精品解析：重庆实验外国语学校（一外）2025-2026学年人教版六年级下学期小升初自主招生数学卷

重庆实验外国语学校（一外）2026.2.4自主招生数学卷 （时间80分钟，满分100分） 一、填空题（每题3分，共30分） 1. （ ）。 2. 从某天起，池塘水面上的浮草，每天增加一倍，50天后整个池塘长满了浮草，第_____天时，浮草所占面积是池塘的。 3. 当钟表显示的时间是9：20时，时针与分针之间较小的夹角是______度。 4. 班级分组制作手工模型。若每组做7个，还剩5个未完成；若有4组各做5个，其余每组做8个，则刚好完成。总模型数有（ ）个。 5. 一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中最小的是（ ）。 6. 小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么，漏加的那个数是（ ）。 7. 在中选出若干个数，使它们的和大于3，至少要选（ ）个数。 8. 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个自然数是（ ）。 9. 如图所示的9个圆圈在4个小的等边三角形和3个大的等边三角形的顶点处，在图上将1－9这9个数字填入圆圈，要求这7个三角形中每个三角形3个顶点上的数字之和都相等。 10. 用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3]＝3。[π]＝3等等，则在，，，…，中，有（ ）个不同的整数。 二、计算题（每题4分，共24分） 11. 计算。 （1） （2）22＋42＋62＋82＋102＋122＋142＋162 （3） （4） 12. 解下列方程。 （1） （2） 三、解答题（13、14每题5分，15题6分，16、17每题7分，18、19每题8分，共46分） 13. 如图图形都是由大小相同的小正方形按一定的规律组成的，且每个小正方形的边长是1，则第七个图形的周长是多少？ 14. 小明最近迷上了一本童话故事书，第一天读了这本书的还多30页，第二天读了余下的少10页，第三天读了再余下的，然后他惊喜地发现，还剩40页这本书就能被他读完了，求小明读的这本故事书一共多少页？ 15. 判断与2的大小关系。 16. 如图所示，甲沿长为400米的大圆跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆“8”字形跑步（图中给出跑步路线的次序：1－2－3－4－1…）。如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙两人的速度分别是3米/秒和5米/秒，问：两人第三次相遇的时间是出发后多少秒？ 17. 有一个装了水的长方体容器，底面是内边长48厘米的正方形，直立放着一个高100厘米、底面边长24厘米的正方四棱柱铁块，这时水高43厘米。现在将铁块向上提起15厘米，求露出水面的浸湿部分的长是多少厘米？ 18. 如果a为任意实数，用[a]表示不大于a的最大整数，例如[﹣5]＝﹣5、[﹣2.3]＝﹣3。 （1）如果关于x的方程有正整数解，那么正整数k的所有可能取值之和为多少？ （2）有一列非负数已知＝10，当n≥2时，，则的值为多少？ （3）我校“心动数学”社团活动小组，在网格纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在第处，其中x₁＝1，y₁＝1，当k≥2时，，[a]表示非负数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0，按此方案。第2019棵树种植点所在的行数是4，则所在的列数是多少？ 19. 如图1，在直线MN上放置两块三角板，BA⊥AO，∠BOA＝45°，CD⊥OD，∠DOC＝30°，其中三角板AOB绕点O以5°每秒的速度顺时针旋转。 （1）如图1，三角板OCD绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，且两块三角板同时从图1的位置开始旋转，当OB与OD第一次相遇时，∠DON＝（ ）； （2）如图2，两块三角板转到图2位置，此时OB⊥MN，OA∥CD，点F为OB延长线上一点，连接DB交AF于点E，当∠AEB＝100°且∠FDB＝∠EBA＝x°（35＜x＜80，x≠45）时，用等式表示∠AFO与∠FDC的数量关系，并说明理由。 （3）三角板OCD绕点O以10°每秒的速度逆时针旋转，两块三角板同时从图1的位置开始旋转，当线段OB转到OM处两块三角板同时停止旋转。在旋转过程中，射线OE平分∠BOD，射线CF平分∠DCO。设旋转时间为秒，当CF与OE垂直时，直接写出的值。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 重庆实验外国语学校（一外）2026.2.4自主招生数学卷 （时间80分钟，满分100分） 一、填空题（每题3分，共30分） 1. （ ）。 【答案】 【解析】 【分析】分别计算分子与分母的和再约分即可。 【详解】 2. 从某天起，池塘水面上的浮草，每天增加一倍，50天后整个池塘长满了浮草，第_____天时，浮草所占面积是池塘的。 【答案】48 【解析】 【详解】逆推：第49天，浮草所占面积是池塘的，；第48天，浮草所占面积是池塘的。 3. 当钟表显示的时间是9：20时，时针与分针之间较小的夹角是______度。 【答案】160 【解析】 【分析】根据钟面的构造可知，时针转动一大格是30度，时针的速度为0.5度/分钟，分针的速度为6度/分钟，以0：00开始，顺时针为度数的正方向，先求出9：20时针转动的度数，再求出分针转动的度数，相减作差即可求出时针与分针之间较小的夹角度数。 【详解】时针：9×30＋20×0.5 ＝270＋10 ＝280（度） 分针：20×6＝120（度） 夹角：280－120=160（度） 因此9：20时，时针与分针之间较小的夹角是160度。 4. 班级分组制作手工模型。若每组做7个，还剩5个未完成；若有4组各做5个，其余每组做8个，则刚好完成。总模型数有（ ）个。 【答案】124 【解析】 【分析】先设出班级的组数，再分别表示出两种分组方式下的模型总数，最后根据模型总数相等列出方程求解。 【详解】解：设班级一共有x组。 7x＋5＝4×5＋（x－4）×8 7x＋5＝20＋8x－32 8x－7x＝32＋5－20 x＝17 7×17＋5 ＝119＋5 ＝124（个） 所以总模型数有124个。 5. 一个自然数与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数，这样的自然数中最小的是（ ）。 【答案】27 【解析】 【分析】这是一道同余问题。设这个自然数为n。条件“n与3的和是5的倍数”即n除以5余2（因为n＋3是5的倍数，说明n＋3≡0mod5，n≡2mod5）。条件“n与3的差是6的倍数”即n除以6余3（因为n－3是6的倍数，n≡3mod6）。要找到最小的自然数n，同时满足除以5余2和除以6余3。可以用列举法，从满足一个条件的数中找也满足另一个条件的最小数。 【详解】n＋3是5的倍数，即n÷5余2。满足的数有：2，7，12，17，22，27，32，37，42，47，... n－3是6的倍数，即n÷6余3。满足的数有：3，9，15，21，27，33，39，45，51，... 同时满足两条件的数从上面找，最小的是27。 6. 小明在计算器上从1开始，按自然数的顺序做连加练习，当他加到某一数时，结果是1991，后来发现中间漏加了一个数，那么，漏加的那个数是（ ）。 【答案】25 【解析】 【分析】根据自然数连加的公式：。如果连加到，结果应当为，因为漏加一项，变为1991 ，所以大于1991 ，探讨得出大于62 显然是连加到63了，其中漏加的数为加到63的和减去1991。 【详解】 ，所以漏加的数是25。 7. 在中选出若干个数，使它们的和大于3，至少要选（ ）个数。 【答案】11 【解析】 【分析】要让选出的数的和大于3且选数数量最少，必须优先选择数值最大的数，也就是从数列最开头的1开始依次累加，直至和大于3。 【详解】先累加前十个数，改成小数计算方便（除不尽取三位小数）： 不符合条件，继续累加第11项 ， 首次满足和大于3的条件，所以至少要选11个数。 8. 把一个两位数的个位数字与其十位数字交换后得到一个新数，它与原来的数加起来恰好是某个自然数的平方，这个自然数是（ ）。 【答案】11 【解析】 【分析】设原来两位数十位上的数是a（1≤a≤9），个位上的数是b（0≤b≤9），那么原来的数可以表示为10a＋b，交换数位后新数为10b＋a，相加并化简，再结合数的特征解答。 【详解】设原来两位数十位上的数是a（1≤a≤9），个位上的数是b（0≤b≤9），那么原来的数可以表示为10a＋b，交换数位后新数为10b＋a， 11是质数，是完全平方数，必须是11的倍数，结合数位取值范围，的最大值是， 所以唯一符合条件的取值是，代入计算可得两数之和为，即，因此这个自然数就是11。 9. 如图所示的9个圆圈在4个小的等边三角形和3个大的等边三角形的顶点处，在图上将1－9这9个数字填入圆圈，要求这7个三角形中每个三角形3个顶点上的数字之和都相等。 【答案】 【解析】 【分析】因为图形中外部的三个小等边三角形三个顶点处的三个数字之和都相等，即把1、2、3、…9的和45平均分成3份，则这个和应该是45÷3＝15，应把这9个数字进行分组，得到相应的和相等的无次序的数组，和应该为15．所以分别为，2、4、9；1、6、8、；3、5、7；而且还要满足中间的小等边三角形的三个顶点处的数字之和以及外部的大等边三角形的三个顶点处的数字之和也是15，则从上面的三组数据中各取一个数字使它们的和是15，且满足中间的小三角形和外部大三角形的各个顶点处的数字之和都等于15，那么其余各组的位置也基本确定，据此即可解答。 【详解】根据分析填写如下： （答案不唯一） 10. 用[x]表示不超过x的最大整数，例如：[3]＝3。[π]＝3等等，则在，，，…，中，有（ ）个不同的整数。 【答案】751 【解析】 【分析】先找出使得取整结果为的的范围，统计这部分的不同整数数量；分析中间区间的对应的取整结果，统计这一区间内不同整数的个数；找到取整结果不再重复、依次递增的的起始位置，统计这部分的不同整数数量；将所有区间的不同整数数量相加，得到最终结果。 【详解】根据题意可知表示不超过的最大整数， 因此可知：，，…，； ，，…，； ，，…，； …； ，，； 即从到的取值为、、、…、，共个； ，，，…，，；即从，到的取值均不相同，合计（个）， 一共有（个）。 所以用表示不超过的最大整数，例如：。等等，则在，，，…，中，有个不同的整数。 二、计算题（每题4分，共24分） 11. 计算。 （1） （2）22＋42＋62＋82＋102＋122＋142＋162 （3） （4） 【答案】（1）30；（2）816；（3）1234567890；（4） 【解析】 【分析】（1）先统一数的形式，将带分数、小数转化为分数，除法转化为乘法，分别计算三个乘除项，再用加法交换律简便运算，最后求和。 （2）先提取每项的公因数，将原式转化为，再用平方和公式：，进行计算即可。 （3）分母中可利用平方差公式变形，即：，再用减法性质去掉括号，计算分数的值即可。 （4）分子将括号拆分后两两分组为 ，用平方差公式分解每组，再利用等差数列：求和；分母部分利用公式求和，最后求出这个式子的值即可。 【详解】（1） （2） （3） （4） 12. 解下列方程。 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】方程两边同时乘3去掉分母后，运用等式的性质1与等式的性质2解方程。 方程左边根据乘法分配律把提取出后，分数相加化简后解方程。 【详解】 解： 解： 三、解答题（13、14每题5分，15题6分，16、17每题7分，18、19每题8分，共46分） 13. 如图图形都是由大小相同的小正方形按一定的规律组成的，且每个小正方形的边长是1，则第七个图形的周长是多少？ 【答案】42 【解析】 【分析】从第二个开始，将每一个图形的周长都补成一个长方形，如图： 第一个图形的周长：（2＋1）×2； 第二个图形的周长：（4＋2）×2； 第三个图形的周长：（6＋3）×2，以这样的规律继续往后写到第七个是（14＋7）×2。 【详解】根据分析，第七个图形的周长是 （14＋7）×2 ＝21×2 ＝42 答：第七个图形的周长是42。 14. 小明最近迷上了一本童话故事书，第一天读了这本书的还多30页，第二天读了余下的少10页，第三天读了再余下的，然后他惊喜地发现，还剩40页这本书就能被他读完了，求小明读的这本故事书一共多少页？ 【答案】180页 【解析】 【分析】解答此题需要用倒推法，先把第二天余下的页数看作单位“1”，第三天读了第二天余下页数的，剩下页数占第二天余下页数的（1－），还剩40页没有读，则第二天余下的页数＝剩下的页数÷（1－），计算可知，第二天余下了50页；再把第一天余下的页数看作单位“1”，第二天读了第一天余下的少10页，则第二天余下的页数减去10页刚好占第一天余下页数的（1－），第一天余下的页数＝（第二天余下的页数－10页）÷（1－），计算可知，第一天余下了60页；最后把这本书的总页数看作单位“1”，第一天读了这本书的还多30页，则第一天余下的页数再加上30页刚好占总页数的（1－），这本书的总页数＝（第一天余下的页数＋30页）÷（1－），据此解答。 【详解】第二天余下的页数： 40÷（1－） ＝40÷ ＝40× ＝50（页） 第一天余下的页数： （50－10）÷（1－） ＝40÷ ＝40× ＝60（页） 这本书的总页数： （60＋30）÷（1－） ＝90÷ ＝90×2 ＝180（页） 答：小明读的这本故事书一共180页。 【点睛】本题主要考查利用倒推法解决分数问题，准确找出单位“1”，用线段图分析题中页数对应的分率是解答题目的关键。 15. 判断与2的大小关系。 【答案】 【解析】 【分析】根据，两边同时乘求得，然后相减即可得到与2的关系。 【详解】 等式两边同时乘得：整理得： 两个等式左右分别相减得： 等式右边中： 所以 是正数，所以，则， 答：。 16. 如图所示，甲沿长为400米的大圆跑道顺时针跑步，乙则沿两个小圆“8”字形跑步（图中给出跑步路线的次序：1－2－3－4－1…）。如果甲、乙两人同时从A点出发，且甲、乙两人的速度分别是3米/秒和5米/秒，问：两人第三次相遇的时间是出发后多少秒？ 【答案】600秒 【解析】 【分析】路程特征分析：两个小圆的直径和等于大圆直径，因此乙沿“”字形跑一圈的总路程，和甲沿大圆跑一圈的路程相等，都是米。相遇逻辑判断：两人同时同地同向出发，乙速度更快，每一次相遇，乙都会比甲正好多跑1整圈的长度。对应关系推导：第三次相遇时，乙累计比甲多跑的总路程就是圈的长度，即（米）。时间计算：用总路程差除以两人的速度差，就能得到从出发到第三次相遇的总时间。 【详解】设大圆的直径为， 根据圆的周长公式， 大圆的周长为（米）， 从图中“8”字形的结构可以看出，两个小圆的直径分别为和， 满足， 乙跑完整一圈“8”字形的总路程，是两个小圆的周长之和：， 因此乙跑一圈的总路程和甲跑大圆一圈的路程完全相等，都是400米， 两人同时从A点出发，乙速度比甲快，每次相遇时，乙都会比甲多跑整整1圈（400米）， 第三次相遇时，乙一共比甲多跑了：（米）， 两人的速度差是：（米/秒）， 追及所需的总时间：（秒）。 答：两人第三次相遇的时间是出发后600秒。 17. 有一个装了水的长方体容器，底面是内边长48厘米的正方形，直立放着一个高100厘米、底面边长24厘米的正方四棱柱铁块，这时水高43厘米。现在将铁块向上提起15厘米，求露出水面的浸湿部分的长是多少厘米？ 【答案】20厘米 【解析】 【分析】铁块向上提起15厘米的体积，容器中的水也会下降这么多的体积；利用“长方体体积＝底面积×高”求出减少的体积，然后利用“高＝体积÷底面积”求出水面下降高度，此时的底面积是水的底面积与长方体底面积的差，最后把“水面下降的高度＋长方体提升的高度”即可。 【详解】24×24×15 ＝576×15 ＝8640（立方厘米） 8640÷（48×48−24×24） ＝8640÷（2304−576） ＝8640÷1728 ＝5（厘米） 15＋5＝20（厘米） 答：露出水面的浸湿部分的长是20厘米。 18. 如果a为任意实数，用[a]表示不大于a的最大整数，例如[﹣5]＝﹣5、[﹣2.3]＝﹣3。 （1）如果关于x的方程有正整数解，那么正整数k的所有可能取值之和为多少？ （2）有一列非负数已知＝10，当n≥2时，，则的值为多少？ （3）我校“心动数学”社团活动小组，在网格纸上为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在第处，其中x₁＝1，y₁＝1，当k≥2时，，[a]表示非负数a的整数部分，例如[2.6]＝2，[0.2]＝0，按此方案。第2019棵树种植点所在的行数是4，则所在的列数是多少？ 【答案】（1） （2）11 （3）404 【解析】 【分析】（1）根据取整函数的性质确定的取值范围，再结合方程两边均为整数的特点，通过列举验证找到符合条件的值后求和。 （2）分析递推式中取整部分的差的变化规律，得出数列的周期，利用周期计算第2022项的值。 （3）先明确行数的周期规律，结合已知行数验证2019的周期位置，再根据列数的变化规律计算列数。 【小问1详解】 根据取整定义，，因此： 计算右边： 代入方程得，因为是正整数，两边除以： 是正整数，故。 方程左边是三个整数的和，结果为整数，因此右边必为整数，即是7的倍数。 验证：12与7互质，故是7的倍数，设（为正整数），代入方程得： 时，，左边； 时，，左边，符合； 时，，左边，符合； 时，，左边，符合； 时，左边的小数部分和最大不足2，无法满足等式，故符合条件。 验证：11与7互质，是7的倍数，设： 时，，左边，符合； 时，左边大于右边，故符合条件。 验证： 时，需为7的倍数，时左边，时左边均小于对应右边值，无符合条件的；同理时均无解。 综上，的可能取值为11和12，和为。 【小问2详解】 分析的取值： 当不是5的倍数时，两个取整结果相等，差为0，此时； 当是5的倍数时，前者比后者大1，差为1，此时。 计算前几项：，，，，，，…… 可见数列以5为周期循环，周期内的数为10，11，12，13，14。 ，余数为2，对应周期内第2个数，故。 【小问3详解】 行数的递推规律与第二题数列一致，以5为周期循环，依次为1，2，3，4，5。 已知第2019棵树行数为4，验证：，余数为4，对应行4，符合条件。 列数的递推式为，即每满5棵树，列数增加1，其余时间列数不变。 2019棵树包含完整的5棵组的数量为（组）（棵），即403个完整组后还剩4棵，因此列数为。 19. 如图1，在直线MN上放置两块三角板，BA⊥AO，∠BOA＝45°，CD⊥OD，∠DOC＝30°，其中三角板AOB绕点O以5°每秒的速度顺时针旋转。 （1）如图1，三角板OCD绕点以10°每秒的速度逆时针旋转，且两块三角板同时从图1的位置开始旋转，当OB与OD第一次相遇时，∠DON＝（ ）； （2）如图2，两块三角板转到图2位置，此时OB⊥MN，OA∥CD，点F为OB延长线上一点，连接DB交AF于点E，当∠AEB＝100°且∠FDB＝∠EBA＝x°（35＜x＜80，x≠45）时，用等式表示∠AFO与∠FDC的数量关系，并说明理由。 （3）三角板OCD绕点O以10°每秒的速度逆时针旋转，两块三角板同时从图1的位置开始旋转，当线段OB转到OM处两块三角板同时停止旋转。在旋转过程中，射线OE平分∠BOD，射线CF平分∠DCO。设旋转时间为秒，当CF与OE垂直时，直接写出的值。 【答案】（1）， （2）， （3），或。 【解析】 【分析】要确定OB与OD第一次相遇时的度数，需先找到相遇时的旋转情况：明确和初始的角度差（结合直线、、及各自角度，算出与之间的夹角），由于两块三角板同时旋转，速度分别为/秒（三角板顺时针）和/秒（三角板逆时针），可先通过角度差与速度和算出相遇时间。再根据三角板的旋转速度和时间，算出旋转的度数，进而得到； 要探究与的数量关系，需结合平行线、角平分线、三角形内角和等知识：利用这个条件，结合，找出与的关系（内错角或对顶角之类的相等关系）。在中，根据和，求出，再通过等条件，推出与的联系。对于，把它拆分成几个角的和（比如、、等)，再结合前面得到的与的关系，整理出与的表达式，从而得到数量关系； 要找到与垂直时的值，需分别表示出平分后的角度、平分后的角度，再利用垂直的条件（和为或互余等）列方程：先表示出旋转秒后，的大小（结合三角板顺时针、三角板逆时针的旋转角度，以及初始角度）。因为平分，所以能表示出或。再看平分，初始是（，所以)，旋转秒后变化，进而表示出。最后根据，利用这些角之间的和差关系（比如在某个三角形中或对顶角、邻补角等），列出关于的方程，求解得到的值(注意旋转过程中可能有多次垂直，要全面分析)。 【小问1详解】 设经过秒重合， 由题意可得，， 解得， 所以转过的度数为， 所以。 【小问2详解】 因为，， 所以， 因为， 所以， 因为， 所以， 即， 所以， 所以， 所以。 【小问3详解】 ①、重合前，如图： 因为射线平分， ， 当时，， 所以， 所以, 因为射线平分， 所以， 所以， 所以； ②、第一次相交后，如图， 同①可得： ， 所以， 所以； 、第二次相交后，如图， ， 所以， 综上，当或或时，与垂直。 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $