重庆市八中科学城中学校2025-2026学年六年级下学期小升初自主招生数学卷

**基本信息** 小升初自主招生数学卷（80分），通过智力竞赛得分、围篱笆面积等生活情境题及等差数新定义等创新题，考查数学思维与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|17题（42分）|鸡兔同笼（第1题）、圆柱体积（第8题）、逻辑推理（第19题）|结合生活情境，如停车场车辆轮子问题（第7题）| |计算与解方程|7题（30分）|简便运算（第14题）、方程求解（第16题）|注重运算能力，如100×101-99×100+…+2×3-1×2（第14题）| |解答题|4题（28分）|行程问题（第26题）、方案优化（第28题）、新定义（第29题）|综合应用与创新，如等差数概念理解及证明（第29题）|

科八2026.5.21自主招生数学卷 8 0 分 钟 顺 序 号 ： A 组 一 、填空题(每题2分，共18分) 1. (本题2分)一次智力竞赛，规则是：答对一题加10分，答错一题扣6分.一号选手共抢答10个题，最 后得分36分，他答对了 道题. 2. (本题2分)一本书30页，把其中的一页撕掉后，剩下的页码之和是446,撕掉的是第 页. 3. (本题2分)从4000 减去它的,再减去剩下的，再减去剩下的 …最后减去剩下的， 最后剩( ). 4.(本题2分)有这样一种运算，规定a※b=a×(a+b),若2※x=44,则x=( ). 5. (本题2分)李大爷用12.4m 长的篱笆靠一面墙围成一个宽2.4m 的长方形最大猪图，这个猪图最大面积 是 m² . 6. (本题2分)的分子加上10,要使分数的大小不变，分母应加上( )。 7. (本题2分)停车场里停放着4个轮子的汽车和3个轮子的三轮摩托车共30辆，这些车共有100个轮子， 那么三轮摩托车有 辆 . 8. (本题2分)在一只底面半径为20厘米的圆柱体小桶内，有一个直径为10厘米的圆柱形钢材浸在水中， 当钢材从桶内取出后，桶内的水面下降了3厘米，则这段钢材的长为 厘米， 9. (本题2分)喜羊羊等一群小羊割了一堆青草准备过冬吃，他们算了一下，平均每只小羊割了45千克。 如果除了他们自己外，再分给慢羊羊村长一份，那么每只小羊可分得36千克。 回到羊村里，懒羊羊走来 也要了一份，这样一来，每只小羊就只能分得 千克草了。 二、计算与解方程(共30分) 10. (本题3分) 11. (本题 3分） 12. (本题4分) 13. (本题4分) 14. (本题4分) 100×101－ 99×100+98×99－ 97×98+96×97－ 95×96+ …+2×3－ 1×2 15. (本题4分) 16. (本题4分) 17. (本题4分) B组 三、填空题(每题3分，共24分) 18. (本题3分)数一数，图中共有 个正方形。 18题 19. (本题3分)有25个零件，其中一个较轻，至少用天平称( )次才能保证找出较轻的零件， 20. (本题3分)编号为1到10的十张椅子顺时针均匀地绕圆桌一圈摆放。5对夫妇入座，要求男女相隔而坐，每对夫妇不能相邻或对面而坐，有 种入座的分配方式。 21. (本题3分)图周有101个格子，从某格 A 开始，沿着逆时针方向、第一次移动1格，第二次移动2 格，… … 每次比前次多移动1格，移动到的格子中放一枚棋子、最多有( ）个格子放有棋子。 22. (本题3分)12个人围成一圈，从中选出3个人，其中恰有两个人相邻，共有( ）种不同的选法。 23. (本题3分)已知A×B-1=C，其中A、B均为质数且小于100，C是奇数，那么C最大是 。 24. (本题3分)有甲、 乙两个相同的空立方体水箱，高均为60厘米，在侧面上分别有排水孔A和B，A 孔和B孔距底面50厘米和30厘米，且两孔排水速度相同。 现在以相同速度一起给两水箱注水，并通过管道使A孔排出的水直接流入乙箱，70分钟后两水箱同时注满。如果关团两孔，直接将空水陷注满需要 分钟. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 第 4 页 学科网（北京）股份有限公司 25. (本题3分)有甲、乙、丙三只船，甲船每小时航行6千米，乙船每小时航行5千米，丙船每小时航行 3千米。三船同时、同地、同方向出发，环绕周围是15千米的海岛航行，( )小时后，三船再次相会 在一起。 四、解答题(共28分) 26. (本题7分)汽车从A 地出发，到B 地去，一人骑自行车同时从B 地出发到A 地去，当汽车与骑自行 车人第一次相遇时，距B 地12.8千米，自行车与汽车继续以原速驶到各自的目的地后立即返回，第二次 相遇时，距A 地0.24千米，求AB 两地间的路程是多少千米? 27 . (本题7分)A、B 两地相距224千米.有一支游行队伍从A 出发，向B 匀速前进：当游行队伍队尾离 开A 时，甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发.乙 向A 步行：甲骑车先追向队头，追上队头后又立即骑 向队尾，到达队尾后再立即追向队头，追上队头后又立即骑向队尾……当甲第5次追上队头时恰与乙相遇 在距B 地5.6千米处：当甲第7次追上队头时，甲恰好第一次到达B 地，那么此时乙距A地还有多少千米? 28. (本题7分)冬季供暖即将到来，龙城小区物业公司计划在9天内维护，检查完小区取暖设备，物业维 修处联系了三家水暖公司，公司基本情况如下： 公司 完成任务时间/天 工作单价/(元/天) A 10 600 B 15 500 C 30 400 请你帮他们设计一个最佳方案，要求在规定时间内完工，并且花钱最少，并求出最低费用(工作不足一天， 按一天计算)。 29. (本题7分)阅读理解：一个多位数，如果根据它的位数，可以从左到右分成左、中、右三个数位相同的整数，其中 a 代表这个整数分出来的左边数，b 代表的这个整数分出来的中间数，c 代表这个整数分出来的右边数，其中a,b,c数位相同，若b-a=c-b，我们称这个多位数为等差数。 例如：357分成了三个数3，5，7，并且满足：5-3=7-5； 413223分成三个数41，32，23，并且满足：32-41=23-32； 所以：357和413223都是等差数. (1)判断：148 等差数，514335 等差数：(用“是”或“不是”填空) (2)若一个三位数是等差数，试说明它一定能被3整除； (3)若一个三位数 T 是等差数，且 T 是24的倍数，求该等差数T。 科八2026.5.21自主招生数学卷答案解析 1 ．6 【解析】 【分析】 【详解】 试题分析：假设全部答对，则应该得分：10×10=100 分，比实际多：100 ﹣36=64 分，最错一题比做对一题少 10+6=16 分，也就是做错 64÷16=4 道题，则答对 10﹣4=6 道题． 解答：解：假设 10 道题全做对，则做错的题目有： （10×10 ﹣36）÷（10+6） =64÷16 =4（道）， 对了：10﹣4=6（道）． 答：他答对了 6 道题． 故答案为 6． 2 ．9 、10 【解析】 【分析】 如果 1 至 30 页全部相加之和为 1+2+3+4+ …+30=465 页， 由于其中的一页撕掉后，剩下的页码之和是 446， 465﹣446=19 ，则撕掉的是第 9 、10 页． 【详解】 （1+2+3+4+ …+30） ﹣446 =（1+30）×30÷2﹣446 =31×30÷2﹣446 =465﹣446 =19 9+10=19 ，即撕掉的是第 9 、10 页． 3 ．40 【解析】 【详解】 略 4．40 【解析】 【详解】 略 5 ．18.24 【解析】 【详解】 试题分析：根据实际情况知道围成的篱笆应该是长靠墙，即 12.4 米是长方形的 2 个宽与 1 个长的和，由此求出长方形的长，进而再根据长方形的面积公式 S=ab ，即可求出长方形篱笆围成的猪圈的面积． 解：猪圈的长：12.4－2.4×2， =12.4－4.8， =7.6（米）， 面积：7.6×2.4=18.24（平方米）， 答：这个猪圈最大面积是 18.24 平方米． 故答案为 18.24． 点评：解答此题的关键是根据题意求出长方形猪圈的长，再根据长方形的面积公式 S=ab 解决问题． 6 ．18 【解析】 【分析】 根据分数的基本性质，分子和分母同时乘或除以一个不为 0 的数，分数的大小不变。据此解答即可。 【详解】 （5＋10）÷5 = 15÷5 = 3 9×3－9 = 27－9 = 18 【点睛】 本题考查分数的基本性质，熟练运用分数的基本性质是解题的关键。 7 ．20 【解析】 【分析】 假设全是三轮摩托车，则应该有 30×3=90 个轮子，比实际少 100﹣90=10 个轮子，因为每辆三轮摩托车比每辆汽车少 4﹣3=1 个轮子，所以汽车有：10÷1=10 辆，进而可以求出三轮摩托车数量． 【详解】 解：假设全是三轮摩托车，则汽车有： （100 ﹣30×3）÷（4 ﹣3） =10÷1 =10（辆） 摩托车有：30﹣ 10=20（辆）． 故答案为 20． 8 ．48 【解析】 【详解】 根据题意，桶内的水面下降了 3 厘米这部分的体积应该等于钢材的体积．而这部分的体积是3768位方厘米) ，即钢材的体积是 π×20²×3=3768 （立方厘米），又钢材的底面积为 , 从而这段钢材的长为 3768÷78.5=48（厘米）． 9 ．30 【解析】 【分析】 假设有 x 只小羊去割草，根据 x 只的平均数是 45，加上村长（x＋1）只的平均数是 36，求出所有草的数量，再计算加上懒羊羊后（x＋2）只的平均数。 【详解】 解：设 x 只小羊去割草； 45x = 36(x +1) x = 4 45× 4 = 180 （千克） 180 ÷ (4 + 2) = 180 ÷ 6 = 30 （千克） 【点睛】 本题考查的是平均数问题，平均数＝总数量÷总份数。 10 ． 5 11 ．11107 12 ． 13 ．2525 =0.5＋1＋1.5+ … +50 =﹙0.5＋50 ﹚×100÷2 =2525 14 ．5100 15.48 16 ．x=3 2x﹣=+2 （ 2x﹣) ×2=（ +2）×2 4x﹣（x+1）=（x+1）+4 2x=6 x=3 点评：此题考查了利用等式的基本性质解方程，即“方程的两边同时加上或减去相同的数，同时乘或除以相同的数（0 除外），等式仍然成立”． 17 ． ( ) ×12= ( ﹣1）×12 4（2x﹣ 1） ﹣2（10x+1）=3 ﹣ 18x=﹣9 x=． 点评： 此题考查了根据等式的性质解方程，即等式两边同时加上、减去、乘上或除以一个数（0 除外），等式的左右两边仍相等；注意等号上下要对齐． 18 ．23 【解析】 【分析】 设最小的正方形的边长是 1 ，从中可以找出边长是 1 、2 、3 的正方形，分类枚举，最后相加即可。 【详解】 边长为 1 的正方形，一共 14 个； 边长为 2 的正方形，一共 7 个； 边长为 3 的正方形，一共 2 个； 14＋7＋2 ＝23（个） 【点睛】 本题考查的是几何计数问题，分类枚举的时候要做到不重不漏。 19 ．3 【解析】 【分析】 将 25 个分成三组（8 ，8 ，9），第一次称；如果次品在 8 个中，分成三组（3 、3 、2）；如次品在 9 个中，分成三组（3 、3 、3），第二次称；剩下 2 个或 3 个，第三次称。 【详解】 第一次称，将 25 个分成三组（8 ，8 ，9） 如果两组 8 个的相等，则次品在 9 个中； 如果两组 8 个的不等，则次品在轻的那一堆中； 第二次称，如果次品在 8 个中，分成三组（3 、3 、2）；如次品在 9 个中，分成三组（3 、3 、3）； 拿两组 3 个的去称； 如果是 8 个，若两堆相等，则剩下那组有次品；若两组不相等，可确定是轻的那组有次品； 如果是 9 个，若两堆相等，则剩下那组有次品；若两组不相等，可确定是轻的那组有次品。 第三次称，剩下 2 个或 3 个； 剩下 2 个，再称一次就可以了； 剩下 3 个，则选 2 个出来称，如果相等，则剩下那一个是次品；否则，轻的那个是次品． 所以用天平称 3 次才能保证找出的这个次品。所以有 25 个零件，其中 24 个一样重，另有一个质量轻一些，用天平至少称 3 次才能保证找出的这个次品。 【点睛】 解答本题的关键是把 25 个零件正确分类，根据天平平衡的条件解答即可。 20 ．480 【解析】 【分析】 假设有位丈夫坐在 1 号位，那么所有的丈夫都坐在奇数号位，妻子则坐在偶数号位。由于妻子不能与丈夫相邻和相对，所以她不能坐在 2 ，6 ，10 号位上，只能坐在 4 号位或 8 号位上。也就是说妻子只能坐在丈夫的顺时针或者逆时针方向数第 3 个位子上。可以发现，丈夫和妻子的位子的这一关系对每一对夫妇和每一个座位都适用。 【详解】 对于其中的某一个丈夫，他可以坐在 1 到 10 号的任意一个位子上，有 10 种选择。 不妨设他坐在 1 号位上，那么他的妻子只能坐在 4 号位或 8 号位上。假如坐在 4 号位上，那么对于坐在 7号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 10 号位上；而对于坐在 3 号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 6 号位上；那么对于坐在 9 号位上的丈夫，他的妻子只能坐在 2 号位；对于坐在 5 号位上的丈夫，他的妻子只能坐在8 号位。 可见，只要一对夫妇的位置确定，那么其他 4 对夫妇的位置关系也就确定了，也就是说，只要确定了其他4 位丈夫的座位，那么整个座位分配就确定了。由于 4 位丈夫之间的位置关系是不确定的，所以有4! = 24 种。同样地，如果坐 1 号位的丈夫的妻子坐在 8 号位上，也有 24 种。所以这名丈夫坐在 1 号位上共有24× 2 = 48种。 那么这名丈夫坐在其它位置上也各有 48 种。 由于每个座位都是编过号的，各个座位互不相同，每一名丈夫和妻子也都不相同，所以不会出现重复的情况，所以满足题意的分配方式有 48× 10 = 480 种。 【点睛】 本题考查的是环形情况下的计数问题，综合应用了加乘原理和排列组合来求解问题。 21 ．51 【解析】 【详解】略 22 ．96 【解析】 【分析】 恰有两个人相邻，说明第三个人和这两个人是不相邻的，可以分成两步，先选出相邻的两人，再从剩下的人中选出与这两人不相邻的人，两步的方法数相乘，得到总的方法数。 【详解】 从这 12 个人中选出两个相邻的人， 由于这 12 个人是围成 1 圈的，那么共有 12 种选法； 从剩下的人中选出与这两人不相邻的人，有 8 种选法； 根据乘法原理，共有 12×8 ＝96 种。 【点睛】 本题实质上考查的是乘法原理，要注意环形情况下与直线型情况下的排列方式是不一样的。 23 ．193 【解析】 【详解】 C 是奇数，从而 A×B=C+1 是偶数，因此 A 和 B 中必有一个偶质数 2 ，要使 C 最大，另一个数应该是 100 以内最大的质数 97 ，从而 C=2×97-1=193． 24 ．60 【解析】 【分析】 由于两个立方体水箱上的孔的高度不同，所以在不同的阶段，两个水箱内注水、排水的情况不同，对此可以分阶段进行分析。 【详解】 当注水没有超过 30 厘米高度时，水没有达到A 、 B 两孔的高度，此时两个孔都不排水，所以这个阶段两个水箱都是只注水，所用时间也相同； 当水达到 30 厘米高度而又没有达到 50 厘米高度时，甲箱还是只注水，乙箱则既注水又排水；当甲箱内的水达到 50 厘米高度时， 甲箱开始既注水又排水，而此时乙箱在注水的同时也在排水，同时A 孔排出的水也流入乙箱， 由于A 、 B 两孔排水速度相同，所以A 孔排出、流入乙箱的水与B 孔排出的水相同，所以这一阶段乙箱相当于只注水。 由于两水箱同时注满，注满水所用的时间相同，那么甲、乙两水箱的既注水又排水阶段所用的时间相同，注入的水量也相同，都是 10 厘米高度的水，那么甲箱的第二个只注水阶段（即注满 20 厘米高度水的阶段）所用的时间就与乙箱既注水又排水阶段（注满 10 厘米高度水的阶段）所用的时间相同，那么这时候甲、 乙两水箱每分钟注入的水量之比为20 :10 = 2 : 1 ，可见注水速度是排水孔排水速度的 2 倍。 假设只注水注满 10 厘米高度水所用的时间为 1 份，那么对于甲箱来说，它只注水的时间为 5 份，既注水又排水的时间为1 × 2 ÷ (2 -1) = 2 份，所以注满甲箱的总时间为5 + 2 = 7 份，为 70 分钟，那么 1 份为 10 分钟。则关闭排水孔只注水的情况下，将空水箱注满需要10× 6 = 60 分钟。 【点睛】 本题考查的是工程问题中的注水问题，由于排水孔的存在，造成注水的效率发生变化，需要分阶段进行分 析。 25 ．15 【解析】 【分析】 三船再次相会在一起，即甲追上乙，同时乙追上丙， 甲每追上乙一次，需要 15 小时，乙每追上丙一次，需要 7.5 小时，15 正好是 7.5 的 2 倍，所以 15 小时三船再次相会在一起。 【详解】 15 ÷(6 - 5) = 15 ÷1 = 15 （小时） 15 ÷(5 - 3) = 15 ÷2 = 7.5 （小时） 15 ÷7.5 = 2 所以 15 小时后，三船再次相会在一起。 【点睛】 本题考查的是多个人的追及问题，并与公倍数的问题相结合。 26 ．38.16 千米 【解析】 【分析】 第一次相遇在距 B 地 12.8 千米处，此时两车共行了 1 个全程， 自行车行了 12.8 千米，即每共行 1 个全程自行车就行 12.8 千米，第二次相遇时，两车共行 3 个全程，则自行车共行 12.8×3 ＝38.4 千米，此时自行车距离 A 地 0.24 千米，已知自行车行驶了 1 个全程多 0.24 千米，所以让自行车行驶的总路程减去 0.24 千米，即是 AB 之间的距离。 【详解】 = 38.4－0.24 = 38.16（千米） 答：AB 两地间的路程是 38.16 千米 【点睛】 此题属于两次相遇问题，解题关键是找出第一次相遇和第二次相遇两人共同行驶的路程和各自行驶的路程分别是多少。 27 ．14.4 千米 【解析】 【详解】 整个行程如图所示．设甲第一次追上队头与第二次追上队头时队伍所行的距离为x 千米，第一次从队头到队尾时甲所行距离为y 千米．由于每一次甲都是从队尾追上队头，再从队头回到队尾，追上队头是一个追及过程，回到队尾是一个相遇过程，而追及、相遇的路程都是队伍的长度，队伍的长度是不变的，所以每一次追及、相遇的时间也是不变的，所以每一次甲追上队头到下一次甲追上队头这段时间内队伍所行的路程(即图中相邻两条虚线之间的距离)都是相同的，而每一次从队头到队尾时甲所行的路程也都是相同的． 根据题意，甲第 5 次追上队头时距B 地 5.6 千米，第 7 次追上队头时恰好到达B 地，所以2x = 5.6 ；从图中可以看出， 7x + y = 22.4 ，所以： 解得 y (x) 2 (2)..8 (8) ． 甲第 5 次追上队头时恰与乙相遇在距B 地 5.6 千米处， 甲第 5 次追上队头时共行了 (2.8 + 2.8)x 5 + 2.8 x 4 = 39.2 千米，根据时间一定，速度比等于路程之比，可得v甲 : v乙 = 39.2 : 5.6 = 7 :1 ．从甲第 5 次追上队头到甲第 7 次追上队头， 甲共行了(2.8 + 2.8)x 2 + 2.8 x 2 = 16.8 千米，所以这段时间内乙行了16.8 ÷ 7 = 2.4 千米，所以此时乙距A 地还有22.4－ 5.6－2.4 = 14.4 (千米)． 28 ．前 8天 A公司单独做，第 9天 A 、B 、C 公司合作 【解析】 【分析】 如果单独做，都超出规定时间，所以肯定是合作的，至于是几个人合作，谁和谁合作，需要结合工作量即总的花费进行选择。 【详解】 A 公司虽然每天的单价高，但是完成工程后的总费用是最低的，且 10 天只比 9 天多了 1 天； B 公司、C 公司合作一天，正好完成； 所以可以前 8 天 A 公司单独做，第 9 天 A 、B 、C 公司合作，这样 9 天正好完成； 答：前 8 天 A 公司单独做，第 9 天 A 、B 、C 公司合作。 【点睛】 本题将工程问题和优化问题相结合，既要考虑按时完成任务，还要使得总费用最低。 29.【答案】（1）不是，是；（2）见解析；（3）432 或 456 或 840 或 864 或 888 【解析】 【分析】 （1）根据等差数的定义判定即可； （2）设这个三位数是 M，M = 100a +10b + c ，根据等差数的定义可知b ，进而得出M = 3 (35a + 2c )即可． （3）根据等差数的定义以及 24 的倍数的数的特征可先求出 a 的值，再根据是 8 的倍数可确定 c 的值，又因为b 所以可确定 a 、c 为偶数时 b 才可取整数有意义，排除不符合条件的 a 、c 值，再将符合条件的 a 、c 代入b求出 b 的值，即可求解． 【详解】 解：（1） ∵4－1≠8－4， ∴148不是等差数； ∵43－51=35－43=－8 ∴514335是等差数。 （2）设这个三位数是 M，M = 100a +10b + c ， ∵ b－ a = c－b ∴这个等差数是 3 的倍数； （3） 由（2）知 , b ， ∵T 是 24 的倍数， ∴ 35a + 2c 是 8 的倍数， ∵2c 是偶数， ∴只有当 35a 也是偶数时35a + 2c才有可能是 8 的倍数， ∴ a = 2 或 4 或 6 或 8， 当a = 2 时，35a = 70 ，此时若c = 1，则35a + 2c = 72 ，若c = 5 ，则35a+2c = 80 ，若c = 9 ，则35a+2c = 88 ，大于 70 又是 8 的倍数的最小数是 72 ，之后是 80,88 当35a+2c = 96 时c > 10 不符合题意； 当a = 4 时，35a = 140 ，此时若c = 2 ，则35a + 2c = 144 ，若c = 6 ，则35a + 2c = 152 ，（144 、152 是 8 的倍数）， 当a = 6 时， 35a = 210 ，此时若c = 3 ，则35a + 2c = 216 ，若c = 7 ，则35a + 2c = 224 ， （216 、244 是 8 的倍数）， 当 a = 8 时， 35a = 280 ，此时若c = 0 ，则35a + 2c = 280 ，若c = 4 ，则35a + 2c = 288 ，若c = 8 ，则35a + 2c = 296 ，（280,288,296 是 8 的倍数）， ∴若 a 是偶数，则 c 也是偶数时 b 才有意义， ∴ a = 2 和a = 6 是 c 是奇数均不符合题意， 当a = 4, c = 2 时，b T = 432 ， 当a = 4, c = 6 时，b T = 456 ，当a = 8, c = 0 时，b T = 840 ， 当a = 8, c = 4 时，b T = 864 ， 当a = 8, c = 8 时，b T = 888 ， 综上，T 为 432 或 456 或 840 或 864 或 888． 【点睛】 本题考查新定义下的实数运算、有理数混合运算，整式的加减运算，能够结合倍数的特点及熟练掌握整数的奇偶性是解题关键． 第 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $