精品解析：重庆市巴南区科学城中学校2025-2026学年人教版六年级下学期小升初考试数学试题

科巴数学 一、填空题（每题2分，共20分） 1. 规定，已知，那么______。 2. 一个两位数，个位上是最小的质数，十位上的数比最小的合数多3，这个数是（ ）。 3. 把一根3米长的长方体木料沿垂直于长的面锯成4段，表面积增加了192平方厘米，这根长方体木料的体积是（ ）。 4. 一个服装厂原来做一种儿童服装，每套用布2.5米。改进裁剪方法后，每套省布0.2米，原来能做500套，现在能做______套。 5. 某商场将一套儿童服装按进价的50%加价后，再写上“大酬宾，八折优惠”，结果每套服装仍获利20元。这套服装的进价是______元。 6. 一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要（ ）天。 7. 移动一根火柴棍使等式成立，规则如下：只能移动一根火柴棒；火柴棒只能在已有数字或运算符之间移动；等号上的火柴棒不能移动，请将移动方式标注在图上。 8. 重庆大学是中央直管。教育部直属的全国重点大学，若想知道其虎溪校区的周长，请你根据如图所示的地图，地图比例尺是，跟着下列测量步骤计算出虎溪校区的周长。 （1）器材：一根足够长的无弹性细棉线、铅笔、刻度尺（例如直尺）。 （2）步骤：从起点开始。用细棉线沿着地图中的校区边缘绕一周，标出终点位置，然后将细棉线拉直，用刻度尺测量出细线起点和终点之间的长度L。 （3）结果：虎溪校区的周长公式为______（用题目中所给字母表示）。 9. 运动会上，4名同学参加800米接力比赛，这4名同学跑接力比赛一共有______种排法。 10. 一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图。已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米。则原来钢材的侧面积为______平方厘米。 二、解答题（共30分） 11. 计算。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 12. 解方程。 13. 纯酒精含量分别为65%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%。如果每种酒精都多取30克，混合后纯酒精的含量变为45%。则甲、乙原各有多少克？ B组题 一、填空题（每小题3分，共24分） 14. 已知质数a、b、c满足，则______。 15. 从敌方截获了10组数据：14073，63136，29402，35862，84271，79588，42936，98174，50811，07145破译人员知道这是一个五位数的密码。每一组数据与这个密码，都只有一个数位上的数字相同。这个密码是（ ）。 16. 一项工程，甲、乙合作需要4小时，乙、丙合作需要5小时，现在由甲、丙合作2小时后，余下的由乙完成还需要6小时，请问甲单独完成这项工程需要______小时。 17. 在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），小明像走跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，结果只跳到B孔（指的是若再跳就跳过A孔了）；他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔，最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔，则这个圆圈上共有______个孔。 18. 如图，，F是BC的中点，G是FC的中点，如果三角形ABC的面积是24平方厘米，则阴影部分是______平方厘米。 19. 如图，水从上方流下，按图示箭头方向流动，在每个分流节点水被均匀分流。如果最上方有720kg水流下，那么从A口流出的水有______kg。（水管壁上残留的水忽略不计） 20. 物体之所以会发声，是因为它能够振动，我们用频率表示物体振动的快慢，其单位为赫兹，其计算公式为，其中f指频率，t指振动时间，n指t时间内的振动次数。例如每秒振动一次，则赫兹，每秒振动两次则赫兹，只有当20赫兹赫兹时，人耳才能听到这个声音。已知某大象交流时，其声带3秒内振动了4次，则人耳______（能/不能）听到这个声音。 21. 按顺序排列的若干个数：，，，…，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与前一个数的差的倒数，即，，…则下列说法正确的有______（填序号）。 ①若，则； ②若，则； ③当时，代数式的值恒为负。 二、解答题（共26分） 22. 某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长98米，速度为每秒16米的列车错车而过，需要多少秒？ 23. 有A、B两个商场都在进行促销活动，A商场按“每满100元减18元”的方式进行促销，B商场按“全场八五折”的方式进行促销。 （1）有一件商品，在A、B两个商场都标价320元，在哪个商场购买该商品更便宜？便宜多少元？ （2）有一件商品，在A、B两个商场的标价相同，按各自的促销方式计算，顾客在两个商场购买这件商品实际应该付的钱数也相同。这件商品的标价可能是多少元？ 24. 有一个如图那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水，容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分，B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏，图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图像，回答下面的问题： （1）求图①中D表示的数； （2）从B的洞中每秒钟流出来多少升水； （3）求图①中P、Q表示的数。 25. 一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是，26能被13整除，因此383357是“十三数”。若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”。 （1）求证：任意一个四位“间同数”都能被101整除； （2）若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，请直接写出满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 科巴数学 一、填空题（每题2分，共20分） 1. 规定，已知，那么______。 【答案】9 【解析】 【分析】，可以理解为前面的数（）乘4，减去后面的数（）乘3； ，先算的值，即，再代入原等式，等式就变成了，最后解方程即可。 【详解】 2. 一个两位数，个位上是最小的质数，十位上的数比最小的合数多3，这个数是（ ）。 【答案】72 【解析】 【分析】质数是指大于1，且只能被1和它本身整除的数。 合数是指大于1，除了1和它本身还有其他因数的数。 【详解】最小的质数是2，所以这个数的个位数字是2。 最小的合数是4，十位上的数比最小的合数多3，十位上的数字是： 组合成两位数：十位是7，个位是2，所以这个数是72。 3. 把一根3米长的长方体木料沿垂直于长的面锯成4段，表面积增加了192平方厘米，这根长方体木料的体积是（ ）。 【答案】9600立方厘米 【解析】 【分析】先根据次数＝段数－1，求出锯的次数，每锯一次，增加2个横截面，据此求出锯成4段后增加的底面数量，再用增加的表面积除以底面数量得底面积，最后用底面积乘木料长度得体积。注意单位的统一，1米＝100厘米，1立方米＝1000立方分米＝1000000立方厘米。 【详解】4－1＝3（次） 3×2＝6（个） 192÷6＝32（平方厘米） 3米＝300厘米 32×300＝9600（立方厘米） 9600立方厘米＝0.0096立方米 因此，这根长方体木料的体积是9600立方厘米（或0.0096立方米）。 4. 一个服装厂原来做一种儿童服装，每套用布2.5米。改进裁剪方法后，每套省布0.2米，原来能做500套，现在能做______套。 【答案】543 【解析】 【分析】首先根据原来每套用布米数和原来能做的套数，求出这批布的总米数，即总米数＝ 原来每套用布米数×原来做的套数。然后根据原来每套用布米数和改进后每套省布的米数，求出现在每套用布的米数，即现在每套用布米数＝原来每套用布米数－每套省布米数。最后用布的总米数除以现在每套用布的米数，求出现在能做的套数。计算结果若为小数，结合实际情况（做服装套数应为整数），应采用“去尾法”保留整数。 【详解】 （套） 5. 某商场将一套儿童服装按进价的50%加价后，再写上“大酬宾，八折优惠”，结果每套服装仍获利20元。这套服装的进价是______元。 【答案】100 【解析】 【分析】把进价看作单位“1”，加价50%后是进价的150%，八折的意思是现价是原价的80%，用150%乘80%可算得售价是进价的百分之几，用算得售价的百分率减去1可算得20元的对应百分率，最后用20元除以它的对应百分率可算得进价。 【详解】八折＝80% 进价： （元） 6. 一些工人做一项工程，如果能调来16人，那么10天可以完成；如果只调来4人，就要20天才能完成，那么调走2人后，完成这项工程需要（ ）天。 【答案】40 【解析】 【分析】设1个人做1天的量为1，设原来的人数是未知数，根据题目的两种情况，表示出总的工程量，根据总工程量相等列方程，求出原来的人数，然后求出工程量是多少，再计算调走2人后所需的时间。 【详解】解：设1个人做1天的量为1，设原来有人在做这项工程； 解得： 如果调走2人，需要 （天） 所以调走2人后，完成这项工程需要40天。 【点睛】本题考查的是工程问题，列方程求解应用题时要合理设未知数，并找准等量关系。 7. 移动一根火柴棍使等式成立，规则如下：只能移动一根火柴棒；火柴棒只能在已有数字或运算符之间移动；等号上的火柴棒不能移动，请将移动方式标注在图上。 【答案】 【解析】 【分析】观察原图，原图火柴棒表示的式子是“8−1＝1”，这个等式不成立，题目要求，只能移动1根火柴，等号不变，且使等式能够成立。据此作答即可。 【详解】把数字8中间那根横着的火柴，移到减号上。 拿走中间一横：8变成0 火柴放到减号“−”上，减号变成加号“＋” 得到新等式：0＋1＝1，符合题意。 8. 重庆大学是中央直管。教育部直属的全国重点大学，若想知道其虎溪校区的周长，请你根据如图所示的地图，地图比例尺是，跟着下列测量步骤计算出虎溪校区的周长。 （1）器材：一根足够长的无弹性细棉线、铅笔、刻度尺（例如直尺）。 （2）步骤：从起点开始。用细棉线沿着地图中的校区边缘绕一周，标出终点位置，然后将细棉线拉直，用刻度尺测量出细线起点和终点之间的长度L。 （3）结果：虎溪校区的周长公式为______（用题目中所给字母表示）。 【答案】 【解析】 【分析】比例尺表示，地图上量出1单位长度，对应现实里校园的真实长度是k个单位。我们用细棉线沿着地图中的校区边缘绕一周，是地图上校园轮廓的周长，用刻度尺测量的长度就是我们在地图上得到的绕校园一周的图上长度，根据比例尺的定义，实际长度＝图上长度÷比例尺。 【详解】 所以，虎溪校区的周长公式为。 9. 运动会上，4名同学参加800米接力比赛，这4名同学跑接力比赛一共有______种排法。 【答案】24 【解析】 【分析】接力赛的4个棒次（第1棒→第2棒→第3棒→第4棒）是不同的，每换一个同学跑不同棒次，就是一种新的排法。第1棒人选：4名同学都可以跑第1棒，有4种选择；第2棒人选：第1棒已选1人，剩下4－1＝3名同学，有3种选择；第3棒人选：前两棒已选2人，剩下4－2＝2名同学，有2种选择；第4棒人选：前三棒已选3人，只剩4－3＝1名同学，有1种选择。根据总排法数＝第1棒可选数×第2棒可选数×第3棒可选数×第4棒可选数，把数据代入计算即可解答。 【详解】第1棒：4名同学都可以跑第1棒，有4种选择； 第2棒：4－1＝3（名），有3种选择； 第3棒：4－2＝2（名），有2种选择； 第4棒：4－3＝1（名），有1种选择。 4×3×2×1＝24（种） 这4名同学跑接力比赛一共有24种排法。 10. 一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图。已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米。则原来钢材的侧面积为______平方厘米。 【答案】3014.4 【解析】 【分析】从图中可知一个剖面的面积是由计算得出，圆柱的侧面积由计算得出，所以用一个剖面的面积乘即可算得圆柱的侧面积。 【详解】（平方厘米） 二、解答题（共30分） 11. 计算。 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】 （1）； （2）； （3）； （4）； （5）； （6） 【解析】 【分析】（1）观察算式，括号外是，括号内两个分数的分子都是5，利用乘法分配律展开计算简便； （2）根据四则混合运算顺序，先算前面括号里面的乘法和减法，再算后面括号内的加法，最后算除法； （3）将百分数化为小数，带分数化为小数，按照先算小括号，再算中括号，最后算括号外的顺序计算； （4）利用加法交换律和结合律，将小数与小数结合，分数与分数结合，注意括号前是加号，去括号不变号，但为了简便计算，将减去两个分数转化为减去这两个分数的和； （5）观察数字特点，发现，将算式变形后利用乘法分配律进行简便计算； （6）提取公因数2016，利用分数拆分规律进行裂项相消计算。 【详解】（1） ； （2） （3） （4） （5） （6） 12. 解方程。 【答案】； 【解析】 【分析】利用分数的基本性质将分母中的小数化为整数1，从而去掉分母，再去括号化简为，利用等式的性质1两边同时加上12后，再利用等式的性质2两边同时除以3解方程。 转化为，利用乘法分配律和去括号法则，将方程化简为，最后利用等式的性质2两边同时除以解方程。 【详解】 解： 解： 13. 纯酒精含量分别为65%、35%的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为40%。如果每种酒精都多取30克，混合后纯酒精的含量变为45%。则甲、乙原各有多少克？ 【答案】10克；50克 【解析】 【分析】在浓度问题中，有一种重要的关系，就是两种溶液混合时，它们各自与混合后溶液浓度的差值之比，与它们的质量之比成反比例。比如说，甲溶液浓度高于混合后溶液浓度，乙溶液浓度低于混合后溶液浓度，甲与混合后浓度的差值越大，那么甲溶液的质量相对乙溶液质量就越小（可以想象成跷跷板，浓度差越大的那一端，质量越轻才能平衡）。 先根据第一次混合的浓度情况，利用浓度差与质量比的反比例关系，得出甲、乙酒精原来质量的初步比例关系，设出甲酒精原来的质量为克，进而表示出乙酒精原来的质量。再依据第二次混合的浓度情况，结合前面设的未知数，利用同样的浓度差与质量比的关系列出比例。最后通过解比例求出的值，也就得到了甲酒精原来的质量，再根据之前表示乙酒精质量的式子求出乙酒精原来的质量。 【详解】第一次混合： 甲酒精与混合后酒精浓度的差值：65%－40%＝25%； 乙酒精与混合后酒精浓度的差值：40%－35%＝5%。 这两个差值的比是：25%∶5%＝5∶1 根据浓度差与两种酒精质量成反比例的关系，所以第一次混合时甲、乙两种酒精的质量比是1：5。 设甲酒精原来有克，那么乙酒精原来就有克。 第二次混合： 现在每种酒精都多取30克，甲酒精变为克，乙酒精变为克，混合后纯酒精含量变为45%。 甲酒精与混合后酒精浓度的差值：65%－45%＝20%； 乙酒精与混合后酒精浓度的差值：45%－35%＝10%。 这两个差值的比是：20%∶10%＝2∶1 所以第二次混合时甲、乙两种酒精的质量比是1：2。 答：甲原有10克，乙原有50克。 【点睛】巧妙运用浓度差与质量比的反比例关系，以及利用两次混合的条件建立方程求解是解题关键。 B组题 一、填空题（每小题3分，共24分） 14. 已知质数a、b、c满足，则______。 【答案】14 【解析】 【分析】这道题解题核心是先分解的质因数，再结合质数的性质分析a、b、c的取值。 【详解】 若，，则，，（不是质数），不符合要求，舍去。 若，则找不到符合要求的a和b； 若，，则，，，则。 15. 从敌方截获了10组数据：14073，63136，29402，35862，84271，79588，42936，98174，50811，07145破译人员知道这是一个五位数的密码。每一组数据与这个密码，都只有一个数位上的数字相同。这个密码是（ ）。 【答案】09876 【解析】 【分析】 根据每一组数据与这个密码，都只有一个数位上的数字相同这一条件，分析这10组数的特征，找出对应的密码。 【详解】由于有10个数，对应值只对了5个数位，所以必然有数重复对了一个数位； 由于万位上的数字各不相同，所以至少一个数字被猜对了三次，观察得到十位上的7出现了三次，所以十位为的数字其它数位均不正确，由此依次推出密码为09876。 这个密码是09876。 【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，这里综合应用了位值原理和逻辑推理的知识来求解问题。 16. 一项工程，甲、乙合作需要4小时，乙、丙合作需要5小时，现在由甲、丙合作2小时后，余下的由乙完成还需要6小时，请问甲单独完成这项工程需要______小时。 【答案】5 【解析】 【分析】把这项工程总量看作单位“1”。根据甲乙合作时间和乙丙合作时间，分别求出甲乙工作效率之和、乙丙工作效率之和。将“甲丙合作2小时，乙单独做6小时”这一条件进行转化，看作“甲乙合作2小时，乙丙合作2小时，乙再单独做2小时”，利用工作总量减去已知合作完成的工作量，求出乙的工作效率，进而求出甲的工作效率及单独完成时间。 【详解】甲、乙的工作效率之和： 乙、丙的工作效率之和： 甲、丙合作2小时，乙单独做6小时，相当于甲、乙合作2小时，乙、丙合作2小时，乙再单独做2小时。 乙的工作效率： 甲的工作效率： 甲单独完成需要的时间： （小时） 17. 在一个圆圈上有几十个孔（不到100个），小明像走跳棋那样，从A孔出发沿着逆时针方向，每隔几孔跳一步，希望一圈以后能跳回A孔，他先试着每隔2孔跳一步，结果只跳到B孔（指的是若再跳就跳过A孔了）；他又试着每隔4孔跳一步，也只能跳到B孔，最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔，则这个圆圈上共有______个孔。 【答案】91 【解析】 【分析】每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，只能跳到B孔（差1到A孔）说明圆圈上的数是3的倍数加上1。同理每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，也只能跳到B孔，说明圆圈上的数是5的倍数加上1。据此找出100以内3与5公倍数加1的数；每步跳过6个孔时，连起点一步要跳过7个孔可回到A孔，说明圆圈上的数是7的倍数，从上面找出的所有数中再找到7的倍数，即是孔的数量。 【详解】每步跳过2孔，连起点一共要跳过3个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是3的倍数，则圆圈上的数是3的倍数加上1； 每步跳过4个孔，连起点一步要跳过5个孔，故除掉B孔外，圆圈上的孔数是5的倍数，则圆圈上的数是5的倍数加上1； 每步跳过6个孔时，连起点一步要跳过7个孔可回到A孔，则圆圈上的数是7的倍数； 3与5互质，3与5的最小公倍数是 圆圈上的数是15的倍数加上1；因总数＜100， 只可能是 在16，31，46，61，76，91，中，即仅有91是7的倍数， 所以圆圈上有91个孔。 18. 如图，，F是BC的中点，G是FC的中点，如果三角形ABC的面积是24平方厘米，则阴影部分是______平方厘米。 【答案】14 【解析】 【分析】由图可知，阴影部分有三个三角形，分别为：三角形ABD、三角形DEF、三角形ECG。 因为AD＝DE＝EC，AD＝AC，CD＝AC 三角形ABD的底是AD，高是过B点作AC的垂线段； 三角形BCD的底是CD，高是过B点作AC的垂线段； 三角形ABC的底是AC，高是过B点作AC的垂线段； 因此三角形ABD的面积是三角形ABC的面积的，三角形BCD的面积是三角形ABC的面积的。 因为F是BC的中点，G是FC的中点， 所以BF＝CF＝BC，FG＝CG， 三角形BDF的底是BF，高是过D点作BC的垂线段； 三角形CDF的底是CF，高是过D点作BC的垂线段； 又三角形BDF的面积＋三角形CDF的面积＝三角形BCD的面积； 因此三角形BDF与三角形CDF的面积相等，且都为三角形BCD面积的一半。 三角形DEF的底是DE，高是过F点作CD的垂线段； 三角形CEF的底是CE，高是过F点作CD的垂线段； 又三角形DEF的面积＋三角形CEF的面积＝三角形CDF的面积； 因此三角形DEF与三角形CEF的面积相等，且都为三角形CDF的面积的一半 三角形EFG的底是FG，高是过E点作CF的垂线段； 三角形ECG的底是CG，高是过E点作CF的垂线段； 又三角形EFG的面积＋三角形ECG的面积＝三角形CEF的面积； 因此三角形EFG与三角形ECG的面积相等，且都为三角形CEF的面积的一半。 据此表示出每块阴影的面积再求和即可。 【详解】根据分析， 三角形ABD的面积：24×＝8（平方厘米） 三角形BCD的面积：24×＝16（平方厘米） 三角形BDF的面积与三角形CDF的面积都为：16×＝8（平方厘米） 三角形DEF的面积与三角形CEF的面积都为：8×＝4（平方厘米） 三角形EFG的面积与三角形ECG的面积都为：4×＝2（平方厘米） 阴影部分面积（三角形ABD＋三角形DEF＋三角形ECG）：8＋4＋2＝14（平方厘米） 19. 如图，水从上方流下，按图示箭头方向流动，在每个分流节点水被均匀分流。如果最上方有720kg水流下，那么从A口流出的水有______kg。（水管壁上残留的水忽略不计） 【答案】340 【解析】 【分析】第一个分流节点（左边），有720kg水流下，在第一个分流节点，水被平均分成3份，那么每份的水量是720kg的，即720×＝240kg，在第二个分流节点，又被平均分成2份，每份的水量为240kg的，即240×＝120kg，在第三个分流节点，又被平均分成2份，每份的水量为120kg的，即此时流向A口的水有120×＝60（kg）。 第二个分流节点（中间），最上方有720kg水流下，在第一个分流节点，水被平均分成3份，那么每份的水量是720kg的，即720×＝240kg，在第二个分流节点，又被平均分成2份，每份的水量为240kg的，即此时流向A口的水有240×＝120（kg）。 第三个分流节点（右边），有720kg水流下，在第一个分流节点，水被平均分成3份，那么每份的水量是720kg的，即720×＝240kg，在第二个分流节点，又被平均分成3份，每份的水量为240kg的，即240×＝80（kg），此时有两个分流节点流向A口，即80kg的和80kg，80×＝40kg，即此时流向A口的水有40＋80＝120（kg）。 第四个分流节点（最右边），有720kg水流下，在第一个分流节点，水被平均分成3份，那么每份的水量是720kg的，即720×＝240kg，在第二个分流节点，又被平均分成3份，每份的水量为240kg的，即240×＝80（kg），在第三个分流节点，又被平均分成2份，每份的水量为80kg的。此时流向A口的水有80×＝40（kg）。 然后把四个分流节点流向A口的水相加即可。 【详解】第一个分流节点（左边）：流向A口的水是720kg的（××）。 720×（××） ＝720×（×） ＝720× ＝60（kg） 第二个分流节点（中间）：流向A口的水是720kg的（×）。 720×（×） ＝720× ＝120（kg） 第三个分流节点（右边）：流向A口的水是720kg的（×）和720kg的（×）的。 720×（×） ＝720× ＝80（kg） 80×＝40（kg） 80＋40＝120（kg） 第四个分流节点（最右边）：流向A口的水是720kg的（××）。 720×（××） ＝720×（×） ＝720× ＝40（kg） 60＋120＋120＋40＝340（kg） 从A口流出的水有340kg。 【点睛】本题关键在于根据每个分流节点均匀分流的条件，逐步分析出从A口流出的水的重量占最上方水流重量的比例，再利用乘法运算得出结果。 20. 物体之所以会发声，是因为它能够振动，我们用频率表示物体振动的快慢，其单位为赫兹，其计算公式为，其中f指频率，t指振动时间，n指t时间内的振动次数。例如每秒振动一次，则赫兹，每秒振动两次则赫兹，只有当20赫兹赫兹时，人耳才能听到这个声音。已知某大象交流时，其声带3秒内振动了4次，则人耳______（能/不能）听到这个声音。 【答案】不能 【解析】 【分析】由题可知，某大象交流时声带3秒内振动了4次，即秒，次；然后代入公式中，可计算出大象交流时的频率，最后判断这个频率是否在人能听到的范围内即可。 【详解】（赫兹） 所以这个频率不在20赫兹赫兹内 即人耳不能听到这个声音。 21. 按顺序排列的若干个数：，，，…，（n是正整数），从第二个数开始，每一个数都等于1与前一个数的差的倒数，即，，…则下列说法正确的有______（填序号）。 ①若，则； ②若，则； ③当时，代数式的值恒为负。 【答案】①②③ 【解析】 【分析】这类题先找规律。根据递推关系算出前几个数，看是否循环出现。令，算出、、，观察周期。然后逐项判断。 ①把代入递推式，依次算出、、……，看是否等于。 ②把代入，反过来求，再算周期和。 ③先找周期，化简代数式，判断正负。这道题第③问要使用初中的知识，要么化简分式，写成和的平方的形式，根据平方的非负性判断；要么将原来的式子进行配方，写成的形式。本题编者详解采用前者，更贴近升学实际。 【详解】设。 所以每3个数一循环：，，。 ①。 ，周期为3。 正确。 ②。 周期为、、。 每3个数的和： 总和： 该说法正确。 ③ 当  时，代数式为： 即： 因为周期为 ，所以 代入得： 其中： 所以： 因为 ，所以分子为负（同时提出一个负号即可）；一定为正，整体一定为负。该说法正确。 二、解答题（共26分） 22. 某列火车通过342米的隧道用了23秒，接着通过234米的隧道用了17秒，这列火车与另一列长98米，速度为每秒16米的列车错车而过，需要多少秒？ 【答案】5秒 【解析】 【分析】火车通过隧道的总路程等于隧道长加火车自身长度，两次通过隧道的路程差除以时间差就是火车的速度；再用速度乘其中一次过隧道的时间，减去对应隧道长，得到火车长度。错车时的总路程是两列火车的长度之和，总速度是两车的速度之和，用总路程除以总速度就能得到错车时间。 【详解】火车的速度： （米/秒） 火车的长度： （米） 错车时间： （秒） 答：需要5秒。 23. 有A、B两个商场都在进行促销活动，A商场按“每满100元减18元”的方式进行促销，B商场按“全场八五折”的方式进行促销。 （1）有一件商品，在A、B两个商场都标价320元，在哪个商场购买该商品更便宜？便宜多少元？ （2）有一件商品，在A、B两个商场的标价相同，按各自的促销方式计算，顾客在两个商场购买这件商品实际应该付的钱数也相同。这件商品的标价可能是多少元？ 【答案】（1）在A商场购买该商品更便宜，便宜6元。 （2）这件商品的标价可能是120元（答案不唯一）。 【解析】 【分析】1．计算A商场购买商品的实付金额，A商场每满100元减18元，先算320里面有几个100，实付金额就减去几个18；计算B商场购买商品的实付金额，B商场为全场八五折，即按标价的85%付款，最后比较实付金额并计算差价。 2．A商场的减钱金额不是固定的，标价里满几个100元就减几个18元，所以要分不同的价格区间计算。商品的标价未知，可设这件商品的标价为x元，然后根据优惠后顾客在两个商场购买这件商品实际应付的钱数相同，列出方程x－（满100的组数×18）＝85%x并解答即可。 【小问1详解】 320÷100＝3（个）……20（元） 320－18×3 ＝320－54 ＝266（元） 320×85%＝272（元） 272＞266 272－266＝6（元） 答：在A商场购买该商品更便宜，便宜6元。 【小问2详解】 解：设该商品标价为x元，两个商场实付金额相等，考虑标价在100元到199.99元区间，此时A商场可减18元，B商场按标价的85%付款， 答：这件商品的标价可能是120元。 24. 有一个如图那样的长方体容器，现在以每秒0.75升的速度向这个容器注水，容器的底面有一块隔板（垂直于底面，不考虑厚度），将容器隔为A、B两个部分，B部分有一个洞，水按一定的流量往下漏，图①是表示从注水开始A部分的水的高度变化的图像，回答下面的问题： （1）求图①中D表示的数； （2）从B的洞中每秒钟流出来多少升水； （3）求图①中P、Q表示的数。 【答案】（1）15 （2）0.3 （3）54；30 【解析】 【分析】根据题意，可知A部分的底：长25cm，宽30cm；B部分的底：长15cm，宽30cm； 注水速度：0.75升/秒＝750立方厘米/秒 1升＝1000立方厘米 （1）观察图①，0～15秒（第一段上升），水位还没到隔板高度，水只能在A区域，不会流进B，注入的水全部用来抬高A的水位；用注入水的体积÷A的底面积，就能求出高度D。 （2）15～30秒（第二段水平，高度不变），水位到达隔板高度，再注入的水不再抬高A的水位，全部流入B区。B一边进水，一边从洞口漏水。 这15秒内，总进水分两部分：一部分装满B，另一部分从洞口漏掉。装满B时，B的高度跟A的高度一样. 总进水量−B装满的水量（B的容积：底面积×高）＝漏出去的水量，再除以时间，得到每秒漏水量。 （3）30秒之后（图像再次上升，30秒以后） B已经被水灌满，之后A、B变成连通的一个整体容器。此时一边进水，一边持续漏水，净进水速度＝注水速度−漏水速度。 容器底面积变成A＋B合起来的底面积，水位会匀速上升。 先算从15cm升高到24cm需要的水量，除以净流量，求出这段用时，算出P点； 再看P到70秒的时间，算出水位继续上升多少，得到Q。 【小问1详解】 A的底面积：25×30＝750（平方厘米） 0.75升＝750毫升 15秒注入总体积：750×15＝11250（毫升） 高度D：11250÷750＝15（厘米） 答：D表示的数是高度为15厘米。 【小问2详解】 B的底面积：15×30＝450（平方厘米） B的容积（高15cm）：450×15＝6750（立方厘米）＝6.75（升） 总进水量：750×15＝11250（毫升）＝11.25（升） 漏出去的水量：11.25−6.75＝4.5（升） 漏水速度：4.5÷15＝0.3（升/秒） 答：从B的洞中每秒钟流出来0.3升。 【小问3详解】 容器总底面积：（25＋15）×30＝1200（平方厘米） 30秒后，容器净进水速度：0.75−0.3＝0.45（升/秒） 高度从15到24，增加的高度为：24−15＝9（厘米） 增加的9厘米高度需要的水量（即9厘米高度的这部分容积）：1200×9＝10800（立方厘米）＝10.8（升） 30秒后，注满容器还需时间：10.8÷0.45＝24（秒） P＝30＋24＝54 从54秒到70秒，时长：70−54＝16（秒） 16秒容器内增加的水量：16×0.45＝7.2（升）＝7200（立方厘米） 水位上升：7200÷1200＝6（厘米） Q＝24＋6＝30（厘米） 答：图①中P表示的数是54，表示水高度到24时，用时为54秒；图①中Q表示的数是30，表示水高度为30厘米。 25. 一个能被13整除的自然数我们称为十三数，“十三数”的特征是：这个自然数的末三位与末三位以前的数字组成的数的差，如果能被13整除，那么这个自然数就一定能被13整除。例如：判断383357能不能被13整除，这个数的末三位数字是357，末三位以前的数字组成的数是383，这两个数的差是，26能被13整除，因此383357是“十三数”。若一个四位自然数，千位数字和十位数字相同，百位数字与个位数字相同，则称这个四位数为“间同数”。 （1）求证：任意一个四位“间同数”都能被101整除； （2）若一个四位自然数既是“十三数”，又是“间同数”，请直接写出满足条件的所有四位数的最大值与最小值之差。 【答案】（1）任意一个四位“间同数”都能被101整除。理由：设四位“间同数”的千位数字为（，为整数），百位数字为（，为整数），则十位数字为，个位数字为。这个四位数可表示为，化简后为。因为是整数，所以这个四位数是101的倍数，即能被101整除。 （2）7878 【解析】 【分析】（1）设四位“间同数”的千位数字为（，为整数），百位数字为（，为整数），则这个四位数可表示为，进行化简，看化简后的因数有没有101，如果有，这能被101整除，如果没有这不能被101整除； （2）根据第一问可知，任意一个四位“间同数”可以表示为；因为这个四位数能被13整除，而101不能被13整除，所以能被13整除；可以表示为两位数，即这个两位数一定是13的倍数，最小的两位数为：，最大的两位数：，代入最大值和最小值计算即可。 【小问1详解】 假设这个四位数可表示为：（，，和为整数）， 因为是整数，所以这个四位数是101的倍数，即能被101整除。 【小问2详解】 由分析可知，最大四位数： 最小四位数： 差： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $