广东东莞市众美中学2026-2027学年高三年级第一次月考数学试卷

东莞市众美中学2026—2027学年 高三年级第一次月考数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 D C A B A A C D ABD AD ACD 12. 13. 9 14. 5.【详解】方法一：设为经过次传球后球在甲手中的不同传递方式数，为经过次传球后球不在甲手中的不同传递方式数，. 初始状态：次传球时球在甲手中，故，. 每次传球有种选择，因此次传球的总方式数为，即. 若次传球后球在甲手中，则第次传球后球必定不在甲手中，且第次由持球者传给甲， 因此递推关系为. 依次计算： 当时，，； 当时，，； 当时，，； 当时，. 故经过次传球后球在甲手中的不同传递方式共有种. 方法二：满足题意的有：甲-乙-甲-乙-甲、甲-乙-甲-丙-甲、甲-乙-丙-乙-甲、 1- 丙-甲-乙-甲、甲-丙-甲-丙-甲、甲-丙-乙-丙-甲，共有种 8．【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则，，， 因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动， 设，， 所以，， 所以 ，其中，， 因为，所以，即； 11． 【详解】由图像可知函数的值域为，故A正确. 函数的单调递减区间由图可知为，，故B错误. 当时，则方程可化为或，由，得或，有两个实数根；由图象可知，由，有4个不相等的实数根，且均不为0，也不为，所以当时，则方程有6个不相等的实数根，故C正确. 若关于的方程有3个不相等的实数根，即与共有3个不相等的实数根.又因为已有两个不相等的实数根0，，则方程有且仅有一个根，且不为0，.所以与有且仅有一个公共点，由图象可知，满足题意，即的取值范围是，故D正确. 13. 【详解】连接，交于点，由题意得，，设， 则，三棱锥的高，， 则三棱锥的体积， 令，则，令，得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 故当时，取得最大值为，即体积的最大值为. 15.（1）由，得， 1分 由，得， 2分 联立方程，解得， 3分 由题意可得：，， 4分 则， 5分 ， 6分 所以关于的经验回归方程为. 7分 （2） 依题意可得，，，，，单位均为万件， 8分 所以5组数据中有2组数据残差值为正数，则可取0，1，2， 9分 可得，，， 11分 0 1 2 所以的分布列为： 数学期望为. 13分 16． (1)因为，，平面，， 所以平面， 2分 而平面，则， 3分 因为，，平面， 4分 所以平面，因为平面， 5分 所以平面平面. 6分 （2）如图，在平面内过点作交于点， 以为原点，为轴，为轴，为轴建立如图所示空间直角坐标系， 7分 则，，，，， 8分 由题意得，，， 9分 设平面的法向量为，可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 11分 设平面的法向量为，可得，取，得，， 所以平面的一个法向量为， 12分 设平面与平面夹角为，则， 14分 所以平面与平面夹角的余弦值为. 15分 17． (1)取的中点，连接，.因为分别为的中点， 所以， 1分 且.又，所以，， 2分 所以四边形是平行四边形， 3分 所以. 4分 又平面平面，所以平面. 5分 （2）连接，因为底面是菱形，，所以和均为等边三角形. 因为是的中点，所以，即,又平面， 7分 则以为坐标原点，分别以，所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系 设，则由题意知，，， 9分 所以，. 10分 设平面的法向量为， 则令，则. 12分 因为直线与平面所成角的正弦值为， 设直线与平面所成的角为，则， 14分 解得，所以. 15分 18．(1)由，则， 1分 所以， 2分 因为是二次函数，所以， 3分 当时，，解原不等式得或， 4分 当时，，解原不等式得， 5分 综上所述：当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 6分 （2）当时，在区间上单调递减， 7分 由于，则函数在区间上单调递减， 8分 又因为在区间上的值域也为，所以，可得， 9分 上述两个等式作差可得，整理可得， 10分 将代入，得， 12分 所以、是关于的一元二次方程在上两个不等实根. 所以，解得，因此，实数的取值范围是. 17分 19．(1)依题意，随机变量的可能取值为， 1分 则，， 所以的分布列如下表所示： 2 3 4 数学期望为. 4分 （2）由这人的合计得分为分，得其中只有1人既游览海滨栈道又到海滨公园游玩， 于是， 6分 令数列的前项和为，则， 7分 于是， 8分 两式相减得 9分 ，因此， 10分 所以. 11分 （3）在随机抽取的若干人的合计得分为分的基础上再抽取1人，则这些人的合计得分可能为分或分，记“合计得分”为事件，“合计得分”为事件，与是对立事件， 则，，，即， 13分 由，得，则数列是首项为，公比为的等比数列， 15分 ，因此， 16分 随着的无限增大，无限趋近于0，无限趋近于， 所以随着抽取人数的无限增加，趋近于常数. 17分 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $东莞市众美中学2026一2027学年 高三年级第一次月考 数学试卷 本试卷共4页，满分为150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置 上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净 后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的 相应位置上，超出指定区域的答案无效：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用 铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符 合题目要求，选对得5分，选错得0分。 1.1+51)i的虚部为 A.-5 B.-1 C.i D.1 2.下列函数中，在区间(0，+∞)上单调递增的是 A.f(x)=-Inx B.f) c.f(x)=-1 D.f(x)=3- 3设xeR,则“0是x1s2的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知平面向量a=(-2,x),万=（1,1)，若a1,则ā+6与b的夹角的余弦值为 A.② B. 5 c.22 D.25 3 3 5.甲、乙、丙三人相互做传球训练，由甲开始传球，传球者每次传球时都将球传给另外两个人中的一个 人.经过4次传球后球在甲手中，则不同的传递方式共有 A.6种 B.8种 C.10种 D.16种 6海酒藏心-g06测足功的实致的夜范用为 第1页共4页 A.（-0,2) B.（-0,1) C.(-1,+o) D.（-2,+0) 7.甲箱中有2个白球和4个黑球，乙箱中有4个白球和2个黑球先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中， 以A,A分别表示由甲箱中取出的是白球和黑球；再从乙箱中随机取出一球，以B表示从乙箱中取出 的是白球，则下列结论错误的是 A.A,A互斥 B.P(a4)=9 c.P氏A)-月 n号 8.在AABC中，AC=3,BC=4,∠C=90°.P为△ABC所在平面内的动点，且PC=1,则PA.PB的取值范 围是 A.[-5,3] B.[-3,5] C.[-6,4] D.[-4,可 二、多项选择题：本题共3小题，每小题满分6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法正确的是 A.设a,beR,则“a≠0”是“ab≠0的必要条件 B.若2<a<5,3<b<10,则-18<a-2b<-1 Q.当xs1时，的最小值是2 D.若p:neN,2>2,则p:neN,m≤2” 10已知3x一-4+a+a+a,且第5顶与第8项的项式系数相等，则 A.n=11 B.展开式的二项式系数和为22 12 C.展开式的各项系数和为 D.号+学+ -21+1 T3n-31 x+1 ,x<0 11.函数f(x)= ,关于x的方程P(x)-mf(x)=0(m∈R),下列说法正确的是 e,0 3 A.函数f(x)的值域为-o, e B.函数f(x)的单调减区间为(-1,0)，(1，+∞) C.当m=,时，则方程有6个不相等的实数根 D.若方程有3个不相等的实数根，则的取值范围是 第2页共4页 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知集合A={xx<3x,B={x|x>2},则AUB= 13.设正实数x,y满足4x+y=y,则x+y的最小值是 14.圆形纸片的圆心为O,半径为5cm,该纸片上的等边三角形ABC的中心为O,D,E,F为圆O上 的点，△DBC,△ECA,△FAB分别是以BC,CA,AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别以BC, CA,AB为折痕折起△DBC,△ECA,△FAB,使得D,E,F重合， E 得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm)的 最大值为 B 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分)随着时代和科技的进步，人工智能在生产领域中越来越重要，某研究团队在商业运营数据分 析中，收集了某商家一段时间内投入人工智能的费用与对应产品销量数据如下表，将投入经费（单位：万元） 作为解释变量x,销售量（单位：万件）作为响应变量y,己知x与y之间呈现出线性相关关系，y=8.4, 含6 x(投入经费) 2 4 5 y(销售量) 3 11 15 (I)求L,n的值以及y关于x的经验回归方程)=bx+a: (2)从上述5组数据(：，y)(=1,2,3,4,5)中任意挑选2组，记X为其中残差值为正数的组数，求X的分布列 和数学期望， 考公式624-可 d=ybx 2- 第3页共4页 16.(15分)如图，在三棱锥A-BCD中，点E在BD上，AE⊥CE,AE⊥DE,CD⊥AD (I)证明：平面ACD⊥平面ABD: (2)若DE=2,BE=1,AE=2,CD=2W3,求平面ABC与平面ACD夹角的余弦值. 17.(15分)如图，在六面体ABCDMN中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠DAB=60°，DM⊥平面 ABCD,DM∥CN,CN=2DM,P是BC的中点. (I)证明：DP‖平面BMN: Q若直线DP与平面ABM所成角的正弦值为5，求DM的长 4 B 18.(17分)设二次函数f(x)=ax2+(b-2)x+3(a,b∈R). (1)若f)=2a+6且a<1,解不等式f(x)≤0（结果用含字母a的集合表示）： (2)若a>0,b=-1且存在m<n< ，使得f(x)在区间[m,川上的值域也为[，刊，求实数a的取值范 2a 围 19.(17分)深圳是一个沿海城市，拥有大梅沙等多样的海滨景点，每年夏天都有大量游客来游玩为了合 理配置旅游资源，文旅部门对来大梅沙游玩的游客进行了问卷调查，据统计，其中二的人选择只游览海滨 栈道，另外的人选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，每位游容若选择只游览海滨栈道，则记1分：若 选择既游览海滨栈道又到海滨公园游玩，则记2分.假设游客之间的旅游选择意愿相互独立，视频率为概率. (1)从游客中随机抽取2人，记这2人的合计得分为X,求X的分布列和数学期望： (2)从游客中随机抽取n个人(n∈N),记这n个人的合计得分恰为n+l分的概率为pn,求∑B; (3)从游客中随机抽取若干人，记这些人的合计得分恰为n分(n∈N)的概率为a.,随着抽取人数的无 限增加，4是否趋近于某个常数？若是，求出这个常数；若不是，请说明理由 第4页共4页