精品解析：广东省东莞市东华高级中学2026届高三上学期10月联考数学试题

东华中学2026届高三10月联考 数 学 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据并集的定义即可求解. 【详解】由于，所以， 故选：B 2. 已知a，b为实数，且（i是虚数单位），则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简等式，再利用复数相等，即可得到答案； 【详解】， ， 故选：B 3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. 64 B. 14 C. 12 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列求和公式，利用等差数列通项的下标性质可解. 【详解】利用等差数列求和公式，知道，即. ，且，则. 故选：C. 4. 用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正四棱台性质可求得该棱台的高，代入棱台的体积公式即可求得结果. 【详解】如下图所示：分别为上下底面的中心，作于点， 根据题意可知，侧棱与底面所成的角即为，可知； 因此可得， 易知，由正四棱台性质可得； 所以该正四棱台的高为， 因此该四棱台的体积是. 故选：B 5. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 【答案】D 【解析】 【分析】将函数化为，再进行判断. 【详解】， 它是由图象上所有的点向右平移个单位长度得到的，所以D正确. 故选：D. 6. 已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用投影向量求出数量积，利用夹角公式可得答案. 【详解】依题意，在上的投影向量为，则， 于是，而，则， 所以向量与向量的夹角为. 故选：C 7. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,不妨设点在第一象限,然后根据椭圆和双曲线的定义可得,再利用余弦定理列等式,转化为离心率的等式后,根据柯西不等式可求得. 【详解】如图所示: 设椭圆的长半轴长为,双曲线的半实轴长为,不妨设点在第一象限,则根据椭圆及双曲线的定义得, ,, 所以,, , 设,, 则在△中,由余弦定理得, 即,所以,即, 由柯西不等式得, 即.当且仅当,即,时,等号成立. 故选:D 【点睛】,本题考查了椭圆和双曲线的定义,余弦定理,离心率,柯西不等式,属于中档题. 8. 已知λ∈R，函数，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是（ ） A. (1，3] B. (4，＋∞) C. (3，4] D. (1，3]∪(4，＋∞) 【答案】D 【解析】 【分析】在同一坐标系中画出与的图象，通过分析不同取值范围时的零点个数可得到结果. 【详解】恰有2个零点有两种情况： ①二次函数有两个零点，一次函数无零点； ②二次函数与一次函数各有一个零点． 在同一平面直角坐标系中画出y＝x－4与y＝x2－4x＋3的图象如图所示，平移直线x＝λ， 可得λ∈(1，3]∪(4，＋∞) 当时，恰有两个零点：和； 当时，有三个零点：、和； 当时，恰有两个零点：和； 当时，有一个零点：； 综上所述：若恰有两个零点，则的取值范围为. 故选：D. 二．多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B. 对具有线性相关关系的变量x､y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是 C. 已知样本数据的方差为4，则的标准差是4 D. 已知随机变量，若，则 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据线性相关性判断A，由中心点坐标求出回归方程系数判断B，根据线性变换后随机变量间方差关系求得新方差后得标准差判断C，利用正态分布的对称性求得相应概率后判断D． 【详解】两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于1，故A正确； B中，，由得，B正确； 样本数据的方差为4，则数捍的方差为，标准差为4，C正确； 随机变量，若，则，则，D错． 故选：ABC． 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的图象关于原点对称 C. 若有三个不同零点，则实数m的范围是 D. 在上单调递减 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程判断A；由对称的性质，取值计算判断B；求出函数的极值，结合图象，由零点的意义判断C；确定单调性判断D即可得解. 【详解】函数，得， 对于A，，而，则切线方程为，即，故A正确； 对于B，，则的图象关于原点不对称，故B错误； 对于C，当或时，；当时，， 即函数在，上单调递增，在上单调递减， 因此函数在处取得极大值，在处取得极小值， 又当时, ，当时, ， 函数的零点，即直线与函数图象交点的横坐标， 作出函数的大致图象如下： 则当直线与函数图象有3个交点时，，故C正确； 对于D，由对C分析知在上单调递减，故D正确． 故选：ACD. 11. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解. 【详解】令，得到，则.故A错误. 令，得到， 则， 则或, 由于当时，，则此时， 故时，，故时，，所以， 而，故对任意恒成立，则关于对称. 可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 则的图象关于点对称，故B正确. 令，得到， 则. 令，得到 令，得到， 两式相减得， 变形， 即, 时，，两边除以， 即，故C正确. 令，则， 时，，则， 且，则，即.故D错误. 故选：BC. 【点睛】难点点睛：解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 实数，满足，则的最小值为___________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用基本不等式可求的最小值. 【详解】因为， 所以，故，当且仅当时等号成立， 故的最小值为8， 故答案为：8. 13. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，将角的终边绕着原点逆时针旋转得到角，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用三角函数的定义求出，再利用和角的正弦公式计算即得. 【详解】依题意，，则， 所以. 故答案为： 14. 函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，规定叫做曲线在点A、B之间的“平方弯曲度”．设曲线上不同两点，，且，则的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，由题意可得，，又因为，所以，故，令，则，因为，所以，应填答案． 点睛：解答本题的关键是如何理解“曲线在点之间的“平方弯曲度””这一新概念的新信息，然后依据此概念建立了目标函数，再通过换元将其形式进行等价转化，最后运用基本不等式求出该函数的最值使得问题获解．旨在考查与检测迁移新信息，运用新概念的创新意识与分析问题解决问题的创新能力． 四．解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用公式计算得到答案. （2），，利用裂项求和计算得到答案. 【详解】（1）由可得：当时，，上述两式相减可得. 当时：成立 故所求； （2）， 故所求. 【点睛】本题考查了数列的通项公式，裂项求和，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用. 16. 的内角对边分别为，且. （1）求角的大小： （2）若，且，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 用正弦定理边化角，再根据三角恒等变换求出C； (2)根据已知条件平方相减可得到再根据余弦定理可得出，根据三角形面积公式可得结果. 【小问1详解】 因为，根据正弦定理边角互化，以及恒等变换可得 内角，所以 则可得，又因， 所以 【小问2详解】 根据余弦定理可知， 则可得， 又因，且， 可得， 可得 则 17. 如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】（1） 证明:∵，由勾股定理得：， 又正方形中，且，平面 ∴平面， 又∵面， ∴平面平面 （2） 【解析】 【分析】（1）通过证明AD⊥DE，，推出平面，得到平面平面； （2）由（1）知，是二面角的平面角．以为坐标原点，所在直线为轴建立直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面与平面所成锐二面角的余弦值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）知是二面角的平面角 作于，则 且由平面平面，平面平面，面 所以，面 取中点，连结，则，如图，建立空间直角坐标系 ， 则 ∴ 又，知的一个方向向量是 设面法向量，则 取，得 又面一个法向量为， ∴ 设平面与平面所成锐二面角为，则 平面与平面所成锐二面角的余弦值为. 18. 已知椭圆:的焦距为2，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，当直线、的倾斜角互补时，直线的斜率是否为一个定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. （3）求面积的最大值. 【答案】（1） （2）是定值， （3） 【解析】 【分析】（1）由题意得且，结合求出即可； （2）设直线的方程为，与椭圆方程联立，由韦达定理及可求解； （3）根据弦长公式求出，由点到直线的距离公式求得原点到直线的距离，求出，根据二次函数的性质求解. 【小问1详解】 设椭圆的左、右焦点分别为、， 因为焦距为2，， 所以且轴，故， 又由于，所以得，， 故椭圆方程为. 【小问2详解】 设，，直线的方程为， 由于直线，的倾斜角互补，故. 联立方程，整理得, 故，即, 且，, ， 所以. 【小问3详解】 直线的方程为，且, 所以弦长. 原点到直线：的距离为, 所以, 故当且仅当时，的面积的最大值为. 19. 如图，在区间上，曲线与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数 （1）若，求的值； （2）已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：： （3）函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由. 【答案】（1）； （2），证明： 依题意，四边形为梯形或矩形，又，则， ，下证， 而，只需证， 令，只需证， ，设，则， 在上单调递增，则在上单调递增， 因此，所以. （3），理由： ，因为为的零点，则， 设，则有，即，于是， 由（2）知，则有，因此， ，则，即，所以. 【解析】 【分析】（1）根据给定信息，令，直接代入计算即得. （2）利用矩形或梯形面积公式计算，再利用分析法推理构造函数，利用导数证明不等式即得. （3）利用函数零点的意义，结合（2）的结论及不等式性质推理即得. 【小问1详解】 设，则， 所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：函数不等式证明问题，将所证不等式等价转化，构造新函数，再借助函数的单调性、极(最)值问题处理. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东华中学2026届高三10月联考 数 学 一．选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知a，b为实数，且（i是虚数单位），则（ ） A. 2 B. 0 C. D. 3. 设为等差数列的前项和，已知，则的值为（ ） A. 64 B. 14 C. 12 D. 3 4. 用平行于底面的平面截正四棱锥，截得几何体为正四棱台.已知正四棱台的上､下底面边长分别为1和2，侧棱与底面所成的角为，则该四棱台的体积是（ ） A. B. C. D. 5. 为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（ ） A. 向左平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度 6. 已知向量满足，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且 ，记椭圆和双曲线的离心率分别为，则 的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知λ∈R，函数，若函数f(x)恰有2个零点，则λ的取值范围是（ ） A. (1，3] B. (4，＋∞) C. (3，4] D. (1，3]∪(4，＋∞) 二．多项选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题正确的是（ ） A. 两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数的绝对值越接近于1 B. 对具有线性相关关系的变量x､y，有一组观测数据，其线性回归方程是，且，则实数的值是 C. 已知样本数据的方差为4，则的标准差是4 D. 已知随机变量，若，则 10. 关于函数，下列说法正确的是（ ） A. 曲线在点处的切线方程为 B. 的图象关于原点对称 C. 若有三个不同零点，则实数m的范围是 D. 在上单调递减 11. 定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的图象关于点对称 C. D. 在上单调递增 三．填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 实数，满足，则的最小值为___________. 13. 已知角的始边为轴的非负半轴，终边经过点，将角的终边绕着原点逆时针旋转得到角，则__________. 14. 函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，规定叫做曲线在点A、B之间的“平方弯曲度”．设曲线上不同两点，，且，则的取值范围是____． 四．解答题：共5个小题，满分77分.解答应写出相应的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前n项和为. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 16. 的内角对边分别为，且. （1）求角的大小： （2）若，且，求的面积. 17. 如图，多面体中，为正方形，，二面角的余弦值为，且. （1）证明：平面平面； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 18. 已知椭圆:的焦距为2，点在椭圆上. （1）求椭圆的方程； （2）设，是椭圆上的两个动点，为坐标原点，当直线、的倾斜角互补时，直线的斜率是否为一个定值？若是定值，求出该定值；若不是定值，请说明理由. （3）求面积的最大值. 19. 如图，在区间上，曲线与轴围成的阴影部分面积记为面积，若（为函数的导函数），则.设函数 （1）若，求的值； （2）已知，点，过点的直线分别交于两点（在第一象限），设四边形的面积为，写出的表达式（用表示）并证明：： （3）函数有两个不同的零点，比较与的大小，并说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $