精品解析：陕西西安市第八十九中学2025-2026学年下学期期末考试高二数学试题

2025～2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 书桌上有2本不同的语文课外读物和3本不同的数学课外读物．现从中取出一本，则不同的取法种数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 2. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为，，，，则线性相关程度最强的是（ ） A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 3. （ ） A. B. C. D. 4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ） A. 独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B. 独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C. 利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们不可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越小 5. 某非遗工坊推出款不同的榫卯结构文创盲盒，其中款为故宫联名隐藏款．某游客一次性购买个不同款的盲盒，则买到的盲盒中至多有个故宫联名隐藏款的购买种数为（ ） A. B. C. D. 6. 车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型I的决定系数为0.95，模型II为非线性经验回归方程，模型II的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（ ） A. 若选用模型I，则两个变量正相关 B. 若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量一定减少1.14个单位 C. 若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D. 模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 7. 在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 8. 如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 可表示为 B. 3个班分别从5个景点中选择一处游览，有种不同选法 C. 7名同学排成一排，甲、乙必须相邻，共有种不同排法 D. 5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手次 10. 设离散型随机变量X的分布列如下表所示，其中，则（ ） X 1 2 3 P p m A. B. C. D. 11. 我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗X服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗Y服从正态分布．则下列结论正确的有（ ） （附：若随机变量Z服从正态分布，则，，） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 若随机变量X服从两点分布，且，则________． 13. 已知线性相关的两个变量x，y的取值如表所示，如果其经验回归方程为，那么当时的残差为______． x 3 4 6 7 y 20 40 m 80 14. 若甲盒中有3个白球，2个红球，乙盒中有x个白球（），3个红球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同”的概率不小于，则x的最小值为________． 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中各项二项式系数之和为64． （1）求的值； （2）求展开式中的常数项． 16. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表. 机床 品级 合计 一级品 二级品 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异. 附:χ2=. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 17. 据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%． （1）现从该校学生中任选一名学生，求该名学生每天玩手机超过1小时且近视的概率． （2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率． 18. 为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. （1）根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； （3）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 19. 光学光电子是AI的算力底座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）； （2）在100件样品中随机抽取10件，其中合格品8件，次品2件，再从这10件中随机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数的分布列与数学期望； （3）已知切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年度第二学期期末质量检测 高二数学试题 注意事项： 1．本试卷共4页，满分120分，时间100分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上． 3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．涂写在本试卷上无效． 4．作答非选择题时，将答案书写在答题卡上，书写在本试卷上无效． 5．考试结束后，监考员将答题卡按顺序收回，装袋整理；试卷不回收． 一、选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 书桌上有2本不同的语文课外读物和3本不同的数学课外读物．现从中取出一本，则不同的取法种数为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 9 【答案】A 【解析】 【分析】利用分类加法计数原理，直接将两类书籍的数量相加即可得出取出一本书的总取法数. 【详解】由题意得不同的取法种数为种. 2. 已知甲，乙，丙，丁四组成对样本数据对应的样本相关系数分别为，，，，则线性相关程度最强的是（ ） A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 【答案】D 【解析】 【分析】样本相关系数的绝对值越接近，两个变量的线性相关程度越强，因此比较四组样本相关系数的绝对值即可. 【详解】. 其中最大，所以丁组的线性相关程度最强. 3. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据组合数性质计算求解. 【详解】根据组合数性质，可直接得出，故C选项正确 4. 下列关于独立性检验的说法正确的是（ ） A. 独立性检验是对两个变量是否具有线性相关关系的一种检验 B. 独立性检验可以确定两个变量之间是否具有某种关系 C. 利用独立性检验推断吸烟与患肺病的关联中，若有的把握认为吸烟与患肺病有关系时，我们不可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病 D. 在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越小 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，独立性检验是通过卡方计算来判断两个变量存在关联的可能性的一种方法，并非检验二者是否是线性相关，A错误； 对于B，独立性检验并不能确定两个变量相关，B错误； 对于C，是指“抽烟”和“患肺病”存在关联的可能性大小，并非抽烟人中患肺病的发病率， 因此不可以说在100个吸烟的人中，有99人患肺病，C正确； 对于D，在一个列联表中，由计算得的值，则的值越大，判断两个变量间有关联的把握就越大，D错误. 5. 某非遗工坊推出款不同的榫卯结构文创盲盒，其中款为故宫联名隐藏款．某游客一次性购买个不同款的盲盒，则买到的盲盒中至多有个故宫联名隐藏款的购买种数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出一次性买个盲盒的购买总数，再求出买到的盲盒中都是故宫联名隐藏款的购买总数，利用间接法求结论. 【详解】一次性买个盲盒的购买总数为：， 买到的盲盒中都是故宫联名隐藏款的购买总数：， 所以买到的盲盒中至多有3个故宫联名隐藏款的购买种数为. 6. 车胎凹槽深度是影响汽车刹车的因素，汽车行驶会导致轮胎胎面磨损.某实验室通过试验测得行驶里程（单位：）与某品牌轮胎凹槽深度（单位：）的数据，并对这些数据进行了初步处理.现有两种模型可供选用，模型I为线性回归模型，利用最小二乘法，可得到关于的经验回归方程为，模型I的决定系数为0.95，模型II为非线性经验回归方程，模型II的决定系数为0.99，则以下说法正确的是（ ） A. 若选用模型I，则两个变量正相关 B. 若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量一定减少1.14个单位 C. 若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度一定越大 D. 模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好 【答案】D 【解析】 【分析】根据回归方程的性质可判断A，B，C；根据决定系数的大小关系可判断模型的拟合效果，即可判断D. 【详解】模型I所得经验回归方程为，因为，则两个变量负相关，故A不正确； 若选用模型I，当自变量每增加1个单位时，因变量估计减少1.14个单位，故B不正确； 若选用模型II，则此品牌轮胎行驶里程越多，其轮胎凹槽深度可能越小，故C不正确； 由于模型I的决定系数为0.95，模型II的决定系数为0.99，由于，则模型II的拟合效果比模型I的拟合效果好，故D正确. 故选：D. 7. 在一次社区志愿服务活动中，由甲、乙、丙、丁4名志愿者负责物资分发、秩序维护、便民讲解三个服务岗位，每名志愿者只负责一个岗位，且每个服务岗位至少有一名志愿者负责.若甲、乙两人不负责同一个服务岗位，则不同的安排方案共有（ ） A. 18种 B. 24种 C. 30种 D. 36种 【答案】C 【解析】 【分析】根据分组分配问题，先求出无限制条件的方法数，再求出安排甲、乙在同一个岗位的方法数，进而求解. 【详解】因为4个人分配到3个不同的岗位，且每个岗位至少1名， 所以必有一个岗位2人，另2个岗位各一人，共有种方法. 若安排甲、乙在同一个岗位，为2人组，而丙、丁各为一人一组， 3个小组全排列到3个不同的岗位，共有种方法， 所以安排甲、乙不在同一个岗位有种方法. 故选：C 8. 如图，已知一质点在外力的作用下，从原点0出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为，若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于X的位置，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用独立事件概率公式进行求解即可. 【详解】该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，从原点0出发，移动到位置， 所以可以判断该质点在5次移动中，有三次向右移动，有两次向左移动， 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题5分，共15分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 可表示为 B. 3个班分别从5个景点中选择一处游览，有种不同选法 C. 7名同学排成一排，甲、乙必须相邻，共有种不同排法 D. 5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，一共握手次 【答案】AD 【解析】 【分析】根据排列数公式，分步乘法计数原理，捆绑法，组合的概念逐项判断. 【详解】因为，故A正确； 3个班分别从5个景点中选择一处游览，有种不同选法，故B错误； 根据捆绑法可知，7名同学排成一排，甲、乙必须相邻，共有种不同排法，故C错误； 5个朋友聚会，见面后每两人握手一次，根据组合的概念可知一共握手次，故D正确. 10. 设离散型随机变量X的分布列如下表所示，其中，则（ ） X 1 2 3 P p m A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据分布列的性质及所给条件逐项判断即可. 【详解】对于A，由表可得，即，故A正确； 对于B，由表可得， 因，则，故B错误； 对于C，因为，，则，故C正确； 对于D，因为，，则，故D正确. 11. 我国航天事业飞速发展，某颗科学实验卫星在太空中运行时，其单日的电池功耗（单位：W）受太阳光照强度等因素影响．历史数据表明：在常规运行轨道上，卫星单日功耗X服从正态分布，在进行深空探测任务期间，卫星单日功耗Y服从正态分布．则下列结论正确的有（ ） （附：若随机变量Z服从正态分布，则，，） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用期望与方差的线性性质计算 和即可判断AB，利用正态分布的对称性与区间概率计算判断C，计算，估算即可判断D. 【详解】对于A，由题意得， ，故A错误； 对于B，由题意得， ，故B正确； 对于C，由题意得， 即，故C正确； 对于D，由题意得 ， 即，  ， 所以 所以，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 若随机变量X服从两点分布，且，则________． 【答案】 【解析】 【详解】设，则， 由题意得，解得. 13. 已知线性相关的两个变量x，y的取值如表所示，如果其经验回归方程为，那么当时的残差为______． x 3 4 6 7 y 20 40 m 80 【答案】 【解析】 【分析】利用样本中心点在回归方程上，得到，求出得，从而得到残差. 【详解】，， 由题意得，样本中心点在经验回归方程上， 所以，解得， 中，令得， 当时的残差为. 14. 若甲盒中有3个白球，2个红球，乙盒中有x个白球（），3个红球，现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒，再从乙盒中随机取出一个球，若事件“从甲盒中取出的球和从乙盒中取出的球颜色相同”的概率不小于，则x的最小值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，结合全概率公式进行求解即可. 【详解】设从甲盒中取出白球、红球的事件分别为， 从甲盒中取出的球与乙盒中取出的球的颜色相同为事件，则， 则，， 根据全概率公式得： ， 解得， 即满足题意的的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共61分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的展开式中各项二项式系数之和为64． （1）求的值； （2）求展开式中的常数项． 【答案】（1）6 （2）15 【解析】 【小问1详解】 由题意得，故． 【小问2详解】 由（1）知，， 故的展开式通项公式为， 令，解得， 所以展开式中的常数项为． 16. 甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表. 机床 品级 合计 一级品 二级品 甲机床 150 50 200 乙机床 120 80 200 合计 270 130 400 （1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是多少? （2）依据小概率值的独立性检验，分析甲机床的产品质量是否与乙机床的产品质量有差异. 附:χ2=. α 0.050 0.010 0.001 xα 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）甲机床、乙机床生产的产品中一级品的频率分别是 （2）依据小概率值α=0.010的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 【解析】 【分析】（1）根据频率的计算即可求解， （2）根据卡方的计算，与临界值即可求解. 【小问1详解】 甲机床生产的产品中一级品的频率为； 乙机床生产的产品中一级品的频率为. 【小问2详解】 ， 依据小概率值的独立性检验，甲机床的产品质量与乙机床的产品质量有差异. 17. 据调查，某校学生大约40%的人近视，而该校大约有20%的学生每天玩手机超过1小时，这些人的近视率约为50%． （1）现从该校学生中任选一名学生，求该名学生每天玩手机超过1小时且近视的概率． （2）现从每天玩手机不超过1小时的学生中任意调查一名学生，求他近视的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）应用条件概率的乘法公式求交事件的概率即可； （2）应用全概率公式求解. 【小问1详解】 记事件“该生每天玩手机超过1小时”，“该生近视”， ，， 每天玩手机超过1小时的学生近视率约为50%，即， 根据条件概率公式， 可得 【小问2详解】 ， 由全概率公式 ，，代入得： 18. 为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中表示月份编号，表示该月份日平均参与劳动实践的学生人数（单位：万）. 月份编号 1 2 3 4 5 日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5 根据表格数据得到如图所示的散点图. （1）根据散点图推断与是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度； （2）由（1）所得结论，建立关于的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数； （3）假设第6个月（按30天计）的日参与人数（单位：万）服从正态分布，并视（2）的结果为的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天. 附： ①样本相关系数； ②回归直线的斜率的最小二乘估计为； ③； ④若，则. 【答案】（1）0.997，与的线性相关程度强； （2），1.78 （3）该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 【解析】 【分析】（1）由散点图可知与之间线性相关，用不同公式计算可知相关系数，即线性相关程度强； （2）用不同的公式计算出回归直线方程为，将代入可得出估计值为1.78. （3）依题意可知，再结合正态分布的对称性计算即可. 本小题主要考查变量间的相关关系､样本相关系数､一元线性回归方程､正态分布的等知识；考查运算求解能力等；考查数形结合思想､化归与转化思想､或然与必然思想等；体现综合性､应用性，导向对数学建模､数学运算核心素养的关注. 【小问1详解】 解法一： 根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） 解法二： 根据散点图直观判断与之间线性相关. 因为， ，，， ， 所以与的线性相关程度强； （也可利用“”或“接近1”判断相关程度强） 【小问2详解】 解法一： 设，则， 所以， 故时，. 解法二： 设，则， 所以， 故时，. 【小问3详解】 依题意，得， 由正态分布性质，可知. 因为， 所以. 因为， 所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天. 19. 光学光电子是AI的算力底座、感知神经与计算新范式，二者深度绑定、相互成就．某市高新技术开发区，一家光学元件生产厂家生产某种元件，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于76为合格品，小于76为次品，现抽取这种元件100件进行检测，检测结果统计如下表： 测试指标 元件数（件） 2 18 36 40 4 （1）现从这100件样品中随机抽取2件，求恰有一件为合格品的概率（用分数表示）； （2）在100件样品中随机抽取10件，其中合格品8件，次品2件，再从这10件中随机选出3件，求选出的这3件样品中次品件数的分布列与数学期望； （3）已知切比雪夫不等式：若随机变量具有数学期望，方差，则对任意正数，均有成立．若该工厂声称本厂元件合格率为95%，那么根据所给样本数据，请结合“切比雪夫不等式”说明该工厂所提供的合格率是否可信？（注：当随机事件发生的概率小于0.05时，可称事件为小概率事件．） 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 ． （3）不可信． 【解析】 【分析】（1）利用组合数计算古典概型概率； （2）根据超几何分布求出随机变量所有可能取值，计算对应概率，写出分布列并求解数学期望； （3）构造二项分布模型，利用切比雪夫不等式求出概率上界，依据小概率事件原理完成统计判断. 【小问1详解】 记事件为从这100件样品中随机抽取2件，恰有一件为合格品， 则． 所以 恰有一件为合格品的概率为. 【小问2详解】 随机选出3件，这3件中次品件数的可能取值为0，1，2， 且，，， 所以的分布列为： 0 1 2 数学期望为．        【小问3详解】 设随机抽取100件产品中合格品的件数为， 假设厂家关于产品合格率为95%的说法成立，则， 所以，， 由切比雪夫不等式知，， 即在假设下，100个元件中合格品数量不大于80个的概率上界不超过0.021， 此概率极小，一般来说在一次试验中是不会发生的， 据此我们有理由推断工厂的合格率不可信． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $