专题06有理数的乘方知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题06有理数的乘方知题通关讲义 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 运算技巧 小数统一化为分数，方便约分； 带分数拆成整数 + 分数再计算； 灵活使用加法交换律、结合律、乘法分配律简化计算； 乘除混合统一转化为乘法（除以一个数 = 乘它的倒数） 知识点07:近似数、精确位数（拓展配套知识点） 准确数：完全符合实际的精确数值； 近似数：通过四舍五入得到、与实际接近的数； 精确到哪一位判断：看最后一位有效数字对应的数位。 例：3.14精确到百分位；5.2103精确到百位。 1. 混淆带括号与不带括号的底数 提醒：(-a)n 的底数是整体-a；-an 的底数只有a，先算乘方再取相反数。典型错例：(-2)4=16，-24=-16，二者完全不同。 2. 负数乘方符号判断失误 提醒：负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负；符号由底数括号和指数奇偶共同决定，不可随意判断正负。 3. 分数乘方漏写括号导致计算错误 提醒：分数乘方必须整体加括号，()2=；无括号时只有分子乘方，=，意义和结果完全不同。 4. 0和1的乘方规律记忆混淆 提醒：1的任意正整数次幂结果恒为1；0的任意正整数次幂结果恒为0，不存在0的负指数幂。 5. 对底数、指数管辖范围理解错误 提醒：指数只管辖紧挨着的单个数字或括号整体，数字前的符号、系数不属于底数，不受指数管辖。 6. 有理数混合运算顺序错乱 提醒：混合运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减。学生常颠倒顺序，优先计算加减，导致整题出错。 7. 忽略偶次幂的非负性 提醒：任意有理数的偶次幂一定大于或等于0，结果不可能为负数；求值、判断正误题型极易遗漏等于0的情况。 8. 多重负号与乘方运算顺序颠倒 提醒：多层符号叠加乘方时，必须先算乘方，再化简符号，顺序颠倒会导致符号完全算反。 9. 概念混淆：把指数当作乘数 提醒：乘方是相同因数的连乘，不是底数乘指数。典型低级错误：错算32=32。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★★ 题型六 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型七 算 “24” 点 ★★★ 题型八 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型九 计算器 —— 有理数 ★ 题型十 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型十二 求一个数的近似数 ★ 题型十三 求近似数的精确度 ★★ 题型十四 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一、有理数幂的概念理解 1．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据有理数幂的意义得：． 2．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 【答案】D 【详解】解：的底数是，负号不属于底数部分，故A错误． 表示个相乘，不是相加，故B错误． 表示个相乘的相反数，表示个相乘，二者意义不同，故C错误． 是的相反数，表示个相乘的积，故表示个相乘的积的相反数，D正确． 3．先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查新定义运算，根据对数的定义，分别计算和的值，再进行减法运算． 【详解】解：计算：根据对数的定义，求满足的指数． ，，，因此，即． 计算：同理，求满足的指数． ，因此，即． 求差：． 故选A． 题型二、有理数的乘方运算 4．计算：___________． 【答案】 【分析】根据有理数乘方的运算法则，负数的奇次幂为负数，先计算底数绝对值的乘方，再确定结果的符号． 【详解】解：． 5．若，则的值为____． 【答案】 【分析】根据绝对值与偶次方的非负性，当两个非负数的和为0时，这两个非负数均为0，据此求出x、y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴且， 解得：，， 则． 6．材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么，_____． 【答案】 【分析】本题考查新定义，根据对数的定义，先求出和的值，然后代入表达式进行计算即可． 【详解】解：由对数的定义可知： ， ； ， ． 代入原式： 故答案为：. 7．我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的___________． 【答案】11001 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．本题的关键点是考生要在十进制的基础上理解二进制的表示方式，发现规律，应用规律，此题较为新颖，是近几年的常考题.根据题意，结合题意，将十进制数25表示为，继而得解． 【详解】解：，因此最高位为1，剩余； ，因此下一位为1，剩余； ，因此下一位为0； ，因此下一位为0； ，因此最后一位为1， ∴， ∴二进制表示为11001， 故答案为：11001． 题型三、有理数乘方逆运算 8．已知a、b互为倒数，化简：______． 【答案】 【分析】本题考查了倒数，有理数的混合运算，积的乘方的逆运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． 根据倒数的意义可得，然后计算乘方，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵a、b互为倒数， ∴ ∴ 故答案为：． 9．，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 【答案】B 【分析】先把原式变形为，从而得到，即可求解． 【详解】解： ＝1×8 ＝8 故选：B． 【点睛】本题主要考查了有理数乘方运算，掌握有理数乘方的意义是解题的关键． 10．如果，那么___________． 【答案】4 【分析】本题考查了有理数的乘方的定义及法则．熟练掌握有理数的乘方的定义是解题的关键．根据有理数乘方的定义，已知等式中的相当于的5次方，由此可以求出x的值为．已知等式中的8相当于2的3次方，由此可以求出y的值为2．进而可求出的值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， 因此． 故答案为：4． 11．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 【答案】A 【分析】先根据乘方确定，根据新定义求出，然后代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ， ． 故选：A． 【点睛】本题考查新定义对数函数运算、乘方的逆运算等知识点，仔细阅读题目中的定义，找出新定义运算的实质是乘方的逆运算是解答本题的关键． 题型四、乘方运算的符号规律 12．一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 【答案】B 【分析】本题主要考查了有理数的乘方运算，根据正数的任何次幂都是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂为负数求解即可． 【详解】解：正数的任何次幂都是正数，几次幂就是几个数相乘，例如2的3次幂就是3个2相乘，8的5次幂就是5个8相乘…都是正数相乘，结果肯定是正数．负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数．因为负负得正，所以两个负数相乘等于正数，负数的奇次幂两两配对后，还多一个负数，所以结果就是负数， 故选：B． 13．当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查乘方的运算，掌握乘方的运算法则是解题的关键． 根据乘方的意义进行判断即可． 【详解】解：当时， ①，正确． ②，正确． ③，故错误． ④，则，故错误． 故选：A． 14．下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 【答案】B 【分析】根据乘方的定义逐一计算判断即可，注意符号． 【详解】解：A．32＝9，23＝8，故选项A不符合题意； B．（﹣2）3＝﹣8，﹣23＝﹣8，故选项B符合题意； C．﹣32＝﹣9，（﹣3）2＝9，故选项C不符合题意； D．﹣（2×3）2＝﹣36，﹣2×32＝﹣2×9＝﹣18，故选项D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题考查乘方的定义，根据乘方的定义准确计算是解题的关键． 题型五、乘方的应用 15．某种细胞每30分钟由1个分裂成2个，经过4小时后，这种细胞由1个分裂成 ________ 个． 【答案】256 【分析】根据题意可知，经过4小时这种细胞分裂8次，利用乘方运算计算即可． 【详解】解：根据题意得：（次）， 则经过4小时，这种细胞由1个能分裂成（个）． 16．一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：第一次后剩下的绳子的长度为， 第二次后剩下的绳子的长度为米； 第三次后剩下的绳子的长度为米； ； ∴第六次后剩下的绳子的长度为米． 17．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 【答案】 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据题意可以列出算式，然后计算即可． 【详解】解：由图可得， ， ∴他一共捞得的鱼的数量为条， 故答案为：． 题型六、程序流程图与有理数计算 18．如图是一个数值转换机，若输入的数x为，则输出的数是_____ ． 【答案】7 【详解】 解：由图可得， 当时，， ， ， ∴输出的结果为7． 19．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为，第2025次输出的结果为___________ 【答案】3 【分析】本题考查了数字变化的规律. 根据题意，能通过计算发现从第三次输出的结果开始，后面的奇数次输出的结果为3，偶数次输出的结果为1，依次求出每次输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 当开始输入的x值为81时， 第一次输出的结果为27， 第二次输出的结果为9， 第三次输出的结果为3， 第四次输出的结果为1， 第五次输出的结果为3， 第六次输出的结果为1， …， 由此可见，从第三次输出的结果开始，后面的奇数次输出的结果为3，偶数次输出的结果为1． 因为2025为奇数， 所以第2025次输出的结果为3． 故答案为：3． 20．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2026次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及有理数的混合运算，能通过计算发现从第2次输出的结果开始按6，3，8，4，2，1循环是解题的关键． 根据题意，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为开始输入x的值是7， 所以第1次输出的结果是12， 第2次输出的结果是6， 第3次输出的结果是3， 第4次输出的结果是8， 第5次输出的结果是4， 第6次输出的结果是2， 第7次输出的结果是1， 第8次输出的结果是6， …， 由此可见，从第2次输出的结果开始按6，3，8，4，2，1循环． 因为， 所以第2026次输出的结果是8． 故选：D． 题型七、算 “24” 点 21．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 【答案】 【分析】根据题意和题目中的数字，可以写出一个结果为24的算式，注意本题答案不唯一． 【详解】解： 22．24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式______． 【答案】 【分析】本题主要考查有理数的混合运算．熟练掌握有理数的混合运算是解题的关键．根据有理数的混合运算可进行求解． 【详解】解：． 故答案为：． 23．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 【答案】A 【分析】根据题意，逐项组合计算，即可作答． 【详解】A项，1，6，8，7，不能算出结果为24，故符合题意； B项，，能算出结果为24，故不符合题意； C项，，能算出结果为24，故不符合题意； D项，，能算出结果为24，故不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了数之间的混合运算，根据已有的数据灵活组合举例，是解答本题的关键． 题型八、含乘方的有理数混合运算 24．计算（   ） A． B．14 C． D．6 【答案】C 【分析】本题考查有理数的混合运算，原式先计算乘方、再计算乘法、最后进行加减运算即可. 【详解】解： ． 故选：C． 25．新定义一种运算“&”：，例如，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查含乘方的有理数混合运算，解题的关键是理解题意；根据题中所给新定义运算可进行求解． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为． 26．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　） 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据有理数运算顺序（先乘方，再乘除，最后加减，有括号先算括号），分别验证每位同学的计算过程． 【详解】解：A.甲：，应先除法后减法，故，，故甲错误； B.乙：，应先指数、后乘法、再减法，故乙错误； C.丙：，且分配律使用正确，故丙正确； D.丁：，应先指数，后乘法，再加法，故丁错误； 故选：C． 题型九、计算器 —— 有理数 27．用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了有理数的除法运算，先理解题意，得出，即可作答． 【详解】解：观察题干，得出， 则计算结果是 故选：C． 28．用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是__________．（参考数据提示：，） 【答案】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，根据数字的特点得到分数，化简即可得到结果，根据数字的特点得到分数是解题的关键． 【详解】解：由题可得， ∵，， ∴， 即再按计算器的转换键显示的分数结果是， 故答案为：． 29．如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 【答案】B 【分析】本题考查了科学计算器，熟练掌握科学计算器使用原理方法，是解题的关键， 此按键顺序是使计算器先自动计算立方，再计算乘除， 【详解】解：根据按键顺序可得算式为：． 故选：B． 题型十、用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 30．2026年5月18日，第二十一届“中国光谷”国际光电子博览会开幕．我国在光通信核心器件领域取得突破，全球首款面向算力集群的硅光单模产品亮相，光纤传输速率为每秒比特，即．将数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】科学记数法的标准形式为，其中，为整数．先确定的取值，因为要满足，所以需要将原数的小数点向左移动，得到符合要求的．再确定的取值，因为的绝对值等于原数小数点移动的位数，且原数绝对值大于10时为正，所以根据小数点移动的位数得到的值，即可写出科学记数法的表达式． 【详解】解：． 31．光的速度约是万千米/秒，这个速度用科学记数法表示为（     ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 【答案】D 【分析】先将题目中的速度单位换算为米/秒，再根据科学记数法的定义（形式为，其中，为整数）得到正确结果，判断选项． 【详解】解：∵ 30万千米/秒 = 千米/秒 = 米/秒 米/秒， 符合科学记数法的要求， ∴ 正确选项为D． 32．2026年5月13日，我国金川水电站正式并网发电，该电站年发电量约35亿度，数据35亿用科学记数法表示为__________． 【答案】 【详解】解：亿． 题型十一、将用科学记数法表示的数变回原数 33．北京故宫的占地面积大约为平方米，用科学记数法表示的数，原来是__________ 【答案】720000 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为正整数，将其还原为原数，只需将的小数点向右移动位即可． 【详解】解：． 34．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 【答案】C 【详解】解：千米/小时米/小时． 35．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 【答案】A 【分析】用科学记数法表示绝对值大于的数，其科学记数法的表示形式为，其中，n为整数，且的值为原数的整数位数减，据此求解即可． 【详解】解：，故A正确，B错误； 该数是一个位数，故C，D错误． 题型十二、求一个数的近似数 36．（大数的读写）世界上最大的海洋是太平洋，包括属海的面积约是平方千米，这个数读作__________，改写成以“万”为单位的数是__________万，省略亿位后面的尾数约为__________亿． 【答案】 一亿八千一百三十四万 【分析】整数的读法：从高位到低位，一级一级地读，每一级末尾的都不读出来，其他数位连续几个都只读一个“零”．改写成用“万”作单位的数，就是把万位后面的个去掉，再在数的后面写上“万”字．省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字． 【详解】读作一亿八千一百三十四万；数中，万位上的数字为，去掉末尾的个为，所以改写成以“万”为单位的数是万；数中，亿位上数字为，千万位上的数为，满向前进，故亿． 37．数学中的黄金分割比（约为）在作曲领域也被广泛认可．在创作一些乐曲时，音乐家会将高潮或者是音程、节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点处．如果要创作一首共小节的乐曲，根据黄金分割比，高潮安排在第（     ）小节处比较合适 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据黄金分割比，用乐曲的小节总数乘以黄金分割比，即为高潮处． 【详解】解：． ∵四个选项中与最接近的是， ∴高潮安排在第小节处比较合适． 38．下列说法中正确的是（   ） A．万精确到万位 B．近似数千和精确度是相同的 C．精确到千位可以表示为万，也可表示为 D．近似数和的精确度不相同 【答案】C 【分析】本题考查了近似数和有效数字，熟练掌握近似数和有效数字是解题的关键； 精确位和有效数字是精确度的两种常用的表示形式，它们实际意义是不一样的，前者可以体现出误差值绝对数的大小，而后者往往可以比较几个近似数中哪个相对更精确一些． 根据近似数的精确度对各选项进行判断． 【详解】解：A．万精确到百位，所以选项错误； B．近似数千精确度到千位，近似数精确到个位，所以选项错误； C．精确到千位可以表示为万，也可以表示为，所以选项正确； D．近似数和都精确到十分位，精确度是一样的，所以选项错误． 故选：C 题型十三、求近似数的精确度 39．《九章算术》的“粟米”一章中提到斗粟米可以兑换斗御米，用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数的近似，准确分析判断是解题的关键． 精确到百分位需看千分位数字，千分位为，故进位． 【详解】∵ 的千分位数字是8，， ∴ 向百分位进位，百分位1变为2， ∴ 得到． 故选：D． 40．下列由四舍五入得到的近似数说法错误的是（   ） A．精确到千分位 B．10000精确到万位 C．万精确到千位 D．960万精确到万位 【答案】B 【分析】本题考查近似数的精确度判断．近似数精确到哪一位，取决于其最后一位数字所在的数位． 【详解】解：A．的最后一位数字5在千分位，因此精确到千分位，故A正确，不符合题意； B．近似数10000，在没有明确说明的情况下，通常约定其精确到个位，因此“精确到万位”的说法错误，故B错误，符合题意； C．万，最后一位有效数字3在千位，因此精确到千位，故C正确，不符合题意； D．960万，最后一位有效数字0在万位，因此精确到万位，故D正确，不符合题意． 故选：B． 41．一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 _______；改写成用“万”作单位的数是 _______；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 _______． 【答案】 106053900 万 1亿 【分析】本题主要考查了整数的读写及改写，近似数等知识点，在亿位上写1，百万位上写6，万位上写5，千位上写3，百位上写9，其它数位没有数用0占位，改写成用万作单位的数，就是在万位数的右下角点上小数点，然后把小数末尾的0去掉，再在数的后面写上“万”字；省略“亿”后面的尾数就是四舍五入到亿位，把亿位后的千万位上的数进行四舍五入，再在数的后面写上“亿”字，熟练掌握其改写方法是解决此题的关键． 【详解】一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是106053900；改写成用“万”作单位的数是万；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约1亿， 故答案为：106053900，万，1亿． 题型十四、近似数推断取值范围 42．如果一个数省略亿位后面的尾数得到的近似数是4亿，将这个数的最大值减去最小值所得的结果记为a，那么a是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了亿以内的数的近似数，根据四舍五入可知一个数省略亿位后面的尾数得到的近似数是4亿，最大的数是，最小的数是，即可作答． 【详解】解：∵一个数省略亿位后面的尾数得到的近似数是4亿， ∴最大的数是，最小的数是， ∴， 故选：A 43．已知是一个三位小数，用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据近似数推断取值范围，当舍去千分位得到时，则它的最大值小于；当的千分位进1得到时，则它的最小值是；据此即可求解； 【详解】解：当舍去千分位得到时，则它的最大值小于； 当的千分位进1得到时，则它的最小值是. ∴所以的取值范围是：， 又因为是一个三位小数， 所以的取值范围是， 故选：D 44．一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是( )，最小是( )． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数；要考虑是一个两位小数的近似数，有两种情况：“四舍”得到的最大是，“五入”得到的最小是，即可求解． 【详解】解：一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是，最小是． 故答案为：，． 解答题 1．计算∶ (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算． （1）先算乘方，再算乘法，后算加减； （2）利用乘法分配律计算即可； （3）先利用乘法分配律计算，再算乘法，后算加减； （4）利用乘方的意义计算即可． 【详解】（1） （2） （3） （4） 2．按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 【答案】(1)假设所在地区人口300万，一年需砍棵这样的大树 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树 (2)解：我们应减少一次性筷子的使用，保护森林资源，践行绿色生活（答案不唯一）． 【分析】（1）城市人口数乘以一年的天数分别除以和即可得到一年大约需要多少棵树，科学记数法的形式：，且n为整数； （2）从减少一次性筷子这方面提建议． 【详解】（1）解：假设所在地区人口约为万，一年按天计算， ， ， 所在地区一年需砍棵这样的大树； ， ， 1000万人口的城市一年需砍棵这样的大树． （2）略 3．P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据P，Q，K的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： ． 计算： 原式＝ ． 【答案】(1)①9；②6 (2) 【分析】本题考查有理数的混合运算，结合已知条件列得正确的算式是解题的关键． （1）①根据题意列式计算即可； ②根据题意列式计算即可； （2）根据题意列式计算即可． 【详解】（1）解：①按的顺序，所给数字为“”时， ； ②按的顺序，所给数字为“”时， ； （2）解：若给出某个数，按的顺序运算的结果为14， 则 ， 即符合条件的数为． 4．如图是一扇拱门，上部分是半径为的半圆，下部分是边长为的正方形，则这扇拱门的面积是多少平方米？（精确到取3.14） 【答案】 【分析】根据拱门面积等于半圆面积与正方形的面积的和求解即可. 【详解】解：， 答：这扇拱门的面积是. 5．如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是__________； (2)取4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式使结果为24． 【答案】(1) (2)(答案不唯一) 【分析】本题考查了有理数的混合运算，解题的关键是掌握有理数的运算法则． （1）根据3张卡片上数字乘积最小的数就是找一个负数和两正数且三数的绝对值较大的特征求解即可； （2）用加减乘除运算，只要答数是24即可． 【详解】（1）解：从中抽出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是： 故答案为：； （2）解：由题意可得(答案不唯一). 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06有理数的乘方知题通关讲义 知识点01:乘方基础概念 1.定义：求几个相同因数积的运算叫做乘方。 2.各部分名称 an整体称为幂；a是底数；n是指数。 读法：an读作a的n次方（或a的n次幂）。 3.特殊读法与规定 a2：平方；a3：立方； 指数为 1 时省略不写，即a1=a。 关键书写要求：负数、分数作底数时，必须整体加括号再写指数。 4.易混乘方式子对比（高频考点表格） 知识点02:乘方符号判定法则 1.正数的任意次幂一定是正数； 2.0 的任意正整数次幂等于 0； 3.负数：偶次幂为正，奇次幂为负。 知识点03:科学记数法 1.适用对象：大于 10 的大数 标准形式：a10n 硬性要求：1a<10，n为正整数。 2.指数n快速确定方法：原数整数位数-1 3.两类题型：大数改写科学记数法、科学记数法还原成原数。 4.易错点：a不能大于等于 10，也不能小于 1。 知识点04:有理数混合运算固定顺序（必背） 1.先算括号：从小括号→中括号→大括号，由内向外计算； 2.无括号层级：先乘方，再乘除，最后加减； 3.同级运算（只加减 / 只乘除）：从左往右依次计算。 知识点05:混合运算简便计算工具：三大运算律 加法交换律：a+b=b+a 加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律、结合律、分配律 a(b+c)=ab+ac 重点提醒：使用分配律时，括号内每一项都要与括号外数字相乘，不可漏乘。 知识点06:混合运算标准解题步骤 第一步：全部计算式子内的乘方，分清(-a)n与-an； 第二步：所有除法统一转化为乘倒数，处理全部乘除； 第三步：运用运算律分组凑整、约分简化计算； 第四步：最后完成加减运算，得出最简结果。 运算技巧 小数统一化为分数，方便约分； 带分数拆成整数 + 分数再计算； 灵活使用加法交换律、结合律、乘法分配律简化计算； 乘除混合统一转化为乘法（除以一个数 = 乘它的倒数） 知识点07:近似数、精确位数（拓展配套知识点） 准确数：完全符合实际的精确数值； 近似数：通过四舍五入得到、与实际接近的数； 精确到哪一位判断：看最后一位有效数字对应的数位。 例：3.14精确到百分位；5.2103精确到百位。 1. 混淆带括号与不带括号的底数 提醒：(-a)n 的底数是整体-a；-an 的底数只有a，先算乘方再取相反数。典型错例：(-2)4=16，-24=-16，二者完全不同。 2. 负数乘方符号判断失误 提醒：负数的偶次幂为正，负数的奇次幂为负；符号由底数括号和指数奇偶共同决定，不可随意判断正负。 3. 分数乘方漏写括号导致计算错误 提醒：分数乘方必须整体加括号，()2=；无括号时只有分子乘方，=，意义和结果完全不同。 4. 0和1的乘方规律记忆混淆 提醒：1的任意正整数次幂结果恒为1；0的任意正整数次幂结果恒为0，不存在0的负指数幂。 5. 对底数、指数管辖范围理解错误 提醒：指数只管辖紧挨着的单个数字或括号整体，数字前的符号、系数不属于底数，不受指数管辖。 6. 有理数混合运算顺序错乱 提醒：混合运算优先级：先乘方，再乘除，最后加减。学生常颠倒顺序，优先计算加减，导致整题出错。 7. 忽略偶次幂的非负性 提醒：任意有理数的偶次幂一定大于或等于0，结果不可能为负数；求值、判断正误题型极易遗漏等于0的情况。 8. 多重负号与乘方运算顺序颠倒 提醒：多层符号叠加乘方时，必须先算乘方，再化简符号，顺序颠倒会导致符号完全算反。 9. 概念混淆：把指数当作乘数 提醒：乘方是相同因数的连乘，不是底数乘指数。典型低级错误：错算32=32。 题型 考察方向 难度 题型一 有理数幂的概念理解 ★ 题型二 有理数的乘方运算 ★★ 题型三 有理数乘方逆运算 ★★★ 题型四 乘方运算的符号规律 ★★ 题型五 乘方的应用 ★★★ 题型六 程序流程图与有理数计算 ★★★ 题型七 算 “24” 点 ★★★ 题型八 含乘方的有理数混合运算 ★★★ 题型九 计算器 —— 有理数 ★ 题型十 用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 ★ 题型十一 将用科学记数法表示的数变回原数 ★ 题型十二 求一个数的近似数 ★ 题型十三 求近似数的精确度 ★★ 题型十四 近似数推断取值范围 ★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一、有理数幂的概念理解 1．计算可以表示为（     ） A． B． C． D． 2．下列说法正确的是（   ） A．的底数是 B．表示3个相加 C．与意义相同 D．表示个相乘的积的相反数 3．先阅读：①求几个相同因数连续相乘的运算叫做乘方，结果叫做幂．如：______．填9． ②如果正数的平方等于，则是算术平方根，如求9的算术平方根：______．填3． ③在底数、指数、幂中，知道底数和乘，通过逆运算可以求指数．如：______．填2； 再比如：______．填3．因此，我们又得到一种新运算“对数运算”，求，记作：．理解以上内容后计算（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型二、有理数的乘方运算 4．计算：___________． 5．若，则的值为____． 6．材料：一般地，n个相同因数a相乘：记为，如，此时，3叫做以2为底的8的对数，记为（即）．那么，_____． 7．我们常用的十进制，如：，表示十进制的数要用10个数码：0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．在计算机中用的是二进制，只有两个数码：0，1，如：二进制中．相当于十进制中的7，又如：．相当于十进制中的27．那么十进制中的25相当于二进制中的___________． 题型三、有理数乘方逆运算 8．已知a、b互为倒数，化简：______． 9．，由此你能算出（    ） A．6 B．8 C． D．十分麻烦 10．如果，那么___________． 11．定义运算：若，则，例如，则．运用以上定义，计算：（    ） A． B．2 C．1 D．4 题型四、乘方运算的符号规律 12．一个负数的奇次幂为（    ） A．正数 B．负数 C．正数或负数 D．分数 13．当时，下列各式成立的有（　　） ①；②；③；④． A．①② B．①③ C．①②④ D．②③④ 14．下列各组数中，数值相等的一组是（    ） A．32和23 B．（﹣2）3和﹣23 C．﹣32和（﹣3）2 D．﹣（2×3）2和﹣2×32 题型五、乘方的应用 15．某种细胞每30分钟由1个分裂成2个，经过4小时后，这种细胞由1个分裂成 ________ 个． 16．一根1米长的绳子第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，剪第六次后，剩下的绳子的长度为（   ） A． B． C． D． 17．《易经》中记载：远古时期就有“结绳计数”．一位男孩在从右到左依次排列的绳子上打结用来计数，如图，图中表示男孩用绳结记录的数字，按照五进制记数法，即右边的绳子打结满5个，则此绳子左边的绳子打1个结，原来绳子的结全部打开清零，以此类推，最左边的绳子上的每个结都是中间绳子满5进1得来．根据图中记录的五进制数字，若用十进制表示的数表示男孩捞得的鱼的数量，他一共捞得的鱼的数量为______条． 题型六、程序流程图与有理数计算 18．如图是一个数值转换机，若输入的数x为，则输出的数是_____ ． 19．如图是一个运算程序的示意图，若开始输入的值为81，我们看到第一次输出的结果为27．第二次输出的结果为，第2025次输出的结果为___________ 20．如图所示的运算程序中，若开始输入x的值是7，第1次输出的结果是12，第2次输出的结果是6，依次继续下去…，第2026次输出的结果是（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 题型七、算 “24” 点 21．有一种“24点”的扑克牌游戏的规则是：任意抽四张牌，将各张牌上的数用加、减、乘、除、乘方中的几种运算（可用括号，且各数只能用一次）列一个算式，先计算结果为“24”者获胜．现已抽出如图所示的四张牌（A表示1），则可算“24”点的算式是________（写出一个即可）　                  　 ． 22．24点游戏是一种益智游戏，24点是把4个整数（一般是正整数）通过加、减、乘、除或乘方等运算（可以使用括号），使最后的计算结果是的一个数学游戏（每个数字均使用1次）．写出1，2，2，3的24点游戏的一种计算式______． 23．“算24点”的游戏规则是：用“，，，”…四种运算符号把给出的4个数字连接起来进行计算，要求最终算出的结果是24，例如，给出2，2，2，8这四个数， 可以列式．以下的4个数用“，，，”四种运算符号不能算出结果为24的是（  ） A．1，6，8，7 B．1，2，3，4 C．4，4，10，10 D．6，3，3，8 题型八、含乘方的有理数混合运算 24．计算（   ） A． B．14 C． D．6 25．新定义一种运算“&”：，例如，则的值为______． 26．在数学课上，老师让甲、乙、丙、丁四位同学分别做了一道有理数运算题，你认为做对的同学是（　　） 甲：； 乙：； 丙：； 丁：． A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 题型九、计算器 —— 有理数 27．用课本上的计算器进行计算，若按键顺序如下：，则计算结果是（    ） A．1 B．2 C．4 D．9 28．用计算器计算一个有理数的混合运算时，依次按键正确计算后，计算器显示的小数结果是0.048148148……，再按计算器的转换键显示的分数结果是__________．（参考数据提示：，） 29．如果按照如图所示的按键顺序操作，那么最后的结果为(    ) A．32 B． C．48 D． 题型十、用科学记数法表示绝对值大于 1 的数 30．2026年5月18日，第二十一届“中国光谷”国际光电子博览会开幕．我国在光通信核心器件领域取得突破，全球首款面向算力集群的硅光单模产品亮相，光纤传输速率为每秒比特，即．将数据“”用科学记数法表示为（     ） A． B． C． D． 31．光的速度约是万千米/秒，这个速度用科学记数法表示为（     ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 32．2026年5月13日，我国金川水电站正式并网发电，该电站年发电量约35亿度，数据35亿用科学记数法表示为__________． 题型十一、将用科学记数法表示的数变回原数 33．北京故宫的占地面积大约为平方米，用科学记数法表示的数，原来是__________ 34．2025年10月31日神舟二十一号载人飞船采用自主快速交会对接模式，发射后仅用3.5小时与空间站成功对接，其平均速度高达千米/小时，则这个用科学记数法表示的数据原数是（     ）米/小时 A．2764810 B．2764800 C．27648000 D．276480000 35．地球上水的总储量为，但目前能被人们利用的水仅占总储量的，即约为，关于数据“”，下列说法正确的是（     ） A．用科学记数法可以表示为 B．用科学记数法可以表示为 C．该数是一个18位数 D．该数是一个19位数 题型十二、求一个数的近似数 36．（大数的读写）世界上最大的海洋是太平洋，包括属海的面积约是平方千米，这个数读作__________，改写成以“万”为单位的数是__________万，省略亿位后面的尾数约为__________亿． 37．数学中的黄金分割比（约为）在作曲领域也被广泛认可．在创作一些乐曲时，音乐家会将高潮或者是音程、节奏的转折点安排在全曲的黄金分割点处．如果要创作一首共小节的乐曲，根据黄金分割比，高潮安排在第（     ）小节处比较合适 A． B． C． D． 38．下列说法中正确的是（   ） A．万精确到万位 B．近似数千和精确度是相同的 C．精确到千位可以表示为万，也可表示为 D．近似数和的精确度不相同 题型十三、求近似数的精确度 39．《九章算术》的“粟米”一章中提到斗粟米可以兑换斗御米，用四舍五入法将精确到百分位，得到的结果是（   ） A． B． C． D． 40．下列由四舍五入得到的近似数说法错误的是（   ） A．精确到千分位 B．10000精确到万位 C．万精确到千位 D．960万精确到万位 41．一个数由1个亿、6个百万、5个万和39个百组成，这个数是 _______；改写成用“万”作单位的数是 _______；用“四舍五入法”省略“亿”后面的尾数约是 _______． 题型十四、近似数推断取值范围 42．如果一个数省略亿位后面的尾数得到的近似数是4亿，将这个数的最大值减去最小值所得的结果记为a，那么a是（   ） A． B． C． D． 43．已知是一个三位小数，用四舍五入法得到的近似数是，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 44．一个两位小数保留一位小数是，这个两位小数最大是( )，最小是( )． 解答题 1．计算∶ (1) (2) (3) (4) 2．按要求解答下列问题： (1)一棵生长了年的大树，仅能制成双一次性筷子．假设每人每天用1双一次性筷子，调查你所在地区的人口数，估算一下一年我们要为此砍多少棵这样的大树（用科学记数法表示）．如果是一个万人口的城市呢？ (2)根据（1）中的估算结果，你有何感想？ 3．P，Q，K所表示的运算如下表．若给出一个数，根据P，Q，K的排列顺序不同，可以得到不同的算式并计算结果． P Q K (1)所给数字为“”时， ①按的顺序列式并计算； ②按的顺序列式并计算． (2)若给出某个数，按的顺序运算的结果为14，求符合条件的数． 例如：所给数字为“5”，按的顺序运算，列得算式： ． 计算： 原式＝ ． 4．如图是一扇拱门，上部分是半径为的半圆，下部分是边长为的正方形，则这扇拱门的面积是多少平方米？（精确到取3.14） 5．如图，小明有4张写着不同的数字的卡片，请你按要求取出卡片，完成下列问题： (1)从中取出3张卡片，使这3张卡片上数字乘积最小，最小值是__________； (2)取4张卡片，用学过的运算方法，写出一个运算式使结果为24． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $