精品解析：吉林省实验中学2024-2025学年九年级上学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度上学期九年级质量监测（一） 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各点不在抛物线图象上的是（　　） A. B. C. D. 2. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 3. 从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（ ） A. 标号小于6 B. 标号大于6 C. 标号是奇数 D. 标号是3 4. 如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（ ） A. 6米 B. 米 C. 4米 D. 米 5. 若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y＝x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y1＞y2 6. 如图，二次函数图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则是一元二次方程的根是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 7. 如图是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为米，则水面下降（ ）米． A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 10米 8. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 七（1）班有男生20人，女生30人，从该班级随机选出一名学生担任值日班长，则选出的值日班长是女生的概率为________． 10. 用配方法将二次函数化为的形式为____________． 11. 若抛物线经过点 和点，则这条抛物线的对称轴是直线__________． 12. 如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C点重合，连结A′B，则tan∠A'BC'的值为______________． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 14. 已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： －5 －4 －2 0 2 6 0 －6 －4 6 下列结论： ① ②当时，的值随的增大而减小 ③方程有两个不相等的实数根 ④当时，函数有最小值－6 其中，正确结论的序号是______（把所有正确结论的序号都填上） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 16. 我校计划在9月第二周的星期五至星期日开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．请用树状图或列表法求小明同学随机选择两天，其中一天是星期五的概率是多少？ 17. 已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧）与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 19. 抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式． 20. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”，刹车距离是分析交通事故的重要依据．在一条限速的高速公路上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后测得甲车的刹车距离为，乙车的刹车距离超过，但小于，根据两车车型查阅资料可知：甲车的车速与刹车距离之间有关系：；乙车的车速与刹车距离之间则有关系：．请从两车的速度方面分析相撞是因为谁超速了． 21. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点，以为边．在x轴上方作正方形，延长交抛物线于点D，再以为边向上作矩形，使． （1）求a的值： （2）求点F的坐标． 22. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【动手实践】 （1）如图（1），已知正方形纸片，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则 °，三条线段的关系为 ； 【拓展应用】 （2）解决下面问题： ①如图（2）作于点N，交于点P，求证：； ②如图（3），数学小组在图（1）的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在边上，，请直接写出此时的长度． 23. 如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过P作于D，以为邻边作矩形，设点P运动的时间是t（秒）． （1）线段的长为____________； （2）当矩形恰好是正方形时，求t的值； （3）当时，求t的值： （4）延长到点Q，使，连结．当直线分矩形的面积为两部分时，直接写出t的值． 24. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、C（2，﹣3），抛物线与x轴的另一交点为点E，点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在第一象限，点M为抛物线对称轴上一点，当四边形MBEP恰好是平行四边形时，求点P的坐标； （3）若点P在第四象限，连结PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？ （4）是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度上学期九年级质量监测（一） 数学试卷 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各点不在抛物线图象上的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，正确理解二次函数图象上点的坐标满足其解析式是解题的关键．分别计算出自变量为，2，，0的函数值，然后根据二次函数图象上点的坐标特征对各选项进行判断． 【详解】A、把代入得，故点在抛物线图象上,不符合题意； B、把代入得，故点在抛物线图象上,不符合题意； C、把代入得，故点不在抛物线图象上,符合题意； D、把代入得，故点在抛物线图象上,不符合题意； 故选：C． 2. 将抛物线向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到抛物线的解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】按照“左加右减，上加下减”的平移法则，变换解析式，然后化简即可． 【详解】解：将抛物线向左平移3个单位长度，得到， 再向下平移2个单位长度，得到， 整理得， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，掌握“左加右减，上加下减”的法则是解题关键． 3. 从标号分别为1，2，3，4，5的5张卡片中，随机抽取1张．下列事件中，必然事件是（ ） A. 标号小于6 B. 标号大于6 C. 标号是奇数 D. 标号是3 【答案】A 【解析】 【分析】必然事件．必然事件表示在一定条件下，必然出现的事情． 【详解】解：∵标号分别为1，2，3，4，5，都小于6， ∴标号小于6是必然事件． 故选A． 4. 如图，我市在建的鄂咸高速太和新城段路基的横断面为梯形ABCD，DC∥AB，斜坡AD长为8米，坡角α为30°，斜坡BC的坡角β为45°，则斜坡BC的长为（ ） A. 6米 B. 米 C. 4米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】做辅助线DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F，构建出两对直角三角形，根据已知条件分别用三角函数解这两个三角形，即可的出本题答案． 【详解】解：分别作DE⊥AB于点E，CF⊥AB于点F， ∵DC∥AB， ∴， 在Rt△ADE中， ∵ AD = 8米，坡角α =30°， DE = ADsinα = 8sin30° = 4米； 在Rt△ADE中， 坡BC的坡角β = 45°， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角函数的实际应用，以及解直角三角形的知识． 5. 若点A（2，y1），B（﹣3，y2），C（﹣1，y3）三点在抛物线y＝x2﹣4x﹣m的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是（　　） A. y1＞y2＞y3 B. y2＞y1＞y3 C. y2＞y3＞y1 D. y3＞y1＞y2 【答案】C 【解析】 【分析】先求出二次函数的图象的对称轴，然后判断出，，在抛物线上的位置，再根据二次函数的增减性求解． 【详解】解：∵二次函数中， ∴开口向上，对称轴为， ∵中，∴最小， 又∵，都在对称轴的左侧， 而在对称轴的左侧，随得增大而减小，故． ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的图象与性质,特别是对称轴与其两侧的增减性,熟练掌握图象与性质是解答关键. 6. 如图，二次函数图象与x轴交于A、B两点，顶点为C，其中点A、C坐标如图所示，则是一元二次方程的根是（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，根据函数图象和二次函数的性质可以得到点B的坐标，从而可以得到该函数图象与x轴的交点坐标，进而得到一元二次方程的根，本题得以解决． 【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于、B两点，顶点为， ∴点B的坐标为， ∴当时，即此时或， ∴一元二次方程的根是 故选：B． 7. 如图是抛物线型的拱桥，当拱顶离水面2米时，水面宽4米，如果水面宽为米，则水面下降（ ）米． A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 10米 【答案】A 【解析】 【分析】把拱桥作为平面直角坐标系的原点，以水平线为横轴，以过原点且垂直垂直于横轴的直线为纵轴建立平面直角坐标系，抛物线的顶点是坐标原点，对称轴为轴，根据二次函数的性质求出水面下降的距离即可． 【详解】如图， 设抛物线解析式为 由已知可得过 ， ， 当 时， ， 水面下降1米， 故选：A 【点睛】本题考查了二次函数解析式的性质，解决本题的关键是根据题意画图，求出抛物线解析式． 8. 如图，在同一坐标系中，二次函数与一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象，逐项判断 符号，即可求解． 【详解】解：A、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； B、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； C、由二次函数图象，可得 ，一次函数图象，可得 ，相矛盾，故本选项错误，不符合题意； D、由二次函数图象，可得 ，，一次函数图象，可得 ，，故本选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了二次函数和一次函数的图象和性质，根据函数图象，得到 符号是解题的关键． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 七（1）班有男生20人，女生30人，从该班级随机选出一名学生担任值日班长，则选出的值日班长是女生的概率为________． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据等可能事件求概率的公式计算：如果一个事件有中等可能结果，时间A包含其中的m中结果，那么时间A发生的概率：． 【详解】解：∵七（1）共有20+30=50名学生，其中女生有30人， ∴选出的值日生是女生的概率为． 故答案为： 【点睛】本题考查等可能事件的概率，属于基础题，熟练掌握其运算公式是解题的关键． 10. 用配方法将二次函数化为的形式为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的三种形式，运用配方法把二次函数的一般形式化为顶点式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 11. 若抛物线经过点 和点，则这条抛物线的对称轴是直线__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性求解即可． 【详解】解：∵抛物线经过点 和点， ∴A、B为抛物线与x轴的交点，即A、B关于对称轴对称， ∴这条抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 【点睛】本题考查二次函数的性质，会根据抛物线的对称性得到对称轴是解答的关键． 12. 如图，将以A为直角顶点的等腰直角三角形ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使点B′与C点重合，连结A′B，则tan∠A'BC'的值为______________． 【答案】 【解析】 【分析】tan∠A'BC'的值，根据三角函数的定义可以转化为直角三角形的边长的比来求．因而过A′作出A′D⊥BC′，垂足为D．在直角△A′BD中，根据三角函数的定义就可以求解． 【详解】 解：过A′作A′D⊥BC′，垂足为D． 在等腰直角三角形A′B′C′中，则A′D是底边上的中线， ∴A′D=B′D= B′C′． ∵BC=B′C′， ∴tan∠A'BC'===． 故答案为． 【点睛】本题利用了等腰直角三角形中，底边上的高与底边上的中线重合和直角三角形中斜边上的中线是斜边的一半． 13. 抛物线的部分图象如图所示，则当时，x的取值范围是______； 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，二次函数与不等式之间的关系，先由对称性求出抛物线与x轴的另一个交点坐标为，再结合函数图象即可得到答案． 【详解】解：∵抛物线对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，当时，x的取值范围是， 故答案为：． 14. 已知二次函数（，，是常数，）的与的部分对应值如下表： －5 －4 －2 0 2 6 0 －6 －4 6 下列结论： ① ②当时，的值随的增大而减小 ③方程有两个不相等的实数根 ④当时，函数有最小值－6 其中，正确结论的序号是______（把所有正确结论的序号都填上） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】任意取表格中的三组对应值，求出二次函数的关系式为，可判断①，求解抛物线的对称轴方程为，可判断②，由方程为，再根据一元二次方程根的判别式可判断③，由二次函数的对称轴方程为，可得函数的最小值，可判断④，从而可得答案． 【详解】解：将代入得： ， 解得：， ∴抛物线的关系式为， a=1＞0，因此①符合题意； 对称轴为，即当＜时，的值随的增大而减小， 则当时，的值随的增大而减小，因此②符合题意； 方程，也就是， 即方程，由＞0 可得有两个不相等的实数根，因此③符合题意； 由抛物线的对称轴方程为， 所以当时，函数有最小值， 因此④不符合题意； 综上正确的结论有：①②③， 故答案为：①②③． 【点睛】本题考查利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的联系，理解和掌握二次函数的图象与系数的关系是正确判断的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查特殊角三角函数的混合运算以及零指数幂，原式分别代入特殊角三角函数值，再计算零指数幂，最后再进行加减运算即可． 【详解】解： 16. 我校计划在9月第二周的星期五至星期日开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动．请用树状图或列表法求小明同学随机选择两天，其中一天是星期五的概率是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率.列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件.用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．由树状图得出共有6个等可能的结果，其中有一天是星期五的结果有4个，由概率公式即可得出结果． 【详解】解：根据题意画图如下： 由树状图可知，共有6个等可能的结果，小明同学随机选择两天，其中有一天是星期五的结果有4个， ∴小明同学随机选择两天，其中有一天是星期五的概率为． 17. 已知抛物线与轴交于点（点在点的左侧）与轴交于点． （1）求点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为 （2） 【解析】 【分析】（1）令求出的值，再根据位置即可得出答案； （2）令即可求出的值，从而得出点C的坐标，结合（1）中点A，B的坐标即可求出三角形的面积． 【小问1详解】 解： 令 则或 抛物线与轴交于点（点A在点B的左侧） 点A的坐标为，点B的坐标为； 【小问2详解】 解： 令则 抛物线与轴交于点 点C的坐标为 由（1）知，点A的坐标为，点B的坐标为 ，AB边上的高为 的面积为． 【点睛】本题考查了抛物线与轴，轴的交点问题，主要考查函数图象上点的坐标特征，熟练掌握函数与坐标轴的交点、顶点等点的坐标的求法是解题的关键． 18. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．点A、均在格点上，只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中按下列要求作四边形，使其是轴对称图形且点、均在格点上． （1）在图①中，四边形面积为2； （2）在图②中，四边形面积为3； （3）在图③中，四边形面积为4． 【答案】（1）如图①：四边形即为所求； （不唯一）． （2）如图②：四边形即为所求； （不唯一）． （3）如图③：四边形即为所求； （不唯一）． 【解析】 【分析】本题考查网格作图、设计图案、轴对称的性质、平移的性质等知识点，根据轴对称的性质、平移的性质作图是解题的关键． （1）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为2四边形即可． （2）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为3四边形即可． （3）根据轴对称的性质、平移的性质作出面积为4四边形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 19. 抛物线y=x2﹣2x+c经过点（2，1）． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）将抛物线y=x2﹣2x+c沿y轴向下平移后，所得新抛物线与x轴交于A、B两点，如果AB=2，求新抛物线的表达式． 【答案】（1）(1,0)；（2）y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x． 【解析】 【分析】（1）把（2，1）代入y=x2-2x+c中求出c的值即可得到抛物线解析式，然后配成顶点式得到顶点坐标； （2）先确定抛物线y=x2-2x+1的对称轴，再利用抛物线的对称性得到A（0，0），B（2，0），然后利用交点式可写出新抛物线的表达式． 【详解】（1）把（2，1）代入y=x2﹣2x+c得4﹣4+c=1，解得c=1， 所以抛物线解析式为y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2； ∴抛物线的顶点坐标为（1，0）. （2）由（1）知抛物线的对称轴为直线x=1， 而新抛物线与x轴交于A、B两点，AB=2， 所以A（0，0），B（2，0）， 所以新抛物线的解析式为y=x（x﹣2），即y=x2﹣2x． 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 20. 行驶中的汽车刹车后，由于惯性的作用，还会继续向前滑行一段距离，这段距离称为“刹车距离”，刹车距离是分析交通事故的重要依据．在一条限速的高速公路上，甲、乙两车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相撞了．事后测得甲车的刹车距离为，乙车的刹车距离超过，但小于，根据两车车型查阅资料可知：甲车的车速与刹车距离之间有关系：；乙车的车速与刹车距离之间则有关系：．请从两车的速度方面分析相撞是因为谁超速了． 【答案】由于乙车超速行驶，导致两车相撞 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，由，求出乙车的速度大于，小于，可知乙车超速；由，求出甲车的速度为，可知甲车未超速，从而判断事故原因即可． 【详解】解：∵乙车的刹车距离超过，但小于， ∴乙车的速度大于，小于， ∵公路限速， ∴.乙车超速； ∵甲车的刹车距离为， 解得，或（舍去） ∵， ∴甲车未超速； ∴由于乙车超速行驶，导致两车相撞． 21. 如图，抛物线与x轴正半轴交于点，以为边．在x轴上方作正方形，延长交抛物线于点D，再以为边向上作矩形，使． （1）求a的值： （2）求点F的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由于抛物线过点，可将A的坐标代入抛物线中即可求出a的值； （2）点F的横坐标与点A的横坐标相同，纵坐标等于，因为，因此求出的长是解题的关键，可先根据抛物线的解析式求出D的横坐标（D的纵坐标是的长），然后根据即可得出的值，也就求出了的长，即可得出点F的坐标． 【小问1详解】 解：依题意得：把点代入中， 得； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 当时，， 即， 解得，（舍去）， ∴， 则， 四边形是矩形，且， 所以， ∴， ∴点F的坐标为． 【点睛】本题考查了正方形的性质以及用待定系数法求二次函数等相关知识点，（2）题中根据抛物线的解析式求得D点的坐标是解题的关键． 22. 数学活动课上，老师组织数学小组的同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【动手实践】 （1）如图（1），已知正方形纸片，数学小组将正方形纸片沿过点A的直线折叠，使点B落在正方形的内部，点B的对应点为点M，折痕为，再将纸片沿过点A的直线折叠使与重合，折痕为，易知点E、M、F共线，则 °，三条线段的关系为 ； 【拓展应用】 （2）解决下面问题： ①如图（2）作于点N，交于点P，求证：； ②如图（3），数学小组在图（1）的基础上进行如下操作：将正方形纸片沿继续折叠，点C的对应点为点N，他们发现，当点E的位置不同时，点N的位置也不同，若点N恰好落在边上，，请直接写出此时的长度． 【答案】（1），； （2）①∵， ． ， ， ． 中，， ． 中，， ， ． 在和中， ， ． ②的长为或． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，由此可得．由可得三点共线．又由可得． （2）①由，可得，于是可得，由“同角的余角相等”可得，最后根据角边角即可证明． ②分两种情况：当点N落在上时，当点N落在上时，分别利用三角函数解直角三角形即可求得的长． 【详解】（1）∵四边形是正方形， ． 沿折叠后得，沿折叠后得， ， ， ， 即． ， ． 三点共线． ， ， ． 故答案为：，． （2）①略 ②如图，当点N落在上时， ∵四边形是正方形， ． 由折叠的性质可得， ， ． ， ∴； 如图，当N落在上时， ∵四边形是正方形， ， 由折叠的性质可得， 又， ， ∴， ， ， ， 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、利用三角函数解直角三角形，综合性强，难度较大．熟练掌握正方形的性质和翻折变换的性质，证出是解题的关键． 23. 如图，在中，，动点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线向终点B匀速运动．当点P不与A、B重合时，过P作于D，以为邻边作矩形，设点P运动的时间是t（秒）． （1）线段的长为____________； （2）当矩形恰好是正方形时，求t的值； （3）当时，求t的值： （4）延长到点Q，使，连结．当直线分矩形的面积为两部分时，直接写出t的值． 【答案】（1）5 （2） （3） （4）的值为或 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，矩形的性质以及矩形的面积，解题的关键是熟练掌握分类讨论思想和相似三角形的判定与性质： （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据矩形恰好是正方形，则，根据相似三角形的性质即可求解； （3）根据相似三角形的性质即可求解； （4）分情况讨论，①当点P在上时，②当点P在上时，根据三角形相似和矩形面积公式即可求解， 【小问1详解】 解：在中，， ∴， 故答案为：5； 【小问2详解】 解：∵矩形恰好是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴，，， ∴， ∴ ∴的值为： 【小问3详解】 解：则（2）知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的值为： 【小问4详解】 解：设与交于点， ①当点在上时，如图， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵直线分矩形的面积为两部分， ∴或， ∴，或； ∵， ∴或 ∵， ∴， ∴； ②当点P在上时，如图， ∵， ∴ ∴， ∴ ∵直线分矩形的面积为两部分， ∴或， ∴，或； ∵， ∴或 ∵ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上，的值为或 24. 如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、B（﹣1，0）、C（2，﹣3），抛物线与x轴的另一交点为点E，点P为抛物线上一动点，设点P的横坐标为t． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P在第一象限，点M为抛物线对称轴上一点，当四边形MBEP恰好是平行四边形时，求点P的坐标； （3）若点P在第四象限，连结PA、PE及AE，当t为何值时，△PAE的面积最大？最大面积是多少？ （4）是否存在点P，使△PAE为以AE为直角边的直角三角形，若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y＝x2﹣2x﹣3；（2）P（4，5）；（3）当t＝时，S有最大值；（4）存在，理由，点P的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4） 【解析】 【分析】（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1，故点E（3，0），即可求解； （2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝3，故t＝4，则点P（4，5）； （3）△PAE的面积S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t），即可求解； （4）分∠PEA＝90°、∠PAE＝90°两种情况，分别求解即可． 【详解】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（0，﹣3）、C（2，﹣3），则函数的对称轴为：x＝1， 故点E（3，0）， 抛物线表达式为：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3）， 故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1， 故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3…①； （2）四边形MBEP恰好是平行四边形时，则MP＝BE＝4， 故t＝4，则点P（4，5）； （3）过点C作y轴的平行线交AE于点H， 由点A、E的坐标得直线AE的表达式为：y＝x﹣3， 设点P（t，t2﹣2t﹣3），则点H（t，t﹣3）， △PAE的面积S＝PH×OE＝（t﹣3﹣t2+2t+3）＝（﹣t2+3t）， 当t＝时，S有最大值； （4）直线AE表达式中的k值为1，则与之垂直的直线表达式中的k为﹣1． ①当∠PEA＝90°时， 直线PE的表达式为：y＝﹣x+b，经点E的坐标代入并解得： 直线PE的表达式为：y＝﹣x+3…②， 联立①②并解得：x＝﹣2或3（舍去3）， 故点P（﹣2，5）； ②当∠PAE＝90°时， 同理可得：点P（1，﹣4）； 综上，点P的坐标为：（﹣2，5）或（1，﹣4）． 【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、平行四边形的性质、面积的计算等，其中（4），要注意分类求解，避免遗漏． 第1页/共1页 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