精品解析：吉林长春市朝阳区长春力旺实验初级中学2026-2027学年九年级上学期9月阶段检测数学试题

力旺实验中学 积微知著作业（2） 一．选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的概念，根据二次函数定义：形如的多项式函数，最高次项为二次，逐项判断即可． 【详解】，最高次项为三次，不是二次函数，故A不符合题意； ，最高次项为一次，不是二次函数，故B不符合题意； ，符合形式，且，是二次函数，故C符合题意； 含有分式，不是二次函数，故D不符合题意． 故选：C． 2. 拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：， ， ∴． 3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向、对称轴及顶点坐标、增减性，进而求解． 【详解】解：A，，开口向下，原说法错误； B，对称轴是直线，原说法错误； C，顶点坐标为，原说法正确； D，当时，y随x的增大而增大，原说法错误； 故选C． 4. 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，掌握二次函数的平移规律是解题关键．根据“左加右减，上加下减”，求解平移后的解析式即可． 【详解】解：抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是， 故选：A． 5. 如图，在中，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先在中利用勾股定理求出，再根据同角的余角相等得出，进而利用锐角三角函数关系即可求出的值．得出是解题关键． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ， ． 6. 若，在抛物线上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线上纵坐标相等的两点关于对称轴对称，结合抛物线对称轴列方程求解m． 【详解】解：∵点，的纵坐标相同，且在抛物线上， ∴两点关于抛物线的对称轴对称， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴，化简得， 解得． 二．填空题（每小题3分，共12分） 7. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是，水平宽米，则坡面的长度是___米． 【答案】 8 【解析】 【分析】根据坡比的定义，求出的长，再利用勾股定理求出的长即可. 【详解】解：由题意，， ∵米 ∴米， 由勾股定理，得（米）. 8. 如图，在等腰三角形中，，若腰，则的底边长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握这些定理是解题的关键． 过点作于点，根据等腰三角形三线合一的性质得出，，即可求出的度数，的长，再根据勾股定理即可求出的长，于是得出的长． 【详解】如图，过点A作于点， ， ， ， ， ， ， 由勾股定理得 ， ， 故答案为：． 9. 已知点，均在抛物线上，则的大小关系是___________．（用“<”连接） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的性质，函数值大小的比较，掌握二次函数增减性是关键． 根据二次函数的图象开口向上，对称轴为，顶点处函数值最小，代入计算即可判断大小关系． 【详解】解：由抛物线解析式，计算各点函数值： 当时， 当时，； 当时，； 比较得，即， 故答案为：． 10. 抛物线的图象如图所示，点О为原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形为正方形，求点B的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点D，设B点坐标为，四边形为正方形，则，，得到，则，解得，即可得到点B的坐标． 【详解】解：连接交于点D， ∵点B在抛物线上， ∴可设B点坐标为， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 【点睛】此题考查了正方形的性质、二次函数的图象和性质等知识，熟练掌握正方形的性质和数形结合是解题的关键． 三．解答题（共3小题，共30分） 11. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先代入各特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加法； （2）先代入各特殊角的三角函数值，再计算乘方与乘法，最后计算加减． 【小问1详解】 解： 原式    ； 【小问2详解】 解：原式      ． 12. 图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． （2）在图②中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． （3）在图③中的的外部找到一个格点，作钝角，使． 【答案】（1） 如图，点D、即为所求作： （2） 如图，点E、即为所求作： （3） 如图，点F(如)即为所求作：（答案不唯一，、、也可以） 【解析】 【分析】本题考查网格中基本作图，涉及锐角三角函数、勾股定理，理解网格特点，正确作图是解答的关键． （1）根据网格特点，找格点D，可得，； （2）根据网格特点，找格点E，可得，，则； （3）根据网格特点，找格点F（如图中、、、），可得是钝角，且． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 13. 如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． （1）________，________； （2）根据图象，当时，的取值范围是________； （3）当时，的取值范围是________； （4）在抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （5）当时，二次函数的最大值为，直接写出的值． 【答案】（1）； （2） （3）或 （4）点D坐标为： 或  （5）或  【解析】 【分析】（1）先根据二次函数性质得到对称轴，然后再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数性质求解即可； （3）分别求出当时和当时的取值，然后根据函数性质求解即可； （4）设点D 纵坐标为，先根据面积公式求出的值，然后得到的值，再代入函数解析式求解即可； （5）利用函数性质分三种情况求解即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数（，为常数）的图象经过点，， ∴二次函数的对称轴为：， ∴， ∴二次函数为， 将点代入得到：， 解得． 【小问2详解】 解：∵二次函数的解析式为：， ∴二次函数的对称轴为，抛物线开口向下，顶点为， 在时，， 在时，， 在时，函数取到最大值， 故当时，的取值范围是． 【小问3详解】 解：当时，得到，解得：或， 当时，或， 又∵二次函数的对称轴为，抛物线开口向下， ∴当时，的取值范围是或． 【小问4详解】 解：∵点，， ∴， 设点D 纵坐标为， ∴， ∴， 又∵二次函数的最大值为，点在抛物线上， ∴， ∴， 解得： 点D坐标为： 或 ． 【小问5详解】 解：二次函数的对称轴为，抛物线开口向下，顶点为，最大值为，在对称轴的左边函数值随自变量的增大而增大，在对称轴的右边函数值随自变量的增大而减小， ①当 （即）时，此时当时，函数取得最大值为：， 解得 ，取负根 ； ② 当（即 ），最大值在顶点处，此时  ， ∴ ， 解得（舍去）； ③当时，此时当时，函数取得最大值为， 解得：， ∴， 综上或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 力旺实验中学 积微知著作业（2） 一．选择题（每小题3分，共18分） 1. 下列函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 拉杆式旅行箱的侧面示意图如图，箱体长，当手臂自然下垂拉旅行箱时，人体感觉较为舒服．若此时拉杆伸长长度，拉杆与水平面夹角为，则拉杆把手处到地面的距离为（ ） A. B. C. D. 3. 已知抛物线，下列说法正确的是（ ） A. 开口向上 B. 对称轴是直线 C. 顶点坐标为 D. 当时，y随x的增大而减小 4. 抛物线向右平移个单位，再向下平移个单位，所得到的抛物线是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 若，在抛物线上，则的值为（ ） A. 1 B. C. D. 二．填空题（每小题3分，共12分） 7. 如图，河坝横断面迎水坡的坡比是，水平宽米，则坡面的长度是___米． 8. 如图，在等腰三角形中，，若腰，则的底边长为______． 9. 已知点，均在抛物线上，则的大小关系是___________．（用“<”连接） 10. 抛物线的图象如图所示，点О为原点，点A在y轴的正半轴上，点B、C在函数图象上，四边形为正方形，求点B的坐标． 三．解答题（共3小题，共30分） 11. 计算： （1）； （2）． 12. 图①、图②、③都是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． （1）在图①中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． （2）在图②中的的内部找到一个格点，以点为直角顶点作，使． （3）在图③中的的外部找到一个格点，作钝角，使． 13. 如图，已知二次函数（，为常数）的图象经过点，． （1）________，________； （2）根据图象，当时，的取值范围是________； （3）当时，的取值范围是________； （4）在抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （5）当时，二次函数的最大值为，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $