，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意结合正态分布的对称性分析求解. 【详解】因为服从正态分布，且， 则，即正态曲线关于直线对称， 所以， 又， 所以. 6. 下列说法错误的是（ ） A. 已知的展开式中各项系数之和为256，则展开式中的系数为108 B. 袋中有除颜色外完全相同的5个球，其中2个红球､3个白球，现从袋中不放回地连续取球两次，每次取1个球，已知第一次取得红球，则第二次取得白球的概率为 C. 若随机变量，则 D. 若随机变量，则 【答案】B 【解析】 【分析】A由系数和得，再由二项式定理求对应项系数；B由条件概率公式求概率；C利用正态分布的对称性求概率；D由二项分布的方差公式及方差的性质求方差. 【详解】对于选项A：令，则， ，， 的系数为，A正确； 对于选项B：设“第一次取得红球”为事件 ，“第二次取得白球”为事件， ，则，B错误； 对于选项C：由题意，，C正确； 对于选项D：，D正确. 7. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 8. 若正数x，y满足，则的最小值为（ ） A. B. 16 C. D. 25 【答案】C 【解析】 【详解】由，可得，所以， 故， 当且仅当,即，也即时取等号， 联立，解得，时，等号成立． 故最小值为. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 某校随机调查了40名高三学生某周参加体育锻炼的次数，得到如下频数分布表： 锻炼次数x 0 1 2 3 4 5 频数n 4 6 10 12 6 2 根据以上数据，下列结论正确的是（ ） A. 这组样本数据的中位数为2.5 B. 这组样本数据的平均数为2.4 C. 从这40名学生中随机抽取2名，恰有1名学生该周锻炼次数不少于 3次的概率为 D. 若从锻炼次数不少于3次的学生中按分层抽样抽取10人，则应从锻炼次数为4次的学生中抽取4人 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用中位数的定义即可判断选项A；利用平均数的定义即可判断选项B；利用古典概率公式计算即可判断选项C；根据分层抽样的定义计算即可判断选项D． 【详解】对于A，由总共有40个数据，则中位数为第20、21个数据的平均数， 又第20个数据是2，第21个数据是3，所以这组样本数据的中位数为，故A正确； 对于B，这组样本数据的平均数为，故B正确； 对于C，由该周锻炼次数不少于 3次的学生有人，则少于 3次的学生有人， 所以恰有1名学生该周锻炼次数不少于 3次的概率为，故C正确； 对于D，结合选项C有锻炼次数不少于 3次的学生有人，锻炼次数为4次的学生有人， 则应从锻炼次数为4次的学生中抽取人，故D错误． 10. 设事件满足，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若互斥，则 C. 若，则 D. 若独立，则 【答案】ABD 【解析】 【详解】选项A：，，所以； 选项B：因为互斥，所以； 选项C：，解得， 所以； 选项D：因为独立，所以. 11. 下列命题是真命题的是（ ） A. 若关于x的方程没有实数根，则关于的不等式的解集为 B. 关于x的一元二次不等式在上恒成立的条件是，且 C. 若关于x的不等式的解集为，则 D. 若，则的最小值为2 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，根据一元二次方程无实根，求得判别式满足的条件，然后借助二次函数图象解决一元二次不等式的解的问题；对于B，一元二次不等式恒成立的条件需同时满足对应的二次函数的开口方向和判别式；对于C，最高次为二次的不等式恒成立问题，需注意二次项的系数的取值，由于解集为，则二次项系数不为0，再结合对应的二次函数的开口方向和判别式进行求解；对于D，利用换元法，简化函数，再利用新函数的单调性进行求解． 【详解】对于A，关于x的方程没有实数根，则． 对于关于的不等式，令，且． 但由于的取值正负不确定， 若，抛物线开口向上，则对所有实数都成立； 若，抛物线开口向下，则无实数解． 故A错误； 令，则当时，抛物线开口向下； 当时，抛物线始终在轴下方或与轴相切， 故关于x的一元二次不等式恒成立，故B正确； 对于C，令， 若关于x的不等式的解集为， 则需满足，且， 解得，故C正确； 对于D，对于函数，令，则． 当时，函数单调递增，最小值为时的值，即，故D错误． 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 若，则________（用数字作答）. 【答案】15 【解析】 【分析】赋值法进行求解即可. 【详解】由题意得在中， 令，得， 令，得， 故. 13. 已知某种元件的使用寿命超过年的概率为，超过年的概率为，若一个这种元件使用年时还未失效，则这个元件使用寿命超过年的概率为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件概率公式进行求解即可. 【详解】设一个这种元件使用年的事件为，使用年的事件为， 则. 故答案为： 14. ，不等式恒成立，则实数的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】将不等式转化为对恒成立，利用基本不等式求解最值即可. 【详解】，不等式恒成立，即， 由于函数，当且仅当，即时等号成立， 故，即，则， 故答案为： 四、解答题（共5道题，满分77分） 15. 已知的展开式中的所有二项式系数的和为32． （1）求n的值； （2）求展开式中各项系数的和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 由题意，有，解得； 【小问2详解】 当时，，则展开式中各项系数的和为． 16. 现有9名学生，其中有5名男生4名女生，若要从中选4人参加一项活动，求 （1）一共有几种选法： （2）抽取4人中恰好有两名女生的选法有几种： （3）抽取4人中至少有1名女生的概率． 【答案】（1） 126 （2） 60 （3） 【解析】 【小问1详解】 从名学生中选4人参加一项活动，共有种选法. 【小问2详解】 从名学生中选4人参加一项活动，恰好有两名女生的选法种数为. 【小问3详解】 设为：“抽取4人中至少有1名女生” ，则. 17. 2026年，AI软件已广泛覆盖办公、学习、创作、生活等多个场景，给人们的生活带来了便捷，实现了从“生成式AI”向“决策式AI”的全面跨越．行业焦点已从AI“能说会道”的创造能力，转向其“能落地干活”的自主决策与执行能力．某公司进行AI知识竞赛．从参赛者中随机选出100人的成绩作为样本，将成绩（满分100分）分为，，，，，共5组，得到如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）在样本中，用分层随机抽样的方法从成绩在的人中抽取5人，再从这5人中随机抽取3人，记这3人的成绩在的人数为，求的分布列及数学期望； 【答案】（1） （2）的分布列为 0 1 2 ． 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质列方程求解即可. （2）根据分层抽样方法及古典概型，判断的可能取值，求出对应的概率，即可得到分布列；代入数学期望公式即可求出数学期望. 【小问1详解】 依题意，得，解得． 【小问2详解】 依题意，成绩在的人有（人）， 成绩在的人有（人）， 用分层随机抽样的方法抽取5人， 则从成绩在的人中抽取3人，从成绩在的人中抽取2人． 所以的所有可能取值为0，1，2， 则，，， 所以的分布列为 0 1 2 所以． 18. 已知，命题p：，；命题q：，． （1）若命题p为假命题，求a的取值范围； （2）若p和q均为真命题，求a的取值范围． 【答案】（1）； （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用一元二次不等式有解，列出不等式求出命题，再求出即可. （2）分离参数，利用基本不等式求出最小值，即得命题，结合（1）的信息即可得解. 【小问1详解】 由命题p：，，得，解得或， 由命题p为假命题，得， 所以a的取值范围是. 【小问2详解】 命题q：，，即，， 而当时，，， 当且仅当，即时取等号，因此， 由（1）知命题p是真命题时，或， 所以p和q均为真命题，a的取值范围是或. 19. 研究表明，春季早晚温差大，由于个人体质不同，可能会导致感冒．某医学研究小组为了解20-30岁年轻人的体质健康是否与性别有关，在4月感冒易发季节对某一小区中该年龄段的年轻人进行了随机抽样，得到如列联表． 性别 健康状况 感冒 不感冒 合计 男 8 14 女 4 24 合计 （1）在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，再从这6人中随机选取3人访谈，记参与访谈的男性人数为，求的分布和期望； （2）补全上表，并在犯错误的概率不超过0.05的前提下，20-30岁年轻人的体质健康与性别是否有关？ 参考数据：参考公式：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】（1） 1 2 3 （2） 性别 健康状况 感冒 不感冒 合计 男 8 14 22 女 4 24 28 合计 12 38 50 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 【解析】 【分析】（1）利用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性 2人，随机变量的所有取值为，求出对应概率，即可列出分布列，求出期望； （2）根据列联表中的数据， 经计算得到，再和参考数据表中对应的数据比较，即可得到结论. 【小问1详解】 在上述感冒的年轻人中按照性别采用分层抽样的方法抽取6人， 再从这6人中随机选取3人访谈， 记参与访谈的男性人数为， 样本中感冒的男性有8人，女性有4人，比例为2∶1， 按照性别采用分层抽样的方法抽取6人，则抽取男性4人，女性2人， 随机变量的所有取值为1，2，3， ，，， 所以的分布列为： 1 2 3 所以． 【小问2详解】 零假设：20-30岁年轻人的体质健康与性别无关， 根据列联表中的数据，得到， 因为，假设成立， 所以在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为20-30岁年轻人的体质健康与性别无关. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $