专题10一元一次方程的认识及解法知题通关讲义(核心重点+高频易错+题型精讲+拔高练习)2026-2027学年人教版七年级数学上册

专题10一元一次方程的认识及解法知题通关讲义 知识梳理 知识点1方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 方程同时满足两个条件：①有等号，是等式；②式子中含有未知数（字 母)。 ☑示例：2x-5=1,3y=0 X示例：2a+)(无等号，代数式)，4+6=10（无未知数） 知识点2列方程思路 1设未知数：用字母表示题目中的未知量： 2找等量关系：梳理题目不变的相等关系： 3根据等量关系列出等式，得到方程。 知识点3等式的基本性质 (解方程理论依据) 性质 分类 文字表述 数学形式 作用 性质 等式两边同时加上或减 去同一个数或式，等式仍若a=b,则a士c=b士c 移项、消去常数项 1 然成立 性质 等式两边同时乘同一个若ab, 2 数，或除以同一个不为0则“= 则ac=bc;若c≠0， 去分母、系数化为1 的数，等式仍然成立 △重要提醒：等式变形必须左右两边同时进行相同操作；不能同时除以 试卷第1页（共3页） 知识点4一元一次方程定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方 程。 三大判定条件（缺一不可）： 仅含1个未知数： 未知数最高次数为1； 分母不含未知数（整式方程）。 标准形式：ax+b=0(a0,a、b为常数) ☑示例：3x+6=0 义示例：215（次数为2）：是3（分好含未知数）：4y1(两个未 知数) 知识点5方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验方法：将数值代入方程左边、右边，分别计算，若左边=右边，则 是方程的解。 知识点6含参数一元一次方程解的情况 方程整理为ax+b=0 30,方程有唯解×台 a=0,b=0:等式恒成立，有无数个解； 试卷第2页（共3页） a=0,b0:等式不成立，方程无解。 知识点7解一元一次方程通用五步流程 步骤 操作 注意事项 1.去分 等式两边同乘所有分母最小每一项都要乘，不含分母项不能漏乘；分 母 公倍数 子是多项式要添加括号 2.去括 括号前是负号，括号内每一项全部变号； 运用乘法分配律 号 不要漏乘括号内项 把含未知数项移到左边，常 3.移项 移项必须变号；不移的项不变号 数项移到右边 4.合并 化为最简形式ax=b(a≠0)正确合并系数，留意符号 同类项 5.系数 两边同时除以未知数系数a 分清被除数与除数，不要颠倒分子分母 化为1 知识点8解方程标准书写格式示例 x-1 解方程：2x 解：去分母，得×1-2=2x 移项，得x-2x=1+2 合并同类项，得=3 系数化为1，得=-3 2 高频易错点 1 一元一次方程概念判断错误 试卷第3页（共3页） 提醒：只含一个未知数，未知数次数为1，等式两边均为整式：分母含有 未知数的方程不是一元一次方程。 2. 等式性质运用失误 提醒：等式两边同除以一个数时，除数不能为0：等式变形必须两边同步 运算，不可仅对单侧变形。 3. 移项未变号 提醒：项从等式一侧移至另一侧，必须改变符号；等式同侧交换项的位 置不属于移项，无需变号。 4.去括号漏乘、变号不全 提醒：括号前存在数字因数，因数需乘括号内每一项：括号前为负号， 去括号后括号内各项全部变号。 5. 去分母漏乘常数项 提醒：去分母时，等式所有项均乘以最简公分母；分子为多项式时，去 掉分母后分子整体添加括号。 6. 系数化为1时分母分子颠倒 提醒：由axb(a≠0)，得X b 不可颠倒分子分母。 7. 方程解的检验格式不规范 提醒：将数值分别代入方程左、右两侧计算，对比两侧结果，不可直接 连等代入。 8. 实际问题列方程等量关系构建错误 提醒：准确提取题干等量关系；辨析多、少、倍的数量表述，防止数量 试卷第4页（共3页） 关系颠倒。 3 题型通关 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★★ 题型二 列方程 题型三 判断是否是方程的解 题型四 已知方程的解，求参数 题型五 判断是否是一元一次方程 题型六 判断是否是一元一次方程解 题型七 等式的性质1 题型八 等式的性质2 ★★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★ 题型十一 去分母 ★★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★★ 题型十四 绝对值方程 拔高题 5题 试卷第5页（共3页） 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升：★★★★压轴 4 分题型精讲 题型一、判断各式是否是方程 1.下列各式中，不是方程的是() A.x=2 B.3x=2x+5 C.x+y=0 D 2x-3y+1 2.下列各式中是方程的是() A.7x+3=x B.-4x-6 C.3+4=7 D.2x<8 3.下列各式是方程的有 ①3+(-3)-1=8-6+(-3)： 1 ②2x+3y=5: 1 ③3X-2x=1: ④x2-2x=x-y; ⑤a+b=b+a(a、b为常数) 题型二、列方程 4.方程2x+30=170可以解答下面哪个问题？正确的选项是 (填序号) ① ② 心里想一个数把 米 它乘2，再加上 红绳长 长30米 30,等于170。 蓝绳 蓝绳比红绳的 2倍长30米。 170米 ③ x元x元 30元 ④ 100克 20克 50克 色画 0克 回 170元 5.某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x,可列方程为() A.3x-5=x+9 B 3(x-5)=x+9 试卷第6页（共3页） C.3x-5=9-x D.3(x-5)=9-x 6.在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图 中给出的信息，得到的正确方程是()· 4cm xcm xcm 9cm 5cm 9 5 A.πx(2)2xx=×(2)2×(x+4) B.π×92×x=πx92×(x+4) 9 C.x(2)2xx=π×(2)2×(x4) D.元x92×x=πx92×(x-4) 题型三、判断是否是方程的解 7.下列方程中，解为x=-1的是() A.x-1=0 B.2x+1=-1 C.x+2=3D.3x-1=2 8.x=2是下列哪个方程的解() A.-x+1=2x B.2x3=-1 C.2-3x=-4D.3(1-x)=6 9.多项式心-m和3r-n(a,m,n为常数，a≠0)的值由x的取值决定.下表是当x取 不同值时多项式对应的值.由此可知，关于x的方程心-m=n-3r的解是() x -1 0 1 ax-m -5 -3 -1 3ax-n -11 -5 1 13 A.x=-1 B.x=0 C.x=1 D.x=3 题型四、已知方程的解，求参数 10.若x=2是关于x的方程2x=1+3m的解，则m的值为 11.已知x=1是方程3x-m=x+2n的一个解，则整式m+2n+2026的值为 12.若x=-2是方程2x+3m-1=0的解，则m的值为（) 试卷第7页（共3页） 5 A. B.-1 C.2 D.2 26c-0=2+x+bM 13.如果a、b是定值，且关于x的方程3 4,无论k为何值时，它的解总是 x=2,那么3b-2a的值是() A.1 B.2 C.16 D.31 题型五、判断是否是一元一次方程 14.若(2m-3x-5=0 关于x的一元一次方程，则m的值可以是一（写出一个即 可). 15.下列方程中，是一元一次方程的是() 1 A.2x=0 B.x-2 =2 C.x+2y=3 D x2-2x=0 16.如果a-0x3+4=0 关于x的一元一次方程，那么a的值是 17在已知下列方程：0x-22 x’②0.3x=1,③2 5x-1,④22-3=0⑤x=6 ,⑥x+y=0,其中是一元一次方程的有() A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 题型六、判断是否是一元一次方程解 18.若2x+5=0是关于x的一元一次方程，则a的值为一 19.已知关于x的一元一次方程2x-2+m=7的解为x=1,则a+m的值为() A.9 B.8 C.5 D.4 20.已知关于x的元一次方程20252024=m的解为x=3,则关于y的一元一次方程 y+1-2024=m的解为（） 2025 试卷第8页（共3页） A.y=2 B.y=3 C.y=2024 D y=2025 题型七、等式的性质1 21.如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放()个小白球. oop A.4 B.5 C.6 D.7 22.我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中， 要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等.如图是一个未完成的幻 方，则m-n= a= m a -9 3 n a,b a+b 23.对于任意的有理数4，b,如果满足2+32+3，那么我们称这一对数4，b为“相伴 数对”，记为a,) 若m,m）是“相件数对”，则 3m+2[3m-(0-2n]的值为() A.2 B.-1 C.-2 D.3 题型八、等式的性质2 24.如何解方程2x=5x,嘉琪在方程的两边都除以x,竟然得到2=5，她错误的原因是 () A.方程本身是错的 B.方程无解 C.如果x=0,那么方程两边不能同时除以xD.一定条件下2=3 25.整式r+b的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的 值： 3 试卷第9页（共3页） ax+b 84048 则关于x的方程--b=-4的解是 26.下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是() A.若a=b,则ac=bc B.若a(r+)=b(+川，则a=b a b C.若a=b则2=2 D.若。c,则a=b 题型九、合并同类项与移项 27.如果x-2=5,则() A.x=5+2 B.x=5-2 C.2=5+x D 2=5-x 28.定义a©h=(a-26-2)+2,若B®x®8=38 则x 29.下列方程的变形中正确的是() A.由x+5=6x-7得x-6x=7-5 3 B.由2x+9=2-3得：x-3x=6-18 x-3 =1得： C.由0.7 10x-30=10 7 得：2x-2=3 -2(x-1)=3m D.由 题型十、去括号 30.解方程2(x-2)-3(4x-1)=9 正确的是() A.2x-4-12x+3=9,-10x=8,x=0.8 B.2x-4-12x+3=9,-10x=10,x=-1 C.2x-4-12x-3=9,-10x=16,x=-1.6 D.2x-2-12x+1=9,-10x=10,x=-1 试卷第10页（共3页） (x-4)-3(2x+1)=2(1-2x)-1 31.补全解方程 的过程： 解：去括号，得 移项，得 合并同类项，得」 系数化为1，得 32.下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（) A.方程8x=2x-12,移项得：8x-2x=12 程2x1_10x+-1,去分母得2(2x+)-(0x+)= B.方程36 C方霍2+-50-列3-月，去括号得2x+3-545-x- 4 D.方程9x=4,系数化为1得x= 题型十一、去分母 38.解方程+1= 2时，去分母正确的是() A.3x+1=2x-2 B.3x+6=2x-2 C.2x+6=3x-1 D2x+6=3x-3 4.关于的方程；2231与2 x+12+x-4 3=8的解相同，则a的值为 35.如果a,b为定值时，关于x的方程2 3+a_x+k=1,无论k为何值，它的根总是2， 4 则a+b的值为() A.15 B.14 C.12 D.10 题型十二、已知一元一次方程的解，求参数 36.写出一个解为5，且未知数的系数为2的一元一次方程 37.已知x=3是关于x的方程3x+2a=13的解，则a的值是() A.11 B.-2 C.2 D.4 1 38,已知关于x的一元一次方程2026x+1=2x+8动的解为x=2,则关于y的一元一次方程 试卷第11页（共3页） 206+3)+5=2y+10+动的解为 39.己知二次多项式2+bx+c(a,b,c是常数，且a≠0)，把关于x的方程 3r+b=2x-1的解称为该二次多项式的“衍生值”.若无论t为何值时，二次多项式 2r2-x+5和-(2mt-m)小 的“衍生值”都相等，则2m-n的值是() 1 3 A.-2 B.1 C.2 D.2 题型十三、一元一次方程解的关系 40.以下方程中，与方程2x-1=1-x的解相同的方程是() 2 A.2(x-1)=1-x B.3x=1 c.3(x-1)=1 D.3(x-1)+1=0 41.如果方程2x=6与方程x+k=-1的解相同，则k= 42.若关于x的方程3x-7=2x+a的解与方程4x+3a=7a-8的解互为相反数，则a的值为 () A.-2.5 B.2 C.1 D.-1.2 题型十四、绝对值方程 3.若以=3 且x<0,则的值为() A.3 B.-3 C.3或-3 D.-2 4.若K-6例1川，且<0，则x+y的值为 45.已知a为实常数，则下列结论正确的是() A.关于x的方程 的解是x=1 a x=a B.关于‘的方程x=4的解是x= C.关于x的方程 ax= 的解是x=1 试卷第12页（共3页） D.关于x的方程（a+小州=a+ 的解是x=1 46.填空： (1)若x-小=+3 则 (2)K-+x+3 的最小值是 3)+2+-+k- 的最小值是 (④)已知m是常数，若式子-+K-5+K-州的最小值是6，则m的值为一 解答题 1.解方程：x-4x+3=3 2.解方程： (1)2x+5=3x-1: 22(x-4=30x+5）) 2x-12x-3=1 3)34 3.定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”.例 如：方程4x=8和x+1=0为“美好方程” (1)若关于x的方程2x+m=0与方程4x-2=x+7是“美好方程”，求m的值： (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n,求的值. 4.根据题意列出方程。 (1)从正方形的铁皮上，截去2cm宽的一个长方形条，余下的面积是80cm,那么原来的正 方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000 元，以后每月付1500元.王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用 多长时间才能付清全部货款？ 5.如果两个方程的解相差k,且k为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“k的后 试卷第13页（共3页） 移方程”.例如：方程x-4=0的解是x=4,方程x-2=0的解是x=2」 所以：方程x-4=0是方程x一2=0的“2的后移方程”. (1)判断方程2x-3=0是否为方程2x-1=0的k的后移方程（填“是”或“否”）； (2)已知关于x的方程2x-a-b=0是关于x的方程2x+a=0的“3的后移方程”，求 4a+2b的值： ®无论m”为任意整数，关于*的方程2x-a(m+n-m-川m=0是关于产的方程 2x-ā=0的“k的后移方程”.请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由：若不正 确，举一个反例 试卷第14页（共3页） 专题10一元一次方程的认识及解法知题通关讲义 知识点 1 方程的定义 含有未知数的等式叫做方程。 方程同时满足两个条件：①有等号，是等式；②式子中含有未知数（字母）。 ✅示例：2x-5=1，3y=0 ❌示例：2a+)（无等号，代数式），4+6=10（无未知数） 知识点 2 列方程思路 1.设未知数：用字母表示题目中的未知量； 2.找等量关系：梳理题目不变的相等关系； 3.根据等量关系列出等式，得到方程。 知识点3等式的基本性质（解方程理论依据） ⚠️重要提醒：等式变形必须左右两边同时进行相同操作；不能同时除以 0。 知识点 4 一元一次方程定义 只含有一个未知数，未知数的次数都是1，且等号两边都是整式的方程。 三大判定条件（缺一不可）： 仅含 1 个未知数； 未知数最高次数为 1； 分母不含未知数（整式方程）。 标准形式：ax+b=0（a≠0，a、b为常数） ✅示例：3x+6=0 ❌示例：x2+1=5（次数为 2）；=3（分母含未知数）；x+y=1（两个未知数） 知识点 5 方程的解 使方程左、右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解。 检验方法：将数值代入方程左边、右边，分别计算，若左边 = 右边，则是方程的解。 知识点 6 含参数一元一次方程解的情况 方程整理为 ax+b=0 a≠0：方程有唯一解 x=-； a=0，b=0：等式恒成立，有无数个解； a=0，b≠0：等式不成立，方程无解。 知识点 7 解一元一次方程通用五步流程 知识点 8 解方程标准书写格式示例 解方程：=x 解：去分母，得 x-1-2=2x 移项，得 x-2x=1+2 合并同类项，得 -x=3 系数化为 1，得 x=-3 1. 一元一次方程概念判断错误 提醒：只含一个未知数，未知数次数为1，等式两边均为整式；分母含有未知数的方程不是一元一次方程。 2. 等式性质运用失误 提醒：等式两边同除以一个数时，除数不能为0；等式变形必须两边同步运算，不可仅对单侧变形。 3. 移项未变号 提醒：项从等式一侧移至另一侧，必须改变符号；等式同侧交换项的位置不属于移项，无需变号。 4. 去括号漏乘、变号不全 提醒：括号前存在数字因数，因数需乘括号内每一项；括号前为负号，去括号后括号内各项全部变号。 5. 去分母漏乘常数项 提醒：去分母时，等式所有项均乘以最简公分母；分子为多项式时，去掉分母后分子整体添加括号。 6. 系数化为1时分母分子颠倒 提醒：由ax=b(a≠0)，得x=，不可颠倒分子分母。 7. 方程解的检验格式不规范 提醒：将数值分别代入方程左、右两侧计算，对比两侧结果，不可直接连等代入。 8. 实际问题列方程等量关系构建错误 提醒：准确提取题干等量关系；辨析多、少、倍的数量表述，防止数量关系颠倒。 题型 考察方向 难度 题型一 判断各式是否是方程 ★ 题型二 列方程 ★★ 题型三 判断是否是方程的解 ★ 题型四 已知方程的解，求参数 ★★ 题型五 判断是否是一元一次方程 ★ 题型六 判断是否是一元一次方程解 ★ 题型七 等式的性质 1 ★ 题型八 等式的性质 2 ★ 题型九 合并同类项与移项 ★★ 题型十 去括号 ★★ 题型十一 去分母 ★★ 题型十二 已知一元一次方程的解，求参数 ★★★ 题型十三 一元一次方程解的关系 ★★★ 题型十四 绝对值方程 ★★★★ 拔高题 5题 星级说明：★基础；★★中档；★★★提升；★★★★压轴 题型一、判断各式是否是方程 1．下列各式中，不是方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了方程的定义，方程是含有未知数的等式，需同时满足两个条件：含有未知数和是等式，据此可得答案． 【详解】解：∵方程的定义是含有未知数的等式， 选项A、B、C均含有未知数且是等式，符合定义； 选项D含有未知数但不是等式，不符合定义． 故选：D． 2．下列各式中是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据方程的定义进行判断． 【详解】解：A．符合方程的定义； B．是代数式，不是方程； C．不含有未知数，不是方程； D．不是等式，故此选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了方程的定义：方程是含有未知数的等式，在这一概念中要抓住方程定义的两个要点：①等式；②含有未知数． 3．下列各式是方程的有_____ ①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3）； ②＋y＝5； ③x2﹣2x＝1； ④x2﹣2x＝x﹣y； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数） 【答案】②③④ 【分析】含有未知数的等式是方程，根据定义依次判断． 【详解】解：①3＋（﹣3）﹣1＝8﹣6＋（﹣3），不含有未知数，不是方程； ②＋y＝5，是方程； ③x2﹣2x＝1，是方程； ④x2﹣2x＝x﹣y，是方程； ⑤a＋b＝b＋a（a、b为常数），不含有未知数，不是方程； 故答案为：②③④． 【点睛】此题考查方程的定义，有理数的加减混合运算，理解方程的定义是解题的关键． 题型二、列方程 4．方程可以解答下面哪个问题？正确的选项是_________．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】分别分析四个情境中的数量关系，列出对应的方程，判断是否与一致． 【详解】解：①设心里想的数是，根据题意得：，符合题意； ②设红绳长米，根据题意得：，符合题意； ③由题意得：，符合题意； ④由题意得：，即，不符合题意． 综上所述，正确的选项是①②③． 5．某数的3倍与5的差比这个数大9，设这个数为x，可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设这个数为x， ∴， 故选：A ． 6．在做科学实验时，老师将第一个量筒中的水全部倒入第二个量筒中，如图所示，根据图中给出的信息，得到的正确方程是（    ）． A．π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） B．π×92×x＝π×92×（x+4） C．π×（）2×x＝π×（）2×（x-4） D．π×92×x＝π×92×（x-4） 【答案】A 【分析】根据水的体积不变的性质以及圆柱体体积计算公式，即可列出一元一次方程，从而得到答案． 【详解】依题意得：π×（）2×x＝π×（）2×（x+4） 故选：A． 【点睛】本题考查了一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程的性质，从而完成求解． 题型三、判断是否是方程的解 7．下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的解，通过将代入每个方程，验证等式是否成立即可． 【详解】解：A、当时，左边 右边，则不是A的解； B、当时，左边 右边，则是B的解； C、当时，左边 右边，则不是C的解； D、当时，左边 右边，则不是D的解． 故选：B． 8．是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入每个方程，验证等式是否成立即可，掌握方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：、当时，左边，右边，，故该选项不符合题意； 、当时，左边，右边，，故该选项不符合题意； 、当时，左边，右边，，故该选项符合题意； 、当时，左边，右边，，故该选项不符合题意； 故选：． 9．多项式和（为常数，）的值由的取值决定．下表是当取不同值时多项式对应的值．由此可知，关于的方程的解是（    ） 0 1 3 3 1 13 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次方程，以及一元一次方程的解，根据表格得出当时，，，即，从而得出方程的解． 【详解】解：由表格数据： 当 时，，，则，； ∴方程的解为， 故选：C． 题型四、已知方程的解，求参数 10．若是关于的方程的解，则的值为________． 【答案】 【详解】解：是关于的方程的解， ， 解得． 11．已知是方程的一个解，则整式的值为__________． 【答案】 【分析】将代入方程可得，即，再代入整式计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴， ∴， ∴． 12．若是方程的解，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了已知一元一次方程的解求参数，把代入关于x的方程，解关于m的方程即可． 【详解】∵是方程的解， ∴， 即， ∴， ∴． 故选：A． 13．如果a、b是定值，且关于的方程，无论为何值时，它的解总是，那么的值是（   ） A．1 B．2 C．16 D．31 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解的定义，一元一次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值，据此把代入原方程得到，再由无论为何值时，都成立得到，据此求出的值即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程，无论为何值时，它的解总是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 题型五、判断是否是一元一次方程 14．若是关于的一元一次方程，则的值可以是______（写出一个即可）． 【答案】1（答案不唯一） 【分析】根据一元一次方程的定义，未知数的系数不能为，由此得到关于的不等式，求出的取值范围后任写一个满足条件的值即可． 【详解】解：是关于的一元一次方程， ， 解得， 的值可以是1（答案不唯一）． 15．下列方程中，是一元一次方程的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一元一次方程的三个判定维度：整式、一个未知数、未知数次数为1判断各选项． 【详解】解：A、符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，符合题意； B、分母含未知数，不是整式方程，不是一元一次方程，不符合题意； C、含两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、未知数最高次数为2，不是一元一次方程，不符合题意． 16．如果是关于x的一元一次方程，那么a的值是________． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，掌握一元一次方程的未知数指数必须为1且系数不为零是解题关键． 根据一元一次方程的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程， ∴且， ∴， 解得：或， 当时，，不符合系数不为零的条件； 当 时，，符合条件． 故答案为：3． 17．在已知下列方程：，，，，，，其中是一元一次方程的有（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义（只含一个未知数，未知数的次数为，且为整式方程）逐一判断各方程即可，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：，右边为分式，不是整式方程，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，仅含未知数，次数为，不符合题意； ，仅含未知数，次数为，且为整式方程，符合题意； ，含未知数、，不符合题意； 综上，符合条件的有，共个， 故选：． 题型六、判断是否是一元一次方程解 18．若是关于的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 19．已知关于的一元一次方程的解为，则的值为（　　） A．9 B．8 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解的定义，只含有一个未知数，且未知数的次数为1的整式方程叫做一元一次方程，据此可求出a的值，再把代入原方程求出m的值即可得到答案． 【详解】解：∵方程是关于的一元一次方程， ∴， ∴， ∵关于的一元一次方程的解为， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 20．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，根据关于x的一元一次方程的解为，列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】解：∵关于x的一元一次方程的解为， ∴， 解得：， ∴关于y的一元一次方程的解为， 故选：A． 题型七、等式的性质 1 21．如下图，要使右边的天平保持平衡，在虚线框里要放（     ）个小白球． A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】B 【详解】由第一个天平平衡得：小大大小， 化简得：大小． 第二个天平左边：小大小小小． 故虚线框里要放个小白球． 22．我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方，将互不相同的9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等．如图是一个未完成的幻方，则_____________；______________． 【答案】 6 【分析】本题结合幻方的性质考查等式的性质、整式的加减运算，同时考查方程思想与辅助未知数消元法的运用，关键是紧扣幻方中横行、竖行及对角线的三数之和相等的性质建立等式．解题时先根据幻方的性质列出包含、和公共辅助未知数的等式，消去后移项化简，直接求出；再设其他辅助未知数、，结合幻方的性质分别用、、表示出和，将其代入另一幻和等式中，通过整式的化简消去多余未知数，最终求解得出的值． 【详解】解：如图，设第1行第2列的数为，第2行第2列的数为，第3行第1列的数为． ∵每一横行、每一竖行以及两条对角线上的3个数之和相等， ∴， 由，移项得； 由，得， 由，得 由，得，化简得． 故答案为：；． 23．对于任意的有理数a，b，如果满足，那么我们称这一对数a，b为“相伴数对”，记为．若是“相伴数对”，则的值为（     ） A．2 B．－1 C．－2 D．3 【答案】C 【分析】先根据“相伴数对”的定义列出等式，化简得到，再化简所求代数式，整体代入求值即可． 【详解】∵是“相伴数对” ， ∴， 整理得， 去分母，得， 展开移项得． 化简所求代数式： 把代入得， 原式． 题型八、等式的性质 2 24．如何解方程，嘉琪在方程的两边都除以x，竟然得到，她错误的原因是（   ） A．方程本身是错的 B．方程无解 C．如果，那么方程两边不能同时除以x D．一定条件下2=3 【答案】C 【分析】本题主要考查了根据等式的性质2，解一元一次方程．根据等式的性质2：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式，所以在两边同除以x时要保证，条件没给出，所以不能同除以x． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， 当两边同除以时，无意义， ∴错误的原因是：如果，那么方程两边不能同时除以x， 故选：C． 25．整式的值随着x的取值的变化而变化，如表是当x取不同的值时对应的整式的值： x 0 1 2 3 0 4 8 则关于x的方程的解是________ ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解知识点，掌握等式的性质成为解题的关键．将变形为，观察表格数据可得答案． 【详解】解：∵ ， ∴， 由表可知，当时，， ∴关于x的方程的解是． 故答案为：． 26．下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟练掌握等式变形时除数不能为0的前提条件是解题的关键． 根据等式的两条性质，逐一判断每个选项的变形是否满足乘除变形时除数不为0的前提条件，从而找出错误的变形． 【详解】解：∵若，等式两边同时乘，等式仍成立， ∴选项A：，故A项正确，不符合题意； ∵，即恒不为0， ∴若，两边同除以得，故B项正确，不符合题意； ∵若，当时，，此时和无意义， ∴选项C的变形不恒成立，故C项错误，符合题意， ∵隐含， ∴两边同乘得，故D项正确，不符合题意； 故选：C． 题型九、 合并同类项与移项 27．如果，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由移项，得 ． 28．定义，若，则______． 【答案】 【分析】先根据新定义计算内层运算，再代入外层运算得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到结果． 【详解】解：由题意得， ， 将代入原等式得， 解得． 29．下列方程的变形中正确的是（   ） A．由得 B．由得： C．由得： D．由得： 【答案】B 【分析】本题考查解一元一次方程解方程过程中的变形，解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为1．注意移项要变号．A.通过利用等式性质进行变形即可判断对错；B.利用等式性质进行变形可判断对错；C.根据分数的分子分母扩大相同的倍数，分数的值不变可判断对错；D. 去括号法则，括号前面是负号，去掉括号后各项符号均改变即可判断． 【详解】解：A：∵原方程， 移项得， 但选项为， ∴错误． B：∵原方程， 两边同乘2得， 移项得， ∴正确． C：∵原方程， 变形得， 但选项为， ∴错误． D：∵原方程， 去括号得， 但选项为， ∴错误． 故选：B． 题型十、 去括号 30．解方程，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 将系数化为1得， 只有B正确． 31．补全解方程的过程： 解：去括号，得________________． 移项，得________________． 合并同类项，得________________． 系数化为1，得________________． 【答案】 【分析】根据去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行解方程即可求解． 【详解】解：， 去括号得，， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 故答案为：，，，． 【点睛】本题考查解一元一次方程，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键． 32．下面是从小明同学作业本中摘抄的内容，其中正确的是（    ） A．方程，移项得： B．方程，去分母得 C．方程，去括号得 D．方程，系数化为得 【答案】D 【详解】解：对于A，∵方程，移项时移项要变号，∴正确移项结果为，原变形错误，不符合题意； 对于B，∵方程，去分母时需要给等式两边同时乘分母的最小公倍数6，∴正确去分母结果为，原变形错误，不符合题意； 对于C，∵方程，去括号时需要给括号内每一项都乘括号外的系数，∴正确去括号结果为，原变形错误，不符合题意； 对于D，∵方程，系数化为1需要给等式两边同时除以9，∴得，原变形正确，符合题意． 题型十一、去分母 33．解方程时，去分母正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】去分母时方程每一项都要乘分母的最小公倍数，分子是多项式时去掉分母后要加括号． 【详解】∵ 原方程为 ，分母和的最小公倍数为， ∴ 方程两边同时乘去分母，得 ． 化简得 ， 整理得 ． 故选D． 34．关于x的方程与的解相同，则a的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程中的同解方程，求出方程的解，再把解代入即可求出的值. 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：； 将代入得： 解得： 故答案为： ． 35．如果a，b为定值时，关于x的方程，无论k为何值，它的根总是2，则的值为（    ） A．15 B．14 C．12 D．10 【答案】A 【分析】本题考查的是一元一次方程的解，掌握方程的解是满足方程的未知数的值为解题的关键．先将方程的根代入原方程并化简得，由题可知，当a，b为定值时，对任意的k成立，因此可得，，易求a，b的值，然后代入计算即可． 【详解】解：将代入方程得：， 整理得 ∵该等式对任意成立， ∴，， 解得，， ∴． 故选：A． 题型十二、已知一元一次方程的解，求参数 36．写出一个解为5，且未知数的系数为2的一元一次方程________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据要求构造方程即可. 【详解】解：由题意，可构造方程为（答案不唯一）. 37．已知是关于的方程的解，则的值是（     ） A．11 B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】把代入方程，得到关于的方程，解方程即可解答． 【详解】解：把代入方程， 得， 解得． 38．已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，设，将关于的方程转化为关于z的一元一次方程，根据题意可求出关于z的一元一次方程的解为，据此可得答案． 【详解】解：设，则关于y的一元一次方程可变为关于z的一元一次方程，即， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于z的一元一次方程的解为， ∴， ∴， 故答案为：． 39．已知二次多项式（是常数，且），把关于的方程的解称为该二次多项式的“衍生值”．若无论为何值时，二次多项式和的“衍生值”都相等，则的值是（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】根据题中“衍生值”的定义列方程求解，再由无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等，列方程组求解即可． 【详解】解：∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵方程的解是多项式的“衍生值”， ∴是多项式的“衍生值”， ∵二次多项式和的“衍生值”都相等， ∴，即， ∵无论为何值时，二次多项式的“衍生值”都相等， ∴，解得， ∴． 题型十三、一元一次方程解的关系 40．以下方程中，与方程的解相同的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解法，掌握一元一次方程的解法是关键，先解出的解，然后对选项逐一求解，验证即可． 【详解】解：， ， ， ． A．， ， ， ， ，故不符合题意； B．， ，故不符合题意； C．， ， ， ， ，故不符合题意； D． ， ， ， ，故符合题意； 故选D． 41．如果方程与方程的解相同，则_______． 【答案】 【分析】先求出方程的解，再代入方程即可求出的值． 【详解】解：由方程得，， 把代入方程得，， ． 42．若关于x的方程的解与方程的解互为相反数，则a的值为（   ） A． B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次方程，一元一次方程的解以及相反数的定义，先分别求出两个方程的解，然后根据它们的解互为相反数，列出方程求解a即可． 【详解】解：解方程， 移项得， ∴； 解方程， 移项得， ∴， ∴； ∵两个解互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型十四、绝对值方程 43．若，且，则的值为（    ） A．3 B． C．3或 D． 【答案】B 【分析】本题考查解绝对值方程．根据绝对值的定义，表示或，再结合条件，即可确定的值． 【详解】解： ， 又 ． 故答案为：B． 44．若，，且，则的值为_______． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了绝对值的意义、代数式求值等知识点，掌握分类讨论思想成为解题的关键． 解绝对值方程可得或7，，再根据分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴或7， ∵， ∴， ∵， ∴当时，，则； 当时，，则． 故答案为：或6． 45．已知为实常数，则下列结论正确的是（   ） A．关于的方程的解是 B．关于的方程的解是 C．关于的方程的解是 D．关于的方程的解是 【答案】D 【分析】本题考查含绝对值符号的一元一次方程，根据各个选项中的说法可以判断各个选项是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：A、在方程中，当时，为任意实数，当时，，故选项A错误； B、在方程中，当时，为任意实数，当时，，故选项B错误； C、在方程中，当时，为任意实数，当时，，当时，，，故选项C错误； D、在方程中，，故选项D正确； 故选：D． 46．填空： （1）若，则______． （2）的最小值是______． （3）的最小值是______． （4）已知是常数，若式子的最小值是6，则的值为______． 【答案】 或 【分析】（1）由题意得出或，分别解出即可； （2）分情况：当时；当时；当时；分别化简求出即可； （3）分情况：当时；当时；当时；当时分别化简求出即可； （4）分情况：当时；当时；当时分别化简求出即可． 【详解】解：（1）∵， ∴或， 解得， 解得方程无解， 故； （2）当时，； 当时，； 当时，； 故的最小值是4； （3）当时，； 当时，； 当时，， 即当时值最小为7； 当时，； 故的最小值是7； （4）当时， 由（3）知，当时值最小为6， 即， 解得（不合题意舍去）或； 当时， 由（3）知，当时值最小为6， 即， 解得（不合题意舍去）或； 当时， 由（3）知，当时值最小为4，不符合题意，舍去； 综上所述，则的值为或． 解答题 1．解方程： 【答案】无解 【分析】本题主要考查绝对值方程，由绝对值的意义可知得到或，解方程即可； 【详解】解： 解得 由绝对值的意义可得， 或， 解得（舍去）或（舍去）， 所以，原方程无解； 2．解方程： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先移项，再合并同类项，系数化为即可； （2）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为即可． （3）先去分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化为即可． 【详解】（1）解：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （2）解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为得：； （3）解：， 去分母得：， 去括号得：， 合并同类项得：， 移项得：， 系数化为得：． 3．定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个方程解的差为8，其中一个解为n，求n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，能根据等式的性质求出方程的解是解此题的关键． （1）先根据等式的性质求出两个方程的解，再根据两方程是“美好方程”得出关于m的方程，再求出m即可； （2）设另一个方程的解为，列出方程，求出n值即可． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 关于x的方程与方程是“美好方程”， ， 解得； （2）解：由条件可知另一个方程的解为：， 又两个方程解的差为8， 得： 或， 或． 4．根据题意列出方程． (1)从正方形的铁皮上，截去宽的一个长方形条，余下的面积是，那么原来的正方形铁皮的边长是多少？ (2)某商店规定，购买超过15000元的物品可以采用分期付款方式付款，顾客可以先付3000元，以后每月付1500元．王叔叔想用分期付款的方式购买价值19500元的电脑，他需要用多长时间才能付清全部货款？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程是解题的关键． （1）首先假设出原来的正方形铁皮的边长，进而得出关于x的等式求出即可； （2）根据等量关系为：首付需要的月数列出方程即可． 【详解】（1）解：设原来的正方形铁皮的边长为， 根据题意得：； （2）解：设王叔叔需用x个月的时间， 根据题意得：． 5．如果两个方程的解相差，且为正整数，则称解较大的方程是另一个方程的“的后移方程”．例如：方程的解是，方程的解是． 所以：方程是方程的“2的后移方程”． (1)判断方程是否为方程的的后移方程_____（填“是”或“否”）； (2)已知关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”，求的值； (3)无论为任意整数，关于的方程是关于的方程的“的后移方程”．请判断以上说法是否正确，若正确，说明理由；若不正确，举一个反例． 【答案】(1)是 (2) (3) 以上说法不正确，反例如下： 当时，关于的方程的解是； 关于的方程的解是； ∵ ∴此时，关于的方程不是关于的方程的“的后移方程”， ∴该说法不正确． 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，根据新定义下的方程的解的关系求参数，解题的关键是理解新定义下的解的关系． （1）求出方程的解，然后根据新定义进行判断即可； （2）表示出两个方程的解，然后根据新定义下的解的关系，列出方程求解即可； （3）举出反例进行说明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴方程为方程的1的后移方程， 故答案为：是； （2）解：关于的方程的解是， 关于的方程的解是， 关于的方程是关于的方程的“3的后移方程”， ， ， ； （3）略 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $